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7.4 基本不等式练习题


§7.4 基本不等式
一、选择题 4 1.若 x>0,则 x+ 的最小值为(

x

). C.2 2 D.4

A.2

B.3

4 解析 ∵x>0,∴x+ ≥4.

x

答案 D 2 3 2.设 a,b 满足 2a+3b=6

,a>0,b>0,则 + 的最小值为(

a b
B. 8 3

)

25 A. 6 11 C. 3 解析 由 a>0,b>0,2a+3b=6 得 + =1, 3 2 2 3 2 3 a b 2 3 b a ∴ + =( + )( + )= + + + a b a b 3 2 3 2 a b 13 ≥ +2 6

D.4

a b

b a 13 25 · = +2= . a b 6 6

b a 6 当且仅当 = 且 2a+3b=6,即 a=b= 时等号成立. a b 5
2 3 25 即 + 的最小值为 . a b 6 答案 A 3.气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天 ?n *? 起连续使用,第 n 天的维修保养费为? +4.9,n∈N ?元,使用它直至“报废最 ?10 ? 合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使 用了( ) A.600 天 B.800 天 C.1 000 天 D.1 200 天

解析 设一共使用了 n 天,则使用 n 天的平均耗资为

n ? ? ?5+ +4.9?n 10 ? ? 32 000+ 2 n



32 000 n + +4.95, n 20 32 000 n 当且仅当 = 时,取得最小值,此时 n=800.本题的函数模型是一个在生 n 20 活中较为常见的模型, 注意如何建立这类问题的函数关系式,在有的问题中仪器 还可以做废品再卖一点钱,这样要从总的耗资中把这部分除去. 答案 B 4.若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( 1 1 A. + 有最大值 4 ). B.ab 有最小值 1 4 2 2

a b

C. a+ b有最大值 2 解析 由基本不等式,得 ab≤ =

D.a2+b2 有最小值

a2+b2 ? a+b?
2 2

2

-2ab

1 1 ,所以 ab≤ ,故 B 错; 4 a

1 a+b 1 a+ b + = = ≥4, A 错; 故 由基本不等式得 ≤ b ab ab 2 + b≤ 答案 C 1 4 5.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是(

a+b
2



1 , 即 a 2

1 1 2,故 C 正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2× = ,故 D 错. 4 2

a b
C.

). D.5

7 A. 2

B.4

9 2

1 4 1?1 4? 1? ?b 4a?? 1? 解析 依题意得 + = ? + ?(a+b)= ?5+? + ??≥ ?5+2 a b 2?a b? 2? ?a b ?? 2?

b 4a? 9 × ?= , a b? 2

?a+b=2 ?b 4a 当且仅当? = a b ?a>0,b>0 ?
4 1 4

2 ,即 a= , 3

b= 时取等号,即 + 的最小值是 ,选 C. 3 a b 2

9

答案 C ? a+b? 6. 已知 x>0, >0, , , , 成等差数列, , , , 成等比数列, y x a b y x c d y 则
2

cd

的最小值是( A.0 解析

). B.1 C.2 ? D.4
2

a+b? 由题知 a + b = x + y , cd = xy , x >0, y >0,则 cd
2

x+y? = xy
?

2

? 2 xy? ≥

xy

=4,当且仅当 x=y 时取等号.

答案 D
1 1 7. 已知 a、 b 都是正实数, 函数 y ? 2aex ? b 的图象过(0,1)点,则 ? 的最 a b

小值是( A. 3 ? 2 2

) B. 3 ? 2 2 C. 4 D. 2

答案 A 二、填空题 8. 已知 x,y 为正实数,且满足 4x+3y=12,则 xy 的最大值为________. ?4x=3y, 解 析 ∵ 12 = 4x + 3y≥2 4x×3y , ∴ xy≤3. 当 且 仅 当 ? ?4x+3y=12, 即

?x=3, ? 2 ?y=2.
答案 3

时 xy 取得最大值 3.

