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【解析】江苏省南京市2015届高三下学期三模数学试卷 Word版含解析


2015 年江苏省南京市高考数学三模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.已知复数 z= ﹣1,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 .

2.经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下: ≥5 0 1 2 3 4 排队人数 0.1 0.16 0.3

0.3 0.1 0.04 概率 则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是 .

3.若变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值



4.如图是一个算法流程图,则输出 k 的值是



5.如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环)的茎叶图,则成绩较为稳定(方 差较小)的运动员是 .

6.记不等式 x +x﹣6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x﹣a)的定义域为集合 B.若“x∈A” 是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为 .

2

-1-

7.在平面直角坐标系 xOy 中,过双曲线 C:x ﹣ 曲线 C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是

2

=1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l,则 l 与双 . .

8. 已知正六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面边长为 2, 侧棱长为 4, 则此六棱锥的体积为

9.在△ABC 中,∠ABC=120°,BA=2,BC=3,D,E 是线段 AC 的三等分点,则 为 .

?

的值

10.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 Sk﹣1=8,Sk=0,Sk+1=﹣10,则正整数 k= 11.若将函数 f(x)=|sin(ωx﹣ )|(ω>0)的图象向左平移 .



个单位后,所得图象对

应的函数为偶函数,则实数ω的最小值是

12.已知 x,y 为正实数,则

+

的最大值为



13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =9,直线 l:y=kx+3 与圆 C 相交于 A,B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,则实 数 k 的取值范围为 . 14.已知 a,t 为正实数,函数 f(x)=x ﹣2x+a,且对任意的 x∈[0,t],都有 f(x)∈[﹣ a,a].若对每一个正实数 a,记 t 的最大值为 g(a) ,则函数 g(a)的值域为 .
2

2

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 acosC+ccosA=2bcosA. (1)求角 A 的值; (2)求 sinB+sinC 的取值范围. 16.在四棱锥 P﹣ABCD 中,BC∥AD,PA⊥PD,AD=2BC,AB=PB,E 为 PA 的中点. (1)求证:BE∥平面 PCD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

-2-

17.如图,摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计.地面上有一长度 为 240m 的景观带 MN,它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM=60m.点 P 从最低点 A 处按逆时 针方向转动到最高点 B 处,记∠AOP=θ,θ∈(0,π) .

(1)当θ=

时,求点 P 距地面的高度 PQ;

(2)试确定θ 的值,使得∠MPN 取得最大值. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2,右准 线 l:x=m+1 与 x 轴的交点为 B,BF2=m. (1)已知点( ,1)在椭圆 C 上,求实数 m 的值;

(2)已知定点 A(﹣2,0) . ①若椭圆 C 上存在点 T,使得 = ,求椭圆 C 的离心率的取值范围; =λ

②当 m=1 时,记 M 为椭圆 C 上的动点,直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P,Q,若 , =μ ,求证:λ+μ为定值.

19.已知函数 f(x)=x ﹣x+t,t≥0,g(x)=lnx. (1)令 h(x)=f(x)+g(x) ,求证:h(x)是增函数; (2)直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的图象都相切.对于确定的正实数 t,讨论直线 l 的条数, 并说明理由. 20.已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项的和为 Sn,且对任意的 m,n∈N*, 2 都有(Sm+n+S1) =4a2ma2n. (1)求 的值;

2

(2)求证:{an}为等比数列;

-3-

(3)已知数列{cn},{dn}满足|cn|=|dn|=an,p(p≥3)是给定的正整数,数列{cn},{dn}的前 p 项的和分别为 Tp,Rp,且 Tp=Rp,求证:对任意正整数 k(1≤k≤p) ,ck=dk.

选修 4-1:几何证明选讲 21.如图,AB,AC 是⊙O 的切线,ADE 是⊙O 的割线,求证:BE? CD=BD? CE.

选修 4-2:矩阵与变换 22. 已知矩阵 A= (1)求实数 a 的值; (2)求 A .
2

, 直线 l: x﹣y+4=0 在矩阵 A 对应的变换作用下变为直线 l′: x﹣y+2a=0.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在极坐标系中,设圆 C:ρ=4cosθ与直线 l:θ= 为直径的圆的极坐标方程. (ρ∈R)交于 A,B 两点,求以 AB

选修 4-5:不等式选讲 24.已知实数 x,y 满足 x>y,求证:2x+ ≥2y+3.

