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2013高考数学 解题方法攻略 不等式2 理


不等式 发挥经典价值 提高复习效率

何为数学经典题目?数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题 目 。每个经典题目,都经得起人们的拷问和时间的考验;每个经典题目,总是蕴含着某种 重要的数学思想和方法; 每个经典题目, 总有其独特的教育价值和教学功能; 每个经典题目, 都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、 与时俱进。 数学教科书上

的例习题 有不少题目堪当经典, 本文以其中一道经典题目为例, 说明经典题目在复习教学中的潜能挖 掘与应用,以期抛砖引玉。

题目 已知

,且

,求证

。 不等式选讲人教 版第十页习

本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修 题

第 11 题。这是一道经典的条件不等式证明题,解题入口宽、方法多样,对本题进行一

题多解训练,可达到举一反三触类旁通,解读一题沟通一片以点带面的复习效果。

证法 1(配方法)因为 所以

,所以





所以 时等号成立。

, 当且仅当





, 即

点评 本解法先消元 ,将

表示成只含

的二次式,并将此式当作是以

为主元的二次三项式进行配方, 再将配方后余下的部分再次配方, 然后用实数平方的非负性, 从而使问题得到解决。 证法 2(构造二次函数)因为 于是 ,所以 , ,

故当

时,

最小,此时



所以


1

所以

,当且仅当

时等号成立。

点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元 ,将 表示成只含 的二次式, 然后选 为主元, 将此式当作是含有参数 的以 为

自变量的二次函数 值就是

,求出

的最小值



的最小

的最小值,从而使问题获解。

证法 3(用重要不等式)因为 ,

所以

,当且仅当

时等号成立。

点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。 证法 4(用等号成立的条件构造平方和)由所证不等式等号成立的条件得,





,所以

,当且仅当

时等号成立。 证法 5(用等号成立的条件构造配偶不等式)由所证不等式等号成立的条件可构造如下

不 等 式 :





, 三 式 相 加 得 ,

,所以 号成立。

,当且仅当

时等

2

点评 证法 4 和证法 5 注意到等号成立的条件 在。 证 法

是问题获得简解的关键之所

6 ( 用 柯 西 不 等 式 ) 由 三 元 柯 西 不 等 式 得

,即



证法 7(用向量数量积不等式)构造向量



,由向量数量积不等



得,

,即

,当且仅当

时等号成立。

证法 8(利用直线与圆有公共点解题)把 当作参数 可看作是直角坐标系

当作变量,则

即 则

下的一条直线的方程,设

,此方程可看作是圆心是坐标原点半径为

的圆的方程。因为这两个

方程所组成的方程组有解,所以直线与圆有公共点,故圆心到直线的距离不大于半径。故

,即

有解,所以

,解得则







点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识,化静为动,动中求静。根据 “方程组有解,则直线与圆有公共点,从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式,进而使 问题得以解决。

证 法

9 ( 三 角 换 元 法 ) 设 。 由 得



, 设 , ,两边平方解

所以

,由正弦函数的有界性得

3



,故



证 法 10 ( 构 造 概 率 模 型 ) 设 随 机 变 量

取值为

时的概率均为

,因为

,所以

,所以

,即

,当且仅当

时等号成立。

证法 11(用琴生不等式)构造函数

,因为



上的凹函数,由琴生不

等式得,

,即

,所以

,当且仅当

时等号成立。

证法 12(用点面距离公式) 面的方程,

可看作是空间直角坐标系

下的一个平

可看作是这个平面内任意一点

到原点 O 的距离的平方, 最小,由点面距离公式得点 O

由垂线段最短知,当 OP 与平面垂直时,OP 最短从而

到平面的的距离为:

,所以

,即



凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容,但与初等函数关系密切,是初等数学与高等 数学的衔接处, 点面距离公式是大学空间解析几何的内容, 但可当作是平面解析几何点线距 离公式在空间的一个类比拓广, 这些知识可开阔学生的视野, 类比推理有利于发现新知识和 数学思想方法的迁移。 以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题, 消元法、 配方法、 构造法, 函数和方程思想,化归和转化思想,数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法,在以 上十二种解法中体现得淋漓尽致。 一题多解有利于培养发散思维、 求异思维和综合运用多种 知识解决问题的能力, 有利于拓宽解题思路, 有利于创造性思维的培养。 发挥经典以一当十, 解析一题复习一片。对二元一次不等式确定平面区域的探究 湖北省阳新县高级中学 邹生书
4

