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《三角函数图象变换》专项训练


《函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象》专项训练
1. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? 最小正值为 A.

π ) 的图象向右平移 ? 个单位, 得到的图象关于原点对称, 则? 的 3
( )

π 6

B.

π 3

C.

5π 12

D.

7π 12
( )

2.要得到函数 y ? sin x 的图像,只需将函数 y ? cos x 的图象 ? ? A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 2 2 C.向右平移 ? 个单位 D.向左平移 ? 个单位 3.将函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图像沿 x 轴向右平移 一个可能取值为 A. ?

? 后,得到的图像关于原点对称,则 ? 的 6
( )

?
3

? B. 6
? 3

4.为了得到函数 y ? cos(2 x ? A.向右平移

?
6

? C. 3
? 6
? 3

5? D. 6
( )

) 的图像,可以将函数 y ? sin 2 x 的图像
C.向左平移 D.向左平移

B.向右平移

? 6
( )

5.函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象可由函数 y ? cos 2 x 的图象

π 3

5π 而得到 12 π C.向左平移 而得到 12
A.向左平移 则 ? 的值可能是 A.

B.向右平移

5π 而得到 12 π D.向右平移 而得到 12

6.若函数 y ? cos?x ( ? ? 0 )的图象向右平移

? 个单位后与函数 y ? sin ? x 的图象重合, 6 ( )

1 2

B.1

C.3

D.4

7.将函数 y ? 2sin ? ? x ?

两个图象的对称轴重合,则 ? 的最小值为

? ?

??

? ? ( ? ? 0 )的图象分别向左.向右各平移 4 个单位后,所得的 4?
( ) D. 4

1 A. 2

B. 1

C. 2

? 8.函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 | ? |? )的图象如图所
所有点( )

2 示,为了得到 y ? sin ?x 的图象,只需把 y ? f ( x) 的图象上

? 个单位长度 6 ? (C)向右平移 个单位长度 6
(A)向左平移

? 个单位长度 12 ? (D)向左平移 个单位长度 12
(B)向右平移

答案第 1 页,总 11 页

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9.函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

? ( x ?R, ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 的图象, 3?

只需将函数 g ? x ? ? sin ? ?x ?

? 个单位长度 2 ? (C)向左平移 个单位长度 4 ?
(A)向左平移 原点,则 ? 的最小值为 ? ? A. B. 12 6

? 个单位长度 2 ? (D)向右平移 个单位长度 4 10.将函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位长度,得到的曲线经过
(B)向右平移

? ?

??

? 的图象 3?





3





? D. 3 ? 11. 将函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? 的图象向左平移 个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对 8 称,则 ? 的一个可能取值为 ( ) 3? ? ? A. B. C. 0 D. ? 4 4 4 ? 12.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? )的部分图像如 2
图所示,则 y ? f ( x) 的图象可由 y ? cos 2 x 的图象( )

? C. 4

? 个长度单位 3 ? C.向右平移 个长度单位 6 ?
A.向右平移 13.将函数 y ? sin(2 x ? 奇函数,则 ? 的最小值为 A.

? 个长度单位 3 ? D.向左平移 个长度单位 6
B.向左平移

3

) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位后,所得到的图象对应的函数为
( D. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

14.要得到函数 y ? cos( A.向右平移

?
3

5? 6
( )

? 2 x) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象

? 个长度单位 6 ? C.向左平移 个长度单位 6
二、填空题

? 个长度单位 12 ? D.向左平移 个长度单位 12
B.向右平移

15.将 y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位( ? ? 0 ) ,使得平移后的图像过点 ( 的最小值为 .

?
3

,

3 ), 则 ? 2

16.将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? )(? ? 0) 的图象,向左平移

π 3

π 个单位,得到 y ? g ( x) 函数 3?


的图象.若 y ? g ( x) 在 [0, ] 上为增函数,则 ? 的最大值为
答案第 2 页,总 11 页

π 4

17.关于函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ① f ( x ) 的最小正周期是 ? ; ② f ( x ) 在区间 [ ?

?
6

) 下列结论:

? ?

? , 0) 成中心对称图形; 12 5? ④将函数 f ( x ) 的图象向左平移 个单位后与 y ? ?2sin 2 x 的图象重合; 12
③函数 f ( x ) 的图象关于点 ( 其中成立的结论序号为 18.已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? 图象如图所示,则 ? 的值为 19.将函数 f ( x) ? sin( 3 x ? .

, ] 上单调递增; 6 6

? ?

