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2015届5月六校数学终卷


2015 届苏州六校联考 数学试题 2015.5

1 ? ? 0, , 3 ? , B ? x x 2 ≥1 ,则 A B ? 1、设集合 A ? ? ?1 , . 2 ? ? 2、已知复数 z ? a ? 3i(i 为虚数单位, a ? 0 ) ,若 z 2 是纯虚数,则 a 的值为 . 3、为了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名高三

男生的体重. 根据抽 样测量后的男生体重(单位: kg )数据绘制的频率分布直方图如图所示,则这 100 名学生 中体重值在区间[56.5,64.5)的人数是 . 一、 T←1 二、 I←3 三、 四、 While I<50 五、 T←T +I 六、 I←I +2 七、 End While 八、

?

?

Print

T

4、运行如图语句,则输出的结果 T ? . 5、抛两枚骰子,得到的点数相差 2 的概率为
2 0

. .

6、已知命题: “ ?x0 ? R , x ? ax0 ? 4a ? 0 ”为假命题,则 a 的范围是

7、已知等差数列 ?an ? 的首项为 1,公差为 2,前 n 项和为 Sn ,若 Sk ? ak ?4 ? 8 ( k ? N? ),则
k 的值为 . 8、已知 f ( x) ? sin(3x ? ? ) , ? ? (0, π ) ,若 f ( x ? ? ) ? f ( x ? ? ) 对一切实数 x 恒成立,则 f (? ) ? .

9、一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为

16 ,则它的表面积为________. 3
D

?ABD ? 45 , ?CBA ? 60 , D 在圆 O 上, 10、 如图, 点 C、 AB 是圆 O 的直径,

CD ? xOA ? yBC ,则 x ? y 的值为
11、双曲线 C :


A O C B

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 a 2 b2
3

A、B 两点,公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为 . 12 、已知 f ( x) ? (m ? 3) x ? 9 x 在区间 ?1,2 ? 上的最大值为 4 ,则 m 的值 为 . 13、已知 a ? 0, b ? 0 ,

1 2 ? ? 4 , (2a ? b)2 ? 8a3b3 ,则 loga b ? a b



14、已知集合 A ? {( x, y) | ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 , r ? 0, x, y ? R} ,集合

若 A 中存在元素 M , N , B 中存在 B ? {( x, y) | ? 1 ? ( x ? 1)2 ? y ? 1 ? x2 , x, y ? R}, A B ? ? , 元素 P ,使得 ?MPN ? 60? ,则实数 r 的取值范围是 . 15、 (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,点 B 在第二象限内,直线 AB 的倾斜角
3? ? ? 3? ? ,OB=2,设 ?AOB ? ? ,? ? ? , ? . 4 ?2 4 ? (1)用 ? 表示 OA ; (2)求 OA OB 的最小值.



16、 (本题满分 14 分) 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC ? CA ? 2 , D, E 分别是棱 A1 B1 , AA1 的中点,点 F 在 1 棱 AB 上,且 AF ? AB . A1 4 D (1)求证: EF / / 平面 BDC1 ; (2)若 DE ? C1 B ,求侧棱 AA1 的长.
E B1

C1

A F B

C

17、 (本题 14 分) 为响应新农村建设,某村计划对现有旧水渠进行改造,已知旧水渠的横断面是一段抛物线 弧(如图) ,渠宽为 4 米,渠深为 2 米, (1)考虑到农村耕地面积的减少,为节约水资源,要减少水渠的过水量,在原水渠内填 土,使其成为横断面为等腰梯形的新水渠,新水渠底面和地面平行(不改变渠宽) ,问新 水渠底宽为多少时,所填土的土方量最少? (2)考虑到新建果园的灌溉需求,要增加水渠的过水量,需把旧水渠改挖(不能填土) 成横断面为等腰梯形的新水渠,使水渠的底面和地面平行 4 (不改变渠深) ,要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠 改挖后的底宽,并求出这个底宽 18、 (本题 16 分)

x2 ? y 2 ? 1的 在平面直角坐标系 xOy 中,A、B 分别是椭圆 4 左右顶点,P(2, t )(t ? R, t ? 0) 为直线 x ? 2 上一动点, 过点
P 任意引一直线 l 与椭圆交于 C、D,连接 PO,分别交 AC 和 AD 于 E、F. (1) 当直线 l 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点时, 求 t 的值; (2)记直线 AC、AD 的斜率分别为 k1 和 k2. ①若 t ? ?1 ,求证:

1 1 ? 为定值; k1 k2

②求证:四边形 AFBE 为平行四边形.

