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河北省容城中学2014-2015学年高二数学升级考试试题 文


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河北省容城中学 2014-2015 学年高二升级考试试题(数学文)
(考试时间:120 分钟 分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1、设集合 U ? {1, 2,3, 4,

5, 6} , A ? {x ? N |1 ? x ? 3} ,则 CU A ? A.U B.{1,2,3} C.{4,5,6} D.{1,3,4,5,6} ( ) ( )

2、已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1, 则 ?p 是 A. ?x ? R,sin x ? 1 C. ?x ? R,sin x ? 1 B. ?x ? R,sin x ? 1 D. ?x ? R ,sin x ? 1

3、下列函数中,在区间 (0, ??) 上存在最小值的是 A. y ? ( x ? 1)2 B. y ?

( D. y ? log 2 x



x

C. y ? 2x

4 、记函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,若 f ( x) 对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为

y ? ? x ? 1 ,则
A. f ?( x0 )=2 B. f ?( x0 )=1 C. f ?( x0 ) ? 0 D. f ?( x0 )= ? 1





5、已知函数 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ex ,则 f (?1) ? A.





1 C. e D. ?e e 2 2 2 6 、若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点与双曲线 x ? y ? 2 的右焦点重合,则 p 的值为
B. ? ( A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 2 )

1 e

7、设 a ? ?1 , b ? 2log3 m ,那么“ a ? b ”是“ m ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件
3 2

3 3

”的





B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

8、函数 f ( x) = - x + 3x - 4 的图象在 x ? 1 处的切线方程为 A. x + 3 y + 5 = 0 C. 3x + y - 1 = 0 B. 3x - y - 5 = 0 D. x - 3 y - 7 = 0

1

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π π 9、函数 f ( x) ? 2sin( x ? )cos( x ? ) 图象的一条对称轴方程是 6 6


2π 3



A. x ?

π 6

B.

x?

π 3

C. x ?

5π 12

D. x ? 1 1 1 1

10 、 一个几何体的三视图如图所 示,则该几何体的体积的是( A. 7 B. 15 2 C. 23 3 D. 47 6 2 ) 2

1

正(主)视图 1 1

侧(左)视图

2 俯视图

y?
11、函数

x3 2 x ? 1 的图像大致是





12 、 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f ? ? x? , 当 x ? 0 时 ,

f ?? x? ?

f ? x? 1 ? 0 ,若 a ? x 2

?1? ? 1? f ? ? , b ? ?2 f ? ?2 ? , c ? ? ln ? ?2? ? 2?

? 1? f ? ln ? ,则 a, b, c 的大小 ? 2?
( )

关系正确的是 A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? a ? b

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13、若复数 z ?

a?i ,且 z ? R ,则实数 a =_____. i
2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 14、 已知平面向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , (a ? b) ? (a ? b) ,那么 | b |= ____.

?y ? x ? 15、已知 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2x ?y 的最大值与最小值的比为 ?x ? 2 ?
16、 如图, 直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 4 处的切线, 令 g ( x) ? y ? f ( x) 是可导函数, 则 g ?(4) ? ;

.

f ( x) , x

y
5 3
(4 ,5)

l

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 y ? f ( x) 证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分)在科普知识竞赛前的培训活动中,将甲、 O 4 乙两名学生的 6 次培训成绩(百分制)制成如图所示的茎叶图: (1)若从甲、乙两名学生中选择 1 人参加该知识竞赛,你会选哪 位?请运用统计学的知识说明理由; (2)若从学生甲的 6 次培训成绩中随机选择 2 个, 求选到的分数中至少有一个大于 85 分的概 率.

x

18、(本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin x ,1?

3 cosx ), n ? (1 ? sin x,cos x ) ,函数

f ( x) ? m ? n + 3 .
(1)求函数 f ( x) 的零点; (2)若 f (? ) ?

8 π ,且 ? ? ( , π) ,求 cos? 的值. 5 2

19、 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 E ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, AE ? 平 面 CDE ,已知 AE ? DE ? 2 , F 为线段 DE 的中点. (1)求证: BE // 平面 ACF ; (2)求四棱锥 E ? ABCD 的体积.

