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2.7函数与方程


§2.7

函数与方程
自主学习

基础知识
要点梳理
1.函数的零点

(1)函数零点的定义
f(x)=0 成立的实数x叫 对于函数y=f(x)(x∈D),把使_______

做函数y=f(x)(x∈D)的零点.

(2)几个等价关系<

br />方程f(x)=0 交点 ? x轴 有 ? 函数y=f(x)的图象与_____ y=f(x)有_______. 零点

(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 f(a)·f(b)<0 那么函 断的一条曲线,并且有_________________,

(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b), 数y=f(x)在区间________
f(c)=0 ,这个____ c 也就是f(x)=0的根. 使得_________

2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系

Δ >0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 (x1,0), 与x轴的交点 _________ (x2,0) _________ 零点个数 ______ 两个

Δ =0

Δ <0

________ (x1,0) _____ 一个

无交点

___ 无

3.二分法

(1)二分法的定义 f(a)·f(b)<0 的 对于在区间[a,b]上连续不断且_____________
函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间__________, 一分为二 使区间的两个端点逐步逼近_____, 零点 进 而得到零点近似值的方法叫做二分法.

(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
f(a)·f(b)<0 第一步,确定区间[a,b],验证______________, 给定精确度 ? ;

第二步,求区间(a,b)的中点x1;

f ( x 1) : 第三步,计算_______
f(x1)=0 ,则x1就是函数的零点; ①若_______

f(a)·f(x1)<0 ,则令b=x1 ②若_____________
(此时零点x0∈(a,x1));

f(x1)·f(b)<0 ,则令a=x1 ③若______________
(此时零点x0∈(x1,b));

第四步,判断是否达到精确度 ? :即若|a-b|< ? ,则
得到零点近似值a(或b); 否则重复第二、三、四步.

基础自测
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的
零点是
1 A.0,2 B.0, 2 1 C.0,? D.2, ? 1 2 2 解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,

( C )

∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 令g(x)=0,得x=0,x= ? , 2 1 ∴g(x)的零点为0,? . 2

2.函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,
则a的取值范围是 1 A. a ? 5 C. ? 1 ? a ? 1 解析 ( D) B.a≤1

D. a ? 1 或a ? ?1 5 5 f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,

则f(-1)·f(1)≤0,即 a ? 1 或a ? ?1. 5

3.函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公

共点横坐标的是

( B )

解析

图B不存在包含公共点的闭区间[a,b]使函

数f(a)·f(b)<0.

4.下列函数中在区间[1,2]上一定有零点的是( D ) A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6 解析 对选项D,∵f(1)=e-3<0,f(2)=e2>0,

∴f(1)f(2)<0.

?2 x ? 2 x ? [1,??) 5.设函数 f ( x) ? ? 2 , 则函数f(x)? x ? 2 x x ? (??,1) 9 2? 5 , 1 8 2 的零点是__________.
1 1 当x≥1时,f ( x) ? ? 0, 即2 x ? 2 ? ? 0, 4 4 9 ?x ? . 8 1 1 当x<1时,f ( x) ? ? 0, 即x 2 ? 2 x ? ? 0, 4 4 2? 5 (舍去大于1的根). x? 2 9 2? 5 ∴ f ( x ) ? 1 的零点为 , . 8 2 4 4 解析

题型分类
题型一 零点的判断

深度剖析

【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]; (2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]. 思维启迪 第(1)问利用零点的存在性定理或 直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性定理 或利用两图象的交点来求解.



(1)方法一

∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,
f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)· f(8)<0, 故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 方法二 令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8].

∴(x-6)(x+3)=0,

∴x=6∈[1,8],x=-3 ?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]有零点.

(2)方法一

∴f(1)· f(3)<0,

f(3)=log25-3<log28-3=0,

∵f(1)=log23-1>log22-1=0,

故f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]存在零点.

方法二

设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系

中画出它们的图象,

从图象中可以看出当1≤x≤3时,
两图象有一个交点, 因此f(x)=log2(x+2)-x, x∈[1,3]存在零点. 探究提高 函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.值得 说明的是,零点存在性定理是充分条件,而并非是

必要条件.

