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云南省玉溪一中2013届高三第五次月考 文科数学


玉溪一中高2013届高三第五次月考试卷 数学(文)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.设全集 U ? R, A ? x x?x ? 3? ? 0 , B ? x x ? ?1 , 则下图中 部分表示的集合为( A. x ? 3 ? x ? ?1

?

?

/>
?

?

阴影

?

?



C. {x | ?1 ? x ? 0} 2.下面是关于复数 z ?

? D. ?x x ? ?3?

B. x ? 3 ? x ? 0

?


2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i

p1 : z ? 2
A. p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
B. p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为1 ? i
C. p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
D. p? , p?

3. 设 ? 是第二象限角, P ? x,4? 为其终边上的一点,且 cos ? ? A.

4 3

B.

4.已知 | a |? 6 , | b |? 3 , a ? b ? ?12 ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 B.4 ) C.-2 D.2

?

?

3 4 ? ?

C. ?

3 4

1 x ,则 tan ? =( 5 4 D. ? 3
)



?

?

5.下列命题中,假命题为(

A.存在四边相等的四边形不是正方形 . B. z1 , z2 ? C, z1 ? z2 为实数的充分必要条件是 z1 , z2 为共轭复数 C.若 x, y ? R,且 x ? y ? 2, 则 x, y 至少有一个大于 1 D.命题: ?n ? N , 2 ? 1000 的否定是: ?n ? N , 2 ? 1000 。
n n

6. 在△ ABC 中,若 sin C ? 2cos A sin B ,则此三角形必为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 ,则其前 6 项之和是( )

7.已知数列{ an }满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ? A.16 B.20 C.33

? 2an ( n为正奇数) ? an ? 1 ( n为正偶数)

D.120
C P D

8. 如图,正方形 ABCD 中,点 P 在边 AD 上,现有质地均匀的粒子 散落在正方形 ABCD 内,则粒子落在△PBC 内的概率等于( A. )

1 2

B.

2 3

C.

3 4

D.

4 5
·1·

A

B

9. 一个四棱锥的三视图如图所示, 其侧视图是等边三角形. 该四棱锥的体积等于( A. 3 C.3 3 B.2 3 D.6 3 )

?x ? y ? 1 1 ? 10. 若 x , y 满足不等式组 ?2 y ? x ? 2 ,且 y ? x 的最 2 ?y ? m x ? 为 2,则实数 m 的值为( )
A. ? 2 B. ?

大 值

3 2
2 2

C. 1

D.

3 2

11. 直线 2ax ? by ? 1 与圆 x ? y ? 1相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( A. 2 ? 1 B.2 C. 2 ) D. 2 ? 1

12.设定义在 R 上的函数 f (x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, f ?( x ) 是 f (x) 的导函数,当

x ??0, ? ? 时, 0 ? f ( x) ? 1;当 x ? (0, ? ) 且 x ?
y ? f ( x) ? sin x 在 [?2? ,2? ] 上的零点个数为(
A.2 B.4 C.5 )

?
2

时 , (x ?

?
2

) f ?( x) ? 0 ,则函数

D. 8

二、填空题:把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.每小题 5 分,共 20 分。
13.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F ,则满足 ?ABF 为等边三角形的椭圆的离心率是 。

14. 已知 tan 2? ? ? , tan(? ? ? ) ?
x

3 4

1 , 则 tan(? ? ? ) = 2

。 。 。

15.已知函数 f ( x) ? e ? 2x ? a 有零点,则 a 的取值范围是

16.正三棱柱 ABC? A1 B1C1 内接于半径为 1 的球,则当该棱柱体积最大时,高 h ? 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
·2·

17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足的前 n 项和为 S n ,且 S n ? ( ) ? n ? 1, (n ? N ) .
n ?

1 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 {bn } 的通项公式满足 bn ? n(1 ? an ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。

18. (本小题满分 12 分) 某高校从参加今年自主招生考试 的学生中抽取成绩排名在前 80 名的学生成绩进行统计, 得 频率分布表: (1)分别写出表中①、②处的数据; (2)高校决定在第 6、7、8 组中用分层抽样的 方法选 6 名学生进行心理测试,最后确定两名 学生给予奖励。规则如下: 若该获奖学生的第 6 组,给予奖励 1 千元; 若该获奖学生的第 7 组,给予奖励 2 千元; 若该获奖学生的第 8 组,给予奖励 3 千元; 测试前,高校假设每位学生通过测试获得奖 励的可能性相同。求此次测试高校将要支付 的奖金总额为 4 千元的概率。

19. (本小题满分 12 分)在边长为 5 的菱形 ABCD 中, A AC=8.现沿对角线 BD 把△ABD 折起, M 9 折起后使∠ADC 的余弦值为 . 25 B (1)求证:平面 ABD⊥平面 CBD; (2 若 M 是 AB 的中点,求三棱锥 C

A M D B D

?
C

A ? MCD 的体积。

20. (本小题满分12分)已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的

·3·

垂线,垂足为 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0,2? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、

??? ??? ?

??? ???

B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求

l1 l2 ? 的最大值。 l2 l1
1? a ? 1 (a ? R) . x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 a ?

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性; 2 1 (Ⅱ)设 g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4. 当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0, 2) ,存在 x2 ??1,2? ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围。

请在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ?

