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江苏省徐州市2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题(图片版)



2015~2016 学年度第二学期期末抽测

高一数学参考答案与评分标准
一、填空题 1.

1 2 4 9π

2. 16

3. π

4.60 12. - 1

5.

1 12

6. 56

7.

8 5

8. 126

9.13

10.

11.等腰

13. (- ? ,

3] ? [ 3, + ? )

14. [1, ]

8 3

二、解答题 15. (1)由 4 x - 3 y + 12 = 0 得,直线的斜率 k = 所以 tan 2 A =

4 4 ,则 tan A = ,????? 2 分 3 3

2tan A ???????????????? 4 分 1- tan 2 A 4 2? 3 = - 24 . ??????????????? 6 分 = 4 2 7 1- ( ) 3 ì sin A 4 ? ? 4 3 ? tan A = cos A = 3 ,及 0 < A < π ,得 (2)由 í sin A = ,cos A = ,?? 9 分 ? 5 5 2 2 ? ? ? ? sin A + cos A = 1 π π π ????????????? 12 分 cos( - A) = cos cos A + sin sin A 3 3 3 1 3 3 4 3+ 4 3 = ? ? . ??????????? 14 分 2 5 2 5 10 a b 16. (1)由 2a sin B = 3b ,结合正弦定理 , = sin A sin B 得 2sin Asin B = 3sin B , ??????????? 2 分
3 , ??????????? 4 分 2 π π 因为 A ? (0, ) ,所以 A = . ??????????? 7 分 2 3 (本小题,学生解答过程中漏角的范围的扣 1 分) (2)由余弦定理, a 2 = b2 + c 2 - 2bc cos A , ?????????? 9 分 2 得 36 = (b + c) - 2bc - 2bc cos A = 64 - 3bc , 28 所以 bc = , ????????????????? 11 分 3 1 1 28 3 7 3 = 所以 SD ABC = bc sin A = 创 . ????????? 14 分 2 2 3 2 3 ì a + d = 4, ? ? 1 17. (1)设首项为 a1 ,公差为 d ,则 ? ???????? 4 分 í 5? 4 ? 5a1 + d = 30, ? ? 2 ? ì ? a1 = 2, 解之得 ? 故 an = a1 + (n - 1)d = 2n . ????????? 7 分 í ? ? ? d = 2,
又 B ? (0, ) ,得 sin A =

π 2

(2)

1 1 1 1 1 = = ( ), an 鬃 an+ 1 2n (2n + 2) 4 n n + 1

??????????? 9 分

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ?+ = (1- ) + ( - ) + ? + ( ) a1a2 a2 a3 an an+ 1 4 2 4 2 3 4 n n+ 1

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 - + - + ? + ) = (1 ) , ???? 11 分 4 2 2 3 n n+ 1 4 n+ 1 1 1 1 > 0 ,所以 Tn < ,又 > 0, 因为 n ? N* ,所以 n+ 1 an ×an+ 1 4 =

1 1 1 ,即 ≤ Tn < . ??????????? 14 分 8 8 4 3 3 3 18. (1)若 k = ,由 f ( x) > 0 得 x2 - x > 0 ,即 x( x - ) > 0 , ????? 2 分 2 2 2 3 所以不等式 f ( x) > 0 的解集为 {x x < 0或x > } . ??????? 4 分 2 (2)因为 f ( x) > 0 对任意 x ? R 恒成立,则 D = (- k )2 - 4(2k - 3)<0 , ?? 6 分 即 k 2 - 8k + 12 < 0 ,解得 k 的取值范围是 2 < k < 6 . ???? 9 分 ì ? ? ? D = k 2 - 8k + 12 > 0, ? ? ? 5 ?k 5 f ( x ) (3)若 的两个零点均大于 ,则应有 ? ??? 13 分 í > , ? 2 2 2 ? ? ? 5 ? f ( ) > 0, ? ? ? ? 2 ì ? ? ? k < 2或k > 6 ? ? 13 ? 解得 í k > 5 ,所以实数 k 的取值范围是 (6, ) . ?????? 16 分 ? 2 ? 13 ? ? k < ? ? 2 ? DN DC x- 2 3 19. (1) (i)因为 Rt△CDN ∽ Rt△MBC ,所以 ,所以 . = = BC BM 2 BM 6 6 3x 所以 BM = , AM = 3 + , = x- 2 x- 2 x- 2 3x 3x 2 ( x > 2) . ??????????? 5 分 所以 S = AN ? AM x ? x- 2 x- 2 2 BC 2 ( ii) 在 Rt△MBC 中, tan q = ,所以 MB = , = tan q MB MB 2 所以 AM = 3 + , tan q DN DN 在 Rt△CDN 中, tan q = ,所以 DN = 3tan q ,所以 AN = 2 + 3tan q , = DC 3 2 π 所以 S = AM ?AN (3 + ) ?(2 3tan q)(0 < q < ) . ?????? 10 分 tan q 2 3x 2 (2)选择 S = ( x > 2) 时,令 x - 2 = t > 0 ,则 x = t + 2 , x- 2
所以 Tn ≥ T1 = 所以 S =

