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巧用伸缩变换解椭圆问题


中学生数学 ? 2 0 1 4 年1 月上 ? 第4 8 1 期( 高中)  

巧f } j 伸缩变换解椭圆问题 
安 徽省 池州 市第 一 中学 ( 2 4 7 0 0 0 )   吴 成强 

思  路 
幺 

定 义  设 点 P(  ,  ) 是 平 面 直 角 坐 标 系 中 

>
算, 这 些 方 法 的运 算 量 还 是 比较 大 的 , 还 是 给  人 以 比较 繁 、 难 的感 觉 , 这 与 数 学 追 求 简 约 美  不太 吻合 . 所以, 我们 有 必 要 探究 新 的思 路 , 新 
的方 法 来 求 解 , 用 伸 缩 变 换 将 椭 圆变 成 圆 , 问  题求解 应 该会 简单不 少.  

f . r   一 . . z 。  
的任 意 一 点 , 在 变 换  :   ,  
。   【   一  ’  

的作 用 下 ,  

万 

点 P(  ,  ) 对 应到 点 P   (   ,  ) , 称  为 平 面 直  角坐 标 系 中的坐标 伸缩变 换 , 简称 伸缩 变换 .   伸 缩 变换 这 个 概 念 是 在 人 教 版 选 修 4 —4   中讲 到 的 , 由于 是 选 修 内容 , 高 考 要 求 不 是 很  高, 学 生 对 这 个 知 识 点 的 应 用 只 停 留 在 比 较 肤  浅 的层 面 上 , 缺 乏 一 定 的高 度 和深 度 . 本 文 通  过几个 实 例 , 探 讨 了 伸 缩 变 换 在 解 决 某 些 问 题 

法 

f z , 一三。  

证 明   作 变 换 l   【  。 则 椭 圆 x   2   T   y 2 — 1  
一  

,  

变 为 圆  2 +  2 —1 , 圆 心 0  ( 0, 0 ) , 半径 r 一1 ,   点 P(  o ,y o)变 为
f   l   ,
0一

P  (z   0 ,Y   0) ,其 中 

时, 可 达到 化繁 为 简 , 化 难 为 易 的效 果 , 使 人 感 
到 耳 目一 新 , 思 维很受 启发 , 有 一种美 的享 受.  


XO  

—— ’  



直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 

{  
一  

“  由于 P   (  0 ,  o ) 在圆   +  2 —1  
,  

直线 与椭 圆 的 位 置 关 系 有 i种 , 即相 交 、  

相切 、 相离 , 而直 线 与 圆的位 置关 系 也 是 相 交 、   相切 、 相 离 三 种 .因 为 圆 的 方 程 比 椭 圆 的 方 程  相 对来 说要 简单 些 , 而 且 圆 的 几 何 性 质 比 椭 圆 

上  .  

3 +Y   5 —1 , 直线 z 变 为直 线 z   :  0 z  

+  c ,   一1 —0 . 圆心 0   ( 0 , O ) 到z   的距离 
.  

1  

1  

.  

的几何 性质 相对 来 说 既 丰 富 又简 单 , 所 以 将 直 


一  
。 . 

一 万一   一  

线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 转 化 为 直 线 与 圆 的 位 置 

直线 z   与 圆  。 +Y   2— 1相 切 , 因 为 

关系来处理 , 肯 定 要 简 单 很 多. 通 过 伸 缩 变 换  很 容 易 将 椭 圆变 成 圆 , 并且容易知道 , 直 线 与  椭 圆 的公共点 , 经 过 伸 缩 变 换 后 仍 是 直 线 与 圆 
的公 共 点 , 所 以 伸 缩 变 换 不 改 变 直 线 与 椭 圆 的 

伸缩 变换 不改 变 直 线 与椭 圆 的相 对 位 置关 系 ,   所 以 直 线 z与 椭 圆 C 相 切 , 即 点 P 是 椭 圆 C 与  直 线 l的 唯 一 交 点 .  
评 注  上 面 的 证 明 过 程 中 , 明 显 地 感 受 到 

相 对位 置关 系( 即 相交 、 相切 、 相离) , 这 样 就 会  使 问题 解决 变得 十分简 单.  
例 l   ( 2 0 0 9年 安 徽 理 科 高 考 试 题 改 编 ) 已 
,r

用伸 缩变 换将 椭 圆 变成 圆后 确 实 要 简单 很 多 ,  
几乎 不要 经过 多 少 运算 就 能 很 快 得 到结 果 , 这 

也 比标准 答案 给 出 的证 法 要 简 单 , 体 现 了 用 伸 
缩变 换解 决有 关 问题 的简约美 .  
二、 与 椭 圆 有 关 的 长 度 问 题 



2  

^I 2  
o 

知 点 P( . 2 7 o,  o ) 在 椭 圆 c: 兰  +  一 1 ( n >6 > 
?  

a 

1 ) 上, 直线 l :  
“ 

? +_ y O  一1 , 求证 : 点 P 是 椭 圆 

与 椭 圆 有 关 的 长 度 问 题 也 是 解 决 几 何 中 

常见 且 重 要 的 问 题 , 解 决 起 来 有 时 也 比 较 复  杂. 若恰当使用伸缩变换 , 可 使 问 题 求 解 变 得  简单 些. 伸 缩 变 换 保 持 直 线 的 平 行 性 以 及 平 行  线上 两个 线段 的长 度 之 比不 变 , 这 一 性 质 容 易 
理解 , 这里 就不 给 出证 明了.  

