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黑龙江省鹤岗一中2015—2016学年高二上学期期中试题 数学(文)


鹤岗一中 2015~2016 学年度上学期期中考试 高二数学文科试题
一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分)
1. 圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0 的圆心坐标和半径分别为 A. (?2,3), 13 C. (2, ?3), B. (?2,3), ( )

13

13
<

br />D. (2, ?3), 13 ( C. )

2. 直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6


3. 已知两条直线 l1 : x ? ay ? 6 ? 0, l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 ,若 l1 // l2 ,则 a ? ( A.-1 或 3
2 2

B.-1
2 2

C.-3

D. 1 或 3 )

4. 圆 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

5. 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 2 x2 ? 2 y 2 ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的位置关系是 ( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心



D.相交且直线过圆心

?x ? y ? 4 ? 6. 设 x, y 满足约束条件 ?3 x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?y ? 0 ?
A. 8 B. 2 C. 4 D. ?1





7. 若点 P 到直线 y ? ?2 的距离比它到点 A(0,1) 的距离大 1 ,则点 P 的轨迹为( A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

)

8. 已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,焦点坐标为 (? 6 ,0), ,则双曲线方程为 ( 6 ,0) ( ) A.

x2 y2 ? ?1 2 8

B.

x2 y2 ? ?1 8 2

C.

x2 y2 ? ?1 2 4

D.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合 , 则该椭圆的离心率是 9. 已知椭圆 2 ? 2 a
( ) A.

3 2

B.

2 3 3

C.

2 2

D.

6 3

10. 以抛物线 y ?

1 2 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ( 4
B. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 D. x 2 ? y 2 ? x ? 0



A. x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 C. x 2 ? y 2 ? y ? 0 11. 曲线

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1(k ? 9) 的( ) 25 9 25 ? k 9 ? k
B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等

A.长轴长相等 12. 过双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左焦点 F1 作圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,设切点 a 2 b2

为 M ,延长 F1M 交抛物线 C3 : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 于点 N ,其中 C1 , C3 有一个共同的焦点,若
| MF1 | ? | MN | ,则双曲线 C1 的离心率为(

) D. 5 ? 1

A. 5 ? 1

B.

5 ?1 2

C. 5

二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13. 过点 A(1,2) 且与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直的直线方程为 14. 圆 x ? y ? 1 上的点到直线 3x ? 4 y ? 25 ? 0 的距离的最小值是
2 2

. .

15. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲线的 a2 b2


一个交点,且 AF ⊥ x 轴,则双曲线的离心率为

16. 若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 ( a2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同且 a1 ? a2 .给出如下四个结论: ① 圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点;②

a1 b1 2 2 2 2 ? ; ③ a1 ? a2 ? b1 ? b2 ; a 2 b2


④ a1 ? a2 ? b1 ? b2 . 其中正确结论的序号是 三.解答题: (17 题 10 分,18—22 题每题 12 分,共 70 分)

17. 已知点 A(1,3), B(3,1) ,点 C 是直线 l1 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和直线 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点. (1)求 l1 与 l2 的交点 C 的坐标;

(2)求 ?ABC 的面积.

18. 已知圆 C 的标准方程为 (x ? 5) 2 ? ( y ? 6) 2 ? a 2

9) (1)若点 M(6, 在圆上,求 a 的值;
(2)已知点 P(3, 有一点在圆内,另一点在圆外,求 a 的取值范围. 3) 和点 Q(5,3)

19. 已知方程 x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? 5m ? 0 的曲线是圆 C , (1)求 m 的取值范围; (2)当 m ? ?2 时,求圆 C 截直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 所得弦长.

x2 y 2 3 ) 在椭圆上. 20. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的长轴长为 4,且点 (1, a b 2
(1)求椭圆的方程; (2)过椭圆右焦点斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点,若 OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程.

??? ? ??? ?

21. 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 P(1,?2) .
2

(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)过焦点 F 且斜率为 2 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,求 ?OAB 的面积.

22. 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,且经过点 M (4,1) , 2 a b 2

直线 l : y ? x ? m 交椭圆于不同的两点 A, B . (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)若直线 l 不过点 M ,求证:直线 MA, MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.

