tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

一题多解与多变


“核心辐射法”让高三数学习题课堂焕发生命力
【摘要】本文从一道三角形高考题入手,多角度探讨其解法,抓住核心知识多方 位的进行变式辐射, 意在发现高考题的核心本质, 挖掘类似问题的数学思想方法, 为解三角形等教学与复习迎考提供有力的佐证。 【关键词】一题多解 一题多变 思维变通 创新意识

核心辐射法即是“一题多解与多变”,即是指抓住一个核心的知识内容

,然 后围绕这个核心知识点进行多方位多角度的联系,使之形成由点到面的知识结构。 这个核心内容可以是一个概念、 一个原理、 一个图解、 一个实例。 针对习题训练, 可围绕一个核心题,变换题目的条件、结论和表达形式,通过对该题的联想、类 比、拓展和引申,得到更多类型的习题,从而达到解一道题就能解一类题的训练 目的。在数学习题课堂上教师如果“就题讲题,就题论题”,这样学生势必会感 到平淡乏味,学生学得累,老师教得也累。长期下去必然造成学生的思维片面和 狭隘,这样对培养学生思维的广阔性会带来很大的消极作用。所以为打破这种负 面的局面,在教学中,我们应该抓住核心辐射法,让学生学会一题多解,一题多 变。 一题多解,有利于学生启迪思维,开阔视野,全方位思考问题,分析问题; 有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。 一题多变, 可以训练学生积极思维, 触类旁通,提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。两者都有利于学生提高解决 综合问题的能力,有利于培养学生的探索精神;有利于创新意识的形成和发展, 是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。这样不仅可以创设新颖的教学情 境,激发学生的探究欲望,而且可以使课堂焕发生命活力,可以使新课堂理念得 到有效的落实。 一、一题多解,拓宽思路,培养思维的发散性 为了培养学生的创新意识和富有创造的思维变通能力,教学中适当精选一些 一题多解的典型题目,尽可能的引导学生进行多向思维,把所学的各方面知识有 机的联系起来,既能有效巩固基础知识,又能提高学生的思维能力和创新能力。 一题多解的题目要具有代表性,能包容大部分所学知识点,不能过于复杂(难), 但也不能流于简单。过难挫伤学生研究学习的积极性,过于简单学生没有兴趣,这 一步对激发学生的学习研究兴趣很重要。

范例: (2013 新课标全国卷 II 理) 在?ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为 a , b, c , 已知 a ? b cos C ? c sin B ,(1)求 B; (2)若b = 2,求?ABC面积的最大值.

解:(1)(解法一)由已知结合正弦定理得 sin A ? sin B cos C ? sin C sinB ,
而 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C

? sin B cos C ? cos B sin C ? sin B cos C ? sin C sinB ? cos B sin C ? sin C sinB ?c o s B? sinB ?B ?

?
4

(解法二)由余弦定理得 a ? b

a 2 ? b2 ? c 2 ? c sin B ,去分母化简变形的: 2ab


2a2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ac sin B ? b2 ? a2 ? c2 ? 2ac sin B
又 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
观察对比①②得 ? cos B ? sinB ②,

?B ?

?
4

(解法三)(补充:三角形的射影定理:

A c D B a C
③ ④,

b 边长a=BD+CD=ccosB+bcosC


由三角形的射影定理得 a ? b cos C ? c cos B 而已知 a ? b cos C ? c sin B

B ? s i n B ?B ? 观察对由③④得 ? c o s

?
4
2

(2)由(1)知 B ?

?
4

,又 b ? 2 ? 由余弦定理 b

? a2 ? c2 ? 2ac cos B 得:

22 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos
而a
2

?
4

? 4=a 2 ? c 2 ? 2ac
? 4 ? 2ac ? 2ac

? c2 ? 2ac ,

? ac ?

4 2? 2

1 1 4 2 ? S?ABC = ac sin B ? ? 2 ?1 , 2 2 2? 2 2

当且仅当 a ? c 时取等号

? ?ABC 面积的最大值为 2 ? 1 .

