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2015年湖南省岳阳市中考数学试卷


湖南省岳阳市 2015 年中考数学试卷
一、选择题(本大题 8 道小题,每小题 3 分,满分 24 分。在每道小题给出的四个选项中, 选出符合要求的 一项) 1.实数﹣2015 的绝对值是( ) 2015 A. 2015 B.﹣2015 C.± D.

考点: 绝对值. 分析: 计算绝对值要根据绝对值的定义求解.第一步列出绝对值的表达式;第二步根据绝对值定义去掉这 个绝对值的符号. 解答: 解:|﹣2015|=2015, 故选:A. 点评: 本题考查了绝对值,解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的 相反数;0 的绝对值是 0.
.

2. (3 分) (2015?岳阳)有一种圆柱体茶叶筒如图所示,则它的主视图是(



A.

B.

C.

D.

考点: 简单组合体的三视图. 分析: 找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 解答: 解:主视图是从正面看,茶叶盒可以看作是一个圆柱体,圆柱从正面看是长方形. 故选:D. 点评: 此题主要考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
.

3. (3 分) (2015?岳阳)下列运算正确的是( ﹣2 A. a =﹣a2 B.a+a2=a3

) C. + = D.(a2)3=a6

考点: 幂的乘方与积的乘方;合并同类项;负整数指数幂;二次根式的加减法. 专题: 计算题. 分析: 原式各项计算得到结果,即可做出判断. 解答: 解:A、原式= ,错误; B、原式不能合并,错误;

.

C、原式不能合并,错误; D、原式=a ,正确, 故选 D 点评: 此题考查了幂的乘方与积的乘方,合并同类项,负整数指数幂,以及二次根式的加减法,熟练掌握 运算法则是解本题的关键. 4. (3 分) (2015?岳阳)一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图,则该不 等式组的解集是( )
6

A. ﹣2<x<1

B.﹣2<x≤1

C.﹣2≤x<1

D.﹣2≤x≤1

考点: 在数轴上表示不等式的解集. 分析: 根据不等式解集的表示方法即可判断. 解答: 解:该不等式组的解集是:﹣2≤x<1. 故选 C. 点评: 本题考查了不等式组的解集的表示, 不等式的解集在数轴上表示出来的方法: “>”空心圆点向右画折 线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线.
.

[来源:Zxxk.Com]

5. (3 分) (2015?岳阳)现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高为 170cm,方程分别是 S 甲 2 2 2 2 、S 乙 ,且 S 甲 >S 乙 ,则两个队的队员的身高较整齐的是( ) A. 甲队 B.乙队 C.两队一样整齐 D.不能确定 考点: 方差. 分析: 根据方差的意义,方差越小数据越稳定,故比较方差后可以作出判断. 解答: 解:根据方差的意义,方差越小数据越稳定;
.

因为 S 甲 >S 乙 ,故有甲的方差大于乙的方差,故乙队队员的身高较为整齐. 故选 B. 点评: 本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均 数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离 平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 6. (3 分) (2015?岳阳)下列命题是真命题的是( ) A. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C.四条边相 等的四边形是菱形 D.正方形是轴对称图形,但不是中心对称图形 考点: 命题与定理. 分析: 根据平行四边形的判定方法对 A 进行判断;根据矩形的判定方法对 B 进行判断;根据菱形的判定方 法对 C 进行判断;根据轴对称和中心对称的定义对 D 进行判断. 解答: 解:A、一组对边平行,且相等的四边形是平行四边形,所以 A 选项错误; B、对角线互相垂直,且相等的平行四边形是矩形,所以 B 选项错误;
.

2

2

C、四条边相等的四边形是菱形,所以 C 选项正确; D、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形,所以 D 选项错误. 故选 C. 点评: 本题 考查了命题与定理:判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题; 经过推理论证的真命题称为定理. 7. (3 分) (2015?岳阳)岳阳市某校举行运动会,从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为 奖品.若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多 3 元,且用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元购买笔袋的数量相同. 设每个笔记本的价格为 x 元, 则下列所列方程正确的是 ( ) A. B. C. D. = = = =

考点: 由实际问题抽象出分式方程. 分析: 设每个笔记本的价格为 x 元,根据“用 200 元购买笔记本的数量与用 350 元购买笔袋的数量相同”这 一等量关系列出方程即可. 解答: 解:设每个笔记本的价格为 x 元,则每个笔袋的价格为(x+3)元,
.

