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一道高中联赛题引起的探究


④   一 f 6  
2 0 0 0年 第 3 期 

直 线   扬韵发

,  

} 7  

赛  

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中 学 数 学 



道 高 中 联 赛

题 引起 的探 究 
2 2 2 2 0 0 江苏省灌云县 中学 王 广 余 

6  
D  2 、 f  

题目   已知 点 A( 1 , 2 ) , 过点( 5 , 一2 ) 的直 线 与  抛物线  = 舡 交 于另外两点  、 C, 那么 △A阳 是 
(  

范 围 是 ( 罟,   一 a r c t g 号 ] .  
定理 2  i  ̄A( x o ,  ) 是 抛 物 线  = 2 p x ( p> o )   上 的定点 , B、 C是抛 物线上 的两 个动点 , 若直线 A B   与A C的斜 率之积 为定值 C, 则直 线 B C必过定 点 
P  一   ,一  y o )   .
r 

( B ) 钝 角三 角形  ( C) 直 角三 角 形  ( D ) 答案 不 确 定  这是 1 9 9 9年全国高 中数学联合竞赛第一大题中 

) .   ( A ) 锐 角 三 角 形 

的第 6小题 , 正确 答案 是选 ( C) . 解题后 , 笔者在该题  的基础上 , 从数字 的特征人手 , 饶有兴趣地对抛物线  =2 p x 进行了一 番探索 , 发现这具有如下两条重要  性屁  定理 1   设 A( x o , y o ) 是抛物线  =2 p x ( p >0 )   上的定点, P(  , 一  ) 是不在抛物线上的另一定点.   若过 P点的动直线 Z 交抛物线于点  、 C( 异于 A) , 则 
直线 AB与 A C的斜率之积为定值: _  了 .  
证 明  设 直 线  的方 程 为 . r = m( y+ Y o ) +  与  = 2 p x联立消去. r得 


证明  设 B( x l , Y 1 ) 、 C( x z , y O, 则 


2 p x z , 胡 =2 p x z ,  

相减得 (   +Y 2 ) bh一 弛)= 2 p  1 一 丑) .   若直线 且? 与  轴不垂直 , 则丑 ≠X 2 , 得 
=   =  

2 p  


. 

,  

直线 t 9 C的方程 为 
Y— y z   1 ) '  

化简得
? 。  .

2 p x一 (   + 弛)  +Y 1 弛=0 .  
=   ’  

2 p my一 2 p my o一 2 p  ̄ =0  

( 1 )  

Y2 -  ̄ o  

当 △= 4 p   +4 ( 2 .  ̄ n y o + 助 一) >0 时, 直线  Z 与抛物线交于两点 B( x   , Y   ) 、 C( x z , y z ) , 其中 M、 弛  是方程 ( 1 ) 的两个实根 , 且 



f  =  2 f 业 二  2  

c 券 一 嚣   券 一 卷  
一   .  一  

=2 p x z , 胡 =2 p x z , 胡 =2 P X o .  
?

k =  2 z




y o’   3 2 = -  3 ' 0  

. ? . 

一(   十  ) (   +  )一 “   =  一y o ( Y  ̄+  )一 2 p X o .  

一 一

l  二  2   二   2—  

。 . . 

( 券 一 嚣 ) ( 券 一 嚣 ) 一 b   +  弛 +  
一 一    

直 线 且? 的方 程 可 化 为 
一Y o ( Y  ̄ +  ) 一2 p x o= o,  

2 p x一 (  l +弛 )  + 

弛 +y o ( y  ̄ + 弛 )+ 

由韦选定理得  ‰  
,  . 


4 矿 

2 p   一X O +  ) 一b h+ y D(  + y o ) =0 .  
显然 , 该直线恒过定点 P( 函 一  , 一  ) .  

一 一

 

立  
勘 一  ‘  

推论  过 抛物线  : 2 p x( p> 0 ) 的顶点任作  互相 垂直的两条弦 O B 与 OC, 则直线 B C必过定 点 

  , 。 ) .   推论 1   在定理 1 的条件下, 若勘 一  =一 2  ,   P( 下面举例说明上述性质的应用.   则A B上 A C .   由推论 1 可知前面的竞赛题答案是 ( c ) .   倒 1 过抛物线  = 2 x上点 A( 2 , 2 ) 作互相垂  分别交抛物 线于另外 两点 B、 C, 求A   推论 2 过抛物线  = 2 p x ( p> 。 ) 焦点F的  直的两条直线, C上 的 射影 H 的轨 迹 方程 .   直线交抛物线于两点 B、 C, 0 为抛物线顶点 , 那/ 厶, 直  点在 直 线 B 线O B与 0 C的斜率之积恒为 一 4 .   解  。 AB上 A C,   .   ?   =一 1 ,   由推论 2易知 , AB O C恒为钝角 , 可求得其取值  由定趣 2知直线 B C过定 点P( 4 , 一2 ) .  

