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2015-2016第一学期中档题训练1


2015-2016 学年度第一学期高三数学中档题训练 1(12.21)
1、强度分别为 a , b 的两个光源 A, B 间的距离为 d .已知照度与光的强度成正比,与光 源距离的平方成反比, 比例系数为 k (k ? 0, k为常数) . 线段 AB 上有一点 P , 设 AP ? x , P 点处总照度为 y .试就 a ? 8, b ? 1, d ? 3 时回答下列问题. (注: P 点处的总照度为 P 受 A, B 光源的照度之和) (1)试将 y 表示成关于 x 的函数,并写出其定义域; (2)问: x 为何值时, P 点处的总照度最小?

1

2.在直角坐标系 xoy 上取两个定点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0) ,再取两个动点 N1(0,m) ,N2(0,n) ,且 mn=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 A(1,t) (t>0)是轨迹 M 上的定点,E,F 是轨迹 M 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率 kAE 与直线 AF 的斜率 kAF 满足 kAE+kAF=0,试探究直线 EF 的斜 率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.

2

2015-2016 学年度第一学期高三数学中档题训练 1(12.21)
1.解: (1)由题意可知:

P 点处受 A 光源的照度为 y1 ?

ka 8k ? x2 x2

-----------2 分

P 点处受 B 光源的照度为 y1 ?

kb k ? 2 (3 ? x) (3 ? x) 2

-----------4 分

从而, P 点的总照度为 y ? 其定义域为 {x | 0 ? x ? 3}

8k k , ? 2 x (3 ? x) 2

-----------6 分

-----------7 分
'

(2)对函数求导,可得 y ? ?

16k 2k , ? 3 x (3 ? x)3

-----------9 分

令 y' ? 0 ,得 ?

16k 2k 2k 16k ? ? 0, ? 3 , 3 3 3 x (3 ? x) (3 ? x) x 1 8 ? 3 ,所以 x3 ? 8(3 ? x)3 ,解得 x ? 2 3 (3 ? x) x
-----------11 分

因为 k ? 0 ,所以

当 0 ? x ? 2, y ' ? 0;2 ? x ? 3, y ' ? 0 因此, x ? 2 时, y 取得极小值,且是最小值 答: x ? 2 时, P 点处的总照度最小 分析: (1) 先分别求直线 A1N1 与 A2N2 的方程, 进而可得

-----------13 分 -----------15 分 -----------16 分 , 利用 mn=3,

可以得

,又点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0)不在轨迹 M 上,故可求轨迹方程;

(2) 先求点 A 的坐标

, 将直线 AE 的方程代入

并整理, 利用 kAE+kAF=0

得 kAF=﹣k,从而可表示直线 EF 的斜率,进而可判断直线 EF 的斜率为定值. 解答: 解: (1)依题意知直线 A1N1 的方程为: 直线 A2N2 的方程为: ①﹣﹣﹣(1 分)

②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

3

设 Q(x,y)是直线 A1N1 与 A2N2 交点,①×②得

由 mn=3 整理得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

∵N1,N2 不与原点重合∴点 A1(﹣2,0) ,A2(2,0)不在轨迹 M 上﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ∴轨迹 M 的方程为 (x≠±2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (2)∵点 A(1,t) (t>0)在轨迹 M 上∴ (8 分) 设 kAE=k,则直线 AE 方程为: ,代入 并整理得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) 设 E(xE,yE) ,F(xF,yF) ,∵点 在轨迹 M 上, 解得 ,即点 A 的坐标为 ﹣﹣



﹣﹣﹣﹣﹣﹣③,

④﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(11 分) 又 kAE+kAF=0 得 kAF=﹣k,将③、④式中的 k 代换成﹣k,

可得



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

∴直线 EF 的斜率





即直线 EF 的斜率为定值,其值为 ﹣﹣﹣(14 分)

4


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