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2016年天津市红桥区高三一模考试数学(理科)试卷含答案


天津市红桥区 2016 届高三一模考试 高三数学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条 形码。答题时,务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和 答题卡一并交回

。 祝各位考生考试顺利! 参考公式:
? 如果事件 ? 如果事件

A , B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . A , B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) .
那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的 A 发生的概率是 p ,
n?k

? 如果在 1 次试验中某事件
k k

概率是 P n (k ) ? Cn p (1 ? p)



? 柱体体积公式: V ? sh ,其中 s 表示柱体底面积, h 表示柱体的高. ? 锥体体积公式: V ?

1 sh ,其中 s 表示柱体底面积, h 表示柱体的高. 3
2

? 球体表面积公式: S ? 4πR , 其中 R 表示球体的半径. ? 球体体积公式: V ?

4 3 πR ,其中 R 表示球体的半径. 3

第Ⅰ卷
注意事项: 1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 2.本卷共 8 题,共 40 分。 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) i 是虚数单位,计算 (A) ?

3i ? 2?i
3 3 (B) ? ? i 2 2 3 (D) ? -3i 2

3 3 ? i 2 2

3 (C) ? ? 3i 2

(2)若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是

(A) 2 (C) 4

(B) 3 (D) 5


开始 n=13,k=0 n 为奇数 否

? x ? y ? 1 ≤ 0, ? n ?1 (3)若实数 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ≤ 0,则目标函数 z ? x ? 3 y n? 2 ? y ≤ 1. ?
的最小值为 (A) 0 (C) ?
3 2

n?

n 2

k=k+1 n =1? 是 输出 k 结束 否

(B) 1 (D) ?3

b, c, B, C 的对边分别为 a , (4)在 △ABC 中,角 A ,

(第 2 题图)

满足 a sin A ? c sin C ? (a ? b)sin B ,则角 C 的值为 (A) (C)
? 6 ? 3

(B) (D)

? 4

5? 6

? x ? 2 ? 2t (5)直线 ? ( t 为参数)被曲线 ? ? 4cos ? 所截的弦长为 ? y ? ?t
(A) 4 (C)
16 5 5

(B)

8 5 5

(D) 8

(6)过双曲线

x2 y 2 b ? 0) 的一个焦点 F 作双曲线的一条渐近线的垂线,若垂 ? ? 1 (a ? 0 , a 2 b2

c 线的延长线与 y 轴的交点坐标为 (0 , ) ,则此双曲线的离心率是 2

(A) 2 (C) 2

(B) 3 (D) 5

(7)已知函数 f ( x) ? a | x | ?3a ? 1 ,若命题 ?x ? ? ?1,1? ,使 f ( x) ? 0 是假命题,则实数 a 的 取值范围为

1 (A) (??, ? ] 2 1 1 (C) [? , ? ] 2 3

1 (B) (??, ? ] ? (0, ? ?) 2 1 1 (D) (??, ? ] ? [? , 0) 3 2

(8) 如图, 以 △ABC 的 BC 边为直径的半圆交 AB 于点 D , 交 AC 于点 E ,EF ? BC 于 F ,
BF : FC ? 5 :1 , AB ? 8 , AE ? 2 ,则 AD 长为

(A)

1 ? 21 2

A D E C

1? 3 (B) 2

(C)

1? 2 2

B

F
(第 8 题图)

43 (D) 2

第Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 。 ......... 2.本卷共 12 题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. ( 9 )某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取 了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n )进行统计.按
60) , [60 , 70) , [70 , 80) , [80 , 90) , [90 , 100] 的分组作出如图所示的频率分布直方 照 [50 , 60) 的有 8 人,在 [90 , 100] 的有 2 人,由 图,但由于不慎丢失了部分数据.已知得分在 [50 ,

此推测频率分布直方图中的 x ?



x 1 8 (10)二项式 ( ? 3 ) 的展开式中常数项是 2 x

. (用数字作答)

?| x ? 1| , x ≤ 0 , (11)已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 y ? f ( x) ? a 有 ?| x ? 2 x | ,x ? 0 .

x
1

三个零点,则实数 a 的取值范围是



(12)如图,是一个几何体的三视图,其中正视图与侧视图完 全相同,均为等边三角形与矩形的组合,俯视图为圆, 若已知该几何体的表面积为 16 ? ,则 x ? .

正视图

正视图

(13)若曲线 y ? x 与直线 x ? a ( a ? 0 ) , y ? 0 所围成封闭 图形的面积为 a ,则 a ?
2

正视图 (第 12 题图)



(14)如图,在 △ABC 中,已知 ?BAC ?