[来源:Zxxk.Com]

根据题意得:

=



故选 B. 点评: 本题考查了由实际问题抽象出分式方程的知识,解题的关键是能够找到概括题目全部含义的等量关 系,难度不大. 8. (3 分) (2015?岳阳) 如图, 在△ ABC 中, AB=CB, 以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D. 过 点 C 作 CF∥AB,在 CF 上取一点 E,使 DE=CD,连接 AE.对于下列结论:①AD=DC; ②△CBA∽△CDE;③ 是( ) = ;④AE 为⊙O 的切线,一定正确的结论全部包含其中的选项

A. ①②

B.①②③

C.①④

D.①②④

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: 根据圆周角定理得∠ADB=90° ,则 BD⊥AC,于是根据等腰三角形的性质可判断 AD=DC,则可对 ①进行判断;利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明∠1=∠2=∠3=∠4,则根据相似三角形
.

的判定方法得到△ CBA∽△CDE, 于是可对②进行判断; 由于不能确定∠1 等于 45° , 则不能确定



相等,则可对③进行判断;利用 DA=DC=DE 可判断∠AEC=90° ,即 CE⊥AE,根据平行线的

性质得到 AB⊥AE,然后根据切线的判定定理得 AE 为⊙O 的切线,于是可对④进行判断. 解答: 解:∵AB 为直径, ∴∠ADB=90° , ∴BD⊥AC, 而 AB=CB, ∴AD=DC,所以①正确; ∵AB=CB, ∴∠1=∠2, 而 CD=ED, ∴∠3=∠4, ∵CF∥AB, ∴∠1=∠3, ∴∠1=∠2=∠3=∠4, ∴△CBA∽△CDE,所以②正确; ∵△ABC 不能确定为直角三角形, ∴∠1 不能确定等于 45° , ∴ 与 不能确定相等,所以③错误;

∵DA=DC=DE, ∴点 E 在以 AC 为直径的圆上, ∴∠AEC=90° , ∴CE⊥AE, 而 CF∥AB, ∴AB⊥AE, ∴AE 为⊙O 的切线,所以④正确. 故选 D.

点评: 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.也考查了等腰三角 形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定. 二、填空题(本大题 8 道小题,每小题 4 分,满分 32 分。 ) 9. (4 分) (2015?岳阳)单项式﹣ x y 的次数是
2 3

5 .

考点: 单项式. 分析: 根据单项式的次数的定义:单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数解答. 解答: 2 3 解:单项式﹣ x y 的次数是 2+3=5.
.

故答案为:5. 点评: 本题考查了单项式,需注意:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,几个单项式的和叫做多 项式,单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 10. (4 分) (2015?岳阳)分解因式:x ﹣9= (x+3) (x﹣3) . 考点: 因式分解-运用公式法. 分析: 本题中两个平方项的符号相反,直接运用平方差公式分解因式. 2 解答: 解:x ﹣9=(x+3) (x﹣3) . 故答案为: (x+3) (x﹣3) . 点评: 主要考查平方差公式分解因式,熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征,即“两项、异号、平 方形式”是避免错用平方差公式的有效方法.
.

2

11. (4 分) (2015?岳阳)据统计,2015 年 岳阳市参加中考的学生约为 49000 人,用科学 4 记数法可将 49000 表示为 4.9×10 . 考点: 科学记数法—表示较大的数.
[来 源:学#科#网 Z#X#X#K]

.

分析: 科 学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数 变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是 正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解答: 解:用科学记数法可将 49000 表示为 4.9×104, 4 故答案为:4.9×10 . 点评: 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整 数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12. (4 分) (2015?岳阳)若关于 x 的一元二次方程 x ﹣3x+m=0 有两个相等的实数根,则 m= .
2

n

考点: 根的判别式. 分析: 根据题意可得△ =0,据此求解即可. 解答: 解:∵方程 x2﹣3x+m=0 有两个相等的实数根, ∴△=9﹣4m=0,
.