? ?? ? ( ? ? 0 , 0 ? ? ? )的部分
6?
2


) 图像向左平移 m( m ? 0 )个单位后所对 4 应的函数是偶函数,则 m 的最小值是 . ( A ? 0 ? ? 0 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) 20.函数 , , 0 ? ? ? 2?) 在 R 上的部分图像如图所示,
则 f (2014) ? .

?

21.已知把函数 g ( x) ? 2 sin 2 x 的图像向右平移

? 个单位,在向上平移一个单位得到函数 6

f ( x) 的图像. (1)求 f ( x ) 的最小值及取最小值时 x 的集合;
(2)求 f ( x ) 在 x ? [0,

?
2

] 时的值域; (3)若 ? ( x) ? f (? x) ,求 ? ( x) 的单调增区间。

22.已知函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ),(0 ? ? ? ? ) 的图像过点 (

?
6

,1) .

(1)求 ? 的值; (2) 将函数 y ? f ( x) 图像上各点的横坐标变为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在 [ 0,

? ] 上的最大值和最小值. 2
答案第 3 页,总 11 页

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23.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

) 的图象在 y 轴上的截距为 1 ,它

在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 ( x0 , 2) 和 ( x0 ? 3? , ?2) , (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 的单调减区间。

参考答案 1.A 【解析】

π ) 的图像是由关于原点对称的函数 y = sin 2 x 的图像 3 p π π 向左平移 得到的,故需要所给的函数图像向右平移 得到,故 ? 的最小正值为 ,故选 6 6 6
试题分析:因为函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. 考点:函数的图像的平移变换. 2.A 【解析】 试题分析:因为 cos ? x ?

? ?

??

?? ? ? ? cos ? ? x ? ? sin x ,所以要得到函数 y ? sin x 的图像,只需 2? ?2 ?
? 个单位 2

将函数 y ? cos x 的图象向右平移 考点:图像的平移,诱导公式 3.D 【解析】

试 题 分 析 : 将 函 数 y ? cos(2 x ? ? ) 的 图 像 沿

x 轴向右平移

y ? cos[2( x ? ) ? ? ] ? cos(2 x ? ? ? ) 的 图 像 , 由 于 图 象 关 于 原 点 对 称 , 所 以 6 3 ? ? 5? 5? ? ?? ? ? k ?, ? ? k ?? (k ? Z) ,取 k ? 0 得 ? ? ,选 D. 3 2 6 6
考点:三角函数的图象. 4.D 【解析】 试 题 分 析 : y ? cos(2 x ?

?

?

? 后 , 得 6

?

) ? sin( ? 2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? sin 2( x ? ) , 所 以 将 6 2 6 3 6
答案第 4 页,总 11 页

?

?

?

?

y ? sin 2 x 的图象向左平移

? ? 可得 y ? cos(2 x ? ) 的图象. 6 6

考点:三角函数图象的变换. 5.B 【解析】 试 题 分 析 : 把 函 数 y ? c o sx2 ? s i ? n x2 ?

? ?

??

5π ? 的 图 象 向 右 平 移 12 而 得 到 2?

? y ?s i ? n ?

5? ? ?? ? ? 2x? ?? ? ? 1 2? 2 ? ?

? ? ? s i n? x 2? ,故答案为 B. ? ? ?3

考点:函数图象的平移. 6.C 【解析】 试 题 分 析 : 将 y ? c o? sx ? s i ?n ? ?x ? 图 象 向 右 平 移

?? ?2

? ?

? 个 单 位 后 得 到 6

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2k? , y ? sin ? ? ?? x ? ?? ? sin? ?x ? ? ? 图象与 y ? sin ?x 重合, 2 6 2 6 ? 6 ?? ? ? ?2
得 ? ? 3 ? 12 k ,当 k ? 0 时, ? ? 3 ,故答案为 C. 考点:1、诱导公式的应用;2、函数图象的平移. 7.C 【解析】 试题分析:将函数 y ? 2sin ? ? x ? 解析式为 y ? 2

? ?

??

? ? ( ? ? 0 )的图象向左平移 4 个单位后,所得图像的 4?

2 sin[?(x ?

?
4

)?

?
4

] ? 2 sin(? x ?

? ?1
4

?? ? ? ), 将函数 y ? 2sin ? ? x ? ?( ? ? 0 ) 4? ?

的 图 象 向 右 平 移

? 个 单 位 后 , 所 得 图 像 的 解 析 式 为 4
] ? 2 sin(? x ?

y ? 2 sin[?(x ?

?
4

)?

?
4

? ?1
2

? ),由于所得的两个图象的对称轴

重合,则 ? x ?

? ?1
2

? ? ?x ?

? ?1
2

?

①,或 ? x ?

? ?1
2

? ? ?x ?

