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【创新设计】(山东专用)2016高考数学二轮专题复习 周周练 第三周 综合限时练 理


星期五

(综合限时练)

2016 年____月____日 解答题综合练(设计意图:训练考生在规定时间内得高分,限时:80 分钟.) 2b-c cos C 1. (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中, 角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,且 = . a cos A (1)求角 A 的大小;

? π? (

2)求函数 y= 3sin B+sin?C- ?的值域. 6? ?
2b-c cos C 解 (1)由 = , a cos A 利用正弦定理可得 2sin Bcos A-sin Ccos A=sin Acos C, 化为 2sin Bcos A=sin(C+A)=sin B, 1 ∵sin B≠0,∴cos A= , 2 π ? π? ∵A∈?0, ?,∴A= . 2? 3 ? π π? ? (2)y= 3sin B+sin?π - -B- ? 3 6? ? = 3sin B+cos B

? π? =2sin?B+ ?. 6? ?
2π π ∵B+C= ,0<B< , 3 2 π π ∴ <B< , 6 2 π π 2π ∴ <B+ < , 3 6 3

? π? ? 3 ? ∴sin?B+ ?∈? ,1?, 6? ? 2 ? ?
∴y∈( 3,2]. 2.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA⊥底面 ABCD,

M 是棱 PD 的中点,且 PA=AB=AC=2,BC=2 2.

1

(1)求证:CD⊥平面 PAC; (2)如果 N 是棱 AB 上一点,且直线 CN 与平面 MAB 所成角的正弦值为 (1)证明 在△ABC 中,BC =AB +AC , 所以 AB⊥AC. 又 AB∥CD, 所以 AC⊥CD. 又 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD. 又 AC∩PA=A, 所以 CD⊥平面 PAC. (2)解 如图,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标 系,则 A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,2,0).
2 2 2

10 AN ,求 的值. 5 NB

因为 M 是棱 PD 的中点,所以 M(-1,1,1). → → 所以AM=(-1,1,1),AB=(2,0,0). 设 n=(x,y,z)为平面 MAB 的法向量, 所以? → ? ?n·AM=0,
?-x+y+z=0, ? 即? ?2x=0. → ? ?n·AB=0, ?

令 y=1,则 x=0,y=1,z=-1, 所以平面 MAB 的法向量 n=(0,1,-1). 因为 N 是在棱 AB 上一点, → 所以设 N(x,0,0),NC=(-x,2,0). 设直线 CN 与平面 MAB 所成角为 α , 因为平面 MAB 的法向量 n=(0,1,-1),

2

→ ? ? n·NC 2 10 ? ?= 所以 sin α = = . 2 → ? ?|n|·|NC 5 2× x +4 |? ? 解得 x=1,即 AN=1,NB=1,所以 =1. 3.(本小题满分 12 分)据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英 语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人 士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了 3 600 人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表: 态度 调查人群 在校学生 社会人士 应该取消 2 100 人 600 人 应该保留 120 人 无所谓

AN NB

y人 z人

x人

而且已知在全体样本中随机抽取 1 人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行问卷访谈, 问应在持“无 所谓”态度的人中抽取多少人? (2)在持“应该保留”态度的人中, 用分层抽样的方法抽取 6 人, 再平均分成两组进行深 入交流,求第一组中在校学生人数 ξ 的分布列和数学期望. 解 (1)∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为 0.05, 120+x ∴ =0.05,解得 x=60, 3 600 ∴持“无所谓”态度的人数共有 3 600-2 100-120-600-60=720, 360 ∴应在“无所谓”态度抽取 720× =72 人; 3 600 (2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有 180 人, 120 60 ∴在所抽取的 6 人中,在校学生为 ×6=4 人,社会人士为 ×6=2 人,于是第一组 180 180 在校学生人数 ξ =1,2,3.

P(ξ =1)=

C4C2 1 C4C2 3 C4C2 1 3 = ,P(ξ =2)= 3 = ,P(ξ =3)= 3 = , C6 5 C6 5 C6 5

1 2

2 1

3 0

即 ξ 的分布列为: ξ 1 1 5 2 3 5 3 1 5

P
1 3 1 ∴E(ξ )=1× +2× +3× =2. 5 5 5

4.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(x-1) ,g(x)=4(x-1),数列{an}是各项均不为 0
3

2

的等差数列,其前 n 项和为 Sn,点(an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上;数列{bn}满足 b1 =2,bn≠1,且(bn-bn+1)·g(bn)=f(bn)(n∈N ). (1)求 an 并证明数列{bn-1}是等比数列; (2)若数列{cn}满足 cn= n-1 ,证明:c1+c2+c3+?+cn<3. 4 ·(bn-1) (1)解 因为点(an+1,S2n-1)在函数 f(x)的图象上,所以 an=S2n-1.
? ?a1=S1, ? ?a1=a1, 令 n=1,n=2,得? 2 即? 2 ?a2=S3, ? ?(a1+d) =3a1+3d, ?
2 2 2 *

an

解得 a1=1,d=2(d=-1 舍去),则 an=2n-1. 由(bn-bn+1)·g(bn)=f(bn), 得 4(bn-bn+1)(bn-1)=(bn-1) . 由题意 bn≠1,所以 4(bn-bn+1)=bn-1, 即 3(bn-1)=4(bn+1-1),所以
2

bn+1-1 3 = . bn-1 4

3 所以数列{bn-1}是以 1 为首项,公比为 的等比数列. 4

n-1 ?3? (2)证明 由(1),得 bn-1=? ? . ?4? cn=
4
n-1

= ·(bn-1)

an

2n-1 4
n-1

·? ? ?4?

n-1 ?3?