解得:m= . 故答案为: . 点评: 本题考查了根的判别式,解答本题的关键是掌握当△ =0 时,方程有两个相等的两个实数根.

13. (4 分) (2015?岳阳)在一次文艺演出中,各评委对某节目给出的分数是:9.20,9.25, 9.10,9.20,9.15,9.20,9.15,这组数据的众数是 9.20 . 考点: 众数. 分析: 众数指一组数据中出现次数最多的数据,根据众数的定义就可以求出. 解答: 解:因为 9.20 出现的次数最多,所以众数是 9.20. 故答案为:9.20. 点评: 主要考查了众数的概念.注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据,它反映了一组数据的多数 水平,一组数据的众数可能不是唯一的.
.

14. (4 分) (2015?岳阳)一个 n 边形的内角和是 180° ,则 n= 3



考点: 多边形内角与外角. 分析: 根据多边形内角和定理即可列方程求解. 解答: 解:根据题意得 180(n﹣2)=180, 解得:n=3. 故答案是:3. 点评: 本题考查了多边形的内角和定理,题目较简单,只要结合多边形的内角关系来寻求等量关系,构建 方程即可求解.
.

15. (4 分) (2015?岳阳)如图,直线 a∥b,∠1=50° ,∠2=30° ,则∠3= 20° .

考点: 平行线的性质;三角形的外角性质. 分析: 首先由平行线的性质可 求得∠4 的度数,然后再根据三角形的外角的性质即可求得∠3 的度数. 解答: 解:如图:
.

∵a∥b, ∴∠4=∠1=50° . 由三角形的外角的性质可知:∠4=∠2+∠3, ∴∠3=∠4﹣∠2=50° ﹣30° =20° . 故答案为:20° . 点评: 本题主要考查的是三角形的外角的性质和平行线的性质,熟练掌握三角形的外角的性质和平行线的 性质是解题的关键.
[来源:Z+xx+k.Com]

16. (4 分) (2015?岳阳)如图,已知抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点,顶点 C 2 的纵坐标为﹣2,现将抛物线向右平移 2 个单位,得到抛物线 y=a1x +b1x+c1,则下列结论 正确的是 ③④ . (写出所有正确结论的序号) ①b>0 ②a﹣b+c<0 ③阴影部分的面积为 4 ④若 c=﹣1,则 b =4a.
2

2

考点: 二次函数图象与几何变换;二次函数图象与系数的关系. 分析: ①首先根据抛物线开口向上,可得 a>0;然后根据对称轴为 x=﹣
.

>0,可得 b<0,据此判断即

可. 2 ②根据抛物线 y=ax +bx+c 的图象,可得 x=﹣1 时,y>0 ,即 a﹣b+c>0,据此判断即可. ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形,然后根据平行四边形的面积=底×高,求出阴影部分的面 积是多少即可. ④根据函数的最小值是 解答: 解:∵抛物线开口向上, ∴a>0, 又∵对称轴为 x=﹣ >0, ,判断出 c=﹣1 时,a、b 的关系即可.

∴b<0, ∴结论①不正确; ∵x=﹣1 时,y>0, ∴a﹣b+c>0, ∴结论②不正确; ∵抛物线向右平移了 2 个单位, ∴平行四边形的底是 2, 2 ∵函数 y=ax +bx+c 的最小值是 y=﹣2, ∴平行四边形的高是 2, ∴阴影部分的面积是:2×2=4, ∴结论③正确; ∵ ∴b =4a,
2

,c=﹣1,

∴结论④正确. 综上,结论正确的是:③④. 故答案为:③④. 点评: (1)此题主要考查了二次函数的图象与几何变换,要熟练掌握,解答此类问题的关键是要明确:由 于抛物线平移后的形状不变,故 a 不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是 求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐 标,即可求出解析式. (2)此题还考查了二次函数的图象与系数的关系,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①二次 项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小:当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开 口;②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置:当 a 与 b 同号时(即 ab>0) ,对称轴 在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时(即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右. (简称:左同右异)③常数项 c 决定抛 物线与 y 轴交点. 抛物线与 y 轴交于(0,c) . 三、解答题(本大题 8 道小题,满分 64 分。 ) 17. (6 分) (2015?岳阳)计算: (﹣1) ﹣2tan60° +
4

+



考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 分析: 根据有理数的乘方,特殊角的三角函数值,零指数幂,二次根式的性质分别求出每一部分的值,再 求出即可. 解答: 解:原式=1﹣2 =2. 点评: 本题考查了有理数的乘方,特殊角的三角函数值,零指数幂,二次根式的性质的应用,解此题的关 键是能求出每一部分的值,难度适中.
.

