tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学试题巧解方法


数学具体解题方法有:代入法
法 逆向化法 法 综合法 极限化法 分析法 整体化法 以题攻题法 放缩法

直接法 参数法

定义法 向量坐标法 交轨法 几何法

查字典法

挡板模型法 比较法 判别式法 分组法

等差中项 基本不等式

弦中点轨迹求法

配方法 降幂法

反证法

换元法

构造法

数学归纳法

序轴标根法 错位相减法 先选后排法 象限分析法 类比联想法 随机数表法 引入辅助角法

向量平行法 裂项法 捆绑法 补集法

向量垂直法

同一法

累加法 累乘法

倒序相加法

公式法

迭代法 插空法 特殊图形法 距离法

角的变换法 间接法 分类法 变更主元法

公式的变形及逆用法 构造三角形法

升幂法 “1”的代换法 特殊优先法 特殊值法 导数法 信息迁移法 抽签法

三角函数线法

构造对偶式法

估算法

待定系数法

筛选法(排除法) 运算转换法 差异分析法 等价转化法

数形结合法 反例法

回代法(验证法)

结构转换法 根的分布法

割补转换法 阅读理解法 分离参数法

抽象概括法

逻辑推理法

高中数学活解方法

一、代入法
若动点 P ( x, y ) 依赖于另一动点 Q( x0 , y 0 ) 而运动,而 Q 点的轨迹方程已知(也可能 易于求得)且可建立关系式 x0 ? f ( x) , y 0 ? g ( x) ,于是将这个 Q 点的坐标表达式代入已 知(或求得)曲线的方程,化简后即得 P 点的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移 法或相关点法。 【例 1 】 (广东高考题)已知曲线 C : y ? x 与直线 l : x ? y ? 2 ? 0 交于两点
2

A( x A , y A ) 和 B( x B , y B ) ,且 x A ? xB ,记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所
围成的平面区域(含边界)为 D.设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重 合.若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;
2 【巧解】联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,

1 5 2 2

1 5 ?s ?t 2 2 设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? , ,y ? 2 2 1 5 即 s ? 2 x ? , t ? 2 y ? ,又点 P 在曲线 C 上, 2 2 5 1 2 11 2 ∴ 2 y ? ? (2 x ? ) 化简可得 y ? x ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点, 2 2 8

且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ?

1 1 5 ? 2 ,即 ? ? x ? , 2 4 4

y ??x 2 ? x ?
∴中点 M 的轨迹方程为

11 8

(?

1 5 ? x ? ). 4 4

【例 2】 (江西高考题)设 P( x0 , y0 ) 在直线 x ? m ( y ? ?m,0 ? m ? 1) 上,过点 P 作双
1 曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B ,定点 M ( m ,0) 。 过点 A 作直线

x ? y ? 0 的垂线,垂足为 N,试求 ?AMN 的重心 G 所在的曲线方程。
2 2 2 【巧解】 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由已知得到 y1 y2 ? 0 , 且 x1 (1) ? y12 ? 1,x2 ? y2 ? 1,

垂线 AN 的方程为: y ? y1 ? ? x ? x1 , 由?

? y ? y1 ? ? x ? x1 x ? y1 x1 ? y1 , ) ,设重心 G ( x, y ) 得垂足 N ( 1 2 2 x ? y ? 0 ?

3 ? 9x ? 3y ? ? m x ? ? ? 1 4 解得 ? 1 ? 9 y ? 3x ? ?y ? m 1 ? ? 4 1 1 2 由 x1 ? y12 ? 1 可得 (3x ? 3 y ? )(3x ? 3 y ? ) ? 2 m m 1 2 2 ) ? y 2 ? 为重心 G 所在曲线方程 即 (x ? 3m 9
1 1 x ?y ? x ? ( x1 ? ? 1 1 ) ? ? 3 m 2 所以 ? x ? 1 ? y ? ( y ? 0 ? 1 y1 ) 1 ? 3 2 ?
巧练一: (江西高考题) 如图, 设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F, 动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0
2

上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.,求 △APB 的重心 G 的轨迹方程.

巧练二: (全国高考题)在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 (0,? 3 ) 和 F2 (0, 3) 为焦

点、离心率为 3 的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处 2 的切线与 x、y 轴的交点分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB ,求点 M 的轨迹方程

二、直接法
直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过 准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法 叫直接法。 从近几年全国各地的高考数学试题来看,绝大大部分选择题的解答用 的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进 行分析、验证,或在选项中取值带入题设计算,验证、筛选而迅速确定答案。
【例 1】 (全国高考题)已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,过 F 且斜 a2 b2


率为 3 的直线交 C 于 A、B 两点。若 AF ? 4FB ,则 C 的离心率为( (A)

6 5

(B)

7 5

(C)

8 5

(D)

9 5

【巧解】 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) ,F (c,0) , 由 AF ? 4FB , 得 (c ? x1 ,? y1 ) ? 4( x2 ? c, y2 ) ∴ y1 ? ?4 y 2 ,设过 F 点斜率为 3 的直线方程为 x ?

y 3

?c,

y ? x? ?c b2 2b 2 c ? 2 2 由? 消去 x 得: ( ? a )y ? y ? b4 ? 0 , 3 3 2 2 2 2 2 2 3 ? ?b x ? a y ? a b ? 0

? ? 6b 2 c 6b 2 c y ? y ? ? ? 3 y ? ? 2 2 ? ? ? 1 3 (b 2 ? 3a 2 ) , 将 y ? ?4 y 代入得 ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) 化简得 ∴? ? 1 2 4 3b 4 ? ? ? 4 y 2 ? 3b y1 y 2 ? 2 2 ? ? b ? 3a 2 b 2 ? 3a 2 ? ? ? 2b 2 c y ? ? 2 4b 4 c 2 3b 4 ? 3 (b 2 ? 3a 2 ) ,∴ , ?? ? 4 2 2 2 2 2 3 b 3 ( b ? 3 a ) 4 ( b ? 3 a ) 2 ?y ? ? 2 ? 4(b 2 ? 3a 2 ) ? 36 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 化简得:16c ? 9(3a ? b ) ? 9(3a ? c ? a ) ,∴ 25c ? 36a , e ? ,即 e ? 。 25 5
故本题选(A) 【例 2】 (四川高考题)设定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13,若

f (1) ? 2 ,则 f (99) ? (



(A)13 【巧解】∵ f ( x ? 2) ?

(B)2

(C)

13 2

(D)

2 13

13 13 13 ? ? f ( x) ,∴ f ( x ? 4) ? 13 f ( x ? 2) f ( x) f ( x)

∴函数 f ( x) 为周期函数,且 T ? 4 ,∴ f (99) ? f (4 ? 24 ? 3) ? f (3) ? 故选(C) 巧练一: (湖北高考题)若 f ( x) ? ? 值范围是( ) B. (?1,??) C. (??,?1]

13 13 ? f (1) 2

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(?1,?? ) 上是减函数,则 b 的取 2
D. (??,?1)

A. [?1,??)

巧练二: (湖南高考题)长方体 ABCD—A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2, AD= 3, AA1=1,则顶点 A、B 间的球面距离是( )

A. 2 2?

B. 2?

C.

2? 2

D.