人教版高二数学第二册 (上) 二元一次不等式确定平面区域属于新增内容, 大纲要求是: 了解二元一课次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式(组) 。笔者对这部 内容作了一些研究, 本文将得出的重要结论及其在解题中的应用与大家进行交流, 希望能对 这节内容的教学和学习有所帮助。 命题 1:已知二元一次函数 ①点 P1(x1,y1)在直线 Ax+By+C=0 上 ②若 B≠0,则有 点 P1(x1,y1)在直线 Ax+By+C=0 上方 点 P1(x1,y1)在直线 Ax+By+C=0 下方 ③若 A≠0,则有 点 P1(x1,y1)在直线 Ax+By+C=0 右方 点 P1(x1,y1)在直线 Ax+By+C=0 左方 分析:①易证,②、③证法类似,下面对②进行证明。 证明:②当 B≠0,直线 把坐标平面分成上、下两个半

平面. 设 P1(x1,y1)是坐标平面内不在 l 上的任意一点,作直线 x=x1 交 l 于点 P0,设 P0 的 坐标为(x1,y0).

∵ 点 ∴



即 点 点

由此可知

5

根据这个命题不难得出直线 l 同侧上的两个点对应的二元函数的值符号相同,异侧上的 两个点对应的二元函数值符号相反,即有如下结论: 命题 2:已知二元一次函数 ①点 ②点 在直线 在直线

应用举例: 1、快速准确地确定二元一次不等式所表示的平面区域. 例 1: (人教版高二数学第二册第 64 页例 1)画出不等式 域. 表示的平面区

解法 1:

异号,由命题 1 知不等式 下方的平面区域,如图所示

表示直线

解法 2:

异号,由命题 1 知不等式 左方的平面区域,如图所示

表示直线

小结:二元一次不等式确定平面区域的方法: ①点判别法:直线定边界,一点定区域,合则在,不合则不在; ②B 符号判别法:直线定边界,符号定区域,同上异下; ③A 符号判别法:直线定边界,符号定区域,同右异左. 由例 1 可知,教材采用点判别法,需要取点,计算函数值,判断点与直线的位置关系 再确定平面区域,而符号判别法只需由 A(或 B)的符号与不等式的符号的异同直接确定平 面区域,相比之下显得快速准确、实用. 2、巧妙简捷地求方程含有参数的直线与已知线段相交时参数的取值范围. 例 2:直线 为端点的线段相交,则 k 的取值范围是

_______. 分析:这是一道一题多解的好题,但有的解法运算量大,有的解法容易出错,若用命题 2 的结论可轻而易举地得出正确结果,解法如下: 解:设

6

直线

练习题: 1、表示图中阴影部分的平面区域内的点(x,y)所满足的约束件是_________.

2、直线 _______.

在第一象限,则 k 的取值范围是

答案:1、

2、 错解剖析得真知(十四)不等式的应用

一、基础知识导学

1.利用均值不等式求最值:如果 a1,a2∈R+,那么

.

2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间,确定参数的取值范围 等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组,或证明不等式. 3.涉及不等式知识解决的实际应用问题, 这些问题大体分为两类: 一是建立不等式解不等式; 二是建立函数式求最大值或最小值. 二、疑难知识导析 不等式既属数学的基础知识, 又是解决数学问题的重要工具, 在解决函数定义域、 值域、 单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、 立体几何中的最值等问题中有广泛的应用, 特别是近几年来, 高考试题带动了一大批实际应 用题问世,其特点是: 1.问题的背景是人们关心的社会热点问题,如“物价、税收、销售收入、市场信息”等, 题目往往篇幅较长. 2.函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指

7

数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外,又出现了以“函数 ” 为模型的新的形式. 三 经典例题导讲

[例 1]求 y=

的最小值.

错解:

y=

=2

y 的最小值为 2. 错因:等号取不到,利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.

正解:令 t=

,则 t

,于是 y=

由于当 t

时,y=

是递增的,故当 t=2 即 x=0 时,y 取最小值

.