18. (6 分) (2015?岳阳)先化简,再求值: (1﹣

)÷

,其中 x=



考点: 分式的化简求值. 分析: 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 x 的值代入原式进行计算即可. 解答: 解: (1﹣ )÷ = = = ,
.

当 x=

时,原式=

=1+



点评: 本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 19. (8 分) (2015?岳阳)如图,直线 y=x+b 与双曲线 y= 都经过点 A(2,3) ,直线 y=x+b 与 x 轴、y 轴分别交于 B、C 两点. (1)求直线和双曲线的函数关系式; (2)求△ AOB 的面积.

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 分析: (1)将点 A 的坐标分别代入直线 y=x+b 与双曲线 y= 的解析式求出 b 和 m 的值即可;
.

(2)当 y=0 时,求出 x 的值,求出 B 的坐标,就可以求出 OB 的值,作 AE⊥x 轴于点 E,由 A 的 坐标就可以求出 AE 的值,由三角形的面积公式就可以求出结论. 解答: 解: (1)∵线 y=x+b 与双曲线 y= 都经过点 A(2,3) , ∴3=2+b,3= , ∴b=1,m=6, ∴y=x+1,y= , ∴直线的解析式为 y=x+1,双曲线的函数关系式为 y= ; (2)当 y=0 时, 0=x+1, x=﹣1, ∴B (﹣1,0) , ∴OB=1. 作 AE⊥x 轴于点 E, ∵A(2,3) , ∴AE=3. ∴S△ AOB= = .

答:△ AOB 的面积为 .

点评: 本题考查了运用待定系数法求一次函数,反比例函数的解析式的运用,三角形的面积公式的运用,

解答时求出的解析式是关键. 20. (8 分) (2015?岳阳)如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图,椅子高为 AC,椅 面宽为 BE,椅脚高为 ED,且 AC⊥BE,AC⊥CD,AC∥ED.从点 A 测得点 D、E 的俯角 分别为 64° 和 53° .已知 ED=35cm,求椅子高 AC 约为多少? (参考数据:tan53°≈ ,sin53° ≈ ,tan64°≈2,sin64°≈ )

考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 分析: 根据正切函数的定义,可得方程①②,根据代入消元法,可得答案. 解答: 解:在 Rt△ ABD 中,tan∠ADC=tan64° = =2,
.

CD=

①. = ,

在 Rt△ ABE 中 tan∠ABE=tan53° = BE= AB BE=CD,得 ②. = =

= AB,

解得 AB=70cm, AC=AB+BC =AB+DE=70+35=105cm. 点评: 本题考查了解直角三角形的应用,利用正切函数得出方程①②是解题关键. 21. (8 分) (2015?岳阳)某校以“我最喜爱的体育运动”为主题对全校学生进行随机抽样调 查,调查的运动项目有:篮球、羽毛球、乒乓球、跳绳及其它项目(每位同学仅选一项) .根 据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图: 运动项目 频数(人数) 频率 30 0.25 篮球 m 0.20 羽毛球 36 n 乒乓球 18 0.15 跳绳 12 0.10 其它 请根据以上图表信息解答下列问题: (1)频数分布表中的 m= 24 ,n= 0.3 ; (2)在扇形统计图中,“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为 108° ;

(3)从选择“篮球”选项的 30 名学生中,随机抽取 3 名学生作为代表进行投篮测试,则其中 某位学生被选中的概率是 .

