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三角函数与平面向量总复习


三角函数与平面向量总复习 (一)三角函数知识网络
角的概念的推广、弧度制 任意角的三角函数的定义 任意角的三角函数 同角三角函数基本关系 诱导公式

三 角 函 数
两角和与差的正弦、余弦、正 两角和与差的三角函数 切 二倍角的正弦、余弦、正切 y=sinx, y=cosx 的图象和性质 y=tanx 的图象和性质 三角函数的图象和性质 y=Asin( ? x+ ? )的图象 已知三角函数值求角

正弦定理

正弦定理的变形 形式

解 三 角 形

应用举例

解三角形 余弦定理的变形 余弦定理 形式

测量实习

1. 若 ? 是第二象限的角,试分别确定 2 ? ,

? 的终边所在位置. 2

2.

? 的终边与

? 的终边关于直线 y ? x 对称,则 ? =___ 6
) 3 2 3 3

__。

3. 若角 α 的终边过点 (sin30° , -cos30° ), 则 sinα 等于( 1 A. 2 1 B.- 2 C.- D.-

4. 在单位圆中画出适合下列条件的角 ? 的终边的范围,并由此写出角 ? 的集合: (1)sin ? ≥
3 ; 2

(2)cos ? ≤ ?

1 2

.

5. 求证: (1)

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

(2) tan 2 ? ? sin 2 ? ? tan 2 ? ? sin 2 ?

(3)

(cos ? ? 1) 2 ? sin 2 ? ? 2 ? 2 cos ?
sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin x cos x
4 4 2 2

(4)

6.化简:

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ,其中 ? 为第二象限角 1 ? sin ? 1 ? sin ?

2sin αcos α-cos α+1 π 5 7. 已知 0<α< ,若 cos α-sin α=- ,试求 的值. 2 5 1-tan α

8. 已知 α ? ( 的值.

? ? 3 5 3? ? 3? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β) 4 5 13 4 4 4 4

9. 化简 (1)

1 3 cos x ? sin x 2 2

(2) 3 sin x ? cos x

10. 化简:
2 tan(

?
4

2 cos 2 ? ? 1 ? ? ) ? sin2 (

?
4

??)

求值:

2sin 50? ? sin 80? (1 ? 3 tan10? ) 1 ? cos10?

11. 已知函数 y=2sin (2x ? ) ,
3

?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 y=2sin (2x ? ) 的图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的变换而得到.
3

?

12. 如图为 y=Asin( ? x+ ? )的图象的一段,求其解析式.

13. 已知函数 y ? A tan(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? 为(

?
2

) 的图像与 x 轴相交的相邻点的坐标

?
6

,0) 和 (

5? ,求它的表达式。 ,0) ,且过点(0,-3) 6

14. 已知函数 f (x)=

2 sin x 1 ? cos 2 x

⑴ 求 f (x)的定义域.⑵ 用定义判断 f (x)的奇偶性. ⑶ 在[-π,π]上作出函数 f (x)的图象.⑷ 指出 f (x)的最小正周期及单调递增区间.

15. 已知函数 f (x)= log 1 (sinx-cosx)
2

⑴ 求它的定义域和值域;⑵ 求它的单调区间; ⑶ 判断它的奇偶性;⑷ 判定它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期.

16. (1)求函数 y= 值.

sin 2 x ? sin x 最值。(2) 已知 x ? (0, ? ) ,求函数 1 ? cos x

y ? sin x ?

2 的最小 sin x

17. 在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( A. b ? 10 , A ? 45 , C ? 70
? ?


? ?

B. a ? 60 , c ? 48 , B ? 60 D. a ? 14 , b ? 16 , A ? 45

C. a ? 7 , b ? 5 , A ? 80

?

0 18. 货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行,航向为方位角 ?NBC ? 140 ,A 处有灯

塔,其方位角 ?NBA ? 110 ,在 C 处观测灯塔 A 的方位角 ?MCA ? 35 ,由 B 到 C 需
0 0

航行半小时,则 C 到灯塔 A 的距离是

19. 如图所示,我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面 C 处和 D 处,已知 CD =6 000 m,∠ACD=45° ,∠ADC=75° ,目标出现于地面 B 处时测得∠BCD=30° ,∠BDC =15° ,则炮兵阵地到目标的距离是________________(结果保留根号).

20. 线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行 驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小.

