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【全程复习方略】2014年人教A版数学文(广东用)课时作业:9.4用样本估计总体


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课时提升作业(五十七)
一、选择题 1.已知样本 7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11, 8,9,12,9,13,20,那么这组数据落在 8.5~11.5 的频率为( (A)0

.5 (B)0.4 (C)0.3 ) (D)0.2 )

2.如图是总体密度曲线,下列说法正确的是(

(A)组距越大,频率分布折线图越接近于它 (B)样本容量越小,频率分布折线图越接近于它 (C)阴影部分的面积代表总体在(a,b)内取值的百分比 (D)阴影部分的平均高度代表总体在(a,b)内取值的百分比 3.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( (A)a>b>c (C)c>a>b (B)b>c>a (D)c>b>a )

4.(2013· 三明模拟)在样本的频率分布直方图中, 共有 11 个小长方形, 若中间一个小长方形的面积等于其他 10 个小长方形的面积和的 , 且 样本容量为 160,则中间一组的频数为( (A)32 (B)0.2 ) (D)0.25
1 4

(C)40

5.商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时至 14 时的销售 额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知 9 时至 10 时的销售额 为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为( )

(A)6 万元 (C)10 万元

(B)8 万元 (D)12 万元

6.(2013·济南模拟)为选拔运动员参加比赛,测得 7 名选手的身高(单

位: cm)分布茎叶图为

, 记录的平均身高为 177

cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数字记为 x,那么 x 的值 为( (A)5 ) (B)6 (C)7 (D)8

7.(能力挑战题)如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们

的样本平均数分别为 x A 和 x B, 样本标准差分别为 sA 和 sB,则(

)

(A) xA>xB,sA>sB (C) xA>xB,sA<sB 二、填空题

(B) xA<xB,sA>sB (D) xA<xB,sA<sB

8.(2012·山东高考)如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单 位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是 [20.5,26.5] ,样本数据的分组为[20.5,21.5), [21.5,22.5), [22.5,23.5) , [23.5,24.5), [24.5,25.5), [25.5,26.5].已知样本 中平均气温低于 22.5 ℃的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5 ℃的城市个数为____________.

9.(2013·肇庆模拟)给出以下三幅统计图及四个结论:

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况;②2050 年非洲人口大约 将达到 15 亿;③2050 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多;④从 1957 年到 2050 年各洲中北美洲人口增长速度最慢. 其中结论正确的是____________. 10.(2012·广东高考)由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均 数和中位数都是 2, 且标准差等于 1, 则这组数据为____________. (从 小到大排列) 三、解答题 11.随机抽取某中学甲、 乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm), 获得身高数据的茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高. (2)计算甲班 10 名同学身高的方差. 12.(2012·安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超 过 1 mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样 检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5 000 件进行检测,结 果发现有 50 件不合格品.计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差 (单位:mm), 将所得数据分组,得到如下频率分布表: 分 组 频 数 频 率 0.10 8 0.50 10

[-3,-2) [-2,-1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 50

1.00

(1)将上面表格中缺少的数据填充完整; (2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落 在区间(1,3]内的概率.

(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合 格品.据此估算这批产品中的合格品的件数. 13.(能力挑战题)2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环 境空气质量标准》.其中规定:居民区中的 PM2.5 的年平均浓度不得超 过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/立方 米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小 时平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 PM2.5(微克/立方米) (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] (60,75] (75,90) 频数(天) 4 12 8 8 x 4 频率 0.1 y 0.2 0.2 0.1 0.1

(1)试确定 x,y 的值,并写出该样本的众数和中位数(不必写出计算 过程). (2)完成相应的频率分布直方图. (3)求出样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年 平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.

答案解析
1. 【解析】 选 B.样本的总数为 20 个, 数据落在 8.5~11.5 的个数为 8, 故频率为
8 ? 0.4. 20

2.【解析】选 C.总体密度曲线与频率分布折线图关系如下:当样本容 量越大,组距越小时,频率分布折线图越接近总体密度曲线,但它永 远达不到总体密度曲线.在总体密度曲线中,阴影部分的面积代表总体 在(a,b)内取值的百分比,因而选 C. 【误区警示】在频率分布直方图中,每一个小矩形的面积表示数据落 在该组的频率,在总体密度曲线或总体分布折线图中,直线 x=a,x=b, x 轴与曲线或折线围成的面积也表示数据在(a,b)内的频率,即在(a, b)内取值的百分比,不要认为图形的平均高度是频率而误选 D. 3.【解析】选 D.平均数 a=
1 ×(15+17+14+10+15+17+17+16+ 10

14+12)=14.7,中位数 b=15,众数 c=17. ∴c>b>a.

4.【解析】选 A.频率等于长方形的面积,所有长方形的面积和等于 1, 设中间长方形的面积等于 S, 则 S= (1 ? S),S ? , 设中间一组的频数为 x, 则
x 1 ? , 得 x=32. 160 5

1 4

1 5

5. 【解析】 选 C.设 11 时至 12 时的销售额为 x 万元, 由 故 选 C. 6.【解析】选 D.由茎叶图可知

0.4 x = , 得 x=10, 0.1 2.5

10 ? 11 ? 3 ? x ? 8 ? 9 ? 7, 解得 x=8. 7

7.【解析】选 B.由图可知 A 组的 6 个数为 2.5,10,5,7.5,2.5,10, B 组的 6 个数为 15,10,12.5,10,12.5,10, 所以 x A ?
2.5 ? 10 ? 5 ? 7.5 ? 2.5 ? 10 37.5 ? , 6 6 15 ? 10 ? 12.5 ? 10 ? 12.5 ? 10 70 xB ? ? . 6 6