2? 4

三、定义法
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查, 凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题,用圆锥曲线的第一 和第二定义解题,是一种重要的解题策略。 【例 1】 (福建高考题)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 450 的直线交抛
2

物线于 A、B 两点,线段 AB 的长为 8,则 p ? 【巧解】依题意直线 AB 的方程为 y ? x ?



p ? p ?y ? x ? ,由 ? 2 消去 y 得: 2 2 ? ? y ? 2 px

x 2 ? 3 px ?
| BF |? x 2 ?

p2 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,∴ x1 ? x2 ? 3 p ,根据抛物线的定义。 4
p p , | AF |? x1 ? ,∴ | AB |? x1 ? x2 ? p ? 4 p ? 8 ,∴ p ? 2 , 2 2 5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26. 若曲线 13

故本题应填 2。 【例 2】 (山东高考题)设椭圆 C1 的离心率为

C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为( (A)



x2 y2 ? ?1 4 2 32 x2 y2 ? ?1 32 4 2

(B)

x2 y2 ? ?1 132 5 2 x2 y2 ? ?1 132 122

(C)

(D)

【 巧 解 】 由 题 意 椭 圆 的 半 焦 距 为 c ? 5 , 双 曲 线 C2 上 的 点 P 满 足

|| PF1 | ? | PF2 ||? 8 ?| F1 F2 |,
故双曲线方程为

∴点 P 的轨迹是双曲线,其中 c ? 5 , a ? 4 ,∴ b ? 3 ,

x2 y2 ? ? 1 ,∴选(A) 4 2 32

巧练一: (陕西高考题)双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1,F2, a2 b2

过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心 率为( ) A. 6 B. 3 C. 2
2

D.

3 3

巧练二: (辽宁高考题)已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( (A) ) (D)

17 2

(B)3

(C) 5

9 2

四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的关系转化成坐标 之间的关系,使问题易于解决,并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能 做到多用、 巧用和活用, 则可源源不断地开发出自己的解题智慧, 必能收到事半功倍的效果。 【例 1】 (广东高考题)在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中 点,AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC =a, BD =b,则 AF =( )

1 1 a+ b 2 4 【巧解】如图所示,选取边长为 2 的正方形 ABCD
A. B. C.

1 1 a+ b 4 2

2 1 a+ b 3 3

D. y D

1 2 a+ b 3 3
C E O

A

B

x

则 B(2,0) , C (2,2) , D(0,2) , O(1,1) , E ( , ) , ∴直线 AE 的方程为 y ? 3x ,联立 ?

1 3 2 2

? y ? 3x 2 得 F ( , 2) 3 ? y?2

∴ AF ? ( ,2) ,设 AF ? x AC ? y BD ,则 AF ? x(2,2) ? y(?2,2) ? (2x ? 2 y,2x ? 2 y)

2 3

∴?

2 ? 2 1 2 1 2 1 ?2 x ? 2 y ? 3 解之得 x ? , y ? ,∴ AF ? AC ? BD ? a ? b ,故本题选 B 3 3 3 3 3 3 ? ? 2x ? 2 y ? 2
【例 2】已知点 O 为 ?ABC 内一点,且 OA ? 2OB ? 3OC ? 0,则 ?AOB 、 ?AOC 、 ?BOC 的面积之比等于 ( ) A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3 【巧解】不妨设 ?ABC 为等腰三角形, ?B ? 90
0

y A O B x

AB ? BC ? 3 ,建立如图所示的直角坐标系,则点 B(0,0)

A(0,3) , C (3,0) ,设 O( x, y) ,
C ∵ OA ? 2OB ? 3OC ? 0,即 (? x,3 ? y) ? 2(? x,? y) ? 3(3 ? x,? y) ? (0,0) ∴?

?6 x ? 9 3 1 3 1 解之得 x ? , y ? ,即 O ( , ) ,又直线 AC 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,则点 2 2 2 2 ?6 y ? 3
|

3 1 ? ? 3| 2 O 到 直 线 AC 的 距 离 h ? 2 2 ? , ∵ | AC |? 3 2 , 因 此 2 12 ? 12
S ?AOB ? 1 9 1 3 1 3 | AB | ? | x |? , S ?BOC ? | BC | ? | y |? , S ?AOC ? | AC | ?h ? ,故选 C 2 4 2 4 2 2
) D.既不平行也不垂直

巧练一: (湖南高考题)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且

DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则AD ? BE ? CF与BC (
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直

巧练二:设 O 是 ?ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB ,则 ?AOB 与 ?AOC 面积之比 是 .

五、查字典法

查字典是大家比较熟悉的,我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字 比较大小的问题,避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误,给人以“神来之法” 的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法” (从 最高位到个位) , 查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况; 查前“2” 位时只考虑前“2” 位中第“2”个数应满足条件的情况;依次逐步讨论,但解题中既要注意数字不能重复,又 要有充分的理论准备,如奇、偶问题,3 的倍数和 5 的倍数的特征,0 的特性等等。以免考 虑不全而出错。 【例 1】 (四川高考题)用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( ) (A)288 个 (B)240 个 (C)144 个 (D)126 个 【巧解】本题只需查首位,可分 3 种情况,① 个位为 0,即 ? ? ? ?0 型,首位是 2,3,
1 3 4,5 中的任一个,此时个数为 A4 A4 ;

②个位为 2,即 ? ? ? ?2 , 此种情况考虑到

1 3 万位上不为 0,则万位上只能排 3,4,5,所以个数为 A3 A4 ;③个位为 4, ? ? ? ?4 1 3 型,此种特点考虑到万位上不为 0,则万位上只能排 2,3,5,所以个数为 A3 A4 ;故 1 3 1 3 共有 A4 A4 ? 2 A3 A4 ? 240个。故选(B)

【例 2】 (全国高考题)在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中, 大于 23145 且小于 43521 的数共有( ) A.56 个 B.57 个 C.58 个 D.60 个 【巧解】 (1)查首位:只考虑首位大于 2 小于 4 的数,仅有 1 种情况:即 3 ? ? ? ? 型,此 特点只需其它数进行全排列即可。有 A4 种, (2)查前2位:只考虑前“2”位中比3既大又小的数,有 4 种情况:
3 3 24 ? ? ? ,25 ? ? ? ,41 ? ? ? ,42 ? ? ? 型,而每种情况均有 A3 种满足条件, 故共有 4 A3
4

种。 (3)查前3位:只考虑前“3”位中既比1大又小于 5 的数,有 4 种情况:
2 2 234 ? ? ,235 ? ? ,431 ? ? ,432 ? ? 型, 而每种情况均有 A2 种满足条件, 故共有 4 A2 种。

(3)查前 4 位:只考虑前“4”位中既比 4 大又小于 2 的数,此种情况只有
4 3 2 23154 和 43512 两种情况满足条件。故共有 A4 ? 4 A3 ? 4 A2 ? 2 ? 58 个,故选 C

巧练一:用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且不大于 4310 的四位偶数共有 ( ) A.110 种 B.109 种 C.108 种 D.107 种 巧练二: (四川高考题)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶 数共有( ) (A)48 个 (B)36 个 (C)24 个 (D)18 个

六、挡板模型法
挡板模型法是在解决排列组合应用问题中, 对一些不易理解且复杂的排列组合问题, 当 元素相同时,可以通过设计一个挡板模型巧妙解决,否则,如果分类讨论,往往费时费力, 同时也难以解决问题。 【例 1】体育老师把 9 个相同的足球放入编号为 1,2,3 的三个箱中,要求每个箱子放球 的个数不少于其编号,则不同的放球方法有 ( ) A.8 种 B.10 种 C.12 种 D.16 种 【巧解】先在 2 号盒子里放 1 个小球,在 3 号盒子里放 2 个小球,余下的 6 个小球排成一 排为: OOOOOO ,只需在 6 个小球的 5 个空位之间插入 2 块挡板,如: OO | OO | OO ,
2 每一种插法对应着一种放法,故共有不同的放法为 C5 ? 10 种. 故选 B

【例 2】两个实数集 A ? ?a1, a2 ,

, a50? , B ? ?b1, b2 , b25? ,若从 A 到 B 的映射 f 使得 ? f ? a50 ? ,则这样的映射共有(
25 D. A49

B 中每个元素都有原象,且 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? 个
24 A. A50 24 B. C49