B A

3

C

E
F

D

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20、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 ,且 a1 , a3 , a11 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式;
n (2)若 bn ? an ? 2 ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e 处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值;

x

曲线 y=f(x)在点(0, f(0)) ? ax ? b? ? x2 ? 4x ,

(2)若对任意实数 m ? (0,??) ,不等式 f ( x) ? 4e ( x ? 1) ? m( x ? 2) ? 2 x 恒成立,求 x 的
x 2

取值范围.

22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? a (其中 a ? R ,e 是自然对数的底数,e =2.71828?) . (1)当 a ? e 时,求函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 高二年级升级考试数学参考答案(文科) 一、1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 6、C 7、C 8、B 9、C 10、 D 11、C 12、C

二、13、0.

14、 2

15、 2 : 1

16、 ?

3 16

三、17、解:(1)学生甲的平均成绩 x甲 ?

68 ? 76 ? 79 ? 86 ? 88 ? 95 ? 82 , 6 71 ? 75 ? 82 ? 84 ? 86 ? 94 学生乙的平均成绩 x乙 ? ? 82 , 6

1 又 s2甲 ? [(68 ? 82)2 ? (76 ? 82)2 ? (79 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (88 ? 82)2 ? (95 ? 82)2 ] ? 77 , 6
1 167 , s2乙 ? [(71 ? 82)2 ? (75 ? 82)2 ? (82 ? 82)2 ? (84 ? 82)2 ? (86 ? 82)2 ? (94 ? 82) 2 ] ? 6 3
则 x甲 ? x乙 , s 2甲 ? s 2乙 , 说明甲、乙的平均水平一样,但乙的方差小,则乙发挥更稳 定,故应选择学生乙参加知识竞赛.5 分 注:(1)由茎叶图的分布可知应选择乙同学.(可给 2 分) (2)由茎叶图可以看到甲的平均成绩在 80 分左右,其分布对称,乙的平均成绩在 80 分 左右,但总体成绩稳定性较好,故应选择乙同学.(可给 4 分) (2) 从学生甲的成绩中随机选择 2 个,其基本事件有(68,76),(68,79),(68,86), (68,88),(68,95),(76,79),(76,86),(76,88),(76,95),(79,86),(79,88),(79,95), (86,88),(86,95),(88,95),共有 15 个,其中选到的分数中至少有一个大于 85 分的事件 有 12 个,故所求的概率 P ? 分 18、 .解: (1) f ( x) ? m ? n + 3 ? 3sin x ? 3sin 2 x ? cos x ? 3 cos2 x ? 3
12 4 ? . ···················· 10 15 5

π ? 3sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) ,????(3 分) 6 π π π 由 2sin( x ? ) ? 0 ,得 x ? ? kπ (k ? Z) ,所以 x ? kπ ? (k ? Z) , 6 6 6 π 所以函数 f ( x) 的零点为 x ? kπ ? (k ? Z) .??????(6 分) 6
5

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π 8 π 4 ,所以 sin(? ? ) ? ,??(8 分) 6 5 6 5 π 2π π 7π π 3 因为 ? ? ( , π) ,所以 ? ? ? ? ,则 cos(? ? ) ? ? ,???(10 分) 2 3 6 6 6 5 π π π π π π 所以 cos? ? cos[(? ? ) ? ] ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin 6 6 6 6 6 6 3 3 4 1 4?3 3 ?? ? ? ? ? . ????(12 分) 5 2 5 2 10 19、证明: (1) 连结 BD 和 AC 交于 O ,连结 OF ,?????????1 分
(1)由(2)知 f (? ) ? 2sin(? ? ) ?

