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习文教育高二上学期数学寒假作业 (四)


习文教育高二上学期寒假作业(四) 班级 姓名 学号 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.点 (1,1) 在圆 ( x ? a) ? ( y ? a) ? 4 的内部,则 a 的取值范围是
2 2

A. 0 ? a ? 1
2 2

B. ?1 ? a ? 1

C. a ? ?1或a ? 1

D. a ? ?1

y x ? ? 1 的两条准线的距离等于 3 4 6 7 3 7 6 3 A. B. C. D. 7 7 5 5 2 2 x y 3.椭圆 ? ? 1 的焦点坐标是 16 9 A. F1 (?5, 0) 、 F2 (5, 0) B. F1 (0, ?5) 、 F2 (0,5)
2.双曲线 C. F1 ( ? 7, 0) 、 F2 ( 7, 0)
2 2

D. F1 (0, ? 7) 、 F2 (0, 7)
2 2

4.两个圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 的公切线有 且仅有 A.1 条 A. x ? y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 5 ? 0 B.2 条 C.3 条
2 2

D.4 条

5.与直线 l : y ? 2 x ? 3 平行且与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相切的直线方程是 B. 2 x ? y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 5 ? 0
2 0 0

x2 y2 ? ? 1的曲线是双曲线,则 m 的取值范围是 6.已知方程 2 ? m m ?1 A. m ? 1 B. m ? 2 C. 1 ? m ? 2 D. m ? 1 或 m ? 2 ?2 y ? x ? 7.设 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ?x ? y ? 6 ?
7 0 1 2 3

A.0

B.2
2 2

C.8

D.16

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,且与双曲线的左、右 2 a b 两支分别相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围
8.斜率为 2 的直线 l 过双曲线 A. e ? 2 B. e ? 5 C. 1 ? e ? 5 9.如图, ABCDEF 为正六边形,则以 F 、 C 为焦点, 且经过 A 、 E 、 D 、 B 四点的双曲线的离心率为 A. 5 ? 1 B. 5 ? 1 C. 3 ? 1 D. 3 ? 1 10.已知 M (2,1) , N (?1, 2) ,在下列方程的曲线上,存在点 P 满足 | MP |?| NP | 的曲 线方程是 A. 3x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 4 x ? 3 ? 0
2 2

D. 1 ? e ?

3

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D.

x2 ? y2 ? 1 2

11.已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,过点 F2 向∠F1PF2 的外角平分 线作垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.直线 D.双曲线的一支 12. 若直线 y ?

x2 y 2 3 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的交点在实轴上射影恰好为双曲 a b 2
B.2 C.2 2 D.4

线的焦点,则双曲线的离心率是 A. 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,只填结果,不要过程) 13.点 P( x, y ) 在圆 x ? y ? 4 上,则 x ? y 的最大值为
2 2 2 2



14.过圆 x ? y ? 8 内的点 P(?1, 2) 作直线 l 交圆于 A、B 两点,若直线 l 的倾斜角为

3? ,则弦 AB 的长为 4


2

15.过点 P (1, 2) 的直线与双曲线 x ?

y2 ? 1 有且只有一个公共点的直线有 3

条。

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、F2 , P 为该椭圆上的动点, ?F1 PF2 为钝角时, 16. 椭圆 点 当 9 4
点 P 横坐标的取值范围是 。 三、解答题:本大题6个小题,共74分.解答要写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17. (本小题满分 12 分)双曲线 C 与椭圆 C 的一条渐近线,求双曲线 C 的方程。

x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y ? 3 x 为 8 4

18. (本小题满分 12 分) 一个圆与 y 轴相切, 圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上, 且在直线 y ? x 上截得的弦长为 2 7 ,求此圆的方程。

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率 e ? 2 ,经过双曲 a 2 b2 线的右焦点 F 且倾斜角为 45?的直线交双曲线于 A、B 点,若 | AB |? 12 ,试求此时双曲线
19. (本小题满分 12 分)设双曲线 C: 的方程。

20. (本小题满分 12 分)已知两个定点 O(0,0)、A(3,0),动点 P 满足: (1)求动点 P 轨迹 C 的方程; (2)过点 A 作轨迹 C 的切线,求此切线的方程。

| OP | 1 ? 。 | AP | 2

21. (本小题满分 13 分)已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为 . (1)求椭圆方程; (2)设椭圆在 y 轴正半轴上的焦点为 F,又点 A、B 在椭圆上,且 AF ? 2 FB ,求直 线 AB 的斜率 k 的值.

2 3

22. (本小题满分 13 分)已知向量 OA ? (2, 0) ,OC ? AB ? (0,1) ,动点 M 到定直线 y ? 1 的距离等于 d ,并且满足 OM ? AM ? k (CM ? BM ? d ) ,其中 O 为坐标原点, k 为参数。 (1)求动点 M 的轨迹方程,并判断曲线类型;
2

??? ?

????

??? ?

???? ???? ? ?

???? ???? ? ?

(2)如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线,其离心率 e 满足 值范围.