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钾  二  段  
46  

“ 二等分段平方数” 初 探 
4 0 8 2 0 0 重 庆 市 丰都 县 农 广 校 何廷模 

0 t   s   I  

郑 成 生先 生 在文 [ 1 3中研 究 了双 色平方 
数 的构 造 问 题 , 很有 情趣. 本 文 研 究 另 一 类 平  方数.   定 义  若 自然 数 a l a 2  ̄  ̄ 啦   + 1  + 2 —d  是 


口1 口2… 圆 , 口月 +I 口_ +2 … 口肋 一  

,  

贝 0   口 I a z   o -  

一 

, a   + 1  + 2 - -  

= R詈 .  

从而



一 1  ^   +  .   若  一 强 , k∈ N, 设 
— 1 0 '+ 1 ,   = 5× 1  

个2  位 平 方 数 , d 1 5o ,  + 1 s o, J  ̄ a — l a z ' — " a .  

定理 1 则哦 帆

与 口  1   2  ̄  ̄ o a   也 均 为 平 方 数 , 则 称  d 1 口 2 —d  + 1 a   + 2 …口  为 二 等 分段 平 方 数 .   例如, 2 2 5   6 2 5— 4 7 5 。 , 且 2 2 5— 1 5   , 6 2 5   —2 5   , 故 2 2 5   6 2 5是 一 个 二 等 分 段平 方 数 .   设 二 等 分 段 平 方 数 

是 一 个 二 等分 段 平 方 数 , 且  = 5× 1  ~ 一 1 , 如 一I O *一 1 .   一 ( 5× l 0   ~一 i o * + 1 )  

证 明  m


[ 5× 1  

一( 1 0 k 一1 )  

数  中  
学 



+ .- + 4 -_ 一

一- 4 -一

 十  

数 
学 

设 H 的坐标为0 ,   ) . 若直线且  与 轴不垂直 ,   则 z≠ 4 ( 显然  ≠ 2 ) , 由 ^H j -   得 


s △  ? =寺 l 0 口1 . 1 厦. 1 =&  
倒3   设常数 d >0 , 过点 尸  , 0 ) 作直线与抛 物  线, =2 p z ( p> 0 ) 交于两点 肘  l ,   - ) 、 N( x z ,  ) .   ( 1 )求证:   I 恐 与  部为定值 ;  



2   Y一 ( 一2 )   ,   2’ z一 4   一 一  ’  

卉∥  

锂 踅 
柚 

化 简得  一3 )  +  = 5   ( 2 )   若 直线 且   与  轴 垂 直 , 则  = 4 , H 点 坐 标 为  ( 4 , 2 ) , 也适合方程 ( 2 ) . 所 以方程( 2 ) 即为所求.  

( 2 ) 求弦长 l MNI 的最小值.  
解  ‘   直线 MN 过定点 P( a , 0 ) ,   _ . .   由定理 1 知, 直线 O M 与O N 的斜率的乘 积 
为 定值 一  . 设直线O M 的方 程 为 Y= 点 z( 五 ≠0 ) ,  

碍  
D 
圈 l   囝 2  

则 直 线 0 Ⅳ 的 方 程 为 Y = 一 箸 工 分 剐 代 人 抛 物 线 方  
程  =2 舡, 可求得  倒2   已知 抛 物线  =  上 两点 B 、 C 满足  0 1 3 j - 0C , 求 当C点距 轴最近时 , AO B C的面积  解  设 B ( x l , Y 1 ) , C( z z , y 2 ) ,   ‘∞ j - ∞ , 1 . .   ? k =一 1 .  
由 定理 2知 , 直线 0 C 应过 点 (   - +1 , 一y   ) ,   即 尸(   +1 , 一y 1 ) .  

丑   , 弘   i ; 趣   等, ,  一础 一 础 . ‘  
丑 =  ,   =  ;趣 =



锑  
期 

( 1 ) 丑娩 = a Z , y l   =一 2 印 都 为定值 .  

( 2 )  
= ?


一 喾) ? + ( 譬 +  

‘  0 、 尸 、 c 三 点 共 线 ,   . ? .   兰一   - + y , i ?  
将  =  代』 、 得 
一   一 c   - + 

管一  +  +  + 如 p   ’   + 等≥ 缸 。 ,   椰 .  
k  =  时取等号.  

两不等式都 当
.  .



I MNI ≥√ 百  ,   l MNl 的最小值为√S a p .  

J  i  + 责 i ≥ 2 , 当 且 仅 当 弘 一 土 1  
时取得等号 , 此时 B( 1 , 1 ) 、 C ( 4 , 一2 ) 或 B( 1 , 一1 ) 、   C( 4 , 2 ) . I OB1 = √   , 1   l = 3√   ,  

注  若 口=   , 则尸 点 为焦 点 , 焦 点 弦 M N长 的 

最小值 为 2  , 恰为通径长.  
( 收 祷 日期 : 1 9 9 9 。 1 2 - 0 6 )  


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