考点: 频数(率)分布表;扇形统计图;概率公式. 分析: (1)根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数,再用总人数乘以羽毛球所占的百分比,求出 m 的值;再用乒乓球的人数除以总人数,求出 n 的值; (2)由于已知喜欢乒乓球的百分比,故可用 360° ×n 的值,即可求出对应的扇形圆心角的度数; 用总人数乘以最喜爱篮球的学生人数所占的百分比即可得出答案; (3)用随机抽取学生人数除以选择“篮球”选项的学生人数,列式计算即可得出答案. 解答: 解: (1)30÷ 0.25=120(人) 120×0.2=24(人) 36÷ 120=0.3 故频数分布表中的 m=24,n=0.3; (2)360° ×0.3=108° . 故在扇形统计图中,“乒乓球”所在的扇形的圆心角的度数为 108° ;
.

(3)3÷ 30=

. .

故其中某位学生被选中的概率是 故答案为:24,0.3;108° ; .

点评: 此题考查了频率分布直方图,用到的知识点是频率=频数÷ 总数,概率公式,读懂统计 表,运用数形 结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题 是本题的关键. 22. (8 分) (2015?岳阳) 如图, 正方形 ABCD 中, M 为 BC 上一点, F 是 AM 的中点, EF⊥AM, 垂足为 F,交 AD 的延长线于点 E,交 DC 于点 N. (1)求证:△ ABM∽△EFA; (2)若 AB=12,BM=5,求 DE 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析: (1)由正方形的性质得出 AB=AD,∠B=90° ,AD∥BC,得出∠AMB=∠EAF,再由∠B=∠AFE, 即可得出结论; (2)由勾股定理求出 AM,得出 AF,由△ ABM∽△EFA 得出比例式,求出 AE,即可得出 DE 的长. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠B=90° ,AD∥BC, ∴∠AMB=∠EAF, 又∵EF⊥AM, ∴∠AFE=90° , ∴∠B=∠AFE, ∴△ABM∽△EFA; (2)解:∵∠B=90° ,AB=12,BM=5,
.

∴AM=

=13,AD=12,

∵F 是 AM 的中点, ∴AF= AM=6.5, ∵△ABM∽△EFA, ∴ 即 , ,

∴AE=16.9, ∴DE=AE﹣AD=4.9. 点评: 本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理;熟练掌握正方形的性质,并能进 行推理计算是解决问题的关键. 23. (10 分) (2015?岳阳)已知直线 m∥n,点 C 是直线 m 上一点,点 D 是直线 n 上一点, CD 与直线 m、n 不垂直,点 P 为线段 CD 的中点. (1)操作发现:直线 l⊥m,l⊥n,垂足分别为 A、B,当点 A 与点 C 重合时(如图①所示) , 连接 PB,请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系: PA=PB . (2)猜想证明:在图①的情况下,把直线 l 向上平移到如图②的位置,试问(1)中的 PA 与 PB 的关系式是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由. (3)延伸探究:在图②的情况下,把直线 l 绕点 A 旋转,使得∠APB=90° (如图③所示) , 若两平行线 m、n 之间的距离为 2k.求证:PA?PB=k?AB.

考点: 几何变换综合题. 分析: (1)根据三角形 CBD 是直角三角形,而且点 P 为线段 CD 的中点,应用直角三角形的性质,可得 PA=PB,据此解答即可. (2)首先过 C 作 CE⊥n 于点 E,连接 PE,然后分别判断出 PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE; 然后根据全等三角形判定的方法,判断出△ PAC∽△PBE,即可判断出 PA=PB 仍然成立. (3)首先延长 AP 交直线 n 于点 F,作 AE⊥BD 于点 E,然后根据相似三角形判定的方法,判断出 △ AEF∽△BPF, 即可判断出 AF?BP=AE?BF, 再个 AF=2PA, AE=2k, BF=AB, 可得 2PA?PB=2k. AB, 所以 PA?PB=k?AB,据此解答即可. 解答: 解: (1)∵l⊥n, ∴BC⊥BD, ∴三角形 CBD 是直角三角形, 又∵点 P 为线段 CD 的中点, ∴PA=PB.
.