? , AB ? 2 , AC ? 4 , 3 ???? ??? ? ???? 点 D 为边 BC 上一点, 满足 AC ? 2 AB ? 3 AD , 点 E 是 AD 上 ??? ? ??? ? 一点,满足 AE ? 2 ED ,则 BE ? .

B

D
E A
(第 14 题图)

C

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

?x
2

cos(

?x
2

? ?x ?x ? ? ) ? cos sin( ? ) ( x ? R) 的最小正周期为 ? 4 2 2 4

(Ⅰ)确定 ? 的值;
? ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?? , ] 上的最大值和最小值. 4 2

(16) (本小题满分 13 分) 袋中装有 4 个黑球和 3 个白球,现在甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然 后甲再取??取后不放回,每次一人只取 1 球,直到两人中有一人取到白球为止,每个球在 每一次被取出的机会是相等的,用 ξ 表示终止时所需要的取球次数. (Ⅰ)求甲第一次取球就取到白球的概率; (Ⅱ)求随机变量 ξ 的概率分布和数学期望.

(17) (本小题满分 13 分) 设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列( n ? N ) ,且 a1 ? 1 , b1 ? 3 ,
?

已知 a2 ? b3 ? 30 , a3 ? b2 ? 14 (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 cn ? (an ? 1) ? bn , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,( n ? N ) ,试比较 Tn 与 2an bn 的大小. (18) (本小题满分 13 分) 如图,已知在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱) ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? DC ,
?

AB ∥ DC , DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ? 2 .
(Ⅰ)求证: DB ? 平面 B1 BCC1 . (Ⅱ)求 BC1 与平面 A1BD 所成的角的的正弦值; (Ⅲ)求二面角 A1 ? DB ? C1 的正弦值.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 离 AF ? 2 ? 5 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, P(2,1) 为定点,当△
MNP 的面积最大时,求 l 的方程.

2 5 x2 y 2 ,左顶点 A 与右焦点 F 的距 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 5 a b

(20) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = ax - 2 - ln x (a ? R ) . (Ⅰ)若 f ( x)在点(e, f (e)) 处的切线斜率为 (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间;
x (Ⅲ)若 g ( x) = ax - e ,求证:在 x > 0 时, f ( x) > g ( x) .

1 ,求 a 的值; e

天津市红桥区 2016 届高三一模考试 高三数学(理)参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 40 分 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 C 5 A 6 D 7 C 8 B

二、填空题:每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9
0.03

10 7

11
(0, 1]

12
2 3

13
4 9

14
2 21 9

三、解答题:共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

?x
2

cos(

?x

? ?x ?x ? ? ) ? cos sin( ? ) ( x ? R) 的最小正周期为 ? 2 4 2 2 4

(Ⅰ)确定 ? 的值;
? ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ?? , ] 上的最大值和最小值. 4 2

解: (Ⅰ) f ( x) ? sin
?

?x
2

cos(

?x

? ?x ?x ? ? ) ? cos sin( ? ) 2 4 2 2 4

2 ?x ?x ?x 2 ?x ?x ?x (sin cos ? sin 2 )? (cos sin ? cos 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2

?

2 2 ? sin ? x ? cos ? x ? sin(? x ? ) --------------------------4 分 2 2 4

因为最小正周期 ? ?

??, ? 所以 ? ? ? .---------------------------------------------------------7 分

2?

? (Ⅱ) f ( x) ? sin(2 x ? ) 4 ? ? ? ? f ( x) 在 ?? , ] 上是增函数,在 ? , ] 是减函数,---------------------------9 分 4 8 8 2
? 2 ? 2 ? f (? ) ? ? , f ( ) ?1 , f ( ) ? ? , 4 2 2 2 8

2 ? ? 故函数 f ( x) 在区间 ?? , ] 上的最大值为 1,最小值为 ? .----------------13 分 2 4 2 (16) (本小题满分 13 分)

袋中装有 4 个黑球和 3 个白球,现在甲、乙两人从袋中轮流取球,甲先取,乙后取,然 后甲再取??取后不放回,每次一人只取 1 球,直到两人中有一人取到白球为止,每个球在 每一次被取出的机会是相等的,用 ξ 表示终止时所需要的取球次数. (Ⅰ)求甲第一次取球就取到白球的概率; (Ⅱ)求随机变量 ξ 的概率分布和数学期望. 解:(Ⅰ)设“甲第一次取到白球”的事件为 A,则 P(A)=P(ξ =1). 因为事件“ξ =1”, 3 所以 P(A)=P(ξ =1)= .----------------------------------------------4 分 7 (Ⅱ)由题意知 ξ 的可能取值为 1,2,3,4,5.--------------------------6 分 3 7