在范例的第(1)问中所用的三种解法:正弦定理,余弦定理,三角形的射 影定理,从三个不同角度进入思考,均可做出解答,求得 B 大小。启发和引导学 生从不同的角度、不同的思路,用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同 一道数学题。不仅可以充分调动学生思维的积极性,提高他们综合运用已学知识 解答数学问题的技能技巧;还能锻炼学生思维的灵活性,促进他们长知识、长智 慧, 开阔了学生的思路, 灵活地掌握知识的纵横联系, 培养和发挥学生的创造性。 二、一题多变,积极思维,培养思维的灵活性 在高中数学教学中,选择教材中的典型题,恰当的进行一题多变的教学,可 使学生处在一种愉快的探索知识的过程中,可使学生所学知识纵向加深,横向沟 通,从而充分调动学生的积极性,提高学生分析问题和解决问题的能力。运用一 题多变方式教学,可使学生根据变化了的情况及时调整和改变原来的思维进程和 方向,不受思维定势的消极影响,进行积极思索,迅速提出解决问题的方法,从 而激发学生学习的热情,大大提高课堂教学的容量,有利于培养学生思维变通和 创新意识能力。 一题多变,可以改变条件,保留结论;也可以保留条件,改变结论;又可以 同时改变条件和结论;还可以将某项条件和结论互换。下面将上面的范例(2013 新课标全国卷 II 理)的已知条件稍作改变,可进行如下变式: 在?ABC中, 角A, B, C所对应的边分别为 a , b, c , 已知 a ? b cos C ? 求 B; (2) 若 b ? 3,sin C ? 2sin A ,求 a , c 的值.
解析:(1)三种解法同范例(2013 新课标全国卷 II 理),可得 B ?

3 c sin B , (1) 3

?
3

(2)

b ? 3,sin C ? 2sin A

? 由 正 弦 定 理 得 c ? 2a , 再 由 余 弦 定 理

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 9 ? a 2 ? (2a)2 ? 2a ? 2a cos

?
3

? a ? 3, c ? 2 3

而在此背景下,第(2)问可以接着进行如下变式: 变式 1:(2) 若 b ? 3, ac ? 6 ,求 a , c 的值
解析

b ? 3, ac ? 6



由余弦定理 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B

? 9 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

1 ? 9 ? (a ?c 2 ) ?2 a c ? 2a c 2

?a ? c ? 3 3



再由①②可得:

a ? 3, c ? 2 3 或 a ? 2 3, c ? 3
变式 2:(2) 若 b ? 3, a ? c ? 3 3 ,求?ABC面积的值. 分析:解答过程与变式 1 相似,同样利用余弦定理,然后解方程组,很容易 可以求出 a , c 的值,进而利用三角形面积公式求出面积,但是此题没必要去联立方程组来
具体求出 a , c 的值, 完全可以把 ac 看成一个整体, 求出 ac 的值, 然后利用 S ?ABC = 求解即可。

1 ac sin B 2

变式 3:(2) 若 b ? 3 ,求?ABC面积的最大值. 解析:此变式是在变式 2 的基础上删除了“条件 a ? c ? 3 3 ”,就将问题从 求值问题变成了求最值问题,与范例(2013 新课标全国卷 II 理)第(2)问相同的 问题,解法同范例,求解过程中可以利用基本不等式来求最值,但是由于此变式 数据的计算方便,还可以有以下解法:
由(1)知 B ?

?
3

, b ? 3 ? 由正弦定理得

a c b 3 ? ? ? ?2 3 sin A sin C sin B sin ? 3

?a ? 2 3sin A,c ? 2 3sinC
? S? ? 1 1 ac sin B ? ? 2 3 sin A ? 2 3 sinC? sin B 2 2

? 6sin A ? sin(A? B) ? sin

?

1 3 ? 3 3 sin A ? (sin A ? ? cos A ? ) 3 2 2

?

3 3 2 9 3 3 1 ? cos 2 A 9 sin A ? sin A cos A ? ? ? sin 2 A 2 2 2 2 4 3 3 3 3 3 3 ? ? (3sin 2 A ? 3 cos 2 A) ? ? ? 12 sin(2 A? ) 4 4 4 4 6

?

?

3 3 3 3 ? ? sin(2 A? ) 4 2 6



B?

?
3

?0 ? A ?

2? ? ? 7? ?? ? 2 A ? ? 3 6 6 6

?当 2 A ?

?
6

?

?
2

时, S? 达到最大值,且最大值为

9 3 . 4

变式 4:(2) 若 b ? 3 ,求 a ? c 的最大值. 解析:此变式在变式 2 的基础上,条件与问题都稍作修改,同样得到一道 不同的求最值的问题,也有两种不同的解法,解法一同范例(2013 新课标全国卷
II 理)第(2)问,利用基本不等式;解法二同变式 3,利用正弦定理将边化角,

接着三角形内角和定理消去一个未知角,再接着利用三角恒等变换与三角函数图 像与性质求最值。 解法一:由(1)知 B ?

?
3

,又 b ? 3 ? 由余弦定理 b

2

? a2 ? c2 ? 2ac cos B 得:
1 2

32 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos

?
3

? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac ?

( a ? c) 2 ?(a ? c) ? 3ac ? 9 ,又由 a ? c ? 2 ac ? ac ? 4
2

? (a ? c)2 ? 3ac ? 9 ? 3 ?