七、解答题(共 2 小题,满分 20 分) 25.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC= (1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值. ,AB=1,BD=PA=2.

-4-

26.已知集合 A 是集合 Pn={1,2,3,…,n}(n≥3,n∈N )的子集,且 A 中恰有 3 个元素, 同时这 3 个元素的和是 3 的倍数.记符合上述条件的集合 A 的个数为 f(n) . (1)求 f(3) ,f(4) ; (2)求 f(n) (用含 n 的式子表示) .

*

-5-

2015 年江苏省南京市高考数学三模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 1.已知复数 z= ﹣1,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的除法要素分析化简复数,然后求解复数的模. 解答: 解:复数 z= z 的模为: ﹣1= = ﹣1=﹣1+i﹣1=﹣2+i.

故答案为: . 点评: 本题考查复数的模的求法,复数的代数形式的混合运算,考查计算能力. 2.经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 ≥5 0.04

则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是 0.74 . 考点: 互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由互斥事件的概率公式可得. 解答: 解:由表格可得至少有 2 人排队的概率 P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74 故答案为:0.74 点评: 本题考查互斥事件的概率公式,属基础题.

3.若变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值 4



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最 大值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) .由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C(2,0)时,直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大.

-6-

将 C 的坐标代入目标函数 z=2x+y, 得 z=2×2+0=4.即 z=2x+y 的最大值为 4. 故答案为:4

点评: 本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法. 4.如图是一个算法流程图,则输出 k 的值是 6 .

考点: 程序框图. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 模拟程序框图的运行过程,得出该程序是计算 S 的值,输出满足 S≤0 时 k 的值. 解答: 解:模拟程序框图的运行过程,如下; k=1,S=40,S≤0?,N,S=40﹣2=38; k=2,S≤0?N,S=38﹣2 =34; 3 k=3,S≤0?,N,S=34﹣2 =26; 4 k=4,S≤0?,N,S=26﹣2 =10; 5 k=5,S≤0?,N,S=10﹣2 =﹣22; k=6,S≤0?Y,输出 k=6. 故答案为:6. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确 的结论.
2

-7-

5.如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环)的茎叶图,则成绩较为稳定(方 差较小)的运动员是 甲 .

考点: 茎叶图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 【解法一】计算甲、乙的平均数与方差,比较即得结论; 【解法二】根据茎叶图中的数据,利用方差的意义,也可得出正确的结论. 解答: 解: 【解法一】甲的平均数是 方差是
2

= (87+89+90+91+93)=90,
2 2 2 2

= [(87﹣90) +(89﹣90) +(90﹣90) +(91﹣90) +(93﹣90) ]=4; = (78+88+89+96+99)=90,
2 2 2 2 2

乙的平均数是 方差是 ∵ <

= [(78﹣90) +(88﹣90) +(89﹣90) +(96﹣90) +(99﹣90) ]=53.2; ,∴成绩较为稳定的是甲.

【解法二】根据茎叶图中的数据知, 甲的 5 个数据分布在 87~93 之间,分布相对集中些,方差小些; 乙的 5 个数据分布在 78~99 之间,分布相对分散些,方差大些; 所以甲的成绩相对稳定些. 故答案为:甲. 点评: 本题考查了平均数与方差的计算与应用问题,是基础题目. 6.记不等式 x +x﹣6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x﹣a)的定义域为集合 B.若“x∈A” 是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为 (﹣∞,﹣3] . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据条件求出 A,B,结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 解答: 解:由 x +x﹣6<0 得﹣3<x<2,即 A(﹣3,2) , 由 x﹣a>0,得 x>a,即 B=(a,+∞) , 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 则 A? B, 即 a≤﹣3, 故答案为: (﹣∞,﹣3] 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用,比较基础.
2 2

-8-

7.在平面直角坐标系 xOy 中,过双曲线 C:x ﹣ 曲线 C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是

2

=1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l,则 l 与双 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的渐近线方程,求出垂线方程,求出三角形的顶点的坐标,然后求解面积. 解答: 解:双曲线 C:x ﹣
2

=1 的右焦点 F(2,0) ,

过双曲线 C:x ﹣

2

=1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l,x=2,

双曲线的渐近线方程为: , 可得 l 与双曲线 C 的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标(2,2 三角形的面积为: = .