2n-1 = n-1 . 3

令 Tn=c1+c2+c3+?+cn, 1 3 5 2n-3 2n-1 则 Tn= 0+ 1+ 2+?+ n-2 + n-1 ,① 3 3 3 3 3 1 1 3 5 2n-3 2n-1 Tn= 1+ 2+ 3+?+ n-1 + n ,② 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2 2n-1 ①-②得, Tn= 0+ 1+ 2+ 3+?+ n-1- n 3 3 3 3 3 3 3 1 1- n-1 3 2 2n-1 1 2n-1 =1+ · - n =2- n-1- n 3 1 3 3 3 1- 3 2(n+1) =2- . n 3 所以 Tn=3-

n+1
3
n-1

.

所以 c1+c2+c3+?+cn=3-

n+1
3
n-1

<3.

4

5.(本小题满分 13 分)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的短轴长为单位圆 C2:x +y =1 的 直径,且椭圆的离心率为 6 . 3

x2 y2 a b

2

2

(1)求椭圆的方程; (2)过椭圆短轴的上顶点 B1 作直线分别与单位圆 C2 和椭圆 C1 交于 A,B 两点(A,B 两点均 在 y 轴的右侧),设 B2 为椭圆的短轴的下顶点,求∠AB2B 的最大值. 解 (1)由题知 b=1,又 e= =

c a

a2-1 6 x2 2 2 = ,得 a =3,∴椭圆的方程为 +y =1. a 3 3

(2)由(1)得 B1(0,1),B2(0,-1),设过椭圆的短轴的上顶点 B1 的直线的方程为 y=kx 1 +1,由于 B1B2 为圆的直径,所以直线 B2A 的斜率 k1=- .

k

6k 1-3k ? ? 把 y=kx+1 代入 C1 得 B?- 2, 2?, ? 1+3k 1+3k ? 1-3k 2+1 1+3k 1 由题意易知 k<0,且直线 B2B 的斜率为 k2= =- ,所以 k1,k2>0,且 k1= -6k 3k 2 1+3k → → 3k2,又△B2AB 是直角三角形,所以∠AB2B 必为锐角,因为B2A与B2B的方向向量分别为(1,
2 2 k1), (1, k2), 所以B2A·B2B=(1, k1)·(1, k2)=1+3k2 又B2A·B2B= 1+k1· 1+k2cos 2, 2

2









∠AB2B, 从而 cos ∠AB2B=
2

1+3k2 1+9k2· 1+k2 1- 4 1 +9k2+10
2 2 2

2



1-

4k2 2 4= 1+10k2+9k2



3 , 2

k2 2
当且仅当 k2=

3 3 时,cos ∠AB2B 取得最小值 , 3 2

π 由∠AB2B 为锐角得∠AB2B 的最大值为 . 6 6.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=ax +1,g(x)=ln(x+1). (1)当实数 a 为何值时,函数 g(x)在 x=0 处的切线与函数 f(x)的图象相切; (2)当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)+g(x)≤x+1 恒成立,求 a 的取值范围;
5
2

(3)已知 n∈N ,试判断 g(n)与 g′(0)+g′(1)+?+g′(n-1)的大小,并证明之. 解 (1)∵g(x)=ln(x+1), ∴g′(x)= 1 ,g′(0)=1, x+1

*

故 g(x)在 x=0 处的切线方程为 y=x. 由?
? ?y=x,
2

得 ax -x+1=0, ?y=ax +1, ?

2

∴Δ =1-4a=0, 1 ∴a= . 4 (2)当 x∈[0,+∞)时,不等式 f(x)+g(x)≤x+1 恒成立, 即 ax +ln(x+1)-x≤0 恒成立. 设 h(x)=ax +ln(x+1)-x(x≥0), 只需 h(x)max≤0 即可. 1 x[2ax+(2a-1)] h′(x)=2ax+ -1= . x+1 x+1 ①当 a=0 时,h′(x)= -x ,当 x>0 时,h′(x)<0, x+1
2 2

函数 h(x)在[0,+∞)上单调递减, 故 h(x)≤h(0)=0 成立. 1 ②当 a>0 时,由 h′(x)=0,得 x= -1 或 x=0. 2a 1° 1 1 -1<0,即 a> 时,在区间(0,+∞)上,h′(x)>0,则函数 h(x)在(0,+∞) 2a 2

上单调递增,h(x)在(0,+∞)上无最大值,此时不满足条件. 2° 若 1 1 1 ? ? - 1≥0 , 即 0 < a≤ 时 , 函 数 h(x) 在 ?0, -1? 上 单 调 递 减 , 在 区 间 2a 2 ? 2a ?

? 1 -1,+∞?上单调递增,同样 h(x)在[0,+∞)上无最大值,不满足条件. ?2a ? ? ?
③当 a<0 时,h′(x)<0,函数 h(x)在[0,+∞)上单调递减,故 h(x)≤h(0)=0 成立, 综上所述,实数 a 的取值范围是(-∞,0]. (3)结论:g(n)<g′(0)+g′(1)+g′(2)+?+g′(n-1). 1 证明:当 a=0 时,ln(x+1)≤x(当且仅当 x=0 时取等号),令 x= ,

n

?1 ? 1 ∴ln? +1?< , ?n ? n

6

1 ∴ln(n+1)-ln n< .

n

1 故有 ln(n+1)-ln n< ,

n

ln n-ln(n-1)<

1

n-1

, 1 , n-2

ln(n-1)-ln(n-2)< ??

1 ln 3-ln 2< ,ln 2-ln 1<1, 2 1 1 1 所以 ln(n+1)<1+ + +?+ , 2 3 n 即 g(n)<g′(0)+g′(1)+g′(2)+?+g′(n-1).

7


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