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2017-2018年全国高中数学联合竞赛一模拟试题及答案


2017-2018 年全国高中数学联合竞赛一试模拟试 题 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 已知 A={x|x2-4x+3<0, x∈R},B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0, x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是 . x2 y 2 2.已知椭圆 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 ,点 16 4 P 在直线 l : . 。 x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 当 ?F1PF2 取最大值时,比 PF1 PF2 的值为 3.设 f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos4 x ,则 f ( x) 的值域是 4.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________. 5.函数 y ? x ? x 2 ? 3x ? 2 的值域为____________. 6.已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之 和,那么,这样的 n 的个数是___________. 7.用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实 根个数是 . 8.各项均为实数的等比数列{a n }前 n 项之和记为 S n ,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40 等于__________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 9. (本题满分 16 分)如图,有一列曲线 P0, P1, P2, ……,已知 P0 所围 成的图形是面积为 1 的等边三角形,Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到的:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将 中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…),记 Sn 为曲线 Pk 所围成图形面积。 Sn 。 ①求数列{Sn}的通项公式;②求 lim n ?? P0 P1 P2 10. (本题满分 20 分)如题 10 图, P 是抛物线 y2 ? 2x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上,圆 ( x ?1)2 ? y2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值. [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C(0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ? 化简得 y0 ? b x, x0 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1, y0 ? b ? x0b 2 ( y0 ? b) 2 ? x0 ?1 , …5 分 故 ( y0 ? b)2 ? x02 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x02b2 , 易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分 . 2 2 ? x0 ?2 y0 , 8x0 ,则 (b ? c)2 ? 4 x0 ? 4 y0 ? bc ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 ( x0 ? 2) 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y02 ? 2x0 ,则 (b ? c)2 ? 2 4 x0 ( x0 ? 2)2 ,b ?c ? 2 x0 . x0 ? 2 …15 分 所以 S?PBC ?

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