) , (2,﹣2

) .

故答案为:4 . 点评: 本题考查双曲线方程的应用,双曲线的简单性质的应用,考查计算能力. 8.已知正六棱锥 P﹣ABCDEF 的底面边长为 2,侧棱长为 4,则此六棱锥的体积为 12 . 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据题意,通过正六棱锥的侧棱,求出棱锥的高,即可求出正六棱锥的体积. 解答: 解:P﹣ABCDEF 为正六棱锥,O 是底面正六边形 ABCDEF 的中心. ∵ABCDEF 为正六边形,∴△AOB 为等边三角形. ∴OB=2,侧棱长 PB=4, ∵OP⊥面 ABCDEF, ∴OP 是棱锥的高,PO= 正六棱锥的体积为 V= × 故答案为:12. = = =12. =2 .

点评: 本题以正六棱锥为载体,考查棱锥的体积的求法,考查计算能力.

-9-

9.在△ABC 中,∠ABC=120°,BA=2,BC=3,D,E 是线段 AC 的三等分点,则 .

?

的值为

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量加法、减法的几何意义,可用 的运算即可. 解答: 解:如图, 根据已知条件: = 同理 ∴ 故答案为: . ; = . = ; 分别表示 ,从而进行数量积

点评: 考查向量加法、减法的几何意义,线段三等分点的定义,以及向量计算公式及运算. 10.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 Sk﹣1=8,Sk=0,Sk+1=﹣10,则正整数 k= 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用(Sk+1﹣Sk)﹣(Sk﹣Sk﹣1)可得公差,通过 Sk=0 及对称性可得首项,计算即可. 解答: 解:∵Sk﹣1=8,Sk=0,Sk+1=﹣10, ∴ak=Sk﹣Sk﹣1=0﹣8=﹣8, ak+1=Sk+1﹣Sk=﹣10﹣0=﹣10, ∴公差 d=ak+1﹣ak=﹣10﹣(﹣8)=﹣2, ∴ak﹣4=0, ∵Sk=0,∴ak﹣8=8=a1, ∴k﹣8=1,即 k=9, 故答案为:9. 点评: 本题考查等差数列的性质,求出公差是解决本题的关键,属于中档题. 9 .

- 10 -

11.若将函数 f(x)=|sin(ωx﹣

)|(ω>0)的图象向左平移 .

个单位后,所得图象对

应的函数为偶函数,则实数ω的最小值是

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换可得 f (x) =|sin[ωx+ ( ﹣ = ,解得ω= + 时,从而可求实数ω的最小值. )﹣ + 时, ]|=|sin[ωx+( ﹣ )]| ﹣ ) ]|, 由

解答: 解:f(x)=|sin[ω(x+ ∵当 ﹣ = 时,即ω=

f(x)=|sin(ωx﹣

)|=|﹣cos(ωx)|=|cos(ωx)|,f(x)为偶函数.

∴当 k=0 时,ω有最小值= . 故答案为: . 点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+ φ)的图象变换,三角函数的图象与性质,属于基本知识的考查.

12.已知 x,y 为正实数,则

+

的最大值为



考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

分析: 化简

+

=

+

,再令 =t>0,从而化简得

+

,令 f(t)

=

+

=1+

=1+

,利用基本不等式求最值.

解答: 解:∵x,y 为正实数,



+

=

+



令 =t>0,

- 11 -



+

=

+



令 f(t)= =1+ =1+

+

≤1+

= ,

(当且仅当 t= ,即 t=2 时,等号成立) ; 故答案为: . 点评: 本题考查了函数的化简与最值及基本不等式的应用,属于中档题. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x﹣1) +(y﹣1) =9,直线 l:y=kx+3 与圆 C 相交于 A,B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,则实 数 k 的取值范围为 [﹣ ,+∞) .
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,只要求点 M 在弦的中点上满足,其它的 点都满足,即圆心 C 到直线的距离+2≥3,从而可得实数 k 的取值范围. 解答: 解:以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点,只要求点 M 在弦的中点上满足, 其它的点都满足, 即圆心 C 到直线的距离 d+2≥3, 所以 +2≥3,