知能迁移1

判断下列函数在给定区间上是否存

在零点.
(1)f(x)=x3+1; 1 (2) f ( x) ? ? x, x∈(0,1). x 解 (1)∵f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1), 令f(x)=0,即(x+1)(x2-x+1)=0,∴x=-1,

1 1? x2 (2)方法一 令f(x)=0,得 ? x ? 0, ? 0, x x ∴x=±1, 而±1 ?(0,1), 1 ∴ f ( x) ? ? x, x∈(0,1)不存在零点. x

∴f(x)=x3+1有零点-1.

1 方法二 令 y ? , y=x,在同一平面直角坐标系中, x 作出它们的图象,从图中可以看出当0<x<1时,两图象
没有交点.

1 故 f ( x) ? ? x, x∈(0,1)没有零点. x

题型二

函数零点个数的判断

【例2】求函数y=ln x+2x-6的零点个数. 思维启迪 该问题转化为求函数y=ln x与y=6-2x的 图象的交点个数,因此只需画出图,数形结合即可.



在同一坐标系画出

y=ln x与y=6-2x的图象,由
图可知两图象只有一个交点,

故函数y=ln x+2x-6只有一个
零点. 探究提高 若采用基本作图法,画出函数y=ln x+ 2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y=ln x 与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.

x?2 知能迁移2 已知函数 f ( x) ? a ? (a>1),判断 x ?1 f(x)=0的根的个数.
x

解 设f1(x)=ax (a>1),f2(x)= x?2 ? , 则f(x)=0的解即为 x ?1 f1(x)=f2(x)的解,即为函数f1(x) 与f2(x)图象交点的横坐标. 在同一坐标系中,作出函数 x?2 3 x f1(x)=a (a>1)与f2(x)= ? ? ? 1 的图象(如 x ?1 x ?1 图所示). 两函数图象有且只有一个交点,即方程f(x)=0有且 只有一个根.

题型三

零点性质的应用

【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ e2 (x>0). x (1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围; (2)确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个 相异实根.

思维启迪

(1)可结合图象也可解方程求之.

(2)利用图象求解.

e2 解 (1)方法一 ∵ g ( x) ? x ? ? 2 e 2 ? 2 e, x 等号成立的条件是x=e.
故g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需m≥2e,则 g(x)=m就有零点. e2 方法二 作出g ( x) ? x ? 的图象如图: x 4分 6分

4分 可知若使g(x)=m有零点,则只需m≥2e. 6分

方法三

解方程由g(x)=m,得x2-mx+e2=0.
4分 6分

?m ?0 ? 此方程有大于零的根, 故? 2 ?? ? m 2 ? 4 e 2 ? 0 ? ?m ? 0 等价于 ? , 故m≥2e. ?m ? 2 e 或m ? ?2 e
(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,

即g(x)=f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个

不同的交点,

e2 作出 g ( x) ? x ? (x>0)的图象. x ∵f(x)=-x2+2ex+m-1
=-(x-e)2+m-1+e2.

其对称轴为x=e,开口向下,
最大值为m-1+e2. 故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个交点, 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. 10 分

∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).

12分

探究提高

此类利用零点求参数的范围的问题,可

利用方程,但有时不易甚至不可能解出,而转化为构
造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了

当不是求零点,而是利用零点的个数,或有零点时求
参数的范围,一般采用数形结合法求解.

知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+ (3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上与x轴恒有一个零点,

且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说
明理由. 解 ∵Δ =(3a-2)2-4(a-1)>0 ∴若实数a满足条件,则只需f(-1)·f(3)≤0即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)≤0. 所以a≤ ?
1 或a≥1. 5

检验:(1)当f(-1)=0时,a=1.所以f(x)=x2+x.

令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠1. (2)当f(3)=0时,a= ? 1 ,
5 13 6 此 时f ( x ) ? x 2 ? x ? . 5 5 13 6 2 令f ( x ) ? 0, 即x ? x ? ? 0, 5 5 5

解之得x= ? 2 或x=3.
1 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故a≠ ? 5 1 综上所述,a< ? 5 或a>1.

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.函数零点的判定常用的方法有:①零点存在性定 理;②数形结合;③解方程f(x)=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解,实质就是研究G(x)= f(x)-g(x)的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其

实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在
的范围,当达到一定的精确度要求时,所得区间的 任一点就是这个函数零点的近似值.

失误与防范
1.对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫
做函数的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个 实数时,其函数值等于零. (2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点

的横坐标.
(3)一般我们只讨论函数的实数零点. (4)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.

2.对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在[a,b]上连续; (2)f(a)·f(b)<0; (3)在(a,b)内存在零点. 事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.

