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2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义:第三章 三角函数、解三角形


第三章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.角的概念 ?按旋转方向不同分为正角、负角、零角. (1)分类? ?按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集 合 S={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}. 2.弧度的定义和公式 (1)定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. (2)公式:①弧度与角度的换算:360° =2π 弧度;180° =π 弧度;②弧长公式: 1 1 l=|α|r;③扇形面积公式:S 扇形=2lr 和2|α|r2. 3.任意角的三角函数 (1)定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin α=y, y cos α=x,tan α=x(x≠0). (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都 在 x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0). 如图中有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线,余弦线和正切线. 1.易混概念:第一象限角、锐角、小于 90° 的角是概念不同的三类角.第一 类是象限角,第二、第三类是区间角. 2.利用 180° =π rad 进行互化时,易出现度量单位的混用. 3.三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α=y,cos α=x, y y x y tan α=x,但若不是单位圆时,如圆的半径为 r,则 sin α=r ,cos α= r ,tan α=x. [试一试] 1.若 α=k· 180° +45° (k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 答案:A 2.已知角 α 的终边经过点( 3,-1),则 sin α=________. 1 答案:-2 ) B.第一或第二象限 D.第三或第四象限 1.三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余 弦; 2.对于利用三角函数定义解题的题目,如果含有参数,一定要考虑运用分类 讨论,而在求解简单的三角不等式时,可利用单位圆及三角函数线,体现了数形 结合的思想. [练一练] 若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角 解析: 选C ) B.第二象限角 D.第四象限角 由 sin α<0, 知 α 在第三、 第四象限或 α 终边在 y 轴的负半轴上, 由 tan α>0,知 α 在第一或第三象限,因此 α 在第三象限. 考点一 角的集合表示及象限角的判定 1.给出下列四个命题: 3π 4π ①- 4 是第二象限角; ② 3 是第三象限角; ③-400° 是第四象限角; ④-315° 是第一象限角.其中正确的命题有( A.1 个 C.3 个 解析:选 C ) B.2 个 D.4 个 3π 4π π 4π - 4 是第三象限角,故①错误; 3 =π+3,从而 3 是第三象限 角,故②正确;-400° =-360° -40° ,从而③正确;-315° =-360° +45° ,从而 ④正确. ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z? , 2.设集合 M=?x?x=2· ? ? ? ? ? ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z ?,那么( N=?x?x=4· ? ? ? ? ? ) A.M=N C.N?M B.M?N D.M∩N=? ? ? ? k 180° +45° ,k∈Z? ={?,-45°


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