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2013年浙江省高中数学竞赛预赛试题及答案


2013 年浙江省高中数学竞赛试题 一、选择题 1. 集合 P ? { x x ? R , x ? 1 ? 1 }, Q ? { x x ? R , x ? a ? 1} , 且 P ? Q ? ? ,则实数 a 取值范围为( ) A. a ? 3 B. a ? ? 1 .
?

C. a ? ? 1 或 a ? 3 )

D.

? 1 ? a ? 3

2. 若 ? , ? ? R , 则 ? ? ? ? 9 0 是 s in ? ? s in ? ? 1 的( A. 充分而不必要条件 3. 已知等比数列{ a A. 3 9 8 1
n

B. 必要而不充分条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 )

}: a 1 ? 3 , 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是( C.
3

B. 3 7 8 1

9

D. 3 3 )

2 4. 已知复数 z ? x ? y i ( x , y ? R , i 为虚数单位) ,且 z ? 8 i ,则 z ? (

A. z ? 2 ? 2 i C. z ? ? 2 ? 2 i , 或 z ? 2 ? 2 i
2

B. z ? ? 2 ? 2 i D. z ? 2 ? 2 i , 或 z ? ? 2 ? 2 i

5. 已知直线 A B 与抛物线 y ? 4 x 交于 A , B 两点, M 为 A B 的中点, C 为抛物线上一个动点,若 C 0 满 足 C 0 A ? C 0 B ? m in { C A ? C B } ,则下列一定成立的是( A. C 0 M ? A B
???? ? ???? ? ??? ? ??? ?

) 。 D. C 0 M ?
1 2
3 2

B. C 0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C 0 的切线 C. C 0 A ? C 0 B

AB

6. 某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K=( ) A. 20 B. 22 C. 2 4 D. 25 开 始
1 1

K=1, S=0
2 2
3

S=S+1/(K(K+1))

正视图:上下两个 正方形 侧视图

1

S>=E?




K=K+1

俯视图:边长为 2 的 正三角形

输出 K

7. 若三位数 a b c 被 7 整除, a , b , c 成公差非零的等差数列, 且 则这样的整数共有 (
1

) 个。 A.4

B.

6 C. 7 D 8 8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为( A. 3 3 B.
3 2
2 3

) 。

3

C.

9 2

3

D.

9 4

3

9. 设函数 f ( x ) ? x ( x ? 1) ( x ? 2 ) ( x ? 3 ) ,则函数 y ? f ( x ) 的极大值点为(
4



A. x ? 0

B. x ? 1

C. x ? 2

D. x ? 3

10. 已知 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 为一次函数,若对实数 x 满足
? ? 1, x ? ? 1 ? f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ) ? ? 3 x ? 2 , ? 1 ? x ? 0 ,则 h ( x ) 的表达式为( ? ?2 x ? 2, x ? 0 ?

) 。

A. h ( x ) ? x ? 二、填空题

1 2

B. h ( x ) ? ? x ?

1 2

C. h ( x ) ? ? x ?

1 2

D. h ( x ) ? x ?

1 2

11. 若 ta n x ta n y ? 2 , s in x s in y ?
2

1 3

,则 x ? y ? _________________。

12. 已知 f ( x ) ? x ? ( k ? 1) x ? 2 ,若当 x ? 0 时 f ( x ) 恒大于零,则 k 的取值范围为_____________ 。 13. 数列 { n n } , n ? 1, 2 , ? ,则数列中最大项的值为______________。
2 2 2 2 14. 若 x , y ? R ,满足 2 x ? 2 x y ? 2 y ( x ? x ) ? x ? 5 ,则 x ?

,y ?
5 ,则直线 l 的方程为

15.设直线 l 与曲线 y ? x ? x ? 1 有三个不同的交点 A , B , C ,且 A B ? B C ?
3



16. 若 a ? 0 , b ? 0 , 则 m in { m a x ( a , b ,

1 a
2

?