所以 k≥﹣ . 故答案为:[﹣ ,+∞) . 点评: 本题考查实数 k 的取值范围,考查直线与圆,圆与圆的位置关系,比较基础. 14.已知 a,t 为正实数,函数 f(x)=x ﹣2x+a,且对任意的 x∈[0,t],都有 f(x)∈[﹣ a, a]. 若对每一个正实数 a, 记 t 的最大值为 g (a) , 则函数 g (a) 的值域为 (0, 1]∪{2} . 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用.
2

- 12 -

分析: 根据函数的特征,要对 t 进行分类讨论,求出 t 的最大值,再根据 a 是正实数,求出 g(a)的值域. 解答: 解:∵f(x)=x ﹣2x+a∴函数 f(x)的图象开口向上,对称轴为 x=1 2 ①0<t≤1 时,f(x)在[0,t]上为减函数,f(x)max=f(0)=a,f(x)min=f(t)=t ﹣2t+a ∵对任意的 x∈[0,t],都有 f(x)∈[﹣a,a]. ∴﹣a=t ﹣2t+a,解得 t=1﹣
2 2

(1+

舍去)

②t>1 时,f(x)在[0,1]上为减函数,在[1,t]上为增函数, 则 f(x)min=f(1)=a﹣1=﹣a,f(x)max=max{f(0) ,f(t)}=max{a,t ﹣2t+a}=a ∴a= ,且 t ﹣2t+a≤a,即 1<t≤2 ∵t 的最大值为 g(a) ∴综上,g(a)=2 或 1﹣ ∴函数 g(a)的值域为(0,1]∪{2} 故答案为: (0,1]∪{2} 点评: 本题考查二次函数的值域,属于求二次函数的最值问题,属于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 acosC+ccosA=2bcosA. (1)求角 A 的值; (2)求 sinB+sinC 的取值范围. 考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简 acosC+ccosA=2bcosA,结合三角 形的内角和,求解 A 即可. (2)转化 sinB+sinC 为 B 的正弦函数,条公交的范围,推出相位的范围,然后求解函数的最 值. 解答: 解: (1)因为 acosC+ccosA=2bcosA,所以 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA, 即 sin(A+C)=2sinBcosA. 因为 A+B+C=π,所以 sin(A+C)=sinB. 从而 sinB=2sinBcosA.…(4 分) 因为 sinB≠0,所以 cosA= .因为 0<A<π,所以 A= (2)sinB+sinC=sinB+sin( = sinB+ cosB= sin(B+ <B+ ﹣B)=sinB+sin ) .…(11 分) < , . ].…(14 分) .…(7 分) sinB
2 2

cosB﹣cos

因为 0<B<

,所以

所以 sinB+sinC 的取值范围为(

- 13 -

点评: 本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数,三角形的解法,考查计算能力. 16.在四棱锥 P﹣ABCD 中,BC∥AD,PA⊥PD,AD=2BC,AB=PB,E 为 PA 的中点. (1)求证:BE∥平面 PCD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取 PD 的中点 F,连接 EF,CF.证明 BE∥CF,利用直线与平面平行的判定定理证 明 BE∥平面 PCD. (2)证明 PA⊥CF,结合 PA⊥PD,利用直线与平面垂直的判定定理证明 PA⊥平面 PCD.然后 证明平面 PAB⊥平面 PCD. 解答: 证明: (1)取 PD 的中点 F,连接 EF,CF.因为 E 为 PA 的中点,所以 EF∥AD,EF= AD, 因为 BC∥AD,BC= AD,所以 EF∥BC,EF=BC. 所以四边形 BCFE 为平行四边形.所以 BE∥CF.…(4 分) 因为 BE? 平面 PCD,CF? 平面 PCD,所以 BE∥平面 PCD.…(6 分) (2)因为 AB=PB,E 为 PA 的中点,所以 PA⊥BE. 因为 BE∥CF,所以 PA⊥CF.…(9 分) 因为 PA⊥PD,PD? 平面 PCD,CF? 平面 PCD,PD∩CF=F,所以 PA⊥平面 PCD.…(12 分) 因为 PA? 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PCD.…(14 分) .