(a ? c) 2 (a ? c) 2 +9 ? ?9 4 4

? 0 ? a ? c ? 6 ,当且仅当 a ? c 时取等号
又三角形两边之和大于第三边? 3 ? a ? c ? 6 ?a ? c 最大值为 6

解法二:由(1)知 B ?

?
3

, b ? 3 ? 由正弦定理得

a c b 3 ? ? ? ?2 3 sin A sin C sin B sin ? 3

?a ? 2 3sin A,c ? 2 3sinC

?a+c ? 2 3sin A+2 3sinC=2 3[sin A ? sin(A? B)]
1 3 3 3 ? 2 3[sin A ? (sin A ? ? cos A ? )] ? 2 3( sinA? cos A) 2 2 2 2
=2 3 ? 3 sin( A ? ) ? 6sin( A ? ) 6 6

?

?



B?

?
3

?o ? A ?

2? ? ? 5? ? ? A? ? 3 6 6 6

? 当 A+

?
6

?

?
2

时, a ? c 达到最大值,且最大值为 6 .

变式 5:(2) 若 b ? 3 ,求 ?ABC 周长的范围. 此变式与变式 4 本质是一样的,只不过是换了一种提问方式。 变式 6:(2) 求 sin A ? sin C 的最大值. 此变式是在变式 4 的思考下索性删除了“条件 b ? 3 ”,再进一步修改得到的 一道新问题,而解法若还“使用正弦定理将角化边,再利用基本不等式”来求最 值是无法求解的,此时只能使用解法二同变式 3。 变式 7:(2) 求 sin A ? sin B ? sin C 的范围. 此变式是在变式 6 的一种新问法,核心知识点与方法是一样的 变式 8:(2) 若 sin A ? sin C ? 3 ,试判断 ?ABC 的形状. 此变式是在变式 6 的基础上的一种创新,本质一样,利用同样的方法很容易 判断 ?ABC 为等边三角形。 三、引导学生归纳,发现方法,注重思维的拓展,提升学生的数学能力 以上在求解范例(2013 新课标全国卷 II 理)第(1)问或者变式的第(1)问 时,学生们抓住正弦定理、余弦定理、三角形中射影定理的意义与特征,对结论 要有一个预见性的思维方式,注重相应高考题一题多解,解答过程中常常还要灵 活的利用三角形内角和定理,熟悉方法之后,此类题轻而易举。 而以上范例的第(2)问以及各类变式中,可归于两类题型:一类是求值问 题,一类是求最值(范围)问题。无论是哪种题型,考生们都要对结论有一个预 见性的思维方式,具备方程思想、消元思想,通过消元和代换,减少了未知数的 个数,体现数学中化繁为简,转化化归的思想。特别是变式 3-8 求最值(范围) 问题中,都有个共同的方法:不是利用余弦定理加上基本不等式来解题,就是利 用三角恒等变换加上三角函数性质来求最值(范围)。而在具体解答过程中,就 要看给位考生对函数与方程思想、转化与划归思想、运算求解能力、推理论证的 能力了。

四、结束语: 对于任何一堂习题课,我们不仅要讲清讲透知识点,讲清概念本质的特征, 同时还要注重变更概念非本质的特征,变更问题条件或结论,转化问题形式或内 容,创设实际应用的各种环境,这即是核心辐射法教学也即是一题多解一题多变 教学,这样对培养学生解题的思路,提高学生的应变和构建能力大有帮助。 高三数学总复习在数学教学中的地位举足轻重,作用至关重要,它是学生在 学完高中全部数学课程之后对高中数学知识的再认识、数学方法的再提炼、数学 思想的再提升、 数学能力的再提高的过程。 学生的学习过程就是解决问题的过程, 复习课最好以问题为线索,把所要复习的知识点尽量设计在问题中,注重问题所 体现出的知识系统化,题型可以有基础问题、开放问题、变式问题等,通过对问 题的解决,既帮助想也是梳理所学的数学知识点,形成一个知识网络,培养归纳 知识的能力,而且可以改变复习课的枯燥。从历年的高考题来看,绝大多数考题 源于教材,活于教材,高于教材。教师应立足基础,精选例题和习题,在教学中 充分运用“核心辐射法(一题多解与多变)”讲清讲透知识点及其本质,运用类 比于变式进行挖掘,延伸拓展,让知识由点到面,提升学生运用数学解决问题的 能力。

【参考文献】 [1]赵新晖.“核心辐射法”在习题“变式”中的应用[J].高考:理化生 [2] 张国民.“一个高考题的价值研究.” [3] 吴厚荣.“走进高中数学教学”中的“最值的求解” [4] 吴厚荣.“走进高中数学教学”中的“创设变化情境,培养应变能力”