25 C. C50

【巧解】不妨设 A和B 两个集合中的数都是从小到大排列,将集合 A 的 50 个数视为 50 个 相同的小球排成一排为: OOOOOOO ??OO ,然后在 50 个小球的 49 个空位中插入 24 块木板,每一种插法对应着一种满足条件 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ?
24 不同映射共有 C 49 种. 故选 B

? f ? a50 ? 对应方法,故共有

巧练一:两个实数集合 A={a1, a2, a3,?, a15}与 B={b1, b2, b3,?, b10},若从 A 到 B 的是映射 f 使 B 中的每一个元素都有原象,且 f(a1)≤f(a2) ≤?≤f(a10)<f(a11)<?<f(a15), 则这样的映射 共有 ( )
5 A. C10 个

4 B. C 9 个

C.1015 个

10 D. 510 ? A15

巧练二:10 个完全相同的小球放在标有 1、2、3、4 号的四个不同盒子里,使每个盒子都 不空的放法有( )种 A.24 B.84 C.120 D.96

七、等差中项法

等差中项法是根据题目的题设条件(或隐含)的特征,联想到等差数列中的等差中项, 构造等差中项, 从而可使问题得到快速解决, 从而使解题过程变得简捷流畅, 令人赏心悦目。 【例 1】 (浙江高考题)已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2 ,则( )

(A) ab ?

1 2

(B) ab ?

1 2

(C) a ? b ? 2 (D) a ? b ? 3
2 2 2 2

【巧解】根据 a ? b ? 2 特征,可得 a,1, b 成等差数列, 1 为 a 与 b 的等差中项。可设

a ? 1 ? x , b ? 1 ? x ,其中 ? 1 ? x ? 1 ;则 ab ? 1 ? x 2 , a 2 ? b 2 ? 2 ? 2 x 2 ,
又 0 ? x ? 1 ,故 0 ? ab ? 1 , 2 ? a ? b ? 4 ,由选项知应选(C)
2 2 2

【例 2】 (重庆高考题) 已知函数 y ? 1 ? x ? 的值为( (A) )

x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则

m M

1 4

(B)

1 2

(C)

2 2

(D)

3 2

【巧解】由 y ? 1 ? x ?

y 为 1 ? x 与 x ? 3 的等差中项, 2 y y y 令 1 ? x ? ? t , x ? 3 ? ? t ,其中 | t |? , 2 2 2

x ? 3 可得,

y y y y2 2 2 2 则 ( ? t ) ? ( ? t ) ? 1 ? x ? x ? 3 ? 4 ,即 t ? 2 ? ,又 | t |? ,则 2 2 2 4

0 ? t2 ?

y2 y2 y2 ? ,故 0 ? 2 ? ,解之得 2 ? y ? 2 2 ,即 M ? 2 2 , m ? 2 4 4 4



m 2 2 ,故选(C) ? ? M 2 2 2
y2 的最小值 xz
.

巧练: (江苏高考题) x, y, z ? R*, x ? 2 y ? 3z ? 0,

八、逆向化法
逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都 是解题重要的信息。 逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息,解题时,要“盯住选 项” ,着重通过对选项的分析,考查,验证,推断进行否定或肯定,或者根据选项之间的关 系进行逻辑分析和筛选,找到所要选择的,符合题目要求的选项。 【例 1】 (湖北高考题)函数 f ( x) ? 定义域为( ) B. (?4,0) ? (0,1) D. [?4,0) ? (0,1) A. (??,?4] ? [2,??) C. [?4,0) ? (0,1]

1 ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的 x

【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可,取 x ? 1 ,出现函数的真数为 0,不满足, 排含有 1 的答案 C,取 x ? ?4 代入计算解析式有意义,排不含有 ? 4 的答案 B,取 x ? 2 出 现二次根式被开方数为负,不满足,排含有 2 的答案 A,故选 D

评析: 求函数的定义域只需使函数解析式有意义, 凡是考查具体函数的定义域问题都可用特 值法代入验证快速确定选项。 【例 2】 (江西高考题)已知函数 f ( x) ? 2mx2 ? 2(4 ? m) x ? 1, g ( x) ? mx ,若对于任一 实数 x, f ( x) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是( ) A. (0,2) B. (0,8) C. (2,8) D. ( ? ? ,0) 【巧解】观察四个选项中有三个答案不含 2,那么就取 m ? 2 代入验证是否符合题意即可, 取 m ? 2 ,则有 f ( x) ? 4x 2 ? 4x ? 1 ? (2x ? 1) 2 ,这个二次函数的函数值 f ( x) ? 0 对

1 1 恒成立,现只需考虑 g ( x) ? 2 x 当 x ? 时函数值是否为正数即可。这显然 2 2 为正数。故 m ? 2 符合题意,排除不含 m ? 2 的选项 A、C、D。所以选 B
x?R且x ?

2x ?1 巧练一: (湖北高考题)函数 y ? x (x<0)的反函数是( 2 ?1
A. y ? log 2 C. y ? log 2



x ?1 (x<-1) x ?1

B. y ? log 2 D. y ? log 2

x ?1 (x>1) x ?1
x ?1 (x>1) x ?1

x ?1 (x<-1) x ?1

巧练二: (重庆高考题)不等式 x ? A. (?1,0) C. (?1,0)

(1, ??) (0,1)

2 ? 2 的解集是( ) x ?1 B. (??, ?1) (0,1)
D. (??, ?1)

(1, ??)

九、极限化法
极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势 进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过 动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法. 【 例 1 】 正 三 棱 锥 A ? BCD 中 , E 在 棱 AB 上 , F 在 棱 CD 上 , 使

AE CF ? ? ? (? ? 0) , EB FD
设 ? 为异面直线 EF 与 AC 所成的角,? 为异面直线 EF 与 BD 所成的角, 则? ? ? 的 值是 ( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【巧解】当 ? ? 0 时, E ? A ,且 F ? C ,从而 EF ? AC 。因为 AC ? BD ,排除 选择支 A, B, C 故选 D(或 ? ? ?? 时的情况,同样可排除 A, B, C ) ,所以选 D 【例 2】若 a ? ( ) x , b ? x 2 , c ? log 2 x ,当 x >1 时, a, b, c 的大小关系是
3

2 3

3





A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

D. a ? c ? b

【巧解】当 x ? 0 时, a ?

2 , b ? 1 , c ? 0 ,故 c ? a ? b ,所以选 B 3

巧练一:若 0 ? x ? A. 2 x ? 3 sin x

?
2

, 则2 x与3 sin x 的大小关系
B. 2 x ? 3 sin x C. 2 x ? 3 sin x





D.与 x 的取值有关

巧练二:对于任意的锐角 ? , ? ,下列不等关系式中正确的是(



(A) sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (C) cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ?

(B) sin(? ? ? ) ? cos? ? cos ? (D) cos(? ? ? ) ? cos? ? cos? 十、整体化法

整体化法是在解选择题时 ,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分 析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算 ,确定具体问题的结果,例如,对函数问 题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它 的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对 4 个选项进行比较以得出结论, 或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体 出发进行解题的方法. 【例 1】已知 ? 是锐角,那么下列各值中, sin ? ? cos ? 可能取到的值是( ) A.

3 4

B.

4 3

C.

【巧解】∵ sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ?

?
4

5 3

D.

) ,又 ? 是锐角,∴ 0 ? ? ?

?
2

1 2

?
4

?? ?

?
4

?