显然 x A<x B. 又由图形可知,B 组的数据分布比 A 均匀,变化幅度不大,故 B 组数据 比较稳定,方差较小,从而标准差较小,所以 sA>sB,故选 B. 8.【思路点拨】本题考查频率分布直方图,关键是抓住纵轴表示的是
频率 . 组距

【解析】最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22,总城市 数为 11÷0.22=50,最右面矩形面积为 0.18×1=0.18,平均气温不 低于 25.5°的城市个数为 50×0.18=9. 答案:9 9.【解析】①显然正确;从条形统计图中可得到:2050 年非洲人口超 过 15 亿,②错;从扇形统计图中能够明显地得到结论: 2050 年亚洲人口

比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得 出从 1957 年到 2050 年中哪个洲人口增长速度最慢,故④错误. 答案:①③ 10.【思路点拨】本题是考查统计的有关知识,要知道平均数及中位数 (按从小到大或从大到小的顺序排列,若奇数个数据取中间的数,若 偶数个数据取中间两个数的平均数)的求法,以及标准差公式.利用平 均数、中位数、标准差公式求解. 【解析】假设这组数据按从小到大的顺序排列为 x1,x2,x3,x4,
? x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 2, ? ? x1 ? x 4 ? 4, ? 4 ?? 则? ? x 2 ? x 3 ? 4, ? x 2 ? x 3 ? 2, ? ? 2

又 s=
1 2 2 2 ? [(x1 ? 2) 2 ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x 3 ? 2 ? ? ? x 4 ? 2 ? ] 4 1 2 2 2 2 ? ? x1 ? 2 ? ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x 3 ? 2 ? ? ? x 4 ? 2 ? 2 1 2 2 ? 2[? x1 ? 2 ? ? ? x 2 ? 2 ? ] ? 1, 2

∴(x1-2)2+(x2-2)2=2, 同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2, 由 x1,x2,x3,x4 均为正整数, 且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2 上 的点,分析知 x1,x2,x3,x4 应为 1,1,3,3. 答案:1,1,3,3 11.【解析】 (1)由茎叶图可知:甲班 10 名同学身高集中于 162~179, 而乙班 10 名同学身高集中于 170~180.因此由样本估计总体可知乙班

平均身高高于甲班平均身高. (2)甲班 10 名同学身高的平均数为
158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170, 10 1 甲班 10 名同学身高的方差为 × 10

[(158-170)2+(162-170)2+(163-170)2+ (168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(171-170)2+(179-170)2+(179-170 )2+ (182-170)2]=57.2. 【方法技巧】茎叶图及应用 茎叶图在样本数据较少、较为集中且位数不多时比较适用,由于它较 好地保留了原始数据,所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布, 还可以用来分析样本数据的一些特征,如众数、中位数、平均数等. 12.【思路点拨】 (1)利用频率= (2)利用频率估计概率. 【解析】 (1) 分 组 [-3,-2) [-2,-1) (1,2] (2,3] (3,4] 频 数 5 8 25 10 2 频 率 0.10 0.16 0.50 0.20 0.04
频数 求解. 样本总数

合计

50

1.00

(2)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为 0.50+0.20=0.70. 答: 不合格品的直径长与标准值的差落在区间 (1,3] 内的概率为 0.70. (3)合格品的件数为 20 ?
5 000 ? 20 =1 980(件). 50

答:合格品的件数为 1 980 件. 13.【解析】(1)x=4,y=0.3,众数为 22.5 微克/立方米,中位数为 37.5 微克/立方米. (2)其频率分布直方图如图所示:

(3)样本的平均数为 7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5× 0.1=40.5. 因为 40.5>35,所以去年该居民区 PM2.5 的年平均浓度不符合环境空 气质量标准,故该居民区的环境需要改进. 【变式备选】某中学一个高三数学教师对其所教的两个文科班(每班各 50 名学生)的学生的一次数学成绩进行了统计, 高三年级文科数学平均

分是 100 分,两个班数学成绩的频率分布直方图如下(总分:150 分). (1)文科 1 班数学平均分是否超过年级平均分? (2)从文科 1 班中任取一人,其数学成绩达到或超过年级平均分的概率 是多少? (3)文科 1 班一个学生对文科 2 班一个学生说: “我的数学成绩在我班 是中位数,从你班任抽一人的数学成绩不低于我的成绩的概率是 0.60” ,则文科 2 班数学成绩在[100,110)内的人数是多少?

【解析】(1)文科 1 班数学平均分至少是
80 ? 4+90 ? 13+ 100 ? 19+ 110 ? 7+ 120 ? 5+ 130 ? 2 = 100.4, 50

文科 1 班数学平均分超过年级平均分. (2)文科 1 班在[100,110), [110,120), [120,130), [130,140), [140,150]分数段共有人数是 33,从文科 1 班中任取一人,其数学成 绩达到或超过年级平均分的概率是 0.66. (3)设文科 1 班这个学生的数学成绩是 x,则 x∈[100,110),文科 2 班数学成绩在[80,90), [90,100), [100,110)内的人数分别是 b,c, y, 如果 x=100,则
y+ 11+3+ 1 =0.60, y=15,即文科 2 班数学成绩在 50

[100,110)内的人数至少是 15 人. 又∵ ?
?b+c+y=35, ?4 ? b ? 10, ∴由 3<b<11<c<y 得: ? 1, ?3 ? b ? 11 ? c ? y, ?12 ? c ? y-

∴4+12+y≤b+c+y=35≤10+y-1+y?13≤y≤19, 则文科 2 班数学成绩在 [100,110)范围内的人数是 15 或 16 或 17 或 18 或 19.

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