学数学,离不开解题,但我们在解题中不能唯解题而解题,要广开思路,寻 求一题多解与一题多变,通过一题多解选择最优化解题方案,经过一题多变拓宽 我们的视野、培养我们的发散思维能力。

在数学教学中,让学生学会一题多解,有利于启迪思维,开阔视野,全方位 思考问题,分析问题;有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。而采用一题多变的
形式,可以训练学生积极思维,触类旁通。提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。两者都 有利于学生提高解决综合问题的能力,有利于培养学生的探索精神;有利于创新意识的形成 和发展,是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。

【摘要】 学数学,离不开解题,但我们在解题中不能唯解题而解题,要广开思路,寻求一 题多解与一题多变,通过一题多解选择最优化解题方案,经过一题多变拓宽我们 的视野、培养我们的发散思维能力。 【关键词】 创新意识 思维变通

在数学教学中,让学生学会一题多解,有利于启迪思维,开阔视野,全方位思 考问题,分析问题;有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。而采用一题多变的形
式,可以训练学生积极思维,触类旁通。提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。两者都有 利于学生提高解决综合问题的能力,有利于培养学生的探索精神;有利于创新意识的形成和 发展,是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。

? 由正弦定理得

a c b 2 ? ? ? ?2 2 sin A sin C sin B sin ? 4

?a ? 2 2 sin A,c ? 2 2 sinC

本文通过对一道高考题的研究,阐述了在教学中要注重知识起源本质,通过一题 多解, 拓宽思路, 培养思维的发散性; 一题多变, 积极思维, 培养思维的灵活性; 引导学生归纳,发现方法,注重思维的拓展,提升学生的数学能力。

以上解题策略的选择,充分表达试题对考生函数与方程思想、转化与划归思 想、运算求解能力、 掌握不够到位,或者消元意识缺乏,形成思维卡壳。在教学中可以注重引入 相应高考题一题多解,引导学生进行从知识不同角度,从某个相关公式思考,从 有关图形思考,或者等价转化成另一类熟悉的问题进行探讨。在引导学生重视知 识与方法的同时,让学生对高考题的功能有较好的认识和把握,进而提高学生的 应试技巧。


推荐相关:

一题多解与多变

一题多解与多变_数学_高中教育_教育专区。“核心辐射法”让高三数学习题课堂焕发生命力【摘要】本文从一道三角形高考题入手,多角度探讨其解法,抓住核心知识多方 ...


初中数学一题多解与一题多变

初中数学一题多解与一题多变_初一数学_数学_初中教育_教育专区。数学教学论文:初中数学一题多解与一题多变 初中数学一题多解与一题多变作者:陈发铨 时代在...


一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用

一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用_调查/报告_表格/模板_应用文书。精品资料全集分享一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用 数学,是一门自然学科。...


小学数学一题多解与一题多变

小学数学一题多解与一题多变 B 摘要:在本文里,一题多用特指渗透于同一数学问题里的不同的数学思想;而一 题多变则是指对同类数学问题的不同问法与解答的...


小学数学一题多解与一题多变B

小学数学一题多解与一题多变 B 摘要 本文从不同角度分析这些题目,引出多种不同的解法,及不同的叙述同一试题的 教学方法,这样训练有利于有目的、有重点的复习...


浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”

关键词:小学数学;一题多解;一题多变 湖南民族职业学院毕业论文 前 言 一题多解,就是启发和引导学生从不同角度、不同思路,运用不同的方法和不同 的运算过程,...


一题多解与一题多变

解: 1、由题意可得学生人数是 4x+19 人,每间住 6 人时,没住满的房间中的人数 是 4x+19-6(x-1)人,由题意可得 0<4x+19-6(x-1)<6 2、把 0<4x...


一题多解与一题多变

一题多解与一题多变_数学_高中教育_教育专区。一题多解与一题多变一题多解:开拓学生解题思路,沉淀学生的严谨思维; 一题多变:引导学生知识联系,培养学生的发散...


一题多解和一题多变(铜和定量浓硝酸反应)

一题多解和一题多变山东省平度市第六中学 矫海玲 例题: mg 的铜与适量浓硝酸反应,铜全部作用后。共收集到 22.4mL(标准状况) 气体,反应消耗硝酸的物质的量...


初中化学计算题一题多解与巧解

初中化学计算专题:一题多解与巧解一、一题多解 例 1:现有 10g 氧化铜,用...1、根据未反应氧化铜质量不变求解;2、直接求生成铜的质量;3、根据铜元素质量...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com