定时检测
一、选择题 1.设f(x)=3x-x2,则在下列区间中,使函数f(x)有零点 的区间是 A.[0,1] B.[1,2] ( D )

C.[-2,-1]
解析 f(0)=30-02=1>0, ∴f(-1)·f(0)<0,

D.[-1,0]

∵f(-1)=3-1-(-1)2=

1 2 ? 1 ? ? ? 0, 3 3

∴有零点的区间是[-1,0].

2.(2009·天津理,4)设函数 f ( x) ? 则 y = f ( x) A.在区间 ( 1 ,1), (1,e)内均有零点

1 x ? ln x (x>0), 3
( )

e B.在区间 ( 1 ,1), (1,e)内均无零点 e C.在区间 ( 1 ,1) 内有零点,在区间(1,e)内无零点 e D.在区间 ( 1 ,1) 内无零点,在区间(1,e)内有零点 e

解析

因为 f ( ) ? f (1)

1 e

1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ln ) ? ( ? ln 1) ? ( ? 1) ? 0, 3 e e 3 3 3e 1 因此f(x)在 ( ,1) 内无零点. e 1 1 e? 3 又f (1) ? f (e) ? ( ?1 ? ln 1) ? ( e? ln e) ? ? 0. 3 3 9
因此f(x)在(1,e)内有零点. 答案 D

3.(2009·福建文,11)若函数f(x)的零点与

g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则
f(x)可以是 A.f(x)=4x-1 C.f(x)=ex-1 解析 B.f(x)=(x-1)2
1 D. f ( x) ? ln( x ? ) 2





∵g(x)=4x+2x-2在R上连续且

1 1 3 1 g ( ) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 0, g ( ) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0. 4 2 2 2 1 1 设g(x)=4x+2x-2的零点为x0,则 ? x0 ? , 4 2

1 1 1 1 0 ? x0 ? ? ,?| x0 ? |? . 4 4 4 4 1 x ? ; 又f(x)=4x-1零点为 4 f(x)=(x-1)2零点为x=1;

f(x)=ex-1零点为x=0; 1 3 f ( x) ? ln( x ? ) 零点为 x ? . 2 2 答案 A

4.方程|x2-2x|=a2+1(a∈R+)的解的个数是 ( B ) A.1 解析 B.2 C.3 D.4 ∵a∈R+,∴a2+1>1.

而y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1 的图象总有两个交点.

∴方程有两解.

5.方程|x|(x-1)-k=0有三个不相等的实根,则k的取
值范围是
1 A. (? ,0) 4 1 C.(? ,?? ) 4




1 B. (0, ) 4 1 D.(?? , ) 4

解析

本题研究方程根的个数问题,此类问题首选

的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题,其 次是直接求出所有的根.本题显然考虑第一种方法.

如图,作出函数y=|x|·(x-1)的 1 图象,由图象知当k∈ (? ,0)时, 4 函数y=k与y=|x|(x-1)有3个不同的 交点,即方程有3个实根.

答案

A

6.设f(x)=x3+bx+c (b>0)(-1≤x≤1),且

1 1 f (? ) ? f ( ) ? 0, 则方程f(x)=0在[-1,1]内( C ) 2 2 A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根
C.有唯一的实数根 D.没有实数根

解析

∵f(x)=x3+bx+c (b>0),

∴f′(x)=3x2+b>0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数, 1 1 又∵ f (? ) ? f ( ) ? 0, 2 2 1 1 ∴f(x)在 ( ? , ) 内存在唯一零点. 2 2

二、填空题

7.若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数 1 1 ? ,? 2 g(x)=bx -ax-1的零点是________. 2 3
2 ? 2 ? 2a ? b ? 0, ?a ? 5 解析 由? 得? . ? 2 ? ?3 ? 3a ? b ? 0, ?b ? ?6 1 1 ∴g(x)=-6x2-5x-1的零点为 ? ,? . 2 3

8.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式 3 ? ? x | ? ? x ? 1 . ? ? af(-2x)>0的解集是________________. 2 ? ? 解析 ∵f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2,3.

∴-2,3是方程x2+ax+b=0的两根,

? 2 ? 3 ? ?a ?a ? ?1 由根与系数的关系知 ? ,? ? , ? ?? 2 ? 3 ? b ?b ? ?6 ∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0,
即-(4x2+2x-6)>0 ? 2x2+x-3<0,

3 ? 解集为 ? ? x | ? ? x ? 1?. 2 ? ?