3? ? 2 ? ,∴ ? sin(? ? ) ? 1 ,即 1 ? 2 sin(? ? ) ? 2 ,故选 B 4 4 2 4

【例 2】(全国高考题)据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001 年 国内生产总值达到 95933 亿元,比上一年增长 7.3%.”如果“十· 五”期间(2001-2005 年)每年的国 内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十· 五”末,我国国内生产总值约为( ) (A)115000 亿元 (B)120000 亿元 (C) 127000 亿元 (D)135000 亿元 2 【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001 年国内生产总值达到 0 95933 亿元,精确 到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都是 0,因此,可以从整体 0 上看问题,忽略一些局部的细节. 8 2 把 95933 亿元近似地视为 96000 亿元,又把 0.073 近似地视为 0.005 ,这样一来,就有 0 4 95933 ? ?1 ? 7.3% ? ? 96000 1 ? 4 ? 0.073 ? 6 ? 0.0732 5 2 ? 96000 ? (1 ? 0.292 ? 6 ? 0.005) ? 126720 ? 127000. 2 0 ? 3 巧练一: 如图所示为三角函数 y ? A sin(?x ? ? ) , ( | ? |? , A ? 0) 的图象的一部分, 0 2 8 则此函数的周期 T 可能是( ) y 0 A. 4? B. 2? 5 11? 2 2 C. ? D. 3? 8 3

?

?

4

O

x

?2

巧练二: (全国卷)如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正

方形,EF∥AB,EF ? (A)
9 2

3 ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为( 2 E F
D



(B)5
15 (D) 2
C

(C)6

A

B

十一、参数法
在解题过程中, 适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量, 使得原式中仅含有这 些新变量,以此作为媒介,在进行分析和综合,然后对新变量求出结果,从而解决问题的方 法叫参数法。 【例 1 】 (安徽高考题)设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M ( 2,1),且左焦点为 a 2 b2

F1 (? 2,0)
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当过点 P(4,1) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A, B 时,在线段 AB 上取点 Q , 满足 AP ? QB ? AQ ? PB ,证明:点 Q 总在某定直线上。

?c 2 ? 2 ? ?2 1 【巧解】(1)由题意: ? 2 ? 2 ? 1 ?a b 2 2 2 ? ?c ? a ? b

x2 y 2 ? ?1 ,解得 a ? 4, b ? 2 ,所求椭圆方程为 4 2
2 2

(2) 由 AP ? QB ? AQ ? PB 得:

| AP | | PB |

?

| AQ | | QB |

设点 Q 、 A 、 B 的坐标分别为

( x, y),( x1, y1 ),( x 2 , y2 ) 。由题设知 AP , PB , AQ , QB 均不为零,记 ? ?

AP PB

?

AQ QB

,

则 ? ? 0 且 ? ? 1 ,又 A,P,B,Q 四点共线,从而 AP ? ?? PB, AQ ? ?QB , 于是 4 ?

x1 ? ? x2 , 1? ?

1?

y1 ? ? y2 , 1? ?


x?

x1 ? ? x2 , 1? ?

y?


y1 ? ? y2 1? ?

从而

x12 ? ? 2x2 2 ? 4x , 1? ?2

y12 ? ? 2y2 2 ? y, 1? ?2

又点 A、B 在椭圆 C 上,即

x12 ? 2 y12 ? 4,



2 2 x2 ? 2 y2 ? 4,



① ? ② ? 2 并结合③,④得 4 x ? 2 y ? 4 ,即点 Q ( x, y ) 总在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上。 【例 2】 (辽宁高考题)设椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、 4

B,O 是坐标原点,点 P 满足 OP ? 转时,求动点 P 的轨迹方程;

1 1 1 (OA ? OB ) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋 2 2 2

【巧解】直线 l 过点 M(0,1)设其斜率为 k,则 l 的方程为 y ? kx ? 1. 记 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ), 由题设可得点 A、B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) 是方程组

? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ?

① 的解. ②

将①代入②并化简得, (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,所以

2k ? x1 ? x 2 ? ? , ? ? 4? k2 于是 ? 8 ?y ? y ? . 1 2 ? 4? k2 ?
OP ? x ? x2 y1 ? y 2 1 ?k 4 (OA ? OB) ? ( 1 , )?( , ). 2 2 2 2 4? k 4? k2

设点 P 的坐标为 ( x, y), 则

?k ? x? , ? ? 4? k2 消去参数 k 得 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0 ? 4 ?y ? . ? 4? k2 ?



当 k 不存在时,A、B 中点为坐标原点(0,0) ,也满足方程③,所以点 P 的轨迹 方程为 4 x ? y ? y ? 0.
2 2

巧练一: (全国高考题)直线 A. a ? b ? 1
2 2

x y ? ? 1 通过点 M (cos? , sin ? ) ,则有 ( ) a b 1 1 1 1 2 2 B. a ? b ? 1 C. 2 ? 2 ? 1 D . 2 ? 2 ? 1 a b a b
2

巧练二: 如图,已知直线 l 与抛物线 x ? 4 y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴交于点 A,O 为 坐标原点,定点 B 的坐标为(2,0).

(I)若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 | AM |? 0 ,求点 M 的轨迹 C; (II)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) ,试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

十二、交轨法
如果所求轨迹是两条动曲线(包括直线)的交点所得,其一般方法是恰当地 引进一个参数,写出两条动曲线的方程,消去参数,即得所求的轨迹方程,所以 交轨法是参数法的一种特殊情况。
2 2 【例 1】已知椭圆 C: x ? y ? 1 (a ? b ? 0)的离心率为 6 ,短轴一个端点到右焦点 F 的距 3 a2 b2

离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过椭圆的焦点 F 交椭圆 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作椭圆的两条 切线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的轨迹方程。

?c 6 , ? ? 【巧解】 (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 解之得 c ? 2 ? a ? 3, ?

x2 ? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 3
(Ⅱ)由(I)知 F ( 2 ,0) ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) , P( x0 , y 0 ) ,对椭圆 求 导 :

x2 ? y2 ? 1 3

2x x ? 2 yy ? ? 0 , 即 y ? ? ? , 则 过 A 点 的 切 线 方 程 PA 为 3 3y

y ? y1 ? ?

x1 ( x ? x1 ) 整理得 x1 x ? 3 y1 y ? 3 3 y1

① 同理过 B 点的切线方程 PB 为

x2 x ? 3 y 2 y ? 3 ②,又 P( x0 , y0 ) 在两切线 PA 、 PB 上,∴ x1 x0 ? 3 y1 y0 ? 3

x2 x0 ? 3 y 2 y0 ? 3 ,因此, A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 两点在均在直线 x0 x ? 3 y0 y ? 3 上,

又∵ F ( 2 ,0) 在直线 x0 x ? 3 y 0 y ? 3 上, ∴ x0 2 ? 3 y 0 ? 0 ? 3 , 即 x0 ? 轨迹方程

3 2 为交点 P 的 2

【例 2】过抛物线 C: y ? x 2 上两点 M,N 的直线 l 交 y 轴于点 P(0,b). (Ⅰ)若∠MON 是钝角(O 为坐标原点) ,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)若 b=2,曲线 C 在点 M,N 处的切线的交点为 Q.证明:点 Q 必在一条定直线上 运动.
2 2 【巧解】 (Ⅰ)设点 M,N 坐标分别为 ( x1 , x12 ), ( x2 , x2 )(x1 ? x2 ),则OM ? ( x1 , x12 ),ON ? ( x2 , x2 ).由

题意可设直线 l 方程为 y=kx+b, ? y ? x 2

?? ? k 2 ? 4b ? 0 ? 由? 消去y得x 2 ? kx ? b ? 0,? ? x1 ? x 2 ? k ? y ? kx ? b ? x ? x ? ?b ? 1 2
? 0, 且 cos?MON ? ?1.

? ?MON是钝角,? cos?MON ?

OM ? ON | OM | ? | ON |

2 由OM ? ON ? x1 x2 ? x12 x2 ? ?b ? b 2 ? 0, 得0 ? b ? 1.