3 2 ?e? ,求实数 k 的取 3 2

习文教育高二上学期寒假作业(四)答案 一、选择题: BA C C B 二、填空题 13. 2 2 三、解答题: 14. 30 15.4 16. ( ? D C B D C AB

3 5 3 5 , ) 5 5

x2 y2 17.解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1. a b 2 2 x y 由椭圆 , ? ? 1 ,求得两焦点为(-2,0)(2,0) 8 4 ∴对于双曲线 C:c=2,又 y ? 3 x 为双曲线 C 的一条渐近线,


18.解:因为所求圆的圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且与 y 轴相切, 所以可设所求圆的圆心 C (3a, a) ,半径 r ? 3 | a | . 又因为圆在直线 y ? x 上截得的弦长为 2 7 , 圆心 C (3a, a) 到直线 y ? x 的距离 d ?
2 2 2

b ? 3. 解得 a 2 ? 1, b 2 ? 3, a

∴双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 3

3a ? a 12 ? ( ?1) 2
2

? 2a,

2 2 于是,由 d ? ( 7) ? r ,得 2a ? 7 ? r ,所以 a ? ?1 ,

故所求的圆方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9
2 2 2

19 解:由题设,得 e ? 2 , c ? 2a , b 2 ? 3a 2 ,双曲线为 直线 AB 的方程为 y ? x ? 2a , 代入到双曲线方程得: 2 x2 ? 4ax ? 7a 2 ? 0 , 又 | AB |? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

x2 y 2 ? ?1, a 2 3a 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:

7a 2 12 ? 2 (?2a) 2 ? 4? , 2
解得 a ? 4 ,则 b ? 12 ,所以
2 2

x2 y 2 ? ? 1 为所求。 4 12

x2 ? y 2 | OP | 1 1 ? 得 20.解: (1)设 P( x. y) 由 ? 2 2 | AP | 2 2 ( x ? 3) ? y
化简得 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 ,这就是轨迹 C 的方程
2 2

(2)设过点 A 的切线方程为 kx ? y ? 3k ? 0 即 y ? k ( x ? 3) 圆的方程化为 ( x ? 1) ? y ? 4 ,∴圆心为(-1,0)半径 r=2
2 2



| ?4k | k 2 ?1

?2
3 3

解得 k ? ?

3 ( x ? 3) 3 y2 x2 21.解: (1)设椭圆方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b c 2 由 2c=4 得 c=2,又 ? . a 3
∴切线方程为 y ? ? 故 a=3,b2=a2-c2=5, ∴所求的椭圆方程

y2 x2 ? ? 1. 9 5

(2)点 F 的坐标为(0,2) ,设直线 AB 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1)、B(x2,y2).

?y ? kx? 2 ? 由? y2 得(9+5k2)x2+20kx-25=0, x2 ?1 ? ? 5 ?9
显然△>0 成立, 根据韦达定理得

20k , ① 9 ? 5k 2 25 . ② x1 x 2 ? ? 9 ? 5k 2 ? AF ? (? x1 ,2 ? y1 ), FB ? ( x2 , y 2 ? 2), AF ? 2 FB , ? x1 ? ?2x2 ,代入①、②得 20 k ③ x2 ? 9 ? 5k 2 25 2 ④ 2 x2 ? 9 ? 5k 2 20 k 2 25 由③、④得 2( ) ? , 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2 1 3 ?k2 ? ,k ? ? . 3 3 22.解(1)设 M ( x, y), 则由 OA ? (2,0), OC ? AB ? (0,1), 且 O 为原点 A(2,0) ,B x1 ? x2 ? ?
(2,1) ,C(0,1) 。从而

OM ? ( x, y ), AM ? ( x ? 2, y ), CM ? ( x, y ? 1), BM ? ( x ? 2, y ? 1), d ?| y ? 1 | . ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? 2 2 2 代入 OM ? AM ? k (CM ? BM ? d ) 得 (1 ? k ) x ? 2(k ? 1) x ? y ? 0 为所求轨迹方程. 当 k ? 1 时,得 y ? 0 ,轨迹为一条直线;
当 k ? 1 时,得 ( x ? 1) ?
2

若 k ? 0 ,则为圆; 若 k ? 1 ,则为双曲线; 若 0 ? k ? 1或 k ? 0 ,则为椭圆. (2)因为

y2 ?1 1? k

3 2 ?e? ,所以方程表示椭圆. 3 2 y2 2 ? 1, 对于方程 ( x ? 1) ? 1? k

① 0 ? k ? 1 时 , a ? 1 , b2 ? 1 ? k , c ? a ? b ? 1 ? (1 ? k ) ? k , 此 时
2
2 2 2

3 2 c2 1 1 ?e? ,所以 ? k ? . e ? 2 ? k ,而 3 2 a 3 2 2 2 2 ②当 k ? 0 时, a ? 1 ? k , b ? 1 , c ? ?k k 1 k 1 1 2 所以 e ? ,即 ? ? ,所以 ?1 ? k ? ? . k ?1 3 k ?1 2 2 1 1 1 所以 k ? [?1, ? ] ? [ , ]. 2 3 2
2


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