19、 (本题 16 分) 设 k ? R ,函数 f ( x) ? ex ? (1 ? x ? kx2 ) (1)若 k ? 1 ,求函数 f ( x ) 的导函数 f '( x) 的极小值; (2)若对任意给定的常数 t (t ? 0) ,存在 s ? 0 ,使得当 x ? (0, s ) 时,都有 f ( x) ? tx2 , 求实数 k 的取值范围(用 t 表示)

20、 (本题 16 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? k , an?1 ? 列 {bn } 满足 bn ?

an?1an ? k (n ? 3, n ? N ? ) ,其中 k ? 0 ,数 an?2

an ? an? 2 (n ? N ? ) . an?1

(1)求 b1 , b2 , b3 , b4 ; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)是否存在正数 k ,使得数列 {an } 的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如 果存在,求出所有的 k .

2015 届苏州六校联考 数学试题答案 2015.5
8?8 3

1、{-1,3} 10、 ? 15、

2、3

3、40

4、625

5、 6、

7、5 8、

9、

3 3

11、 2 ? 1

12、-2 13、-1

14、 10 ? 1 ? r ? 10 ? 1 或 r ? 5 ? 1 ; 2

OA 2 ? 3? ? ? ,由正弦定理得: 3? ? 解:⑴在 ?ABC 中, ?AOB ? ? ,??B ? sin( ? ? ) sin 4 4 4
? OA ? 2(cos? ? sin ? ) ? 2 2 sin(? ? ) 4

?

?????6 分

2 ⑵ OA OB ? 2 2 sin(? ? ) ? 2 ? cos? ? 4(cos ? ? sin ? ? cos? ) ? 2(1 ? cos 2? ) ? 2sin 2? 4

?

? 2 2 sin(2? ? ) ? 2 ?????10 分 4 ? 3? ? 5? 7? ? ? ( , ) ? 2? ? ? ( , ) ?(OA OB)min ? 2 ? 2 2 ?????14 分 2 4 4 4 4 1 AB , 4 ? F 为 AM 的中点,又 E 为 AA1 的中点,? EF / / A1M , 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别是 A1 B1 , AB 的中点, ? A1 D / / BM ,且 A1 D ? BM ,则 A1 DBM 为平行四边形, ? A1M / / BD , ? EF / / BD ,又 EF ? 面 BDC1 , BD ? 面 BDC1 ,

?

16、解: (1)证明:取 AB 的中点 M ,

AF ?

∴ EF / / 面 BDC1 . ?????7 分 (2)∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱,∴ AB ? BC ? AC , AA1 ? 平面 A1B1C1 ∴ C1 D ? 平面 A1B1C1 ,∴ C1 D ? AA1 ∵ D 是棱 A1 B1 的中点, ∴ C1 D ? A1 B1 ,且 AA1 A1 B1 ? A1 , AA1 , A1 B1 ? 平面 A1 B1 BA ∴ C1 D ? 平面 A1 B1 BA ,又 DE ? 平面 A1 B1 BA ∴ C1 D ? DE ,∵ DE ? C1 B ,且 C1 B C1 D ? C1 , C1B, C1D ? 平面 BDC1 ∴ DE ? 平面 BDC1 ,又 BD ? 平面 BDC1 , ∴ DE ? BD ,∴ ?A1 DE ? ?B1 BD 1 1 AA1 A1 B1 2 在 Rt ?A1 DE, Rt ?B1 DE 中, tan ?A1 DE ? , tan ?B1 BD ? 2 1 BB1 A1 B1 2 1 1 AA1 A1 B1 ∴ 2 ?????14 分 ?2 ? AA1 ? 2 . 1 BB1 A1 B1 2 17、 18、 19、 (1)解: f ( x) ? e ? (1 ? x ? x )
x 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2x ?????1 分 f ''( x) ? e x ? 2 ? 0 ?????2 分 ? f '( x) 在 (??,ln 2) 上递减,在 (ln 2, ??) 上递增?????4 分 ?????6 分 ? f '( x) 的极小值为 f '(ln 2) ? 1 ? 2ln 2 2 x 2 2 (2)解: F ( x) ? f ( x) ? tx ? e ?1 ? x ? kx ? tx ? 0 ( x ? 0 )
????? 8 分 F '( x) ? ex ?1 ? 2kx ? 2tx , F ''( x) ? ex ? (2k ? 2t ) ①当 2k ? 2t ? 1 时, F ''( x) ? 0 在 (0, ??) 成立,? F '( x) 在 (0, ??) 递增 又 F '(0) ? 0 ,? F '( x) ? 0 在 (0, ??) 成立,? F ( x) 在 (0, ??) 递增 又 F (0) ? 0 ,? F ( x) ? 0 在 (0, ??) 成立,? 不存在 s ?????10 分