2ab 的最大值为________. |a|+2|b| 解析 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则 a2=1-4b2? a2+4b2=1. 2ab 2ab ∵a2+4b2=(|a|+2|b|)2-4|ab|=1.∴ = ,这个式子只有 |a|+2|b| 1+4|ab| 当 ab>0 时取得最大值,当 ab>0 时, 9.若 a 是 1+2b 与 1-2b 的等比中项,则

2 = ? 1 ?2 4 ? ?+ ?ab? ab 1 由于 a2+4b2=1,故 4ab≤1,即 ≥4, ∴

2ab 2ab = = 1+4|ab| 1+4ab

2 ?1 ? ? +2?2-4 ?ab ?



ab

1 故当 =4 时,

ab

2ab 2 2 取最大值 = . |a|+2|b| 32 4

答案

2 4

10.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值为________. 解析 由 x +y +xy=1,得(x+y) -xy=1, 即 xy=(x+y) -1≤
2 2 2 2

?

x+y?
4

2

3 ,所以 (x+y)2≤1, 4

2 3 2 3 故- ≤x+y≤ , 3 3 当 x=y 时“=”成立,所以 x+y 的最大值为 答案 2 3 3 2 3 . 3

? 2 1 ?? 1 2? 11. x,y∈R,且 xy≠0,则?x + 2?? 2+4y ?的最小值为________. y ??x ? ? 1 ? 2 1 ?? 1 2? 解析 ?x + 2?? 2+4y ?=1+4+4x2y2+ 2 2≥1+4+2 y ? ?x xy ? ? 当 4x2y2= 答案 9 2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交 1 4x2y2· 1

x2y2

=9,当且仅

xy

2

2

时等号成立,即|xy|=

2 时等号成立. 2

x

于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 2 解析 假设直线与函数 f(x)= 的图象在第一象限内的交点为 P,在第三象限内

x

的交点为 Q,由题意知线段 PQ 的长为 OP 长的 2 倍. 2? ? 假设 P 点的坐标为?x0, ?, PQ|=2|OP|=2 则| x0? ?

x2+ 2≥4.当且仅当 x2= 2, 即 0 0 x0 x0

4

4

x0= 2时,取“=”号.
答案 4 三、解答题 13.已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求:(1)xy 的最小值; (2)x+y 的最小值.

解析 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0, (1)xy=2x+8y≥2 16xy, ∴ xy≥8,∴xy≥64. 故 xy 的最小值为 64. 2 8 (2)由 2x+8y=xy,得: + =1,

y x

?2 8? ∴x+y=(x+y)·1=(x+y)? + ? ?y x? =10+ 2x

y



8y

x

≥10+8=18.

故 x+y 的最小值为 18.

14.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少 10 层, 每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米 的平均建筑费用为 560+48x(单位:元). (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是 多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积 解析 (1)依题意得 y=(560+48x)+ =560+48x+ 10 800 2 160×10 000 2 000x

x

(x≥10,x∈N+); 10 800 ≥2 48×10 800=1 440(元),

(2)∵x>0,∴48x+

x

当且仅当 48x=

10 800

x

,即 x=15 时取到“=”,

此时,平均综合费用的最小值为 560+1 440=2 000(元). 所以,当该楼房建造 15 层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值 为 2 000 元. 15.设 a,b,c 都是正数,求证: 证明 ∵a,b,c 都是正数,∴ ∴ +

bc ac ab + + ≥a+b+c. a b c

bc ca ab , , 都是正数. a b c

bc ca ≥2c,当且仅当 a=b 时等号成立, a b

ca ab + ≥2a,当且仅当 b=c 时等号成立, b c ab bc + ≥2b,当且仅当 a=c 时等号成立. c a
三式相加,得 2( 即 +

bc ca ab + + )≥2(a+b+c), a b c

bc ca ab + ≥a+b+c. a b c

当且仅当 a=b=c 时等号成立. 16. 桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一 个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩形地块,中间挖出三个 矩形池塘养鱼, 挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池 塘周围的基围宽均为 2 米,如图,设池塘所占的总面积为 S 平方

米. (1)试用 x 表示 S; (2)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求出 S 的最大值. 解析 (1)由题图形知,3a+6=x,∴a=

x-6
3

.

?1 800 ? ?1 800 ? -4?·a+2a? -6? 则总面积 S=? x ? ? ? x ? ?5 400 ? x-6?5 400 ? -16?= -16? ? =a? x x 3 ? ? ? ? ?10 800 16x? + ?, =1 832-? 3 ? ? x ?10 800 16x? + ?(x>0). 即 S=1 832-? 3 ? ? x ?10 800 16x? + ?, (2)由 S=1 832-? 3 ? ? x 得 S≤1 832-2 10 800

x

·

16x 3

=1 832-2×240=1 352(平方米). 10 800 16x 当且仅当 = ,此时,x=45. x 3 即当 x 为 45 米时,S 最大,且 S 最大值为 1 352 平方米.


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