(2)把直线 l 向上平移到如图②的位置,PA=PB 仍然成立,理由如下: 如图②,过 C 作 CE⊥n 于点 E,连接 PE,

, ∵三角形 CED 是直角三角形,点 P 为线段 CD 的中点, ∴PD=PE, 又∵点 P 为线段 CD 的中点, ∴PC=PD, ∴PC=PE; ∵PD=PE, ∴∠CDE=∠PEB, ∵直线 m∥n, ∴∠CDE=∠PCA, ∴∠PCA=∠PEB, 又∵直线 l⊥m,l⊥n,CE⊥m,CE⊥n, ∴l∥CE, ∴AC=BE, 在△ PAC 和△ PBE 中,

∴△PAC∽△PBE, ∴PA=PB.

(3)如图③,延长 AP 交直线 n 于点 F,作 AE⊥BD 于点 E,

, ∵直线 m∥n, ∴ ,

∴AP=PF, ∵∠APB=90° , ∴BP⊥AF, 又∵AP=PF, ∴BF=AB; 在△ AEF 和△ BPF 中,

∴△AEF∽△BPF, ∴ ,

∴AF?BP=AE?BF, ∵AF=2PA,AE=2k,BF=AB, ∴2PA?PB=2k.AB, ∴PA?PB=k?AB. 故答案为:PA=PB. 点评: (1)此题主要考查了几何变换综合题,考查了分析推理能力,考查了分类讨论思想的应用,考查了 数形结合思想的应用,考查了从图象中获取信息,并能利用获取的信息解答相应的问题的能力. (2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握. (3)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用,以及相似三角形的判定和性质的应用,要熟练 掌握. 24. (10 分) (2015?岳阳)如图,抛物线 y=ax +bx+c 经过 A(1,0) 、B(4,0) 、C(0, 3)三点. (1)求抛物线的解析式; (2) 如图①, 在抛物线的对称轴上是否存在点 P, 使得四边形 PAOC 的周长最小?若存在, 求出四边形 PAOC 周长的最小值;若不存在,请说明理由. (3)如图②,点 Q 是线段 OB 上一动点,连接 BC,在线段 BC 上是否存在这样的点 M, 使△ CQM 为等腰三角形且△ BQM 为直角三角形?若存在,求点 M 的坐标;若不存在,请 说明理由.
2

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)把点 A(1,0) 、B(4,0) 、C(0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解; (2)A、B 关于对称轴对称,连接 BC,则 BC 与对称轴的交点即为所求的点 P,此时 PA+PC=BC, 四边形 PAOC 的周长最小值为:OC+OA+BC;根据勾股定理求得 BC,即可求得; (3)分两种情况分别讨论,即可求得. 解答:
.

解: (1)由已知得

解得



所以,抛物线的解析式为 y= x ﹣

2

x+3.

(2)∵A、B 关于对称轴对称,如图 1,连接 BC, ∴BC 与对称轴的交点即为所求的点 P,此时 PA+PC=BC, ∴四边形 PAOC 的周长最小值为:OC+OA+BC, ∵A(1,0) 、B(4,0) 、C(0,3) , ∴OA=1,OC=3,BC= =5,

∴OC+OA+BC=1+3+5=9; ∴在抛物线的对称轴上存在点 P, 使得四边形 PAOC 的周长最小, 四边形 PAOC 周长的最小值为 9. (3)∵B(4,0) 、C(0,3) , ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣ x+3, ①当∠BQM=90° 时,如图 2,设 M(a,b) , ∵∠CMQ>90° , ∴只能 CM=MQ=b, ∵MQ∥y 轴, ∴△MQB∽△COB, ∴ = ,即 ) ; = ,解得 b= ,代入 y=﹣ x+3 得, =﹣ a+3 ,解得 a= ,

∴M( ,

②当∠QMB=90° 时,如图 3,

∵∠CMQ=90° , ∴只能 CM=MQ, 设 CM=MQ=m, ∴BM=5﹣m, ∵∠BMQ=∠COB=90° ,∠MBQ=∠OBC, ∴△BMQ∽△BOC, ∴ = ,解得 m= ,

作 MN∥OB, ∴ ,即 ,

=

=

=

=

∴MN=

,CN= , ,

∴ON=OC﹣CN=3﹣ = ∴M( , ) ,

综上,在线段 BC 上存在这样的点 M,使△ CQM 为等腰三角形且△ BQM 为直角三角形,点 M 的坐 标为( , )或( , ) .

点评: 本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称﹣最短路线问题,等腰 三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.


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