[例 2]m 为何值时,方程 x2+(2m+1)x+m2-3=0 有两个正根.

错解:由根与系数的关系得

,因此当

时,原方程有两个

正根. 错因:忽视了一元二次方程有实根的条件,即判别式大于等于 0.

正解:由题意:

因此当 [例 3]若正数 x,y 满足

时,原方程有两个正根. ,求 xy 的最大值.

解:由于 x,y 为正数,则 6x,5y 也是正数,所以

当且仅当 6x=5y 时,取“=”号. 因 ,则 ,即 ,所以 的最大值为 .
8

[例 4] 已知:长方体的全面积为定值 S,试问这个长方体的长、宽、高各是多少时,它的体 积最大,求出这个最大值. 分析:经过审题可以看出,长方体的全面积 S 是定值.因此最大值一定要用 S 来表示.首 要问题是列出函数关系式.设长方体体积为 y,其长、宽、高分别为 a,b,c,则 y=abc.由 于 a+b+c 不是定值,所以肯定要对函数式进行变形.可以利用平均值定理先求出 y2 的最大 值,这样 y 的最大值也就可以求出来了. 解:设长方体的体积为 y,长、宽、高分别是为 a,b,c,则 y=abc,2ab+2bc+2ac=S. 而 y2=(abc)2=(ab) (bc) (ac)

当且仅当 ab=bc=ac,即 a=b=c 时,上式取“=”号,y2 有最小值

答:长方体的长、宽、高都等于

时体积的最大值为

.

说明:对应用问题的处理,要把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求解问题 的关健. 四、典型习题导练 1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造 价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价 是多少元? 2.证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管截面的周长相等,那么截面是圆的水管比 截面是正方形的水管流量大. 3.在四面体 P-ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90° ,各棱长的和为 m,求这个四面体体积 的最大值.

4. 设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象与两直线 y=x,y=-x,均不相
9

交,试证明对一切

R 都有

.

5.青工小李需制作一批容积为 V 的圆锥形漏斗,欲使其用料最省,问漏斗高与漏斗底面半 径应具有怎样的比例? 6.轮船每小时使用燃料费用(单位:元)和轮船速度(单位:海里/时)的立方成正比.已知某 轮船的最大船速是 18 海里/时,当速度是 10 海里/时时,它的燃料费用是每小时 30 元, 其余费用(不论速度如何)都是每小时 480 元,如果甲、乙两地相距 1000 海里,求轮船从甲 地行驶到乙地,所需的总费用与船速的函数关系,并问船速为多少时,总费用最低? 寻求二元一次不等式(组)所表示的平面区域的方法 简单线性规划问题是高考必考知识点,而其基础在于研究二元一次不等式(组)所对应 的平面区域. 下面介绍一些方法来快速准确地确定二元一次不等式 (组) 所表示的平面区域. 方法一:直线定界,特殊点定域 找出一个二元一次不等式(组)在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是: ①画直线 ②取特殊点 ③代值定域 ④求公共部分

①画直线──作出各不等式对应方程表示的直线(原不等式带等号的作实线,否则作虚 线) ; ②取特殊点──平面直角坐标系内的直线要么过原点,要么不过原点;当直线过原点时 我们选取特殊点 殊点; ③代值定域──将选取的特殊点代入所给不等式:如果不等式成立,则不等式所表示的 平面区域就是该特殊点所在的区域; 如果不等式不成立, 则不等式所表示的平面区域就是该 特殊点所在区域的另一边. ④求公共部分──不等式组所确定的平面区域,是各个二元一次不等式所表示平面区域 的公共部分. 或 (坐标轴上的点) 当直线不过原点时我们选取原点 , 做特

例 1 画出不等式组 解析:①画直线:不等式 应的直线方程是

所表示的平面区域. 对应的直线方程是 ;不等式 与 对 (如图) .

; 在平面直角坐标系中作出直线

10

②取特殊点:直线 取特殊点 .