点评: 本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理的在与应用,考 查空间想象能力以及逻辑推理能力. 17.如图,摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计.地面上有一长度 为 240m 的景观带 MN,它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM=60m.点 P 从最低点 A 处按逆时 针方向转动到最高点 B 处,记∠AOP=θ,θ∈(0,π) .

- 14 -

(1)当θ=

时,求点 P 距地面的高度 PQ;

(2)试确定θ 的值,使得∠MPN 取得最大值. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用;三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)将所求的高度、已知的角与线段长度放在一个三角形中结合三角函数的定义求 解即可; (2)借助于角θ,把∠MPN 表示出来,然后利用导数研究该函数的最值. 解答: 解: (1)由题意得 PQ=50﹣50cosθ, 从而当 时,PQ=50﹣50cos =75.

即点 P 距地面的高度为 75 米. (2)由题意得,AQ=50sinθ,从而 MQ=60﹣50sinθ,NQ=300﹣50sinθ. 又 PQ=50﹣50cosθ,所以 tan 从而 tan∠MPN=tan(∠NPQ﹣∠MPQ)= ,tan .

=



令 g(θ)=

.θ∈(0,π)



,θ∈(0,π) .

由 g′(θ)=0,得 sinθ+cosθ﹣1=0,解得 当

. 时,g′(θ)

时,g′(θ)>0,g(θ)为增函数;当 x

<0,g(θ)为减函数. 所以当θ= 因为 时,g(θ)有极大值,也是最大值. .所以 .

从而当 g(θ)=tan∠MNP 取得最大值时,∠MPN 取得最大值.

- 15 -

即当

时,∠MPN 取得最大值.

点评: 本题考查了与三角函数有关的最值问题,主要还是利用导数研究函数的单调性,进一 步求其极值、最值. 18.在平面直角坐标系 xOy 中,设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2,右准 线 l:x=m+1 与 x 轴的交点为 B,BF2=m. (1)已知点( ,1)在椭圆 C 上,求实数 m 的值;

(2)已知定点 A(﹣2,0) . ①若椭圆 C 上存在点 T,使得 = ,求椭圆 C 的离心率的取值范围; =λ

②当 m=1 时,记 M 为椭圆 C 上的动点,直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P,Q,若 , =μ ,求证:λ+μ为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (1)由椭圆的准线方程列式求解. (2)①设点 T(x,y)由 的关系式求得离心率范围. ②设 M(x0,y0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2)由 解答: 解: (1)设椭圆 C 的方程为 =λ , =μ 的关系列式求解. ,得(x+2) +y =2[(x+1) +y ],即 x +y =2.得出关于 m
2 2 2 2 2 2

由题意得

解得

所以椭圆方程为 因为椭圆 C 过点( ) ,所以 ,

- 16 -

解得 m=2 或 m=

(舍去)

所以 m=2…4 分 (2)①设点 T(x,y) 由 ,得(x+2) +y =2[(x+1) +y ],即 x +y =2…6 分
2 2 2 2 2 2



得 y =m ﹣m

2

2

因此 0≤m ﹣m≤m,解得 1≤m≤2 所以椭圆的离心率 …10 分

2

②(方法一)设 M(x0,y0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 则



,得

从而

…12 分

因为

,所以



因为

,代入得

由题意知,λ≠1 故 同理可得 因此 所以λ+μ=6…16 分 (方法二)设 M(x0,y0) ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) 直线 AM 的方程为 ,所以

- 17 -



代入

,得



因为

,所以

同理

…14 分

因为

所以

= 即λ+μ=6 为定值…16 分 点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系在向量中的应用,属于难度较大的题目,在 高考中属于压轴题目. 19.已知函数 f(x)=x ﹣x+t,t≥0,g(x)=lnx. (1)令 h(x)=f(x)+g(x) ,求证:h(x)是增函数; (2)直线 l 与函数 f(x) ,g(x)的图象都相切.对于确定的正实数 t,讨论直线 l 的条数, 并说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数判断函数的单调性即可; (2)分别设出切点,再根导数的几何意义求出切线方程,构造方程组,消元,再构造函数 FF (x)=lnx+ ﹣(t+1) ,利用导数求出函数 F(x)的最小值,再分类讨论,得到方
2

程组的解得个数,继而得到切线的条数. 解答: 解: (1)由 h(x)=f(x)+g(x)=x ﹣x+t+lnx,得 h' (x)=2x﹣1+ ,x>0. 因为 2x+ ≥2 =2 ,所以 h' (x)>0,
2