1 b
2

)} ? ________________________。

17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限 x , y 轴上的整点) ,其运动规律为
( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 或 ( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 。若该动点从原点出发,经过 6 步运动到(6,2)点,则

有___________________种不同的运动轨迹。 三、解答题 18. 已知抛物线 y ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P , Q , 两点。证明,存在唯一一点 K ,
2

使得

1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

2 2 19. 设二次函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 b ? 1) x ? a ? 2 ( a , b ? R , a ? 0 ) 在[3,4]上至少有一个零点,求 a ? b 的
2

2

最小值。

20. 设 x ? N 满足 ? 差数列;

?1? x ? ? ? x ?

2013

?

2014 2013

. 数列 a 1 , a 2 , ? , a 2 0 1 3 是公差为 x
1? x x

2013

2 2012 ? 1 的等 ,首项 a 1 ? ( x ? 1) x

, 数 列 b1 , b 2 ? , b 2 0 是 公 比 为 1 3

, 首 项 b1 ? ( x ? 1) x

2013

的等比数列,求证:

b1 ? a 1 ? b 2 ? ? ? a 2 0 1 2 ? b 2 0 1 3 。

21. 设 a , b , c ? R , a b ? b c ? c a ? 3, 证明: a ? b ? c ? a ( b ? c ) ? b ( c ? a ) ? c ( a ? b ) ? 9 。
5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2

?

22. 从 0,1,2,?,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各条线段相连
3

的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。 试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。 6 10 A1 A3 5 A2

A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6 (图 2)

A8

2013 年浙江省高中数学竞赛试题解答 一、选择题
4

4. 集 合 P ? { x x ? R x? 1 ? 1} , Q ? { x x ? R , x ? a ? 1} , 且 P ? Q ? ? , 则 实 数 a 取 值 范 围 为 , ( A. a ? 3 答案 C ) B. a ? ? 1 . C. a ? ? 1 或 a ? 3 D. ? 1 ? a ? 3

P ? { x 0 ? x ? 2} , Q ? { x a ? 1 ? x ? a ? 1} , 要使 P ? Q ? ? ,则 a ? 1 ? 2 或 a ? 1 ? 0 。解得

a ? ?1 或 a ? 3 。

5. 若 ? , ? ? R , 则 ? ? ? ? 9 0 是 s in ? ? s in ? ? 1 的(
?



A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
?

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

答案 D 若 ? ? 0 , ? ? 9 0 ? s in ? ? s in ? ? 1 。
? 当 ? ? ? ? 6 0 ? s in ? ? s in ? ?

3 ? 1 ,但 ? ? ? ? 9 0

?

。 )

6. 已知等比数列{ a A. 3 9 8 1

n

}: a 1 ? 3 , 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是( C.
3

B. 3 7 8 1
2 7

9

D. 3 3

答案 B 计算得 q ? 3 , a 3 ? 3 7 8 1 。
2 4. 已知复数 z ? x ? y i ( x , y ? R , i 为虚数单位) ,且 z ? 8 i ,则 z ? (



A. z ? 2 ? 2 i C. z ? ? 2 ? 2 i , 或 z ? 2 ? 2 i 答案 D

B. z ? ? 2 ? 2 i D. z ? 2 ? 2 i , 或 z ? ? 2 ? 2 i

5. 已知直线 A B 与抛物线 y ? 4 x 交于 A , B 两点, M 为 A B 的中点, C 为抛物线上一个动点,若 C 0 满
2

足 C 0 A ? C 0 B ? m in { C A ? C B } ,则下列一定成立的是( A. C 0 M ? A B C. C 0 A ? C 0 B 答案 B
??? ??? ? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? C A ? C B ? (C M ? A M ) ? (C M ? B M ) ? C M ???? ? ? CM
2 2

???? ?

???? ?

??? ?

??? ?

) 。

B. C 0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C 0 的切线 D. C 0 M ?
1 2
???? ???? ? ? ???? ? ???? ???? ? ? ? CM (AM ? BM ) ? AM ? BM

AB

???? ? ? AM

2

????? ? ??? ??? ? ? ? m in { C A ? C B } ? C M

m in

? CM ? l 。

6. 某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K=( A. 20 B. 22 C. 2 4 D. 25



5

开 始

K=1, S=0

S=S+1/(K(K+1))

S>=E?