过原点,可取特殊点

;直线

不过原点,可

③将 式

代入,即 所表示的平面区域;将

,不等式 代入,即

不成立,直线另一侧区域就是不等 ,不等式 成

立,则原点所在区域就是不等式

所表示的平面区域. (图一)

④求公共部分:如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域. 方法二:法向量判定法 由平面解析几何知识知道直线 ( 不同时为 0)的一个法向量为

.以坐标原点作为法向量的始点,可以利用向量内积证明如下结论: (1)不等式 (2)不等式 ( ) ,不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域; (大于同向) ( ) ,不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域; (小于反向)

例 2 画出不等式组 解析:①不等式 不等式 线 对应的直线方程是 与

所表示的平面区域. 对应的直线方程是 ,法向量 ,法向量 ;

;在平面直角坐标系中作出直

及其相应的法向量(如图) .

11

②由于不等式 不等式

( ) ,平面区域是法向量

指向的区域(图一) ;

( ) ,平面区域是法向量

反向的区域(图二) .

③然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域. 方法三:未知数系数化正法 直线 ( 不同时为 0)含有两个未知数,于是我们可以将未知数 项系数来研究. (移项)

的系数分为两类: 项系数与

(1) 项系数化正法:顾名思义就是利用不等式性质,不等号两边同时 将 项系数化为正值,然后根据变形后关于

的不等式中的不等号来确定区域位置(规定:

轴正方向所指的区域为直线的上方;反之为下方)有结论: 项系数正值化: 上; 下.

例 3 画出不等式组

所表示的平面区域.

解析:①不等式 应的直线方程是 图) .

对应的直线方程是 ;在平面直角坐标系中作出直线

;不等式 与

对 (如

12

②将不等式组中每个不等式 项) . ③关于 的不等式( )即

项系数正值化,得



(移

(或者 的不等式( )即

) ,直线上方的区域就是 ,直线下方的区域

该不等式所表示的平面区域(图一) ;关于 就是该不等式所表示的平面区域(图二) .

④然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域. (2) 项系数化正法:同(1)一样,不等号两边同时 (或移项)将 项系数化

为正值,然后根据变形后关于 的不等式中的不等号来确定区域位置(规定: 轴正方向所 指的区域为直线的右方;反之为左方)有结论: 项系数正值化: 右; 左.

可结合例 3 来对 项系数化正法进行理解. 上述方法中, 方法一是寻找二元一次不等式所表示的平面区域的常规方法, 思维回路较 长, 适合对理论的学习, 但要快速准确地解决简单的线性规划问题就必须掌握方法二或方法 三中之一. 目标函数几何意义在变化 线性规划是高中数学的重要内容之一,它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来 解决问题.由于目标函数在不断地变动,呈现出多样性和隐蔽性,所以我们要认真研究目标 函数的几何意义,使目标函数具体化和明朗化.下面举例说明: 一、目标距离化.

例 1. 已知实数 x, 满足 y

,则

的最大值是

分析,目标函数的几何意义是表示可行域内的点

到点(1,1)的距离的平方,

13

画出可行域可求得 解:如图,作出可行域,则可知行域内点(4,1)到可点(1,1)的距离最大,从图 形中可只是 3,故 .

例 2.已知实数

满足

,求

的最大值.

分析:这个目标函数就显得有点“隐蔽”了,注意到目标函数有个绝对值符号,联想到点

到直线的距离公式的结构特点,那么就可顺利解决了. 也是说 表示为可行域内的点 到直线 距离的 倍.



解:作出可行域, (如上图)可知可行域内的点(7,9)到直线

的距离

最大,所以 二、目标角度化.

已知

为直角坐标系原点, 的最小值等于 .

的坐标均满足不等式组

,则

14

分析:作出相应的可行域,可知 (4,3)此时与原点 O 的张角最大

越大,则

越小,所以可知在(1,7)

解:画出可行域,不失一般性,不妨设 P(1,7) ,Q(4,3) ;则



, 则

, 所 以

. 三、目标斜率化.

例 4.已知变量

满足约束条件

,则

的取值范围是_____.

分析,观察

的结构特征,令人想到平面内的两点间的斜率公式,可得

表示可行域

内的点

与原点之间的斜率,结个可行域可得其取值范围是

,具体的过程留给

15

聪明的读者. 四、目标投影化.

例 5.已知点 的最大值为 .

(O 为原点)

分析:这个目标函数更为隐蔽了,

表示的是



方向上的投影.

解:作出可行域,则可知 P(5,2) ,则

=(5,2) ,则



上的投影是 PQ,

可看作点 P 到直线 五、目标面积化.