P(ξ =1)= ; P(ξ =2)= P(ξ =3)=
4×3 2 = ; 7×6 7 4×3×3 6 = ; 7×6×5 35 4×3×2×3 3 = ; 7×6×5×4 35

P(ξ =4)= P(ξ =5)=

4×3×2×1×3 1 = .-----------------------------------------10 分 7×6×5×4×3 35 ξ 1 3 7 2 2 7 3 6 35 4 3 35 5 1 35

所以取球次数 ξ 的概率分布如下表所示:

P

3 2 6 3 1 E(? ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 2 ------------------13 分 7 7 35 35 35

(17) (本小题满分 13 分) 设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列( n ? N? ) ,且 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 已知 a2 ? b3 ? 30 , a3 ? b2 ? 14 . (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? (an ? 1) ? bn , Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ,( n ? N? ) ,试比较 Tn 与 2an bn 的大 . 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 公差为 d ,等比数列 ?bn ? 公比为 q 依题意: ?

?d ? 3q 2 ? 29 ? 2d ? 3q ? 13

? 2q 2 ? q ? 15 ? 0 -------------------------2 分

解得: q ? 3 , d ? 2 -----------------------------------------------4 分 所以 an ? 2n ? 1, bn ? 3n .------------------------------------------6 分 (Ⅱ) cn ? (an ? 1) ? bn ? 2n ? 3n ,

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? 2(n ? 1) ? 3n?1 ? 2n ? 3n ① 3Tn ? 2 ? 32 ? 4 ? 33 ? ? ? 2(n ? 1) ? 3n ? 2n ? 3n?1 ②
① ②得: ?2Tn ? 2(3 ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ) ? 2n ? 3n?1 ,--------------------------8 分

Tn ? n ? 3n?1 ?

3(1 ? 3n ) 1 3 ? (n ? ) ? 3n?1 ? -------------------------------------9 分 1? 3 2 2

又 3anbn ? 3(2n ? 1)3n
Tn ? 2anbn ? ( 2n ? 1 n?1 3 3 1 ) ? 3 ? ? 2(2n ? 1)3n ? ? (2n ? 1)3n ----------------------10 分 2 2 2 2

当 n ? 1 时, Tn ? 2an bn 当 n ≥ 2 时, Tn ? 2an bn ? 0 . 所 以 Tn ? 2 an bn. ----------------------------------------------------------13 分 (18) (本小题满分 13 分) 如图, 已知在直四棱柱 (侧棱垂直底面的棱柱)ABCD ? A1 B1C1 D1

中, AD ? DC , AB ∥ DC , DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB ? 2 . (Ⅰ)求证: DB ? 平面 B1 BCC1 . (Ⅱ)求 BC1 与平面 A1BD 所成的角的的正弦值; (Ⅲ)求二面角 A1 ? DB ? C1 的正弦值. (Ⅰ) 以 D 为原点, DA,DC,DD1 所在直线分别为

x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则 D (0, 0, 2) , 0, 0) , B(11 , , 0) , C1 (0,2,2) , A1 (1, B1 (11 , , 2) , C (0,2,0) . ------------------------------------------------1 分 ???? ??? ? ??? ? DB ? (11 , , 0) BC ? ( ?1,1,0) , BB1 ? (0,0, 2) ----------------------------2 分 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BD ? BC ? ?1 ? 1 ? 0 ? BD ? BC ? BD ? BC ??? ? ???? ??? ? ???? BD ? BB1 ? 0 ? BD ? BB1 ? BD ? BB1 又因为 B1 B ? BC ? B. 所以, DB ? 平面 B1 BCC1 . ---------------4 分 (Ⅱ)设 n ? ( x,y,z ) 为平面 A1 BD 的一个法向量. ???? ? ??? ? ???? ??? ? 由 n ? DA1 , n ? DB , DA1 ? (1,0, 2), DB ? (11 , , 0) ? x ? 2 z ? 0, 得? 取 z ? 1, 则 n ? (?2,, ???----------.6 2 1) . ? x ? y ? 0.
分 设 又 BC1 ? ( ?1,1, 2) 所 成 的 A1 BD ???? ? ???? ? |n ? BC1 | 6 6 ? , sin? ? | cos ? n ,BC1 ? ? | ???? ? ? 3 | BC1 || n| 6? 9 与 平 面

???? ?

BC1





?





即 BC1 与平面 A1BD 所成的角的的正弦值

6 .???---------------.8 分 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 A1 BD 的一个法向量为 n ? (?2,, 2 1) 设 m ? ( x1,y1,z1 ) 为平面 C1 BD 的一个法向量, 由 m ? BC1 , m ? DB , BC1 ? ( ?1,1, 2) , DB ? (11 , , 0) 得?