从而函数 h(x)是增函数. (2)记直线 l 分别切 f(x) ,g(x)的图象于点(x1,x1 ﹣x1+t) , (x2,lnx2) ,
2

- 18 -

由 f'(x)=2x﹣1,得 l 的方程为 y﹣(x1 ﹣x1+t)=(2x1﹣1) (x﹣x1) ,即 y=(2x1﹣1)x﹣ 2 x1 +t. 由 g'(x)= ,得 l 的方程为 y﹣lnx2= (x﹣x2) ,即 y= ? x+lnx2﹣1.

2

所以

(*)

消去 x1 得 lnx2+

﹣(t+1)=0

(**) .

令F (x) =lnx+

﹣ (t+1) , 则 F' (x) =﹣ ﹣

=

=



x>0. 由 F'(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,F'(x)<0,当 x>1 时,F'(x)>0, 所以 F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 从而 F(x)min=F(1)=﹣t. 当 t=0 时,方程(**)只有唯一正数解,从而方程组(*)有唯一一组解, 即存在唯一一条满足题意的直线; 当 t>0 时,F(1)<0,由于 F(et )>ln(et )﹣(t+1)=0, 故方程(**)在(1,+∞)上存在唯一解; 令 k(x)=lnx+ ﹣1(x≤1) ,由于 k' (x)=﹣ ﹣ 调递减, 故当 0<x<1 时,k (x)>k (1)=0,即 lnx>1﹣ , = ≤0,故 k (x)在(0,1]上单
+1 +1

从而 lnx+ 所以 F(

﹣(t+1)>( )>(
2

﹣ ) ﹣t. + >0,又 0< <1,

2

+ ) ﹣t=

故方程(**)在(0,1)上存在唯一解. 所以当 t>0 时,方程(**)有两个不同的正数解,方程组(*)有两组解.即存在两条满足 题意的直线. 综上,当 t=0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 1; 当 t>0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 2. 点评: 本题考查了导数和函数的单调性质以及最值的关系,以及导数的几何意义方程组的解 得个数问题,考查了学生得转化能力,运算能力,属于难题. 20.已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项的和为 Sn,且对任意的 m,n∈N*, 2 都有(Sm+n+S1) =4a2ma2n.

- 19 -

(1)求

的值;

(2)求证:{an}为等比数列; (3)已知数列{cn},{dn}满足|cn|=|dn|=an,p(p≥3)是给定的正整数,数列{cn},{dn}的前 p 项的和分别为 Tp,Rp,且 Tp=Rp,求证:对任意正整数 k(1≤k≤p) ,ck=dk. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由(Sm+n+S1) =4a2ma2n.取 m=n=1,可得 即可得出. (2)由(Sm+n+S1) =4a2ma2n.令 m=n,可得 S2n+a1=2a2n,S2n+2+a1=2a2n+2.令 m=n+1,可得 ,化简整理可得:a2n+1=2a2n, a2n+2=2a2n+1,利用等比数列的通项公式即可得出. (3)由(2)可知:an= ,由于|cn|=|dn|=an= ,可得 cp=±dp,若 cp=﹣dp,
2 2

,利用 a1,a2>0,

不妨设 cp>0,cp<0,则 Tp≥a1>0,Rp≤﹣a1<0,这与 Tp=Rp 矛盾,可得 cp=dp,于是 Tp﹣1=Rp ﹣1,即可证明. 解答: (1)解:由(Sm+n+S1) =4a2ma2n.取 m=n=1,可得
2



∵a1,a2>0,∴a2+2a1=2a2,化为 (2)证明:由(Sm+n+S1) =4a2ma2n. 令 m=n,可得 S2n+a1=2a2n,① ∴S2n+2+a1=2a2n+2.② 令 m=n+1,可得 ∴③﹣①可得:a2n+1=2 ②﹣③可得:a2n+2= 由④⑤可得: 把⑥代入④可得:a2n+1=2a2n, 把⑥代入⑤可得:a2n+2=2a2n+1, ∴ =2,又 =2.∴
2

=2.

,③ ﹣2a2n= ,⑤ ,⑥ ,④

,n∈N .