9.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示,今考虑f(x)= x(x-1)(x+1)+0.01,则方程f(x)=0

①有三个实根;
②当x<-1时,恰有一实根(有一 实根且仅有一实根);

③当-1<x<0时,恰有一实根;
④当0<x<1时,恰有一实根; ⑤当x>1时,恰有一实根. 则正确结论的编号为___________.

解析

∵f(-2)=-2×(-3)×(-1)+0.01=-5.99<0,

f(-1)=0.01>0,即f(-2)·f(-1)<0,

∴在(-2,-1)内有一个实根.
由图中知:方程f(x)=0在(-∞,-1)上,只有一个实根, 所以②正确. 又∵f(0)=0.01>0,由图知f(x)=0在(-1,0)上没有实数 根,所以③不正确.

又∵f(0.5)=0.5×(-0.5)×1.5+0.01=-0.365<0,
f(1)=0.01>0,即f(0.5)f(1)<0,所以f(x)=0. 在(0.5,1)上必有一个实根,且f(0)·f(0.5)<0,

∴f(x)=0在(0,0.5)上也有一个实根. ∴f(x)=0在(0,1)上有两个实根,④不正确.

由f(1)>0且f(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴f(x)>0,f(x)=0在(1,+∞)上没有实根. ∴⑤不正确.并且由此可知①也正确. 答案 ①②

三、解答题

10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点,求
m的取值范围,并求出该零点. 解 ∵f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点, 即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根. 设2x=t (t>0),则t2+mt+1=0.

当Δ =0,即m2-4=0,
∴m=-2时,t=1;m=2时,t=-1不合题意,舍去, ∴2x=1,x=0符合题意.

当Δ >0,即m>2或m<-2时, t2+mt+1=0有两正或两负根, 即f(x)有两个零点或没有零点. ∴这种情况不符合题意.

综上可知:m=-2时,f(x)有唯一零点,该零点为x=0.

11.关于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上
有解,求实数m的取值范围. 解 设f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若f(x)=0在区间[0,2]上有一解, ∵f(0)=1>0,则应有f(2)≤0, 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,

3 ∴ m≤ ? . 2

②若f(x)=0在区间[0,2]上有两解,则

?? ? 0 2 ? ( m ? 1 ) ?4?0 ? m ?1 ? ? ? 2,? ?? 3 ? m ? 1 . ?0 ? ? 2 ? ?4 ? (m ? 1) ? 2 ? 1 ? 0 ? ? ? f (2) ? 0 ? ?m ? 3或m ? ?1 3 ? ? ?? 3 ? m ? 1 ,? ? ? m ? ?1, 2 ? 3 ?m ? ? 2 ?
由①②可知m≤-1.

12.已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数

y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=0时,f(x)=2x-3.

令2x-3=0,得x=

∴f(x)在[-1,1]上无零点,故a≠0. (2)当a>0时,f(x)=2ax2+2x1 3-a的对称轴为 x ? ? . 2a

3 [-1,1] ? 2

1 1 ①当 ? ≤-1,即0<a≤ 时, 2 2a f (?1) ? 0 ?a ? 5 须使 ? ? f (1) ? 0 即?a ? 1. ? ?

∴a

?.

1 1 ②当-1< ? <0,即a> 时, 2 2a 1 ? ? 1 f (? ) ? 0 ? ? ? 3? a ? 0 须使 ? 即 . ? ? 2a 2a ? ? ? f (1) ? 0 ?a ? 1 解得a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞).

(3)当a<0时, 1 1 ①当0< ? ≤1,即a≤ ? 时, 2a 2
? f (?1) ? 0 ? 须有 ? , 1 f (? ) ? 0 ? 2a ? ?a ? 5 ? 即? 1 , ? ? 3? a ? 0 ? ? 2a ? 3? 7 ? 3? 7 解 得: a ? 或 ? a ? 5, 2 2 1 又a≤ ? , 2 ∴a的取值范围是 (??, ? 3 ? 7 ].

2

②当 ? 1 >1,即 ? 1 <a<0时, 2a 2

? f (?1) ? 0 ?a ? 5 须有 ? , 即? ? f (1) ? 0 ?a ? 1 ∴a的解集为 ? .
综上所述,a的取值范围是 (??, ? 3 ? 7 ] ? [1,??).

2

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