此时O, M , N三点不共势, cos?MON ? ?1不成立. ? b的取值范围是 (0,1).? ? 6分

(Ⅱ)当 b=2 时,由(Ⅰ)知 ? ∵函数 y=x2 的导数 y′=2x,

? x1 ? x2 ? k , ? x1 ? x2 ? ?b ? ?2,

抛物线在 M ( x1 , x1 ), N ( x2 , x2 ) 两点处切线的斜率分别为 k M ? 2x1 , k N ? 2x2 , ∴在点 M, N
2 2

处的切线方程分别为
lM : y ? x12 ? 2 x1 ( x ? x1 ),
2 lN : y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ).

? ? y ? x1 ? 2 x1 ( x ? x1 ), 由? ( x1 ? x2 ),解得交点Q的坐标( x, y )满足 2 ? ? y ? x2 ? 2 x2 ( x ? x2 ) x1 ? x2 ? k ? , ?x ? , ?x ? 2 即? 2 ? ? ? y ? x ? x , y ? ? 2, ? 1 2 ?
2

? Q点在定直线y ? ?2上运动.

巧练一:已知定点 A(1,0)和定直线 x ? ?1 上的两个动点 E、F,满足 AE ? AF ,动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 O 为坐标原点). (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过点 M (1,0) 与轨迹 C 交于 A、B 两点,分别过 A、B 作轨迹 C 的两条切 线,A、B 为切点,求两条切线的交点 P 的轨迹方程。 巧练二:如图,在以点 O 为圆心,|AB|=4 为直径的半圆 ADB 中,OD⊥AB,P 是半圆弧上

一点,∠POB=30°. 曲线 C 是满足||MA|-|MB||为定值的动点 M 的轨迹,且曲线 C 过点 P. (Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 E、F. 分别过 E、F.作轨迹 C 的两条切线,E、F.为切点, 求两条切线的交点 Q 的轨迹方程。

十三、几何法
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律,然后得出题目结论 的方法叫做几何法。 【例 1 】 ( 浙江高考题 ) 已知 a 、 b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足

(a ? c) ? (b ? c) ? 0, 则| c | 的最大值是(
(A)1 (B)2



(C) 2

(D)

2 2

【巧解】不妨设以 a 、 b 所在直线为 x 轴, y 轴,且 a ? (1,0) , b ? (0,1) , y

c ? ( x, y) 由已知 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 得 a ? b ? (a ? b) ? c? | c | 2 ? 0 ,
整理得 x ? y ? x ? y ? 0
2 2

C O

|c|
x

即 (x ?

1 2 1 1 1 1 ) ? ( y ? ) 2 ? ,所以向量 c 的坐标是以 ( , ) 为圆心, 2 2 2 2 2

2 为半径的一个圆且过原点,故 | c | 的最大值即为圆的直径为 2 ,故本题选(C) 2
【例 2】 (江苏高考题)若 AB=2,AC= 2BC, 则S ?ABC 的最大值 .

【巧解】建立如图平面直角坐标系,设 C ( x, y ) , A(0,0) , B(2,0) ,由 AC ? 2BC
2 2 即 | AC |? 2 | BC | ,∴ x ? y ?

2 ( x ? 2) 2 ? y 2 ,

y

C ( x, y )
B(2,0)

化简得 x ? 8x ? y ? 8 ? 0
2 2

A 配方得 ( x ? 4) ? y ? 8 ,所以 C 点轨迹是以 D(4,0) 为圆心,
2 2

D(4,0)

x

2 2 为半径的一个圆(除去与 x 轴的两个交点) ,所以当 C 点纵坐标绝对值为 2 2 ,即

| y |? 2 2 时, S ?ABC 有最大值为
巧练一:已知 A(m ?

2? 2 2 ? 2 2 ,所以答案为 2 2 2
.

1 1 , m ? ) , B(1,0) ,其中 m ? 0 ,则 | AB | 的最小值为 m m

2 2 巧练二:已知实数 x 、 y 满足 ( x ? 2) ? y ?

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 6 ,则 2 x ? y 的最大值

等于

.

十四、弦中点轨迹法
有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹; 过定点的弦重点轨迹。 “点差法”解决有关弦中点问题较方便,要点是巧代斜率。 【例 1】 (海南、宁夏卷)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F (1,0) ,直线 l 与抛 物线 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为 .

【巧解】由 F (1,0) 知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,代入抛物
2 2 2 线方程则有: y1 ? 4 x1 , y 2 ? 4 x2 ,两式相减有 y12 ? y2 ? 4( x1 ? x2 ) ,



y1 ? y 2 ( y1 ? y 2 ) ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 4 ,又 y1 ? y2 ? 4 ,∴ 4k ? 4 ,即 k ? 1 。 x1 ? x2

故 l AB : y ? 2 ? x ? 2 ,即 y ? x ,∴本题应填 y ? x
2 2 【例 2】椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A 、 B 两点,若过原点与线段 AB 中点

的直线的倾斜角为 30 ,则

0

a 的值为 b





(A)

3 4

(B)

3 3

(C)

3 2

(D) 3

【巧解】设 AB 的中点为 M ( x0 , y 0 ) , A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 x0

?ax12 ? by12 ? 1 ,两式相减,得 y1 ? y 2 ? 2 y 0 ,又 ? 2 2 ?ax2 ? by2 ? 1
a( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? b( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 0 ,
即 2ax0 ( x1 ? x2 ) ? 2by0 ( y1 ? y 2 ) ? 0 ,∴

ax y1 ? y 2 ? ? 0 ? ?1 x1 ? x 2 by0



ax0 y a 3 3 ,∴ ? ,故选(B) ? 1 ,又 0 ? tan300 ? b 3 by0 x0 3

巧练一:若椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点,过原点与线段 AB

中点的直线的斜率为

n 2 ,则 的值为 m 2

.

x2 y2 ? ? 1 的弦被点 P(4,2) 平分, 巧练二: 若椭圆 则此弦所在直线的斜率是为 36 9

.

十五、比较法
现实世界的同类量之间,有相等关系,也有不等关系。两个可以比较大小的量 a 和 b , 若 a ? b ? 0 , a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ,则它们分别表示 a ? b , a ? b , a ? b ,我们把根据 两个量的差的正、 负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法; 当两个量均为正值 时,有时我们又可以根据

a a a ? 1 , ? 1 或 ? 1 来判断 a ? b , a ? b , a ? b ,这个方法叫 b b b

做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。 比较法之一(作差法 0 步骤:作差——变形——定号——结论 (1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 (2)变形:常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积” 。 (3)定号:就是确定是大于 0 ,还是等于 0 ,还是小于 0 ,最后下结论。 概括为“三步,一结论” ,这里的“定号”是目的, “变形”是关键。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以把式子灵活变形,通过作商或将它们的平方差来 比较大小。 【例 1】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上 (1)求 ?an ? 的通项公式; (2) 若函数 f (n) ?

1 1 1 求函数 f ( n) 的最小值. ? ? ... ? (n ? N , n ? 2) , n ? a1 n ? a2 n ? an

【巧解】 (1)? 点 P(an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,即 an?1 ? an ? 1且 a1 ? 1

? 数列 {an } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列
? an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? an ? n
(2)? f (n) ?