*

∴{an}为等比数列,首项为 a1,公比为 2. (3)证明:由(2)可知:an= ,

- 20 -

∵|cn|=|dn|=an= ∴cp=±dp,若 cp=﹣dp, 不妨设 cp>0,cp<0, 则 Tp≥ >0, Rp≤﹣ + ﹣



=



=a1

=﹣

+

=﹣

a1<0, 这与 Tp=Rp 矛盾,∴cp=dp, 于是 Tp﹣1=Rp﹣1,可得 cp﹣1=dp﹣1,于是 cp﹣2=dp﹣2,…,c1=d1. ∴对任意正整数 k(1≤k≤p) ,ck=dk. 点评: 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式、数列的单调性,考查了 反证法、推理能力与计算能力,属于难题. 选修 4-1:几何证明选讲 21.如图,AB,AC 是⊙O 的切线,ADE 是⊙O 的割线,求证:BE? CD=BD? CE.

考点: 圆的切线的判定定理的证明;相似三角形的判定. 专题: 推理和证明. 分析: 通过证明△BAD∽△EAB.△CAD∽△EAC,利用比例关系推出 BE? CD=BD? CE. 解答: 选修 4﹣1:几何证明选讲 证明:因为 AB 是⊙O 的切线,所以∠ABD=∠AEB. 又因为∠BAD=∠EAB, 所以△BAD∽△EAB. 所以 .…(5 分)同理.△CAD∽△EAC, ,

因为 AB,AC 是⊙O 的切线,所以 AB=AC. 因此 ,即 BE? CD=BD? CE.…(10 分)

点评: 本题考查圆的切线,三角形相似,考查比例关系,逻辑推理能力. 选修 4-2:矩阵与变换 22. 已知矩阵 A= (1)求实数 a 的值; (2)求 A .
2

, 直线 l: x﹣y+4=0 在矩阵 A 对应的变换作用下变为直线 l′: x﹣y+2a=0.

- 21 -

考点: 几种特殊的矩阵变换. 专题: 矩阵和变换.

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分析: (1)设直线 l 上一点 M(x0,y0)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 l′上点 M(x,y) , 通过 = ,用 x0、y0 表示 x、y 并代入直线 l′方程,利用点 M 在直线 l 上可得 a

的值; (2)由 a=2 直接计算即可. 解答: 解: (1)设直线 l 上一点 M(x0,y0)在矩阵 A 对应的变换作用下变为 l′上点 M(x, y) , 则 = = ,

所以



代入 l′方程得(ax0+y0)﹣(x0+ay0)+2a=0, 即(a﹣1)x0﹣(a﹣1)y0+2a=0. ∵(x0,y0)满足 x0﹣y0+4=0, ∴ =4,解得 a=2; = = , .

(2)由 A= 得A=
2

点评: 本题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力及化归与转化思想,属于中 档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在极坐标系中,设圆 C:ρ=4cosθ与直线 l:θ= 为直径的圆的极坐标方程. 考点: 专题: 分析: 程. 解答: 简单曲线的极坐标方程. 坐标系和参数方程. 首先,将给定的圆化为直角坐标方程,然后,求解点 A、B 的坐标,然后,确定其方 解:以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立直角坐标系,
2 2

(ρ∈R)交于 A,B 两点,求以 AB

则由题意,得圆 C 的直角坐标方程 x +y ﹣4x=0, 直线 l 的直角坐标方程 y=x.…(4 分) 由 ,解得

- 22 -





所以 A(0,0) ,B(2,2) , 从而以 AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2, 2 2 即 x +y =2x+2y.…(7 分) 2 将其化为极坐标方程为:ρ ﹣2ρ(cosθ+sinθ)=0, 即ρ=2(cosθ+sinθ) .…(10 分) 点评: 本题重点考查了圆的极坐标方程和普通方程、极坐标和直角坐标方程的互化等知识. 选修 4-5:不等式选讲 24.已知实数 x,y 满足 x>y,求证:2x+ ≥2y+3.
2 2

考点: 不等式的证明. 专题: 推理和证明. 分析: 转化不等式的左侧为均值不等式的形式,然后利用基本不等式推出结果即可. 解答: 选修 4﹣5:不等式选讲 证明:因为 x>y,所以 x﹣y>0, 从而左边 2x+ =(x﹣y)+(x﹣y)+ +2y≥

3

+2y=2y+3=右边.