?

? ?1
2

? k ? ,k ? z

②,解①得 ? =0 不合题意,解②得:? ? 2k ,k ? z ,则 ? 的

最小值为 2,故选 C
答案第 5 页,总 11 页

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考点:1.三角函数图象的平移;2.三角函数图象的对称; 8.C 【解析】 试题分析: 由图可知 合 | ? |?

?
2

T 7? ? 2? ? ? ? ? T ? ? 则? ? ? 2 ,又 sin(2? ? ? ) ? 0 ,结 4 12 3 ? 3

可知

??

?
3

? , 即 f ( x)

s( i 2n? x

?
3

) , 为 了 得 到 y ? sin 2 x 的 图 象 , 只 需 把

? ? ? ? ? ?? y ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin ?2 ? x ? ?? 的图象上所有点向右平移 个单位长度 6 3 6 ?? ? ?
考点: 三角函数的图像及其性质 9.C 【解析】 试题分析:先由周期求得 ? ,再利用诱导公式、函数 y ? Acos 的图象变换规律, (? x ? ?) 可得结论. 由 于





f(x)















??

2?

, ?? ? 2,( f x) ? cos (2 x ? ), ?g (x) ? sin (? x ? ) ? sin (2 x ? ) ? cos (2 x ? ? ) ? cos (2 x ? ? 3 3 3 3 2
g(x) 的 图 象 向 左 平 移

?

?

?

?

?

把 函 数

? 4

个 单 位 长 度 , 可 得

? ?? ? ? 的图象,故选:C. y ? cos ?( 2 x? ) ? ? ? cos (2 x ? ) ?( f x) 4 6? 3 ?
考点:函数 y ? Asin 的图象变换 (? x ? ?) 10.D 【解析】

? 试题分析:函数 f ( x ) 的图象在 y 轴左边与 x 轴相交的第一个交点为 ( ? , 0) ,因此最少向
? 右平移 个单位,图象过原点,选 D. 3
考点:三角函数图形的平移. 11.B 【解析】 试题分析:由题设知 f ?

3

?? ? ?? ? ? ? ?1 ,即 sin ? ? ? ? ? ?1 ?8? ?4 ?

当? ?

3? ?? ? ? ? 3? ? 时, sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? ? 0 4 ?4 ? ?4 4 ?

答案第 6 页,总 11 页

当? ?

?
4

时, sin ?

? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin ? 1 2 ?4 ? ?4 4?

当 ? ? 0 时, sin ?

? 2 ?? ? ? ? ? ? sin ? 4 2 ?4 ?
?? ? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? sin 0 ? 0 ?4 ? ?4 4?

当? ? ?

?
4

时, sin ?

故选 B. 考点:三角函数的图象. 12.A 【解析】 试题分析:由图可得 T ? 4?

?
4

?

2?

? ?

? 2

, 故

2? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 2 6

? ? ? 2 , f ( ) ? sin( 2 ? ? ? ) ? 1 , 注 意 到 ? 3 3
, 所 以

?

?

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

? s 2 i2 xn? ( ) ? s i2(n x ?( ) ? ) y ? c o xs 2 3 6
,所以 y ? cos 2 x 的图象向右平移 考点:三角函数的图象与性质 13.A 【解析】

?

?

?

6

)

, 而

? 个长度单位即可得到 y ? f ( x) 的图象 3

试题分析:将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象向左平移 ? (? ? 0) 个单位后,所得到的图象对应的

?

3

函 数 解 析 式 为 y ? sin(2 ? x ? ? ? ? ) , 再 由 y ? s i n ( 2? ? ? ? ?x

?

?
3

2? ?

?
3

3

为 ) 奇函数,可得

? k? , k ? z ,则 ? 的最小值为

? , 6

故答案为 A. 考点:1. 函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的图象变换;2. 正弦函数的奇偶性 14.D. 【解析】 试题分析: y ? cos( 图象向左平移

?

? 个单位. 12

? 2 x) ? sin[ ? ( ? 2 x)] ? sin(2 x ? ) ,因此只需将 y ? sin 2 x 的 3 2 3 6

?

?

?

考点:1.诱导公式;2.三角函数图象的平移.