C 与 直 线 z的 唯 一 交 点 .   分 析  本 题 实 际 上 考 查 的 是 直 线 与 椭 圆 

相 切这 种位置 关 系 , 学 生 很 容 易 想 到 用 判 别 式 
法 或 导 数 的几 何 意 义 ( 在 某 点 处 的 导 数 就 是 该 

点处 的切线 的斜 率 ) 去 证 明. 但 由 于 是 字 母 运 

例 2 ( 2 0 0 9年 清 华 大 学 自主 招 生 考 试 ) 已  

N J : I [ : : z x s s . c b p t . c n k i . n e t

?

1   7 ?   ~一  …  c n  

中学生数学 ? 2 0 1 4年 1 月上 ? 第4 8 1期 ( 高中)  

知 椭 圆  +  - _I ( n >b >0 ) , 过 椭 圆 左 顶 点 
n 。   f ) “  

0 c 为 平 行 于 A B 的 半 径 , 求 证 :  


寸 一 碧  

A( 一“, 0 ) 的 直 线 z与 椭 圆 交 于 点 Q , 与  轴 交 

4 : _ Y   o   1 ( 这 里 MA M B、 OC 表 示 有 向 线 段 的 

路  P, 求证 : AQ, 、 / 2 0 P, AR 成等 比数列 .  
f   , 一   .  

于 点 R, 过 原 点 与 l平 行 的 直 线 与 椭 圆 交 于 点  数量 ) , 此结 论 又称 为椭 圆幂定 理.  

f  , 一   .  
证明 作 变换
“  

万 

证 明   作 变 换 { I   则 椭 圆   x 2   T   y 2 _ 一 l  
yl  

b ?  

1   , 一   : 则 椭 圆 薯 +   一 1  
P 

变为圆 z  +y l   2 —1 ,  

变 为圆 - z   2 +y r   2 — 1, 相 应地 , 图 3与 图 4 对 应 ,  

根 据题 意 , 图 1与 图 2对 应 ,  
’ 

J 
。 

/ / /  
A  

/ 、 > 

/ / /  

/ 
图 3  

图4  

根 据 圆的切 割线定 理 :  
M  A  ? M  B 一 M ’ P  2= = = O’ M  2 一 

相 应 地 点 A( 一 n, 0) 、 Q、 R、 P 分 别 对 应 于 
点 A  ( 一1 , 0 ) 、 Q  、 R   、 P   ,   设 A   Q  方 程 为  Y   一k( z   +1 ) ,   令  一 0得


一z   6 +Y   6 —1 ,  

即 

6  

.  

Y   一k,  

由 于 伸 缩 变 换 保 持 平 行 线 上 两 个 线 段 的 
长 度 之 比不 变 ,  
M A ?M B 






1 A   R  一 、 / T 干  ,  

√   一 c  

? ?

z . √  ,  
。   一2 .  

. 

堑一 +  一  
a2   b 2  

‘  

三、 与 椭 圆 有 关 的 最 值 问题 

I A   Q   1 . I A' R   I = =、 / / 丽

与 椭 圆 有 关 的 最 值 问 题 若 能 转 化 为 距 离 
来解 , 往 往 比较 简 单. 有 些 问 题 从 形 式 上 看 不  是距离 , 但 若用 伸 缩 变换 , 则 可转 化 为 距 离 , 从  而使 问题 求解变 得简 单.  

又  j   0  P  I 一1 ,  




. 

  1 A  Q I?1   A   R  【 一2     1 0  P  j   2 ,  
?   一z .  

即 

例 3  

已 知 实 数 U,7 3 满 足 不 等 式 组 

由 于 伸 缩 变 换 保 持 平 行 线 上 两 个 线 段 的 
长 度 之 比不 变 ,  
? . .

f 3 U +2  一 1 2 ≥ 0,  

{ l   9 “ 一 4   + 3 6  ̄ 0 , 求 z _ √ r 等 —   一 + — — 等 — T   最 小 值 .  
1 U 一4 ≤0 ,   分 析  目标 函 数 z   U z 十可 , U Z 类 似 于椭 圆  

有—  

?  

即  l   AQI?I   AR   I 一2     l OP    , 1  
即  AQ,   P, AR 成 等 比 数 歹 I f .  

方程 , 几 何 意 义 不 明显 , 通 过 伸 缩 变 换 将 椭 圆  变为圆, 几 何 意 义 就 十 分 明显 , 相 当 于 动 点 到  坐标 原点 的距 离.  

推 广  过 平 面 上 一 个 定 点 M (  。,  c   ) , 任 

作 一直 线 与 椭 圆X   2   T
“  

y2
 


1交 于 A、 B两点 .  