即原不等式成立.…(10 分) . 点评: 本题考查不等式的证明,均值不等式的应用,考查推理与证明. 七、解答题(共 2 小题,满分 20 分) 25.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC= (1)求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值. ,AB=1,BD=PA=2.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角.

- 23 -

分析: (1)以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,所求值即为 与 夹角的余弦值的绝对值,计算即可;

(2)所求值即为平面 PAD 的一个法向量与平面 PCD 的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值, 计算即可. 解答: 解: (1)∵PA⊥平面 ABCD,AB? 平面 ABCD,AD? 平面 ABCD, ∴PA⊥AB,PA⊥AD. 又 AD⊥AB,故分别以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 根据条件得 AD= , 所以 B(1,0,0) ,D(0, 从而 =(﹣1, ,0) , ,0) ,C(1, =(1, ,0) ,P(0,0,2) .

,﹣2) .

设异面直线 BD,PC 所成角为θ, 则 cosθ=|cos< , )>

|=

=

=



即异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值为

; =(1,0,0) .

(2)∵AB⊥平面 PAD,∴平面 PAD 的一个法向量为 设平面 PCD 的一个法向量为 =(x,y,z) , 由 , , =(1, ,﹣2) ,

=(0,

,﹣2) ,



,令 z=3,得 =(2,2

,3) .

设二面角 A﹣PD﹣C 的大小为φ, 则 cosφ=cos< , >= = = ,

即二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值为 .

- 24 -

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题, 注意解题方法的积累,属于中档题. 26.已知集合 A 是集合 Pn={1,2,3,…,n}(n≥3,n∈N )的子集,且 A 中恰有 3 个元素, 同时这 3 个元素的和是 3 的倍数.记符合上述条件的集合 A 的个数为 f(n) . (1)求 f(3) ,f(4) ; (2)求 f(n) (用含 n 的式子表示) . 考点: 数列与函数的综合. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法;集合;排列组合. 分析: (1)根据题意,直接可得结论; (2)设 A0={m|m=3p,p∈N ,p≤ },A1={m|m=3p﹣1,p∈N ,p≤ ∈N ,p≤
* * * *

},A2={m|m=3p﹣2,p

},它们所含元素的个数分别记为|A0|,|A1|,|A2|.

分①n=3k,②n=3k﹣1,③n=3k﹣2 三种情况讨论即可. 解答: 解: (1)根据题意,易得 P3={1,2,3},∴f(3)=1, P4={1,2,3,4},满足条件的子集有:{1,2,3}、{2,3,4},∴f(4)=2; (2)设 A0={m|m=3p,p∈N ,p≤ }, A1={m|m=3p﹣1,p∈N ,p≤ A2={m|m=3p﹣2,p∈N ,p≤
* * *

}, },

它们所含元素的个数分别记为|A0|,|A1|,|A2|. ①当 n=3k 时,则|A0|=|A1|=|A2|=k. k=1,2 时,f(n)=( k≥3 时,f(n)=3 从而 f(n)=
3

) =k ; ) = k ﹣ k +k,
* 3 3 2

3

3

+(
2

n ﹣ n + n,n=3k,k∈N .

②当 n=3k﹣1 时,则|A0|=k﹣1,|A1|=|A2|=k.

- 25 -

k=2 时,f(n)=f(5)=2×2×1=4; k=3 时,f(n)=f(8)=1+1+3×3×2=20; k>3 时,f(n)= 从而 f(n)=
3 2

+2

+

= k ﹣3k + k﹣1;
*

3

2

n ﹣ n + n﹣ ,n=3k﹣1,k∈N .

③当 n=3k﹣2 时,|A0|=k﹣1,|A1|=k﹣1,|A2|=k. k=2 时,f(n)=f(4)=2×1×1=2; k=3 时,f(n)=f(7)=1+3×2×2=13; k>3 时,f(n)=2 从而
3 2

+

+
*

= k ﹣ k +5k﹣2;

3

2

n ﹣ n + n﹣ ,n=3k﹣2,k∈N .

所以 f(n)=



点评: 本题是一道数列与集合的综合题,涉及到排列等知识,注意解题方法的积累,属于中 档题.

- 26 -

- 27 -


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