是距离

例 6 已知实数

满足

,求

的最大值.

16

分析:

表示可行域内的点

(正好在第一象限)到两坐标轴距离的乘积

的两倍,即过该点作两坐标轴的垂线,长线段与两坐标轴所围成的面积的 2 倍,可知当

时取得最大值,最大值是 同学们应该知道目标函数是直线的截距的这种类型的基础上,还要知道距离、投影、斜 率、角度、面积等几种常见的形式.这样我们的在解决线性规划问题上才能心中有“形”.下 面提供部分习题请同学们完成.

(1) 若函数 则函数 的值域是( )

是定义在

上的函数,

A.

B.

C.

D.

(2)约束条件

,目标函数

的最小值是

(3)已知 标原点)的最大值为 答案: (1)D (2) 0 (3)5



是坐

错解剖析得真知(十三)简单的线性规划 一、知识导学 1. 目标函数: P =2x+y是一个含有两个变 量 x 和y 的 函数,称为目标函数.

17

2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点. 4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称 为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决. 5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划. 二、疑难知识导析 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、 物力和财力去最优地完成科学研究、 工业设 计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力、 财务等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安 排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域,要将边界画成虚线. 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”:任 选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧 即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.若直 线 不 过 原 点,通 常 选 择 原 点 代入检验. 3. 平 移 直 线 y=-kx +P时,直线必须经过可行域. 4.对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区 域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点. 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解, 无论此类题目是 以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标 函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的 最优解. 三、经典例题导讲

[例 1] .画出不等式组

表示的平面区域.

18

错解:如图(1)所示阴影部分即为不等式组

表示的平面区域.

错因一是实虚线不清,二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.

正解:如图(2)所示阴影部分即为不等式组 [例 2] 已知 1 x-y 2,且 2 x+y 4,求 4x-2y 的范围. 错解:由于 1 x-y 2 ①, 2 x+y 4 ②, ①+② 得 3 2x 6 ③ ①×(-1)+② 得:0 2y 3 ④. ③×2+④×(-1)得. 3 4x-2y 12 错因:可行域范围扩大了.

表示的平面区域.

正解:线性约束条件是: 令 z=4x-2y, 画出可行域如图所示,



得 A 点坐标(1.5,0.5)此时 z=4×1.5-2×0.5=5.

由 5

得 B 点坐标(3,1)此时 z=4×3-2×1=10. 4x-2y 10

19

[例 3] 已知

,求 x2+y2 的最值.

错解:不等式组

表示的平面区域如图所示

ABC 的内部(包括边界) ,

令 z= x2+y2



得 A 点坐标(4,1) ,

此时 z=x2+y2=42+12=17,



得 B 点坐标(-1,-6) ,

此时 z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,



得 C 点坐标(-3,2) ,

此时 z=x2+y2=(-3)2+22=13,



时 x2+y2 取得最大值 37,当

时 x2+y2 取得最小值 13.

错因:误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点 A、B、C 到原点的 距离的平方的最值.

正解:不等式组

表示的平面区域如图所示

ABC 的内部(包括边界) ,

令 z= x2+y2,则 z 即为点(x,y)到原点的距离的平方.

20



得 A 点坐标(4,1) ,

此时 z=x2+y2=42+12=17,



得 B 点坐标(-1,-6) ,

此时 z=x2+y2=(-1)2+(-6)2=37,



得 C 点坐标(-3,2) ,

此时 z=x2+y2=(-3)2+22=13,

而在原点处,

,此时 z=x2+y2=02+02=0,



时 x2+y2 取得最大值 37,当

时 x2+y2 取得最小值 0.