3(t + 2) t

2

= 3?

t 2 + 4t + 4 t

3(t +

4 4 + 4) ≥ 3(2 t ? t t

4) = 24 ,? 14 分

当且仅当 t =

4 ,即 t = 2 时,取“ = ” ,此时 x = 4 . t

答:当 AN 的长度为 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米. ? 16 分

2 π ) ?(2 3tan q)(0 < q < ) 时, tan q 2 4 4 4 ≥12 + 2 9 tan q ? S = 6 + 9tan q + + 6 = 12 + 9tan q + tan q tan q tan q 4 2 当且仅当 9tan q = ,即 tan q = 时,取“ = ” ,此时 AN = 4 , tan q 3
选择 S = (3 +

24 ,

答:当 AN 的长度为 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米 .? 16 分 20. (1)因为 an+ 1 + an = 4n - 3 , 所以 a2 + a1 = 4? 1 3 = 1 , a3 + a2 = 4? 2

3= 5,

两式相减,得 a3 - a1 = 4 ,因为数列 {an } 是等差数列,记公差为 d ,

1 . ?????????? 2 分 2 (2)由 an+ 1 + an = 4n - 3 ,得 an+ 2 + an+ 1 = 4(n + 1) - 3 = 4n + 1 ( n ? N* ),
所以 2 d = 4 ,解得 d = 2 , a1 = 两式相减,得 an+ 2 - an = 4 ( n ? N* ), 数列 {a2 n }是首项为 a2 ,公差为 4 的等差数列, 由 a2 + a1 = 1 ,当 a1 = - 3 时,得 a2 = 4 , ?????????? 3 分 所以数列 {a2 n- 1 }是首项为 a1 ,公差为 4 的等差数列,

ì 2n - 5, n为奇数, ? 所以 an = ? ???????????? 4 分 í ? 2 n , n 为偶数 . ? ? 当 n 为奇数时, Sn = a1 + a2 + ? + an = (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + ?(an- 2 + an- 1 ) + an = (- 3 + 4) + (1 + 8) + ? + [2(n - 2) - 5 + 2(n - 1)] + (2n - 5) = 1 + 9 + ? + (4n - 11) + (2n - 5) n- 1 ?(1 4n - 11) = 2 + 2n - 5 2 2n 2 - 3n - 5 = ; ???????????? 6 分 2 当 n 为偶数时, Sn = a1 + a2 + ? + an = (a1 + a2 ) + (a3 + a4 ) + ?+ (an- 1 + an ) = (- 3 + 4) + (1 + 8) + ? + [2(n - 1) - 5 + 2n] n ?(1 4n - 7) 2 = 1 + 9 + ? + (4n - 7) = 2 2 n 2 - 3n = . 2

ì ? 2n2 - 3n - 5 ? , n为奇数, ? ? 2 所以 Sn = ? í 2 ? 2n - 3n ? ? , n为偶数. ? 2 ? ?

???????????? 8 分

ì ? 2n - 2 + a1 , n为奇数, (3)由(2)可知, an = ? ???????????? 9 分 í ? ? ? 2n - 3 - a1 , n为偶数, 当 n 为奇数时, an = 2n - 2 + a1 , an+ 1 = 2n - 1- a1 ,



an 2 + an+ 12 ≥ 5 及 an+ 1 + an = 4n - 3 ,得 a12 - a1 ≥- 4n2 + 16n - 10 , an + an+ 1

令 f (n) = - 4n2 + 16n - 10 = - 4(n - 2)2 + 6 , 当 n = 1 或 n = 3 时, [ f (n)]max = 2 ,所以 a12 - a1 ≥ 2 , 解得 a1 ≥ 2 或 a1 ≤ - 1 ; ??????????????????? 12 分 当 n 为偶数时, an = 2n - 3 - a1 , an+ 1 = 2n + a1 , 由

an 2 + an+ 12 ≥ 5 及 an+ 1 + an = 4n - 3 ,得 a12 + 3a1 ≥- 4n2 + 16n - 12 , an + an+ 1

令 g (n) = - 4n2 + 16n - 12 = - 4(n - 2)2 + 4 , 当 n = 2 时, [ g (n)]max = 4 ,所以 a12 + 3a1 ≥ 4 , 解得 a1 ≥1 或 a1 ≤ - 4 ; ???????????????????? 15 分 综上所述, a1 的取值范围是 (- ?

4] ? [2, + ? ) . ????????? 16 分


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