1 1 1 ? ? ?? , n ?1 n ? 2 2n

1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? n?2 n?3 2n 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 ? f (n) 是单调递增的,故 f (n) 的最小值是 f ( 2) ? 12 f (n ? 1) ?
【例 2】 (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ?3x 2 ? 6x ? 2.S n 是数列 {an } 的前 n 项和,点(n,Sn) (n∈N*) ,在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,求 an. (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 bn ? ( )

1 2

n ?1

, cn ?

a n ? bn ,且 Tn 是数列{cn}的前 n 项和.试问 6

Tn 是否存在最大值?若存在,请求出 Tn 的最大值,若不存在,请说明理由. 【巧解】 (Ⅰ)点(n,Sn)在曲线 y ? f ( x) ? 2 上,所以 sn ? ?3n2 ? 6n. 当 n=1 时,a1= S1=3,当 n≥2 时,an= Sn- Sn-1=9-6n,

? an ? 9 ? 6n.
1 1 9 ? 6n 1 n ?1 1 bn ? ( ) n ?1 , cn ? anbn ? ( ) ? (3 ? 2n)( ) n , 2 6 6 2 2 1 1 2 1 n ?Tn ? c1 ? c1 ? ? cn ? ? ( ) ? ? (3 ? 2n)( ) . 2 2 2 1 n 利用错位相减法,? Tn ? (2n ? 1)( ) ? 1. 2 1 1 Tn ? 1 ? (2n ? 1)( ) n ? 0, Tn ?1 ? 1 ? (2n ? 3)( ) n ?1 ? 0, 2 2 1 (2n ? 1)( ) n Tn ? 1 2 ? 1, ? 1 Tn ?1 ? 1 (2n ? 3)( ) n ?1 2
(Ⅱ)

? Tn ?1 ? 1 ? Tn ? 1, ? Tn ?1 ? Tn ?
存在最大值 T1 ?

1 ? T1 ? . 2
1 . 2
( D.b<a<c )

巧练一: (全国高考题)若 a ? ln 2 , b ? ln 3 , c ? ln 5 ,则 2 3 5 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b

3 5 x 巧练二:已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b 的图象过点 A(1, ), B ( 2, ). 2 2
(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

( x) 的解析式;

(Ⅱ)记 an ? 2 f 使得 (1 ?

?1

(n)

(n ? N *) ,是否存在正数 k,

1 1 1 )(1 ? ) ?(1 ? ) ? k 2n ? 1对n ? N * 均成立.若存在,求出 k 的最 a1 a2 an

大值;若不存在,请说明理由.

十六、基本不等式法
借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。 常用的基本
2 2 不等式有下面几种形式:①若 a 、 b ? R ,则 a ? b ? 2ab , (当且仅当 a ? b 时取

等号) ,反之 ab ?

a2 ? b2 也成立,②若 a ? 0 、 b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab , (当且 2
a?b 2 ) 也成立。③若 a 、 b 、 c 都是正数,则 2

仅当 a ? b 时取等号) ,反之 ab ? (

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc , (当且仅当 a ? b ? c 时取等号) ,反之 abc ?

a3 ? b3 ? c3 也 2

成立。④若 a 、 b 、 c 都是正数,则 a ? b ? c ? 33 abc , (当且仅当 a ? b ? c 时取 等号) , 反 之 abc ? (

a?b?c 3 ) 也 成 立 。 对 于 公 式 a 2 ? b 2 ? 2ab 及 公 式 2

a ? b ? 2 ab 的理解,应注意以下几点:
①两个公式成立的条件是不同的,前者只要求 a 、b 是实数,而后者强调 a 、b 必 须是正数。②要对两个公式的等号及“当且仅当 a ? b 时取等号”的含义要有透彻的 理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应用。 解题功能及技巧是:①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转化为“和式”的放缩功能。②在创设应用不等式的使用条件时,合理拆分项或 配凑因式是常用的解题技巧。③“和定积最大,积定和最小” ,即 n 个 (n ? 2,3) 正数 的和为定值,则可求积的最大值,积为定值,则可求和的最小值。应用此结论求某些 函数最值要注意三个条件:就是“一正——各项都是正数;二定——积或和是定值; 三等——等号能否取到” ,求最值时,若忽略了上述三个条件,就会出现错误,导致 解题失败。必要时要做适当的变形或换元,以满足上述条件。 【例 1】 (重庆高考题)函数 f(x)=

sin x (0≤x≤2 ? )的值域是( 5 ? 4 cos x
1 1 ] 3 3 2 2 (D)[- , ] 3 3
(B)[- ,



1 1 , ] 4 4 1 1 (C)[- , ] 2 2
(A)[-

【巧解】∵ f ( x) ?

sin x 5 ? 4 cos x

,∴ f ( x) ?
2

sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 5 ? 4 cos x 5 ? 4 cos x

令 t ? 5 ? 4 cos x ,∵ 0 ? x ? 2? , ? 1 ? cos x ? 1 ,∴ t ? 0 ∴ cos x ?

t ?5 ? cos x ? 1 ,∴ ? 4 5 ? 4 cos x
2

?(

5?t 2 ) ?1 1 9 4 ? ? (t ? ? 10) t 16 t

??
即x ?

9 1 1 9 1 当且仅当 t ? , 即 t ? 3 时取等号, 此时 cos x ? ? , (2 t ? ? 10) ? , t 2 16 t 4

2? 4? 1 1 1 1 1 2 或 , ∴ f ( x) ? , 因而 ? ? f ( x) ? , 故 f ( x) 的值域为[- , ] 2 2 3 3 4 2 2

【例 2】 (辽宁高考题)设 x ? (0,

?
2

), 则函数 y ?

2 sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x

.

【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得:

y?

1 2 sin 2 x ? 1 2 sin 2 x ? 1 3 sin 2 x ? cos2 x 3 tan2 x ? 1 3 ? ? ? = tan x ? , 2 2 tan x sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 tan x

∵ x ? (0,

?
2

), ∴ tan x ? 0 ,利用均值定理, y ? 2

3 1 tan x ? ? 3 ,当且仅当 2 2 tan x

tan 2 x ?

1 时取“=” ,∴ ymin ? 3 ,所以应填 3 . 3

巧练一:函数 y ?

x2 ? x ?1 ( x ? 0) 的最小值是 x 2 ? 2x ? 1
2



巧练二:求函数 y ? x (1 ? 5 x)(0 ? x ? ) 的最大值。

1 5

十七、综合法
利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明 方法叫综合法。 【例 1】已知 a , b 是正数,且

a b ? ? 1 , x, y ? (0, ??) ,求证: x ? y ? ( a ? b )2 x y a x b bx ay ) ? a?b? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 y y x

【巧证】左 ? x ? y ? ( x ? y ) ? ( ?

? 右,当且仅当

ay bx x2 a ? ,即 2 ? 时,取“=”号,故 x ? y ? ( a ? b )2 。 x y y b
1 1 1 ? ? ?9 a b c

【例 2】已知 a, b, c 是正数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证:

1 1 1 a?b?c a?b?c a?b?c b a c a c b ? ? ? ? ? ? 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) a b c a b c a b a c b c 1 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? 9 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时取“=”号。 3 1 2 巧练一:已知函数 f ( x) ? x ? ln x .设 g ( x) ? f ?( x) , 2
【巧证】 求证: [ g ( x)]n ? g ( x n ) ? 2 n ? 2 (n ? N * ) . 巧练二:已知 a, b, c, d 都是实数,且 a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,求证: | ac ? bd |? 1
2 2 2 2

十八、分析法
证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把 证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都具备, 那么就可以判定原不等式成立,这种方法通常叫分析法。 注意:①分析法是“执果索因” ,步步寻求不等式成立的充分条件,可以简单写成

B ? B1 ? B2 ? ? Bn ? A ,②分析法与综合法是对立统一的两种方法。综合法是
“由因导果” ;③分析法论证“若 A 则 B ”这个命题的证明模式(步骤)是: 欲证明命题 B 成立,只须证明命题 B1 成立, ? ,从而有 ? ,只须证明命题 B2 成立,从而 又有 ? ,只须证明命题 A 成立,而已知 A 成立,故 B 必成立。④用分析法证明问题时,一 定要恰当用好“要证” , “只须证” , “即证” , “也即证”等词语。 【例 1】求证 3 ? 7 ? 2 ? 6 【巧证】∵ 3 ?