? 15. 6

答案第 7 页,总 11 页

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【解析】

? 3 sin 2( ? ? ) ? 3 2 , 试题分析:y ? sin 2 x 的图像向右平移 ? 单位得 y ? sin 2( x ? ? ) , 所以
? ? ? 2? ? 2 ( ? ? ? ) ? k? 2 2( ? ? ) ? ? 2 k? , (k ? Z ) ? ? ? k? 3 3 3 3 6 因 此 或 , 即 或
? ? ? ?k? (k ? Z ) ,所以 ? 的最小值为 6
考点:三角函数求角 16. 2 【解析】

g ( x) ? 2sin(? ( x ?
试 题 分 析 : 由 题 意 得 :

? ? ) ? ) ? 2sin(? x) 3? 3 , 且

? ? ? ? x ?[ 0 , ? ] ? [
4 2

] ? ,? ? 2 2 4 2 ,因此 ,则 ? 的最大值为 2. ,

?

??

?

考点:三角函数图像及性质 17.①②④. 【 解 析 】 ∵ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ∴ ① f ( x) 的 最 小 正 周 期 =

x ? [?

? ?
6 6 ,

] ,∴ (2 x ?

?

? , 0) 不成中心对称图形, 故不正确; 12 3 12 5? ④ 将 函 数 f ( x) 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 后 得 到 12 5? 5? g ( x) ? f ( x ? ) ? 2 sin( 2 x ? ? ) ? ?2 sin 2 x ,故将函数 f ( x) 的图象向左平移 个单位 12 12
③∵ f (

?

) ? 2sin

?

) ? [? , ] ,故函数 f ( x) 在区间 [ ? , ] 上单调递增,正确; 6 6 2 6 6

? ?

? ?

2? =π , 正 确 ; ② ∵ 2

? 0, ∴函数 f ( x) 的图象关于点 (

后与 y ? ?2sin 2 x 的图象重合,正确.综上可知:正确的为①②④. 18.3π x-π 【解析】∵ f= , ? T= , ??=

3 2

2 3

2? 又φ =-π ,∴ y ? 2 sin(3?x ? ?) ,∴振动 =3?, 2 3

量 y 的相位是 3π x-π . 19.

? 6 ? 即可得到 y ? A cos ? x 的图像; 6

【解析】 试题分析:由题可知,通过图像显然向左平移 考点:正弦曲线的图像
答案第 8 页,总 11 页

20.

? 6
5? ? 2? ? ) ? ? ,则 ? ? ? ? ? 2 ,函数 6 3 ?

【解析】 试题分析:先计算周期

T ? 2(

f(x ) ? sin(2x ? ? +
? T ? ? ) , 而 4 4 6
s i n ? ( ? 2 1 2
, 又

?
3

?

?

? 4

?

1 2

, 图 象 过 点 (

? 12

, 1 ,)则

?

?

? ?) ? 6

1 ?

s i ??n ) ( 3 ? ?+

?

? 1 ,由于 0 ? ? ?

?
2

?

?
3

?
3

?

5? ? ? ? ? ,有 ? ? . ,则 ? ? 6 3 2 6

考点:依据图象求函数 y ? 21.

A sin(? x ? ?)的解析式;

? 12

【解析】 试题分析:对于三角函数,形如 y ? A sin ? x 为奇函数,形如 y ? A cos ? x 为偶函数. 将函 数

f ( x) ? sin( 3 x ?

?
4

) 图 像 向 左 平 移 m ( m?0 ) 个 单 位 后 得 到

f ? x ? ? s i nx ? [m 3 ? (

?
4

? )

,( 要 移后为偶函数,则有 x ?] m ? s i n 3使 函 3 数平) 4

?

3m ?

?
4

?

?
2

? k? , (k ? Z ) ,所以当 k ? 0 时 m 有最小值

? . 12

考点:三角函数的图像和性质. 22.

1 2

【解析】 试题分析:由题根据三角函数平移规律不难得到 g(x)的解析式,代入求解即可; 由题 g ? x ? ? cos(x ?

?

? ? 1 ?? ? ),? g ? ? ? cos( ? ) ? . 6 2 6 2 ?2?

考点:三角函数的图像和性质 23. ?

5 2

【解析】

答案第 9 页,总 11 页

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试题分析: 由已知得

2? T ? ? ?6, ?= , 所以 T ? 12 ? , 且 A ? 5, 所以 f ( x) ? 5sin( x ? ? ) , 6 2 6 ?

又 函 数 图 像 过(2,5), 有 s i n (? ? ? ) , 1且 0 ? ? ? 2? , 所 以 ? ?

?

?
6

3 2015? f( 2 0 1 4 ) ? ? 2014 ? ? ) ? 5sin = 5sin( 6 6 6 5 ?? . 2

, 则

考点:1、三角函数的图像;2、诱导公式. 24. (1)?1 , {x | x ? k? ?

?
12

[k? ? (2) (3) [? 3 ? 1,3] ; , k ? Z} ;

【解析】由已知得 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 当 sin( 2 x ? 此时 2 x ?