②当 2k ? 2t ? 1 时, F '( x) 在 (??,ln(2k ? 2t )) 递减,在 (ln(2k ? 2t ), ??) 递增。 记 m ? 2k ? 2t ? 1 , F '(ln m) ? eln m ?1 ? m ln m ? m ?1 ? m ln m ? g (m) g '(m) ? ? ln m ? 0 ,? g (m) 在 (1, ??) 递减, g (1) ? 0 ,? g (m) ? F '(ln m) ? 0 , 又 F '(0) ? 0 ,? F '( x) ? 0 在 (0, ln m) 成立,又 F (0) ? 0 ? F ( x) ? 0 在 (0, ln m) 成立, 即当 2k ? 2t ? 1 时,存在 s ? ln(2k ? 2t ) ,使得在 (0, s ) 上满足 F ( x) ? 0 ?????14 分 又

t 为任意给定的正数,? k ?

1 ? 2t 1 ,? k ? ? t ?????16 分 2 2

20、解: (1)经过计算可知: a4 ? k ? 1, a5 ? k ? 2,

k ? a4 a5 k ? (k ? 1)(k ? 2) 2 ? ? k ?4? . a3 k k 2k ? 1 求得 b1 ? b3 ? 2, b2 ? b4 ? .????????????????4 分 k (2)由条件可知, an?1an?2 ? k ? an an?1 .????① a6 ?
类似地有 an?2 an?1 ? k ? an?1an .????② 则有 an?1an?2 ? an?2 an?1 ? an an?1 ? an?1an . 即 an?1an?2 ? an?1an ? an an?1 ? an?2an?1 . 因此

an ? an ? 2 an ?2 ? an ? an?1 an?1 a1 ? a3 ?2 a2 a ?a 2k ? 1 ? b2 ? 2 4 ? a3 k ? b1 ?

?????6 分

即 bn ? bn ?2 , 故 b2 n ?1 ? b2 n ?3 ?

b2 n ? b2 n?2 ?
所以 bn ?

4k ? 1 (?1) n ? (n ? N *) . ????????8 分 2k 2k (3 )假设存在正数 k ,使得数列 ?an ? 的每一项均为整数.

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? (n ? 1, 2,3, ) 则由(2)可知 ? 2k ? 1 a ? a ? a 2n?2 2 n ?1 2n ? k ? 2 由 a1 ? k ? Z ,及 a6 ? k ? 4 ? ? Z 可知 k ? 1或2 . ?????10 分 k ? a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ?3 ? 4a2 n ?1 ? a2 n ?1 当 k ? 1 时, ? ,即 ? ?????12 分 ? a2 n ? 2 ? 3a2 n ?1 ? a2 n ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ?1

a1 ? a3 ? 1,即 a1 , a3 都奇数,

? 由 a2n?3 ? 4a2n?1 ? a2n?1 得 a2n?1 (n ? N ? ) 为奇数;
则由 2a2n ? a2n?1 ? a2n?1 得 a2n (n ? N ? ) 为整数,所以 an (n ? N ? ) 整数.??????14 分

? a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ?3 ? 3a2 n ?1 ? a2 n ?1 ? 当 k ? 2 时, ? ,即 ? , 5 2 a ? a ? a a ? a ? a 2 n 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ? 2 2 n ? 1 2 n ? ? 2 a1 ? a3 ? 2 ,即 a1 , a3 都偶数,
? 由 a2n?3 ? 4a2n?1 ? a2n?1 得 a2n?1 (n ? N ? ) 为偶数;
则由 2a2n ? a2n?1 ? a2n?1 得 a2n (n ? N ? ) 为整数,所以 an (n ? N ? ) 整数. 故数列 ?an ? 是整数列. 综上所述, k 的取值集合是 ?1, 2? .??????????????16 分

2015 届苏州六校联考 数学附加题试题 2015.5

21B、 (本题满分10分) (矩阵及其变换) 设矩阵 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到3倍,纵坐标伸长到2倍的伸压变换矩阵. (1)求逆矩阵 M
2
?1


2

(2)求椭圆

x y ? ? 1 在矩阵 M ?1 作用下变换得到的新曲线的方程. 9 4

21C、 (本题满分 10 分) (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,圆 C 是以点 C (2, ? ) 为圆心, 2 为半径的圆. 6 (1)求圆 C 的极坐标方程; 5? (2)求圆 C 被直线 l : ? ? ? 所截得的弦长. 12

?

22、 (本题满分 10 分) 如图,已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=2,OB=3,OC=4,E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-BE-C 的余弦值.

23、 (本题满分 10 分) 若一个正实数能写成 n ? 1 ? n (n ? N ? ) 的形式,则称其为“兄弟数”. 求证: (1)若 x 为“兄弟数”,则 x 2 也为“兄弟数”; (2)若 x 为“兄弟数”, k 是给定的正奇数,则 x k 也为“兄弟数”.