K=K+1

输出 K , 答案 C
S ? 1 1? 2 ? 1 2?3 ?? ? 1 k ? ( k ? 1) ? 1? 1 k ?1 ? 0 .9 6 ? k ? 2 4 .

7. 若三位数 a b c 被 7 整除,且 a , b , c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( A.4 B. 6 C. 7 D 8

)个。

答案 D 设三位数为 ( b ? d ) b ( b ? d ) ? 1 1 1 b ? 9 9 d ( 0 ? b ? 9 , ? 9 ? d ? 9 , d ? 0 ) , 由
7 (1 1 1b ? 9 9 d ) ? 7 ( b ? d ) ? b ? 1, d ? ? 1; b ? 2 , d ? ? 2; b ? 3, d ? ? 3; b ? 4 , d ? 3, ? 4;
b ? 5, d ? 2; b ? 6 , d ? 1; b ? 8, d ? ? 1 。所以,所有的三位数为

2 1 0 , 4 2 0 , 6 3 0 ,1 4 7 , 8 4 0 , 3 5 7 , 5 6 7 , 9 8 7

8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为( A. 3 3 B.
3 2 3

) 。

C.

9 2

3

D.

9 4

3

6

3 2

1 1

2
正视图: 上下两个 正方形

2

3

侧视图

1

俯视图:边长为 2 的 正三角形

答案 D 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。 9. 设函数 f ( x ) ? x ( x ? 1) ( x ? 2 ) ( x ? 3 ) ,则函数 y ? f ( x ) 的极大值点为(
2 3 4



A. x ? 0

B. x ? 1

C. x ? 2

D. x ? 3

答案 B 由图象可知 x ? 1 为函数极大值点, x ? 3 是极小值点, x ? 0 , 2 不是极值点。 10. 已知 f ( x ), g ( x ), h ( x ) 为一次函数,若对实数 x 满足
? ? 1, x ? ? 1 ? f ( x ) ? g ( x ) ? h ( x ) ? ? 3 x ? 2 , ? 1 ? x ? 0 ,则 h ( x ) 的表达式为( ? ?2 x ? 2, x ? 0 ?

) 。

A. h ( x ) ? x ?

1 2

B. h ( x ) ? ? x ?
1 2 ? 2 x ? 2 ? ( ? 1) 2

1 2

C. h ( x ) ? ? x ? 答案 C
h(x) ?

D. h ( x ) ? x ?
? ?x ? 1 2 1 3

1 2



二、填空题 11. 若 ta n x ta n y ? 2 , s in x s in y ? ,则 x ? y ? _______ 2 k ? ?
1 3 ? cos x cos y ? 1 6

?
3

__________。
1 2

解答:由 ta n x ta n y ? 2 , s in x s in y ?
x ? y ? 2 k? ?

? cos( x ? y ) ?

,所以

?
3


7

12. 已 知 f ( x )?

2

x ? ( k? 1 ) x? , 若 当 x ? 0 时 f ( x ) 恒 大 于 零 , 则 k 的 取 值 范 围 为 2

______ ( ? ? , 2 2 ? 1) _______ 。 解答 由 x ? ( k ? 1) x ? 2 ? 0 ? k ? 1 ? x ?
2

2 x

,x?

2 x

? 2

2 等号在 x ?

2 取得,即

k ? 2

2 ?1。

13. 数列 { n n } , n ? 1, 2 , ? ,则数列中最大项的值为______ 3 3 ________。
1 1 1

解答 f ( x ) ? x x ? e x
3

ln x

? f (x) ?
/

xx x
2

(1 ? ln x ) ? x ? e 为极大值点, 所以数列最大项为第三项, 其值为

3 。

2 2 2 2 14. 若 x , y ? R ,满足 2 x ? 2 x y ? 2 y ( x ? x ) ? x ? 5 ,则 x ? 3 , y ? ?