(二)平面向量知识网络
向量的模 概念 单位向量 零向量 向量的加法 平面向量的坐标运算 向 量 向量的减法 运算 实数与向量的乘积 线段的定比分点 向量的数量积 相等的向量

1.(2010 辽宁文 8)平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA ? a, OB ? b ,则 ?OAB 的面积= ( ) A.

??? ?

? ??? ?

?

?2 ?2 ? ? a b ? ( a ? b) 2

B.

?2 ?2 ? ? a b ? ( a ? b) 2

C.

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? ( a ? b) 2

D.

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? ( a ? b) 2

2. ( 2010 四 川 理 ) 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 ,

??? ?2 ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? BC ? 16, ?AB ? AC???AB ? AC?? 则?AM?? (
A.8 B.4 C. 2

) D.1
?
? ? 1 ? DC , AE ? 3 ED ,若 2

3. 2.(湖北省荆门市 08 届上期末)如图,在△ABC 中, BD ?

AB ? a ,

?

?

AC ? b ,则 BE ? (

?

?

?

) B. ?

1? 1? 3 3 1? 1? C. a ? b 2 4
A. a ? b

1? 1? a? b 2 4 1? 1? D. ? a ? b 3 3
?

4. 已知 O 是 ?ABC 内部一点, OA ? OB ? OC ? 0, AB ? AC ? 2, 且?BAC ? 60 , 则

?OBC 的面积为 ( A )
A.

3 3
?? ?

B.
?

1 2
?? ? ?

C.
?? ?

3 2
?

D.
?

2 3
) ,t∈R,则点 P 在(

5. △OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t ( A.∠AOB 平分线所在直线上 C.AB 边所在直线上

?

a

?

|a|

?

?

b

|b|

?



B.线段 AB 中垂线上 D.AB 边的中线上

? 6.与 a =(3,-4)平行的单位向量是_________
7.已知向量 a =(sin ? ,2)与向量 b =(cos ? ,1)互相平行,则 tan2 ? 的值为_______。 8. 已知 a ? (? ,2), b ? (?3,5) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围是( A. ? ?

?

?

?

?

)

10 3

B. ? ?
?

10 3
? ?

C. ? ?

10 3
?

D. ? ?
?

10 3
? ?

0 9.已知| a |= 2 ,| b |=3, a 和 b 夹角为 45 ,求当向量 a +λ b 与λ a + b 夹角为锐角时,

?

λ 的取值范围。

10.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值。

?
2

?? ?

?
2



11. 已知三角形 ABC 的三个顶点为 A(1, 2), B(4,1), C (3, 4) , (1)求三边的长; ( 2)求 AB 边上的中线 CM 的长; (3)求重心 G 的坐标; (4)求 ?A 的平分线 AD 的长; (5)在 AB 上取一点 P ,使过 P 且平行于 BC 的直线 PQ 把 ?ABC 的面积分成 4:5 的两 部分,求点 P 的坐标.

课后作业: 1. 在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处 北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私 船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 的方向逃窜,问缉私船沿 什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间.

2. 在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcosB+ccosC=acosA,试判断

△ABC 的形状.

3. 在四边形 ABCD 中, AB ? 3 , AD ? BC ? CD ? 2 , A ? 60? . (Ⅰ)求 sin ?ABD 的值; (Ⅱ)求 ?BCD 的面积.

4. 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , cos (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 a ? 3 , b ? 2 2 ,求 c 的值.

A?C 3 ? . 2 3

1.函数 y=5sinx+cos2x 的最大值是_______.

2.求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0, ? ? 的最大值和最小值

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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7. 已知函数 f ( x) ?

1 ? 2 cos(2 x ? sin(

?

?
2

) 4 .

? x)

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

, ) 上的最值。 4 2

2 8. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1( x ? R)

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2?

9.已知函数 f ( x) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) =( 3



A. ?

2 3

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

10. 将函数 y ? 5sin(?3x) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移 应解析式是( )

? ,得到图象对 3

( A) y ? 5sin(

3? 3x ? ) 2 2

( B) y ? 5sin(

7? 3x ? ) 10 2

? 3x (C ) y ? 5sin( ? 6 x) ( D) y ? 5cos 6 2 11. 已知函数 y ? Asin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? ? )的一段图象如下图所示,求函数的解
析式.

2

?

? 0
8
?2

3? 8

12. 已知函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ?

?
3

,该函数的 ) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? 2 ( x ? R )

图象可由 y ? sin x ( x ? R )的图象经过怎样的变换得到?



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