[例 4]某家具厂有方木料 90m3,五合板 600m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张 书桌需要方木料 0.1m3,五合板 2m2,生产每个书橱需要方木料 0.2m3,五合板 1m2,出售 一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元.如果只安排生产书桌,可获利润 多少?如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产可使得利润最大? 分析: 数据分析列表 书桌 木料(m ) 五合板(m ) 利润(元/张) 计划生产(张)
2 3

书橱 0.2 1 120 y

资源限制 90 600

0.1 2 80 x

设生产书桌 x 张,书橱 y 张,利润 z 元,则约束条件为

21

目标函数 z=80x+120y 作出上可行域: 作出一组平行直线 2x+3y=t, 此直线经过点 A(100,400)时,即合理安排生产,生产书桌 100 张,书橱 400 张,有最大利润为 zmax=80×100+400×120=56000(元) 若只生产书桌,得 0<x≤300,即最多生产 300 张书桌,利润为 z=80×300=24000(元) 若只生产书橱,得 0<y≤450,即最多生产 450 张书橱,利润为 z=120×450=54000(元) 答:略 [例 5]某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种 规格小钢板的块数如下表: A 规格 第一种钢板 第二种钢板 需求 1 1 12 B 规格 2 1 15
2

C 规格 1 3 27

每张钢板的面积,第一种为 1m ,第二种为 2 m2,今需要 A、B、C 三种规格的成 品各 12、15、27 块,请你们为该厂计划一下,应该分别截这两种钢板多少张,可以得 到所需的三种规格成品,而且使所用钢板的面积最小?只用第一种钢板行吗? 解:设需要截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积为 z m2,则

目标函数 z=x+2y 作出可行域如图 作一组平行直线 x+2y=t,



可得交点



22

但点

不是可行域内的整点,其附近的整点(4,8)或(6,7)可都使 z 有

最小值,且 zmin=4+2×8=20 或 zmin=6+2×7=20

若只截第一种钢板,由上可知 x≥27,所用钢板面积最少为 z=27(m2);若只截第二种 钢板,则 y≥15,最少需要钢板面积 z=2×15=30(m2).它们都比 zmin 大,因此都不行. 答:略

[例 6]设

,式中

满足条件

,求 的最大值和最小值.

解:由引例可知:直线 与 当 与 所在直线

所在直线平行,则由引例的解题过程知, 重合时 最大,此时满足条件的最优解有无数多个, , .

当 经过点

时,对应 最小,∴

说明:1.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得; 2.线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数多个. 四、典型习题导练 1.画出不等式- +2y-4<0 表示的平面区域.

2.画出不等式组

表示的平面区域

23

3.求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满足约束条件 4.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品, 若采用甲种原料, 每吨成本 1000 元, 运费 500 元,可得产品 90 千克;若采用乙种原料,每吨成本为 1500 元,运费 400 元,可得产品 100 千克,如果每月原料的总成本不超过 6000 元,运费不超过 2000 元,那么此工厂每月最多 可生产多少千克产品? 5.某工厂家具车间造 A、 型两类桌子, B 每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一 张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B 型桌子 分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利润最 大?

6. (06 年高考广东)在约束条件 的最大值的变化范围是 A.[6,15] C.[6,8] B.[7,15] D.[7,8]

下,当

时,目标函数

线性规划解法赏析 “最优化”问题中的简单线性规划是高考常考知识点,属于不等式模块,重点考查学生 的动手操作能力。 随着新课程改革的全面施行, 现有的人教版教材把不等式内容进行了很大 程度的推广和深化。高中数学的教学,不是把已有的简单问题复杂化,而是应该在比学生理 解掌握的知识水平更低的层次来思考解决问题的方法, 让学生感觉数学不是高不可攀的。 因 此,有必要对线性规划问题的解法做一下梳理强化,结合例题多策略求解,以便学生参考选 择适合自己的方法。

(人教 B 版

) 3 例

两个居民小区的居委会组织本小区的中学生, 利用双休日 小区的每位同学往返车

去市郊的敬老院参加献爱心活动,两个小区都有同学参加。已知 费是 3 元,每人可为 5 位老人服务; 人服务。如果要求

小区的每位同学往返车费是 5 元,每人可为 3 位老 区参与活动的同学多,且去敬老院的往返总车

区参与活动的同学比

费不超过 37 元。怎样安排 受到服务的老人最多是多少? 解:依题意可列表如下: 地区

两区参与活动同学的人数,才能使受到服务的老人最多?