? ABCD 为 正 方 形 , ? O 为 BD 中 点 , ? F 为 DE 中 点 , B ? OF // BE , ???4 分 ? BE ? 平面 ACF , OF ? 平面 ACF ? BE // 平面 ACF .???????????5 分 O (2) 作 EG ? AD 于 G ? AE ? 平面 CDE , CD ? 平面 CDE ,? AE ? CD , ? ABCD ? CD ? AD 为 正 方 形 , , C ? AE ? AD ? A, AD, AE ? 平面 DAE , D ? CD ? 平 面 D A E, ? ? ? ? ? 7 分 ? CD ? EG , ? AD ? CD ? D , ? EG ? 平面 ABCD ???8 分 ? AE ? 平面 CDE , DE ? 平面 CDE ,? AE ? DE ,? AE ? DE ? 2 ,

A

G

E

F

? AD ? 2 2 , EG ? 2

?10 分

1 1 8 2 ??? 12 ? 四棱锥 E ? ABCD 的体积 V ? S? ABCD ? EG ? ?(2 2)2 ? 2 ? 3 3 3
分 20、解: (1)因为数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d , 所以 a3 ? a1 ? 2d ? 2 ? 2d . a11 ? 2 ? 10d. ???? 2 分 ?????? 3 分 ???? 4分 因为 a1 , a3 , a11 成等比数列,所以 a32 ? a1 ? a11.
2

2 即 ? 2 ? 2d ? ? 2 ? ? 2 ? 10 d ? . 所以 d ? 3d ? 0. 所以 d ? 0 ,或 d ? 3.

因为 d ? 0 ,所以 d ? 3.
n (2) 因为 bn ? an ? 2 ?

5分

所以 an ? 2 ? 3 ? n ?1? ? 3n ?1.

???? 6 分

1 3 n ,所以 bn ? 3n ? 2 ? . 2 2

???? 7 分

所以 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 3 ? 2 ?

? ?

3? ? 3? 3? ? 2 n ? ? ? 6 ? 2 ? ? ? ? ? ? 3n ? 2 ? ? 2? ? 2? 2? ?
????? 10 分

3 ? ? 3 ? 6 ? ? ? 3n ? ? ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? ? n 2

? 3n2 ? 3n ? 3 3 2 n ?1 n ?1 ?? ? ? ? 2 ? 2? ? n ? 2 n ? 2 ? 2. 2 2 ? ?

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?
x

3 2 n ? 2n ?1 ? 2. 2

????? 12 分

21、解:(1)f′(x)=e (ax+a+b)-2x-4.?????????????2 分 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4.
x

???4 分

?????????????6 分
2

(2)由(1)知,f(x)=4e (x+1)-x -4x, 所以 4e (x+1)-x -4x ? 4e x ( x ? 1) ? m( x 2 ? 2) ? 2x ,
x
2

即 m( x 2 ? 2) ? x 2 ? 2x ? 0 对任意实数 m ? (0,??) 恒成立.?? 7 分 令 g (m) ? ( x 2 ? 2)m ? x 2 ? 2 x ,则函数 g ( m) 是关于 m 的一次函数,?8 分
2 由 x ? 2 ? 0 ,故 g ( x) 在 (0,??) 上为增函数.只需 g (0) ? ? x 2 ? 2 x ? 0,

?10 分

得 ? 2 ? x ? 0 ,故使原不等式恒成立的 x 的取值范围是 ?? 2,0? .????12 分

22、解:(1) 当 a ? e 时, f ( x) ? e x ? ex ? e , f ?( x) ? e x ? e , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?e ,函数 f ( x) 无极大值. ······ 5 分 (2)由 f ( x) ? e x ? ax ? a , f ?( x) ? e x ? a ,
) ? 0 , 若a ? 0, 则 f ?( x 函数 f ( x) 单调递增, 当 x 趋近于负无穷大时, f ( x) 趋近于负无穷大;

当 x 趋近于正无穷大时, f ( x) 趋近于正无穷大,故函数 f ( x) 存在唯一零点 x0 ,当 x ? x0 时,
f ( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, f ( x) ? 0 .故 a ? 0 不满足条件. ············ 8 分

若 a ? 0 , f ( x) ? e x ? 0 恒成立,满足条件. ················· 9 分 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln a ,当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ln a 时, f ?( x) ? 0 ,所 以函数 f ( x) 在 (??,ln a) 上单调递减,在 (ln a, ??) 上单调递增,所以函数 f ( x) 在 x ? ln a 处 取得极小值 f (ln a) ? eln a ? a ? ln a ? a ? ?a ? ln a ,由 f (ln a) ?0 得 ? a ? ln a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 . 综上,满足 f ( x) ? 0 恒成立时实数 a 的取值范围是 [0,1] . ··········· 12 分

7


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