2015 届苏州六校联考 数学附加题答案
21B(矩阵及其变换)

2015.5

?1 ?3 ?1 (1)解: (1) M ? ? ?0 ? ?
2 2

? 0? ?, 1? 2? ?

????4 分

?1 ?3 x y ? ? 1 上的一点 P( x0 , y0 ) ,它在矩阵 M ?1 ? ? (2)任意选取椭圆 9 4 ?0 ? ? ' ' 换下变为 P '( x0 , y0 ) , ?1 ?3 则有 ? ?0 ? ? ? 0? ' ' ? ? ? x0 ? ? x0 ? x0 ? 3 x0 ? ? ? ? ' ? ,故 ? ' 1? ? ? ? y0 ? ? y0 ? ? y0 ? 2 y0 ? 2?

? 0? ? 对应的变 1? 2? ?

'2 '2 2 2 x0 y0 9 x0 4 y0 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ,因此 又因为点 P 在椭圆 上,所以 ,即有 9 4 9 4 9 4 '2 '2 x0 ? y0 ?1

从而椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1 9 4

??10分

21C(坐标系与参数方程) (1) ? ? 4 cos(? ?

?
6

) (5 分)

(2) 2 2 (10 分)

22、 解: (1)以 O 为原点,OB,OC,OA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系…1 分 则有 A(0,0,2) ,B(3,0,0) ,C(0,4,0) ,E(0,2,0) .

BE ? (? 3,,), 2 0 AC ? (0,, 4 ? 2)

4 65 . 65 13 ? 20 65 由于异面直线 BE 与 AC 所成的角是锐角, 4 65 所以,异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值是 . 65 (2) AB ? (3,, 0 ? 2) , AE ? (0,, 2 ? 2) , 设平面 ABE 的法向量为 n1 ? ( x,y,z ) ,

所以,cos< EB, AC > ?

8

?

4

?

……………………3 分

……………………4 分

? 3x ? 2 z ? 0, 则由 n1 ? AB , n1 ? AE ,得 ? , ?2 y ? 2 z ? 0. 取 n1 ? (2,, 3 3) ,……6 分 又因为 OA ? 面OBC 所以平面 BEC 的一个法向量为 n2=(0,0,1) , n1 ? n2 3 3 22 ? ? 所以 cos ? n1,n2 ?? . ……………………8 分 | n1 | ? | n2 | 22 22 由于二面角 A-BE-C 的平面角是 n1 与 n2 的夹角的补角, 3 22 所以,二面角 A-BE-C 的余弦值是 ? .……………………10 分 22

若一个正实数能写成 n ? 1 ? n (n ? N ? ) 的形式,则称其为“兄弟数”. 求证: (1)若 x 为“兄弟数”,则 x 2 也为“兄弟数”; (2)若 x 为“兄弟数”, k 是给定的正奇数,则 x k 也为“兄弟数”. 23、 (1)设 x ? n ? 1 ? n (n ? N *) , 则 x2 ? 2n ? 1 ? 2 n(n ? 1) ? 4n2 ? 4n ? 1 ? 4n2 ? 4n ,是“兄弟数”……3 分 (2)设 x ? n ? 1 ? n , y ? n ? 1 ? n (n ? N *) ,则 xy ? 1
k i k ?i i k i k ?i i 而 x ? ?Ck ( n ? 1) ( n ) , y ? ?Ck ( n ? 1) (? n ) i ?0 i ?0 k k i k ?i i i k ?i i 故 x ? y ? ?Ck ( n ? 1) ( n ) ? ?Ck ( n ? 1) (? n ) i ?0 i ?0 k k k k

? 2[Ck0 ( n ? 1)k ? Ck2 ( n ? 1) k ?2 ? n ? Ck4 ( n ? 1) k ?4 ? n 2 ?

? Ckk ?1 n ? 1 ? n

k ?1 2

],

不妨记 x ? y ? 2a n ? 1, a ? N *
k k

k k i k ?i i i k ?i i 同理,由 x ? y ? ?Ck ( n ? 1) ( n ) ? ?Ck ( n ? 1) (? n ) , i ?0 i ?0

k

k

不妨记

xk ? y k ? 2b n , b ? N *

进而, 2 xk ? 4a2 (n ? 1) ? 4b2n ,即 xk ? a2 (n ? 1) ? b2n 又 4a 2 (n ? 1) ? 4b2n ? ( x k ? y k )2 ? ( x k ? y k )2 ? 4 x k y k ? 4 ,故 a 2 (n ? 1) ? b2n ? 1
k 2 2 因此 x ? b n ? 1 ? b n 亦为“兄弟数”. ……10 分


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