7 ? 0 , 2 ? 6 ? 0 ,要证 3 ? 7 ? 2 ? 6 ,

只须证 ( 3 ? 7 ) 2 ? (2 ? 6 ) 2 ,即证 10 ? 2 21 ? 10 ? 2 24 也即证 21 ? 24 , ∵ 21 ? 24 , 21 ? 24 显然成立, ∴原不等式 3 ? 7 ? 2 ? 6 成 立。 【例 2】设 a ? 0 , b ? 0 ,且 2c ? a ? b ,证明 c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab 【巧证】要证 c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab 只须证 ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab ,即证 | a ? c |? c 2 ? ab
2 2 2 2 两边平方得: a ? 2ac ? c ? c ? ab ,也即证 a ? ab ? 2ac ,∵ a ? 0 且 2c ? a ? b

∴ a ? ab ? 2ac 显然成立,∴原不等式成立。
2

巧练一:求证 3 ?

7 ?2 5

巧练二:已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? 1 ,试证明: (a ?

1 1 25 )( b ? ) ? a b 4

十九、放缩法
欲证 A ? B ,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得 B ? B1 ,
。 。 。 B ? A或 A? A , A ? A , 。 。 A ? B ,在利用传递性,达到欲证的目的,这 B1 ? B2 , 1 1 2 。 i i

种方法叫放缩法。放缩法的实质是非等价转化,放缩没有一定的准则和程序,需按题意适当 放缩否则是达不到目的, 此方法在数列与函数、 不等式综合问题中证明大小关系是常用方法。 放缩法的方法有: (1)添加或舍去一些项,如: a 2 ? 1 ?| a | ; n(n ? 1) ? n (2)将分子或分母放大(或缩小) (3)利用基本不等式,如: n( n ? 1) ? (4)利用常用结论:① k ? 1 ?

n ? (n ? 1) 2

k?

1 k ?1 ? k

?

1 2 k





1 1 1 1 1 1 1 1 (程度大) ? ? ? ; 2 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k k (k ? 1) k k ? 1 k 1 4 4 4 1 1 ? 2 ? 2 ? ? 2( ? ) (程度小) 2 2k ? 1 2k ? 1 k 4k 4k ? 1 (2k ? 1)(2k ? 1)



2k 2k 2 k ?1 1 1 ④ k ? k ? k ? k ?1 ? k 2 k k ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
【例 1】已知数列 {an } 中, a1 ? 2, an an?1 ? an?1 ? 2an (n ? N*). (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? a n (a n ? 1)( n ? N *), S n 是数列{bn }的前 n项和, 证明 : 【巧解】由 a n a n ?1 ? a n ?1 ? 2a n , 得1 ?

3 ? S n ? 3. 4

1 2 ? a n a n ?1



1 a n?1

2n 1 1 1 1 1 n ?1 1 ? a ? . ? 1 ? ( ? 1). ? ? 1 ? ? ? ( ) ? ? n , n 2 an an 2 2 2n ? 1 2

(2)当 n=1 时, S1 ? a1 (a1 ? 1) ? 2,

?

3 2n 2n 2n ? S1 ? 3, ? n ? 2时, bn ? an (an ? 1) ? n ( n ? 1) ? n 4 2 ?1 2 ?1 (2 ? 1) 2

?

2n 2 n?1 1 1 ? ? n?1 ? n , n n n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 2) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

? Sn ? 2 ? ( ? 3?
n

1 ? 3. 2 ?1

又? n ? N *时, bn ?

2n (2 n ? 1) ? 1 1 1 ? ? n ? n n 2 n 2 (2 ? 1) (2 ? 1) 2 ? 1 (2 ? 1) 2

1 1 1 1 [(1 ? ( ) n ] [1 ? ( ) n ] 1 1 2 2 ?4 4 ? n ? ( n ) ? Sn ? 2 1 1 2 2 1? 1? 2 4 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? [1 ? ( ) n ] 2 3 4 4 1 1 1 4 1 1 1 3 ? ? ( )n ? ? ( )n ? ? ? ? ? . 3 2 3 4 3 2 3 4 4 3 ?当n ? N * 时, 都有 ? S n ? 3. 4
【例 2】已知数列 ?an ? 的各项均为正数, Sn为其前n项和, 对于任意n ? N * , 满足关系

S n ? 2an ? 2
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn,且 bn ?

1 ,求证:对任意正整数 n,总有 (log 2 a n ) 2

Tn ? 2;
【巧解】 (Ⅰ)解:? S n ? 2an ? 2(n ? N * ), ①

? S n?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 2, n ? N * )
①—②,得 an ? 2an ? 2an?1 .



(n ? 2, n ? N * )

? an ? 0, ?

an ? 2. a n ?1

(n ? 2, n ? N * )

即数列 ?an ? 是等比数列. ? a1 ? S1 ,

? a1 ? 2a1 ? 2,即a1 ? 2. ? an ? 2 n.(n ? N * )

(Ⅱ)证明:∵对任意正整数 n,总有 bn ?

1 1 ? 2. 2 (log2 a n ) n

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? 2 ? 1? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 1 2 n

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ? ? 2. 2 2 3 n ?1 n n 巧练一:已知数列{ an }的通项为 an ,前 n 项和为 S n ,且 an 是 S n 与 2 的等差中项;数 列{ bn }中, b1 ? 1, 点 P( bn , bn ?1 )在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, (Ⅰ)求数列{ an }、{ bn }的通项公式 an , bn ; ? 1?1?
(Ⅱ)设{ bn }的前 n 项和为 Bn ,试比较

1 1 1 与 2 的大小; ? ??? B1 B2 Bn
?

巧 练 二 : 已知数 列 {an }和 {bn },{an }的前n项和为S n , a2 ? 0 ,且对 任意 n ? N , 都有

2S n ? n(an ? 1),点列Pn (an , bn )都在直线y ? 2x ? 2 上.
(1)求数列{ an }的通项公式; (2)求证:

1 |P 1P 2 |
2

?

1 |P 1P 3 |
2

???

1 |P 1P n |
2

?

2 (n ? 2, n ? N ? ) 5

二十、反证法
从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推理的已知条件,进行正确的逻 辑推理,使之得到与已知条件、公理、定理、法则或已经证明为正确的命题等相矛盾,矛盾 的原因是假设不成立, 所以肯定了命题的结论, 从而使命题获得了证明的证明方法叫反证法。 基本证明模式是:要证明 M ? N ,先假设 M ? N ,由已知及性质推出矛盾,从而肯定 M ? N ,适用范围:①否定性命题;②唯一性命题;③含有“至多” 、 “至少”问题。④根 据问题条件和结论,情况复杂难于入手,可考虑试用反证法。 反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:否定结 论 ? 推导出矛盾 ? 肯定结论成立,应用反证法证明的主要三步是:第一步,反设——作出 与求证结论相反的假设;第二步——归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理 导出矛盾;第三步——肯定结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。 【例 1】若 0 ? a ? 2, 0 ? b ? 2, 0 ? c ? 2, 证明 (2 ? a)b , (2 ? b)c , (2 ? c)a 不能同时 大于 1

?(2 ? a)b ? 1 (2 ? a) ? b ( 2 ? b) ? c ? ? (2 ? a)b ? 1 ;同理 ?1 【巧证】假设 ? (2 ? b)c ? 1 ,那么 2 2 ?( 2 ? c ) a ? 1 ?
(2 ? c) ? a ? 1 ,上述三式相加得 3 ? 3 ,矛盾,故假设不成立,原命题成立 2

【例 2】求证: y ? sin | x | 不是周期函数

T 是它的一个周期 (T ? 0) , 【巧证】 假设函数 y ? sin | x | 是周期函数, 即对任意 x ? R 都
有 sin | x ? T |? sin | x | 成 立 , 令 x ? 0 , 得 sin | T |? sin | 0 |, 即 sin | T |? 0 , ∴

T ? n? (n ? N ? ) ,分两种情况讨论:
(1)若 n ? 2k (k ? N ? ) ,则 sin | x ? 2k? |? sin | x | 对任意 x ? R 都成立,取 x ? ? 有 sin | ?

