2017-2018年全国高中数学联合竞赛一模拟试题及答案

2017-2018 年全国高中数学联合竞赛一试模拟试 题 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1． 已知 A={x|x2－4x+3<0， x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0， x∈R} 若 A?B，则实数 a 的取值范围是 ． x2 y 2 2．已知椭圆 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 ，点 16 4 P 在直线 l ： . 。 x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 当 ?F1PF2 取最大值时，比 PF1 PF2 的值为 3．设 f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos4 x ，则 f ( x) 的值域是 4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________. 5．函数 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为____________. 6．已知正整数 n 不超过 2000，并且能表示成不少于 60 个连续正整数之 和，那么，这样的 n 的个数是___________. 7．用[x]表示不大于实数 x 的最大整数， 方程 lg2x－[lgx]－2=0 的实 根个数是 ． 8．各项均为实数的等比数列{a n }前 n 项之和记为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40 等于__________. 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分，解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 9． （本题满分 16 分）如图，有一列曲线 P0, P1, P2, ……，已知 P0 所围 成的图形是面积为 1 的等边三角形，Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到的：将 Pk 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将 中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记 Sn 为曲线 Pk 所围成图形面积。 Sn 。 ①求数列{Sn}的通项公式；②求 lim n ?? P0 P1 P2 10． （本题满分 20 分）如题 10 图， P 是抛物线 y2 ? 2x 上的动点，点 B,C 在 y 轴上，圆 ( x ?1)2 ? y2 ? 1 内切于 ?PBC ，求 ?PBC 面积的最小值． [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C(0, c) ，不妨设 b ? c ． 直线 PB 的方程: y ? b ? 化简得 y0 ? b x， x0 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 ． 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1， y0 ? b ? x0b 2 ( y0 ? b) 2 ? x0 ?1 ， …5 分 故 ( y0 ? b)2 ? x02 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x02b2 ， 易知 x0 ? 2 ，上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ， 同理有 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 ． 所以 b ? c ? …10 分 ． 2 2 ? x0 ?2 y0 ， 8x0 ，则 (b ? c)2 ? 4 x0 ? 4 y0 ? bc ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2) 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点，有 y02 ? 2x0 ，则 (b ? c)2 ? 2 4 x0 ( x0 ? 2)2 ，b ?c ? 2 x0 ． x0 ? 2 …15 分 所以 S?PBC ?