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

?? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0, 取 x1 ? 1 ,则 m ? (1, -1, 1) .???--------------10 分 ? x1 ? y1 ? 0.
m ?n ?3 1 , ? ?? m ? n 3? 3 3

设 m 与 n 所成角为 ? ,则 cos ? ?

所以二面角 A1 ? DB ? C1 的正弦值为

6 .------------------------------13 分 3

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 离 AF ? 2 ? 5 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点, P(2,1) 为定点,当 △ MNP 的面积最大时,求 l 的方程. 解: (Ⅰ)由 e ?
2 5 c 2 5 得: ? ,①--------------------------------------1 分 5 a 5 2 5 x2 y 2 ,左顶点 A 与右焦点 F 的距 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 5 a 2 b2

由 AF ? 2 ? 5 得 a ? c ? 2 ? 5 ,②----------------------------------------3 分 由①②得: a ? 5 , c ? 2 , b ? 1 ,---------------------------------------5 分

x2 ? y 2 ? 1 .--------------------------------------------6 分 5 (Ⅱ)过右焦点 F (2, 0) 斜率为 k 的直线 l : y ? k ( x ? 2) ,--------------------7 分
椭圆 C 的方程为 联立方程组:
? x2 ? y2 ? 1 ? 消元得: (1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ---------------------------8 分 ? 5 ? y ? k ( x ? 2) ?

设交点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ?

20k 2 20k 2 ? 5 , ------------------------------------------9 分 x x ? 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

20k 2 2 80k 2 ? 20 ) ? MN ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ? 1 ? k 2 ( 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

? 1? k2

20(k 2 ? 1) ,---------------------------------------------------10 分 1 ? 5k 2
1 1? k2

点 P(2,1) 到直线 l 的距离 d ?



所以△ MNP 的面积 S ?

1 1? k2 2

20(k 2 ? 1) 5(k 2 ? 1) 1 ? 2 1 ? 5k 1 ? 5k 2 1? k2

令 1 ? k 2 ? t ≥1 ,则 S ?

5t 5 , ? 5t ? 4 5t ? 4 t
2

记 g (t ) ? 5t ?

4 ,单调递增, g (t )min ? g (1) ? 1 ,所以 S 最大值为 5 , t

此时, k ? 0 ,l 的方程: y ? 0 .---------------------------------------------14 分 (20) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) = ax - 2 - ln x (a ? R ) . (Ⅰ)若 f ( x)在点(e, f (e)) 处的切线斜率为 (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 g ( x) = ax - e ,求证:在 x > 0 时, f ( x) > g ( x) . 解: (Ⅰ)若 f ( x)在点(e, f (e)) 处的切线斜率为
x

1 ,求 a 的值; e

1 e,

k= f? (e) = a -

1 1 = e e,

得a =

2 e .----------------------------------------------3 分
1 ax - 1 = ( x > 0) x x
1 a
-------------------------5 分

(Ⅱ)由 f '( x) = a -

当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 解得: x ?

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 随 x 变化情况如下表:

1 (0, ) a
f '( x)

1 a
0

1 ( , ??) a

?

?

f ( x)
由表可知: f ( x ) 在 (0, ) 上是单调减函数,在 ( , ??) 上是单调增函数 所以,当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??)
x (Ⅲ)当 x ? 0 时,要证 f ( x) ? ax ? e x ? 0 ,即证 e ? ln x ? 2 ? 0

1 a

1 a

1 a

1 a

------8 分

令 h( x) ? e x ? ln x ? 2

( x ? 0) ,只需证 h( x) ? 0

? h '( x) ? e x ?

1 x

x 由指数函数及幂函数的性质知: h '( x ) ? e ?

1 在 (0, ??) 上是增函数 x

又 h '(1) = e - 1 > 0, h '( ) = e 2 - 3 < 0
1 2

1 2

1

∴ h '(1)?h '( ) < 0

1 2

h '( x) 在 ( ,1) 内存在唯一的零点,也即 h '( x) 在 (0, + ? ) 上有唯一零点----------10 分
设 h '( x) 的零点为 t ,则 h '(t ) = et 由 h '( x) 的单调性知: 当 x ? (0, t ) 时, h '( x) < h '(t ) = 0 , h( x) 为减函数 当 x ? (t , ? ) 时, h '( x) > h '(t ) = 0 , h( x) 为增函数, 所以当 x > 0 时,

1 1 1 = 0, 即 et = ( < t < 1), t t 2

h( x) ? h(t )

1 1 et - ln t - 2 = - ln t - 2 t e 1 = + t- 2? 2 2= 0 t



1 < t < 1, ,等号不成立∴ h( x) > 0 2


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