2 3



解答 把等式看成关于 x 的一元二次方程
? ? 4 ( y ? 1) ? 2 0 ( 2 y ? 2 y ? 1) ? 0 ? (3 y ? 2 ) ? 0 ? y ? ?
2 2 2
3

2 3

,x ? 3。

15. 设直线 l 与曲线 y ? x ? x ? 1 有三个不同的交点 A , B , C ,且 A B ? B C ? _____ y ? 2 x ? 1 ____________。 解 答

5 ,则直线 l 的方程为

曲 线 关 于 ( 0,1 ) 点 对 称 , 设 直 线 方 程 为 y ? k x ? 1, A ( x , y ) , 则

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ?y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? x ? ( y ? 1) ? ?

? ( k ? 2 )( k 5

2

? k ? 2 ) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。

16. 若 a ? 0 , b ? 0 , 则 m in { m a x ( a , b , 解答 m a x { a , b ,
m in { m a x ( a , b , 1 a 1 a
2 2

1 a
2

?

1 b
2

)} ? _______ 1 a
2

3

2 _________________。

? ?

1 b 1 b
2 2

} ? m ? a ? m,b ? m, )} ?
3

?

1 b
2

? m ? m ?

2 m
2

? m ?

3

2 ,所以

2 。

17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限 x , y 轴上的整点) ,其运动规律为
( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 或 ( m , n ) ? ( m ? 1, n ? 1) 。若该动点从原点出发,经过 6 步运动到(6,2)点,则

有__________9_________种不同的运动轨迹。 解答
C6 ? C6 ? 9 .
2 1

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)

8

18. 已知抛物线 y ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P , Q ,
2

两点。证明,存在唯一一点 K ,使得

1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

解答 设 K ( a , 0 ) ,过 K 点直线方程为 y ? k ( x ? a ) ,交抛物线于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 联立方程组
2 ? y ? 4x 2(ak ? 2) 2 2 2 2 2 2 ? k x ? 2 ( a k ? 2 ) x ? a k ? 0 ? x1 ? x 2 ? , x 1 x 2 ? a ?5 分 ? 2 k ? y ? k(x ? a) 2

? PK

2

? ( x1 ? a ) ? y 1 , K Q
2 2

2

? ( x 2 ? a ) ? y 2 ??????????????7 分
2 2

?

1 PK
2

?

1 KQ
1 PK
2
2

1? ?
2

a 2

k

2

a (1 ? k )
2

,????????????????????12 分

令a ? 2 ?

?

1 KQ
2

?

1 4

, K ( 2 , 0 ) 。????????????????17 分

2 2 19. 设二次函数 f ( x ) ? a x ? ( 2 b ? 1) x ? a ? 2 ( a , b ? R , a ? 0 ) 在[3,4]上至少有一个零点,求 a ? b 的
2

最小值。 解法 1 由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 a t ? ( 2 b ? 1) t ? a ? 2 ? 0 ,变形
2

( 2 ? t ) ? [ a ( t ? 1) ? 2 b t ] ? ( a ? b )(( t ? 1) ? t ) ? ( a ? b )(1 ? t ) ,??5 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

于是 a ? b ? (
2 2

t?2 1? t
2

) ?
2

1 (t ? 2 ? 5 t?2 ? 4)
2

?

1 100

,???????????12 分

因为 t ? 2 ? 为
1 100

5 t?2

, t ? [3, 4 ] 是减函数,上述式子在 t ? 3, a ? ?

2 25

,b ? ?

3 50

时取等号,故 a ? b 的最小值
2 2

。????????????????????????17 分 把等式看成关于 a , b 的直线方程 : ( x ? 1) a ? 2 x b ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点( a , b )到原点的
2

解法 2

距离大于原点到直线的距离,即 a ? b ?
2 2 2

x? 2 ( x ? 1) ? ( 2 x )
2 2

(以下同上) 。

20. 设 x ? N 满足 ? 差数列;

?1? x ? ? ? x ?