往返车费(元)

服务人数(人)
24

区 区 要求 设 不超过 ,则受到服务的老人的人数为

两区参与活动的人数分别为 、

其中

满足下列条件

于是问题转化为,在

满足上述约束条件下,求式子

的最大值。

【解法一】线定界,点定域,距离确定最优解

①在同一坐标系下作约束条件不等式对应的直线:不等式 对应的直线方程分别为 标系中作出直线 (实线) 、 、 与 (实线)与





;在同一平面直角坐 (实线) 。

②取特殊点确定约束条件表示的可行域: 平面直角坐标系中的直线分为过原点和不过原 点两类, 不过原点的直线定域取特殊点 ; 过原点的直线定域取特殊点 或 。

25

③可行域中的点到目标函数直线 结合图中所示可行域, 容易看出点

的距离确定最优解: 作出直线 到直线 的距离最大, 若





是整点, 则是最优解。

【解法二】线定界,号定域,距离确定最优解 ①在同一坐标系下作约束条件不等式对应的直线。 (同解法一)

②将约束条件中各不等式的

项系数变为正数:

。由下列结论,通

过不等号来确定约束条件表示的可行域:

(或 ) ,且

,则不等式所表示的平面区域为直线上方 (大于

上) ;

(或 ) ,且

,则不等式所表示的平面区域为直线下方 (小于

下) 。

③可行域中的点到目标函数直线 结合图中所示可行域, 容易看出点

的距离确定最优解: 作出直线 到直线 的距离最大, 若





是整点, 则是最优解。

【解法三】线定界,方向定域,距离确定最优解 ①在同一坐标系下作约束条件不等式对应的直线。 (同解法一)

26

②约束条件化为: 个法向量为

,直线



不同时为 0)的一

(设其以坐标原点为始点) ,由下列结论确定约束条件表示的可行域:

(或 )

, 则不等式所表示的平面区域为 同向 (大于

同向) ;

(或 )

, 则不等式所表示的平面区域为 反向 (小于

反向) 。

③可行域中的点到目标函数直线 合图中所示可行域,容易看出点 §5.3 基本不等式的证明 一、知识导学

的距离确定最优解:作出直线 到直线 的距离最大,若



,结

是整点,则是最优解。

1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序 和运算性质的直接应用, 比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商 法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质: “a-b≥0 a≥b; a-b≤0 a≤b”. 其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把 不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或 几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③ 判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式 成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较 法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R+,a/b≥1 a≥b;a/b≤1 a≤b”.其 一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与 1 的 大小关系,就是判定商大于 1 或小于 1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时, 一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不 等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路 是“由因导果”,从“已知”看“需知”, 逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条 件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判 定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”. 用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1 为真,从而有…,这 只需证明B2 为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这
27

种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即 要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及 到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语 时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等 式可引入一个或多个变量进行代换, 以便简化原有的结构或实现某种转化与变通, 给证明带 来新的启迪和方法.主要有两种换元形式.(1)三角代换法:多用于条件不等式的证明,当所给 条件较复杂,一个变量不易用另一个变量表示,这时可考虑三角代换,将两个变量都有同一 个参数表示.此法如果运用恰当,可沟通三角与代数的联系,将复杂的代数问题转化为三角 问题; (2)增量换元法:在对称式(任意交换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a> b>c等)的不等式, 考虑用增量法进行换元, 其目的是通过换元达到减元, 使问题化难为易, 化繁为简.如a+b=1,可以用a=1-t,b=t或a=1/2+t,b=1/2-t进行换元. 二、疑难知识导析 1.在用商值比较法证明不等式时,要注意分母的正、负号,以确定不等号的方向. 2.分析法与综合法是对立统一的两个方面, 前者执果索因, 利于思考, 因为它方向明确, 思路自然,易于掌握;后者是由因导果,宜于表述,因为它条理清晰,形式简洁,适合人们 的思维习惯.但是,用分析法探求证明不等式,只是一种重要的探求方式,而不是一种好的 书写形式,因为它叙述较繁,如果把“只需证明”等字眼不写,就成了错误.而用综合法书写的 形式,它掩盖了分析、探索的过程.因而证明不等式时,分析法、综合法常常是不能分离的. 如果使用综合法证明不等式, 难以入手时常用分析法探索证题的途径, 之后用综合法形式写 出它的证明过程,以适应人们习惯的思维规律.还有的不等式证明难度较大,需一边分析, 一边综合,实现两头往中间靠以达到证题的目的.这充分表明分析与综合之间互为前提、互 相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分 析的起点. 3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”,也没有必要要求“步步可逆”,因为这时 仅需寻找充分条件, 而不是充要条件.如果非要“步步可逆”, 则限制了分析法解决问题的范围, 使得分析法只能使用于证明等价命题了.用分析法证明问题时, 一定要恰当地用好“要证”、 “只 需证”、“即证”、“也即证”等词语. 4.反证法证明不等式时,必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾. 5.在三角换元中,由于已知条件的限制作用,可能对引入的角有一定的限制,应引起高 度重视,否则可能会出现错误的结果.这是换元法的重点,也是难点,且要注意整体思想的 应用. 三、经典例题导讲