3? 3? 3? 3? ? 2k? |? sin | ? |? sin ? ?1 ,即 sin( 2k? ? ) ? ?1 , 2 2 2 2 3? 3? 3? ) ? sin( ? ) ? ? sin ? 1 ,∴ T ? 2k? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。 而 sin( 2k? ? 2 2 2
(2)若 n ? 2k ? 1(k ? N ? ) ,则有 sin | x ? (2k ? 1)? |? sin | x | 对任意 x ? R 都成立, 取x?

3? , 2

?
2

,有有 sin |

?
2

? (2k ? 1)? |? sin |

?
2

|? sin

?
2

? 1 ,即 sin( 2k? ?

而 sin( 2k? ?

3? 3? ) ? sin( ) ? ?1 ,∴ T ? (2k ? 1)? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。 2 2

3? ) ?1, 2

由(1)和(2)说明 T ? n? (n ? N ? ) 不是该函数的周期。故假设不成立,从而命题得证。
2 巧练一:设 f ( x) ? x ? ax ? b ,求证 | f (1) | 、 | f (2) | 、 | f (3) | 之中至少有一个不小于 2 2 巧练二:若下列方程: x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0 , x ? (a ? 1) x ? a ? 0 ,
2

1 2

x 2 ? 2ax ? 2a ? 0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。

二十一、换元法
解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到 简化,这叫换元法。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把 分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟 悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式 为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广 泛的应用。 换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研 究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问 题简单化,变得容易处理。换元的方法有: (1)局部换元,局部换元又称整体换元,是 在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然 有时候要通过变形才能发现。例如解不等式 4 ?2 ?2?0 ,先变形为设
x 2

(2)三角换元, t ? 2 x (t ? 0) ,而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

应用于去根号, 或者变换为三角形式易求时, 主要利用已知代数式中与三角知识中有某 点联系进行换元。 如求函数 y ?

? x ? 1 ? x 的值域时,易发现 x ?[0,1] 设 x ? sin 2 ? , ? ? [0, ] ,问 2
, 可 设 x ? a cos ? ,

题变成了熟悉的求三角函数值域。 为什么会想到如此设, 其中主要应该是发现值域的联 系 , 又 有 去 根 号 的 需 要 。 如 : 已 知 x2 ? y2 ? a2

y ? a sin ? (0 ? ? ? 2? )
已知 x 2 ? y 2 ? 1 ,可设 x ? r cos ? , y ? r sin ? (0 ? ? ? 2? ,0 ? r ? 1)

x2 y2 已知 2 ? 2 ? 1 ,可设 x ? a cos ? , y ? b sin ? (0 ? ? ? 2? ) a b x2 y2 ? ? 1 ,可设 x ? a sec ? , y ? b tan? a2 b2
S S ? t y ? ? t 等等。 2 2

已知

(3)均值换元,如遇到 x ? y ? S 形式时,设 x ?

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的 选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。 【例 1】 (江西高考题)若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ ,3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? 值域是( ) A. [ ,3]

1 2

1 的 f ( x)

1 2

B. [ 2,

10 ] 3

C. [ ,

5 10 ] 2 3 1 t

D. [3,

10 ] 3

【巧解】令 f ( x) ? t , t ? [ ,3] ,问题转化为求函数 y ? t ? 在 t ? [ ,3] 的值域,于是由 函数 y ? t ? 在 [ ,1] 上为减函数,在 [1,3] 上为增函数,得 y ? [ 2, 【例 2】 (重庆高考题)函数 f ( x) ?

1 2

1 2

1 t

1 2

10 ] ,故本题选 B 3

sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x
(B)[-1,0]

(0 ? ? ? 2? ) 的值域是()

(A)[-

2 ,0 ] 2

(C)[- 2,0 ] 【巧解】 f ( x) ?

sin x ? 1 3 ? 2 cos x ? 2 sin x

?

2 0 0 (D)[- 3,0 ] 8 0 sin x ? 1 8 2 2 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2 sin x 0 ?2 7

?

sin x ? 1 (sin x ? 1) ? (cos x ? 1)
2 2

,当 sin x ? 1 时,

原式 ? ?

1 1? ( cos x ? 1 2 ) sin x ? 1

,令 t ?

cos x ? 1 ,即 t sin x ? cos x ? t ? 1 , sin x ? 1

∴ t 2 ? 1 sin(x ? ? ) ? t ? 1 ,即 sin(x ? ? ) ?

t ?1 t2 ?1

,其中 tan ? ?| | , 0 ? ? ?

1 t

?
2

又 0 ? ? ? 2? , ∴ | sin(? ? ? ) |? 1 , 即|

t ?1 t2 ?1

解之得 t ? 0 , ∴ ?1? ? |? 1 ,

1 1? t2

?0,

当 sin x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,综上知 f ( x) 的值域为 [?1,0] ,故本题选 B 巧练一:函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 2 的值域是 A. [1,??) B. (2,??) C. (3,??) ( )

D. [4,??)

巧练二:(福建高考题)设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是( ) A. ? 2 2 B. ?

5 3 3

C.-3

D. ?

7 2


推荐相关:

高中数学试题巧解方法

高中数学试题巧解方法_数学_高中教育_教育专区。高中数学试题 代入法 直接法 定义法 向量坐标法 查字典法 挡板模型法 等差中项法 逆向化法 极限化法 整体化法 ...


高中数学活题巧解方法(摘自数学巧学王)

第一部分 高中数学题巧解方法总论第一篇 数学具体解题方法代入法 法 综合法 直接法 分析法 定义法 向量坐标法 交轨法 几何法 放缩法 反证法 查字典法 ...


高中数学活题巧解方法

高中数学题巧解方法 数学具体解题方法代入法 直接法 定义法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不 等式 法 综合法 分析法 放缩法 反证法 ...


高中数学活题巧解方法

高中数学题巧解方法_数学_高中教育_教育专区。高中数学题巧解方法 一、代入法若动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y 0 ) 而运动,而 Q 点...


高考数学题难题巧解思路与方法

高考数学题难题巧解思路与方法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学题难题巧解思路与方法高考数学题难题巧解思路与方法一、定义法求解所谓定义法,就是直接用...


运用大学数学思想巧解高考题

运用大学数学思想巧解高考题_高考_高中教育_教育专区。运用大学数学思想巧解高考题 摘要:高考数学试题中的一些难理解的问题往往让同学们花费很 多时间。传统的作法,...


高考数学选择题神奇巧解专题43页

神奇巧解高考数学选择题专题 前言 高考数学选择题,...解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑...高中高考数学易错易混易... 61页 1下载券©...


数学最牛的人巧解高中数学题

数学最牛的人巧解高中数学题 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 数学最牛的人巧解高中数学题。数学最牛的人巧解高中数学题文档贡献者 小侠龙旋风莫原 贡献...


高考数学选择题神奇巧解专题

高考数学选择题神奇巧解专题_高考_高中教育_教育专区。神奇巧解高考数学选择题专题 解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等 价转化、...


2012江苏高考数学19题 的几种解法及巧解。

_高考_高中教育_教育专区。2012江苏高考数学19题 的几种解法及巧解。...如果基础 够好的话,这只方法不失为一种好方法。不过比较而言,繁琐了一些。在...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com