鹤岗一中 2015~2016 学年度上学期期中考试 高二数学文科试题答案
一、选择题

1 C

2 C

3 B

4 B

5 D

6 A

7 D

8 C

9 D

10 A

11 C

12 B

二、填空题 13、 2 x+y ? 4=0 三、解答题 17.解: (1)解方程组 ? 14、 4 15、 2 ? 1 16、①③④

?3x ? 2 y ? 3 ? 0, ? x ? ?1, 得? 所以 l1 与 l2 的交点 C 的坐标为 C (?1, 0) . 2 x ? y ? 2 ? 0, y ? 0. ? ?
1 AB ? h 2
AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离.

(2)设 AB 上的高为 h ,则 S ?ABC ?

| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2,
AB 边所在直线方程为

y ? 3 x ?1 ? , 即 x ? y ? 4 ? 0. 1 ? 3 3 ?1

点 C 到 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 h ?

| ?1 ? 0 ? 4 | 1 ?1
2 2

?

5 2
2

故 S?ABC ?
2

1 5 ?2 2? ? 5. 2 2

9) 18.解:(1)∵点 M(6, 在圆上,∴ (6 ? 5) ? (9 ? 6) ? a ,∴ a ? ? 10
2

(2)有已知的,圆心 C (5, 6) ,有两点间距离公式可得, PC ?

?3 ? 5?2

? ?3 ? 6? ? 13
2

QC ?

?5 ? 5?2

? ?3 ? 6? ? 3 ,∵ P, Q 两点一个在圆内,另一个在圆外,且 3< 13
2

∴ 3<a< 13 或 - 13 <a< - 3 ,即 a 的范围为 ( - 13 , - 3) ? ( 3,13) 。 19. 解: (1) ? x ? m ? ? ? y ? 2 ? ? m 2 ? 5m ? 4
2 2

∴ m 2 ? 5m ? 4 >0

∴ m ? 1或m ? 4

(2)设 m=-2时,圆心 C(-2, 2),半径 R=3 2 ∴ 圆心到直线的距离为 d ?

?4 ? 2 ? 1 5

? 5
2 2

∴ 圆 C 截直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 所得弦长为 2 R ? d ? 2 18 ? 5 ? 2 13 20. 解: (1) 2a ? 4 ? a ? 2 ,点 (1, (2)设点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

x2 3 ) 在椭圆上? b ? 1 ? ? y 2 ? 1 2 4
设直线为 y ? k x ? 3 与椭圆联立

?

?

2 2 2 2 得 4k ? 1 x ? 8 3k x ? 12k ? 4 ? 0

?

?

? x1 ? x2 ? 2 11 11

12k 2 ? 4 8 3k 2 x x ? , , 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
所以直线为 y ? ?

由 OA ? OB ? 0 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 代入整理得 k ? ?
2

??? ? ??? ?

2 11 x? 3 11

?

?

21. 解: (1)根据抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 过点 P(1,?2) 可得 4 ? 2 p ,解得 p ? 2 从而抛物线的方程为 y ? 4 x ,准线方程为 x ? ?1
2

(2)抛物线焦点坐标为 F (1,0) ,所以直线 l : y ? 2 x ? 2

设点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 则由韦达定理有:

联立 ?

? y ? 2x ? 2 ? y ? 4x
2

2 2 得 : 4 x ? 12x ? 4 ? 0 , 即 x ? 3x ? 1 ? 0

x1 ? x2 ? 3, x1 x2 ? 1
则弦长 | AB |?

5 | x1 ? x2 |? 5 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 ? 9 ? 4 ? 5

而原点 O(0,0) 到直线 l 的距离 d ?

2 5 5

故 S ?FAB ?

1 ? | AB | ?d ? 5 2

22. 解: (1)因为 e ?

16 1 3 2 2 ,所以 a ? 4b , 又椭圆过点 M (4,1) ,所以 2 ? 2 ? 1 , a b 2

解得 b2 ? 5 , a 2 ? 20 ,故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 20 5

(2)将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 中,并整理得 5x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 20 5

再根据 ? ? (8m)2 ? 20(4m2 ? 20) ? 0 ,求得 ?5 ? m ? 5 . (3)设直线 MA、MB 斜率分别为 k1 和 k2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 即可. 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

8m 4m ? 20 , x1 x2 ? , 5 5

k1 ? k2 ?

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) . ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

而此分式的分子等于

( x1 ? m ?1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ?1)( x1 ? 4)
2(4m2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 , 5 5

? 2x1x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ?1) ?

因此 MA、MB 与 x 轴所围的三角形为等腰三角形.


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