[例 1] 已知 a>b(ab

),比较



的大小.

错解:

a>b(ab

),

<

.

28

错因:简单的认为大数的倒数必定小,小数的倒数必定大.正确的结论是:当两数同号 时,大数的倒数必定小,小数的倒数必定大.

正解:

,又

a>b(ab

),

(1)当 a、b 同号时,即 a>b>0 或 b<a<0 时,则 ab>0,b-a<0,

,

<

.

(2)当 a、b 异号时,则 a>0,b<0,

>0,

<0

>

. )

[例 2] 当 a、b 为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是(

A.

B.

C.

D.

错解:所以选 B.

错因是由于在





中很容易确定

最小,所以易误选 B.而事

实上三者中最小者,并不一定是四者中最小者,要得到正确的结论,就需要全面比较,不可

遗漏

与前三者的大小比较.

正解:由均值不等式

及 a2+b2 2ab,可知选项 A、B、C 中,

最小,





, 由当 a

b 时, a+b>2

,两端同乘以

, 可得 (a+b) ·

>2ab,



,因此选 D.

[例 3] 已知:a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2 的最小值.

错解: (a+

)2+(b+

)2=a2+b2+

+

+4≥2ab+

+4≥4

+4=8,

∴(a+

)2+(b+

)2 的最小值是 8.

错因:上面的解答中,两次用到了基本不等式 a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是

a=b=

,第二次等号成立的条件是 ab=

, 显然, 这两个条件是不能同时成立的.因此,

8 不是最小值.
29

正解: 原式= a2+b2+

+

+4=( a2+b2)+(

+

)+4=[(a+b)2-2ab]+[(

+

)2-

]+4

= (1-2ab)(1+

)+4,

由 ab≤(

)2=

得:1-2ab≥1-

=

, 且

≥16,1+

≥17,

∴原式≥

×17+4=

(当且仅当 a=b=

时,等号成立),

∴(a +

)2 + (b +

)2 的最小值是. 的大小.

[例 4] 已知 0 < x < 1, 0 < a < 1,试比较 解法一:

∵0 < 1 ? x2 < 1, ∴ 解法二:



∵0 < 1 ? x2 < 1, 1 + x > 1, ∴ ∴ ∴

解法三:∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴ ∴左 ? 右 = ∵0 < 1 ? x2 < 1, 且 0 < a < 1 ∴

30

∴ [例 5]已知 x2 = a2 + b2,y2 = c2 + d2,且所有字母均为正,求证:xy≥ac + bd 证:证法一(分析法)∵a, b, c, d, x, y 都是正数 ∴要证:xy≥ac + bd 只需证:(xy)2≥(ac + bd)2 即:(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得:a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即:a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式,显然成立 ∴xy≥ac + bd 证法二(综合法)xy = ≥ 证法三(三角代换法) ∵x2 = a2 + b2,∴不妨设 a = xsin?, b = xcos? y2 = c2 + d2 c = ysin?, d = ycos? ∴ac + bd = xysin?sin? + xycos?cos? = xycos(? ? ?)≤y x

[例 6] 已知 x > 0,求证:

证:构造函数



, 设 2≤?<?

由 显然 ∵2≤?<? ∴? ? ? > 0, ?? ? 1 > 0, ?? > 0 ∴上式 > 0

∴f (x)在

上单调递增,∴左边

四、典型习题导练 1.比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小. 2.已知 a,b,c,d 都是正数,求证:

3.已知 x > 0 , y > 0,2x + y = 1,求证: 4.若 ,求证:

31

5.若 x > 1,y > 1,求证:

6.证明:若 a > 0,则

32


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