? x ? 5cos ? (? 为参数) ? y ? 3sin ?

(1)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 ?y ? 3?t

(2)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。

23. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 (1)已知关于 x 的不等式 2 x ?

2 ? 7 在 x ? (a,??) 上恒成立,求实数 a 的最小值; x?a

(2)已知 | x |? 1, | y |? 1 ,求证: | 1 ? xy |?| x ? y | .

·4·

玉溪一中高2013届高三第五次月考试卷 数学(文)参考答案
一、选择题: 题号 1 2 选项 C C 二、填空题

3 D

4 A

5 B

6 A

7 C

8 A

9 A
2 3 3

10 D

11 A

12 B

13.

3 ; 2

14. ?2 ;

15. (??,2 ln 2 ? 2] ;

16.

三、解答题 17.【解】⑴由, S n ? ( ) ? n ? 1, (n ? N )
n

1 3

?

当 n ? 1 时得 a1 ? S1 ?

2 1 , 当 n ? 2 时得 a n ? S n ? S n ?1 ? 1 ? n , 3 3

又 a1 ?

1 2 满足上式,所以:数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 1 ? n . 3 3

2n . 3n 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2n 1 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2n ? 2 ? 3 ? ? ? n ,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 所以 Tn ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 n 相减得: Tn ? 2( ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) 3 3 3 3 3 3 3 2n ? 3 ∴ Tn ? ? . 2 2 ? 3n
⑵由 bn ? n(1 ? a n ) ? 18. .解: (1)①处填 14;②处填 0.125 (2)第 6、7、8 组共有 24 人,从中抽 6 人;所以分别抽取 3 人、2 人和 1 人。 设为 A1 , A2 , A3 ; B1 , B2 和 C ,穷举共有 15 种,有 4 种满足,顾所求概率为 P ? 19. 【解】 (1)证明 在菱形 ABCD 中,记 AC,BD 的交点为 O,AD=5, ∴OA=4,OD=3,翻折后变成三棱锥 A-BCD,在△ACD 中, AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos ∠ADC 9 =25+25-2×5×5× =32, 25 2 2 2 在△AOC 中,OA +OC =32=AC , ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC, 又 AO⊥BD,OC∩BD=O,
·5·

4 。 15

∴AO⊥平面 BCD, 又 AO?平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 CBD. (2)? M 是 AB 的中点,所以 A, B 到平面 MCD 的距离相等,

1 ?VA? MCD ? VB ? MCD ? VA? BCD ? S?BCD ? AO ? 8 3
20. 【解】 (1)设 P ? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? , ∵ QP? QF ? FP?FQ , ∴ ? 0, y ?1?? ? x,2? ? ? x, y ?1?? x, ?2? . ? ? 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x2 ? 4 y ,
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

所以动点 P 的轨迹 C 的方程 x2 ? 4 y . (2)解:设圆 M 的圆心坐标为 M ? a, b ? ,则 a 2 ? 4b . 圆 M 的半径为 MD ?
2



a2 ? ? b ? 2? .
2
2 2

2 圆 M 的方程为 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? a ? ? b ? 2 ? . 2 2 令 y ? 0 ,则 ? x ? a ? ? b ? a ? ? b ? 2 ? , 2 2

2 整理得, x ? 2ax ? 4b ? 4 ? 0 .



由①、②解得, x ? a ? 2 . 不妨设 A? a ? 2,0? , B ? a ? 2,0? , ∴ l1 ? ∴

? a ? 2?

2

? 4 , l2 ?

? a ? 2?

2

?4 .

l1 l2 l12 ? l2 2 2a 2 ? 16 ? ? ? l2 l1 l1l2 a 4 ? 64
?2

?a

2

? 8?

2

a 4 ? 64

? 2 1?

16a 2 , a 4 ? 64



当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 16 16 ? ? 2 1? ≤2 1 ? ?2 2. 64 l2 l1 2?8 2 a ? 2 a

·6·

当且仅当 a ? ?2 2 时,等号成立. 当 a ? 0 时,由③得,

l1 l2 ? ? 2. l2 l1

故当 a ? ?2 2 时,

l1 l2 ? 的最大值为 2 2 . l2 l1

21.

(Ⅱ)当 a ?

1 时, f(x) 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意 x1 ? (0, 2) , 4
·7·

1 1 ,又已知存在 x2 ??1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 ? ? g ( x2 ) , x2 ??1,2? , 2 2 1 9 2 2 即存在 x ??1, 2? ,使 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ? ? ,即 2bx ? x ? , 2 2 9 17 11 即 2b ? x ? 2 ? [ , ] 4 2 , x
有 f(x1 ) ? f(1)=所以 2b ?

17 17 17 ,解得 b ? ,即实数 b 取值范围是 [ ,?? ) 。 4 8 8

22 题: (1)由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 , 所以 k ?

1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

(2) S ? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ? 23. 【解】

?
2

时,面积最大为 30。

? 2x ?
(1)

2 2 ? 7 ? 2( x ? a) ? ? 7 ? 2a ? 7 ? 2a ? 4 x?a x?a ,
2 2 2 2

?a ?

3 2

(2)因为 |1 ? xy | ? | x ? y | ? (1 ? x )(1 ? y ) ? 0 ,所以 |1 ? xy |?| x ? y |

·8·


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