( 下 转第 1 9页 )  

… 

.   i . n 。 t

?

- 1 I   8 ?   … 

中学生数学 ? 2 0 1 4年 1 月上 ? 第4 8 1期 ( 高 中)  

云南 省腾 冲第 一 中学 ( 6 7 9 1 0 0 )   罗仁 章  云南 省施 甸第 二 中学 ( 6 7 8 2 0 6 )   王永 成  每年 的数学 高 考 题 有 一些 设 计 精 巧 、 解 法 
多样 、 知识覆盖面广 , 可 考 查 不 同层 次 考 生 的 
3 a— b一 9 .  

恶  路 
鸟 
万 

好题 、 佳 题. 考 生 可 根 据 自己 的知 识 网络 和 数  学 能力 捕捉 并转 化 题 目信 息 , 从 而 得 出不 同 的  解法, 虽 殊途 同 归 , 但却 有 方 法 之 优 劣 , 正 可谓  智者见智 , 赢在智者. 下 面 就 一 道 考 题 予 以说 
明.  

解 方 程 组_ {   『 3 1 a 5   a 一 - b, 4 一 b = 。 9 ,   。 ’ 得{ l b “  . 一 1 5 .   法 
‘ . . 

厂 ( z) = ( 1 一  ) ( z。 +8 x+ 1 5 ) .  

第 二 步通过 求 导数求 厂 ( z) 的最大值 .  
f   ( z ) 一一2 x ( x 。 +8 x +1 5 ) +( 1 一z   ) ( 2 x +8 )  
一一4 x。 一2 4 x 一 28 x+ 8  

题目   ( 2 0 1 3 年 全 国高考新 课 标卷 工理科  数 学第 1 6题 ) 若函数 厂 ( z ) 一( 1 一z 。 ) ( z   +a , T   +6 ) 的 图像 关 于直 线 z 一 一2对称 , 则  ( z ) 的  最 大值 为  思路一 .   第一步求 a 、 b . 因为 厂 (   ) 的 图像关 

一一4 (  。 +6 x。 +7 x一 2 ) ,  

通 过 观察 , 一2是 f   (  ) 一0的根 ( 注: 也 可 

直接得 出 一2是 导 数 方程 的根 , 理 由见 思 路 三 
前 面 的结论 ) .   对 导 函数式 右边 的多项 式进 行 因式分解 ,  
f   ( z) 一 ~4 ( z 。 +6 x 。 +8 x~ - z一 2 )  
= = : 一4 (  (  + 2 ) (  +4 ) 一( z+ 2 ) )  
一 一

于直线 z = = = 一2对称 , 取特 殊 对称 点 , 得 , ( O ) 一  
L 厂 ( 一4 ) = > 6 一( 1 —1 6 ) ( 1 6 —4 a+6 )   1 5 a一 4 b 一 
6 O。  

4 (  + 2 ) (   +4 z一 1 ) .  

又 厂 ( 一1 ) 一厂 ( 一3 )   O 一 一8 ( 9 —3 a+6 )  

( 下转 第 2 0页 )  

( 上接 第 1 8页 )  
u一 2 . z.  

即  
则 原 不 等 式 组 变 为 
f  + y一2 ≥ 0,  
3 x一 2  + 6 ≥ 0,  
l ‘  — —0Y ’  

i   一I OH l 一  一√ 2 .  
4 2  

解  作 变 换 
f 6 x+ 6 y 一1 2 ≥0  
1 8 x一 1 2  + 3 6 ≥o  

评 注  通 过 伸 缩 变 换 , 将 问 题 转 化 为 求 距 

离 的最小 值 , 就变得 简单 多 了.   本 文 中着 重 讲 到 了伸 缩 变 换 的 两 个 性 质 :   ( 1 ) 伸 缩 变 换 不 改 变 直 线 与 椭 圆 的 相 对 位 
置关 系 ;  
:  

l 2 x一4 ≤0  

l  一 2 ≤ 0,  
6  



目标 函 数 变 为 z  

( 2 ) 伸 缩 变 换 保 持 直 线 的 平 行 性 以 及 平 行 
线上 两个 线段 的长度 之 比不变 .  

一   z   +y 2 , 其 几 何 
意 义 为 坐 标 原 点 0( 0,  

利 用 这 两 个 性 质 可 使 有 关 问 题 求 解 变 得 
十分 简单 .  
/  -2  

O ) 到 阴 影 区 域 的距 离 ,  
最 小 值 即 为 坐 标 原 点  _ 夕   2 一   l   D l :   O( 0, 0 )至 Ⅱ 直 线 z+ 


数学 解 题 方 法 很 重 要 , 选 择 恰 当 的方 法 ,  
不仅使 问题求解 简 洁优 美 , 而 且 给 人 以 心 灵 的 
, j_ . 1 L ,一 n  

2 —0的 距 离 l   0H  l ,  
图 5  

呼唤 , 思维 的启迪 .  

如 图 5所 示 ,  

( 责审   梁 宇学)  

豢  黪 

 ̄J l k " . z x s s . c b p t . c n k i . n e t

?

1 9 ?   ~一. n a j o u   . n e t 一  


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