2013

?

2014 2013

. 数列 a 1 , a 2 , ? , a 2 0 1 3 是公差为 x
1? x x

2013

2 2012 ? 1 的等 ,首项 a 1 ? ( x ? 1) x

, 数 列 b1 , b 2 ? , b 2 0 是 公 比 为 1 3

, 首 项 b1 ? ( x ? 1) x

2013

的等比数列,求证:

b1 ? a 1 ? b 2 ? ? ? a 2 0 1 2 ? b 2 0 1 3 。

9

2 2012 2013 ? 1 ? ( i ? 1) x 解:首先, a i ? ( x ? 1 ) x ,

-----------------2 分

b i ? ( x ? 1) x

2013

(

1? x x

)

i ?1

? ( x ? 1) x
i

2014 ? i

。-----------------4 分

b i ?1 ? b i ? x

2013

(

1? x x

) ????????????????6 分
i

用归纳法证明 a i ? b i ? x

2013

2014 ? i 2013

, 1 ? i ? 2013 。

由于 a 1 ? b 1 ? x

2013

? x

2012

?1? x

2013

,即 i=1 成立。????????8 分

假设 1 ? i ? 2012 成立, 则 a i ?1 ? b i ?1 ? ( a i ?1 ? a i ) ? ( b i ?1 ? b i ) ? ( a i ? b i ) ? x
1? x x ? ?x
2013 2013

? x

2013

(

1? x x

) ? (a i ? bi )
i

? x

2013

? x

2013

(

)

203

? (a i ? bi ) ? ? x ? x

2013

1 2013

? (a i ? bi )

1 2013

? x

2013

2013 ? i ? 1 2013

2013

2014 ? ( i ? 1 ) 2013

。???????14 分

所以, a i ? b i , i ? 1, 2 , ? , 2013 。 归纳证明 b i ? 1 ? a i , i ? 1 , 2 , ? , 2012 ,首先 b 2 ? a 1 ? 1 ? 0 ,假设 1 ? i ? 2011 成立, 则
b i ? 2 ? a i ?1 ? ( b i ? 2 ? b i ?1 ) ? ( a i ?1 ? a i ) ? ( b i ?1 ? a i ) ? x
2013

(

1? x x

)

i ?1

? x

2013

? ( b i ?1 ? a i ) ? 0 。 ? ? ? ?

????????????17 分 故命题成立。 四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 a , b , c ? R , a b ? b c ? c a ? 3, 证明
a ? b ? c ? a (b ? c ) ? b (c ? a ) ? c (a
5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2

?

? b ) ? 9 。
2

解答 原命题等价于 ( a ? b ? c ) ( a ? b ? c ) ? 9 ,????????????10 分
a ?b ? c
2 2 2

又(a ? b ? c ) ? 9(
3 3 3 2

) , ???????????????????20 分
3

3

故只需要证明 a ? b ? c ? 3 成立。???????????????????25 分
2 2 2

10

利用已知条件,这是显然的。 22. 从 0,1,2,?,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各条线段相连 的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。 试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。 6 10 A1 A3 5 A2

A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6 (图 2) A8

解答 对图 1,上述填法即为完美(答案不唯一) 。????????????10 分 对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰好为, 1,2,3,??,10, ????? ?????????????????? 15 分 其和 s ? a 1 ? a 2 ? a 1 ? a 3 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 7 ? a 8 ? 5 5 为奇数。?????? 20 分

另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述 S 的表达式中出现 偶数次。因此 S 应为偶数,矛盾。???????????????25 分 所以,不存在完美填法。

11


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2012 年高中数学联赛浙江省预赛试卷---第 62 页 12. 2012 年高中数学联赛...(及答案) 一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1....


2013年高中数学联赛四川预赛试题及参考答案

2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)及参考答案(5 月 19 日下午 14:30——16:30)题目得分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,...


2015浙江省数学竞赛参考答案

2015 年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分...


2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准

2013 年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各 题的评阅,请...

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