?
3

11? 5? , k? ? ], k ? Z . 12 6

) ?1,

?
3

) ? ?1 时, f ( x) 取得最小值 ?2 ? 1 ? ?1 ,

?
3

??

?
2

? 2 k ? , k ? Z 即 x ? k? ?

?
12

,k ?Z ,

故此时 x 的集合为 {x | x ? k? ? 当 x ? [0,

?
12

, k ? Z}

?
2

] 时,所以 2 x ?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

] ,所以 ?

3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 2 3

从而 ? 3 ? 1 ? 2sin(2 x ?

?
3

) ? 1 ? 3 即 f ( x) ? [? 3 ? 1,3]

? ? ( x) ? f (? x) ? 2 sin( ?2 x ?

?

3 11? 5? ? x ? k? ? ,k ? Z 解 得 k? ? 12 6 11? 5? [k? ? , k? ? ], k ? Z 。 12 6

) ? 1,令 2k? ?

?
2

? ?2 x ?

?
3

? 2k? ?

3? ,k ? Z , 2

, 故

? ( x)

的 单 调 增 区 间 为

【原创理由】 为了考查三角函数图像的平移以及与正弦函数有关的复合函数最值及单调区间 的求法。

17 2? ]( k ? Z ) ; (2) [1, ] 。 2 6 3 3? 2? ? ? ? 【解析】 (1)由 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + 得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 3 2 6 6 ? 2? ]( k ? Z ) . ∴ f ( x) 的单调减区间为 [k? ? , k? ? 6 3 ? ? 7? ? ? 1 ? (3)∵ ≤x≤ ,∴ ? 2 x ? ? ,∴ ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 . 2 6 2 6 6 6 2 17 17 ∴ 1 ? f ( x) ? ,即 f ( x) 的值域为 [1, ] . 2 2
25. (1) [k? ?

?

, k? ?

【原创理由】考查函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? B 单调区间的求法,及利用正弦函数的性质
答案第 10 页,总 11 页

求与其有关的符合函数给定区间上的值域。 26. (1)

? 1 ; (2) 1, 3 2
? ?
3 6 ? ? ) ? 1 ,而 0 ? ? ? ? ,?? ?

【解析】 (1)由已知得 f ( ) ? cos( (2)由(1)得 f ( x ) ? cos( 2 x ? ∴ g ( x ) ? cos( 2 ?

?
3



?
3

),

1 ? ? x ? ) ,即 g ( x ) ? cos( x ? ) . 2 3 3 ? ? ? ? 1 ? 当 x ? [0, ] 时,- ≤x- ≤ ,∴ ? cos( x ? ) ? 1 , 2 2 3 3 3 6 1 ? ∴当 x=0 时, g ( x) 取得最小值 ,当 x= 时, g ( x) 取得最大值 1 2 3
27. (1) f ( x) ? 2sin( x ?

1 3

?
6

); (2) [6k? ? ? ,6k? ? 4? ](k ? Z ) .

【解析】 (1)由题意知函数 f ( x ) 的周期为 2[( x0 ? 3? ) ? x0 ] ? 6? , A ? 2

?

2?

?

? 6? ,

?? ?

1 1 ,? f ( x) ? 2sin( x ? ? ) 3 3

又函数 f ( x ) 过点 (0,1) ,? 2sin(0 ? ? ) ? 1 ,又 ? ?

?
2



?? ?

1 ? ? f ( x) ? 2sin( x ? ) 6 3 6 ? 1 ? 3? (2)令 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ,整理得 6k? ? ? ? x ? 6k? ? 4? , 2 3 6 2

?



所以函数 f ( x ) 的单调减区间为 [6k? ? ? ,6k? ? 4? ](k ? Z ) 。 28. (1) I ? 300 sin(150?t ?

?
6

); (2)943.
A=300 , 设 t1 ? ?

【 解 析 】( 1 ) 由 图 可 知

1 1 ,t 2 ? , 则 周 期 900 180

1 1 1 ? ) ? , 180 900 75 2? 1 1 ? ? 150?.t ? ? ( ?? ) ? ?] ? 0, sin(? ? ) ? 0. ∴?? 时, I ? 0 ,即 sin[150? T 900 900 6 ? ? ? 而 ? ? ,∴ ? = .故所求的解析式为 I ? 300 sin(150?t ? ) . 2 6 6 2? 1 1 (2)依题意,周期 T ? ,即 ≤ (ω >0) , ? 150 150 T ? 2 ? t 2 ? t 1 ? ? 2(
∴ω ≥300π >942,又ω ∈N*,故最小正整数ω =943.

答案第 11 页,总 11 页


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