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江苏省盐城中学2013-2014学年高二下学期期末考试 数学(文) Word版含答案


江苏省盐城中学 2013—2014 学年度第一学期期末考试 高二年级数学(文科)试题
命题人:蔡广军 盛维清

2014.1

审核人:徐瑢

试卷说明:本场考试时间 120 分钟,总分 150 分. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置 上) 1. “如果 x ? 1 ,那么 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的逆命题是
2



. 开始

2. i 是虚数单位,复数 (1 ? i ) ? (1 ? i) =



.

3.一个工厂有若干车间,现采用分层抽样的方法从全厂某天的 2000 件 产品中抽取一个容量为 200 的样本进行质量检查.已知某车间这一天生 产 250 件产品,则从该车间抽取的产品件数为 ▲ .

k =1
S ?0


4.一组数据的平均数是 3,将这组数据中的每一个数据都乘以 2, 所得到的一组数据的平均数是 ▲ . ▲ .
k ≤ 10?

5. 如果执行右边的程序框图,那么输出的 S ?

? 是
S ? S ? 2k

输出 S 结束

6. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...的第 15 项 是 ▲ . 7.一个容量为 20 的样本数据,分组后,组距和频数如下: [10,20),2; [20,30),3; [30,40),4; [40,50),5; [50,60),4; [60,70] ,2.则样本数据在区间[50,+∞)上的频率为 8.曲线 y ? ln x 上在点 P(1, 0) 处的切线方程为 ▲ .

k ? k ?1



.

9. 试通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为 2 R ”猜 测关于球的相应命题是“半径为 R 的球内接长方体中,以正方体的体积为最大,最大值 为 ▲ ”.

2

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,则 ON 等于 10. 椭圆 25 9
11. 复数 z 满足 z ? 3 ? 4i ? 1(i 是虚数单位),则 z 的最大值为
3 2



.



. ▲ .

12. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? ax ? 36x ? 24在 x ? 2 处有极值,则该函数的极小值是

13. 如图,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两顶点为 A1 、 A2 ,虚轴 a 2 b2

两端点为 B1 、 B2 ,两焦点为 F 1 、 F2 ,若以 A 1 A2 为直径的圆内切于

菱形 F1B1F2 B2 ,切点分别为 A 、 B 、 C 、 D ,则双曲线的离心 率 e= ▲ .

14. 已知 a ? 1 ,若 f ( x) ? 2x3 ? 3(a ? 1) x2 ? 6ax ? ?4a2 在 x ?[0,2 a ] 上恒成立,则实数 a 的取值范围 是 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 小题,计 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,请把答案 写在答题纸的指定区域内) 15. (本小题 12 分) 已知复数 z ? m2 (1 ? i) ? ( m ? i) ,当实数 m 分别取何值时, (1) z 是实数? (2) z 对应的点位于复平面的第一象限内?

16. (本小题 12 分)
2 已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为 F , A 是抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点, A 到抛

物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B , OB 的中点为 M . (1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN ⊥ FA ,垂足为 N ,求直线 MN 的方程.

17. (本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? lg(

2a ? 1) (其中 a ? 0 ) . 1? x

求证: (1)用反证法证明:函数 f ( x ) 不能为偶函数; (2)函数 f ( x ) 为奇函数的充要条件是 a ? 1 .

18. (本小题 13 分) 甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损 失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关 系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (1)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002t 2 (元) ,在乙方按照获得最大利润的产量进行 生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

19. (本小题 15 分)

如图,椭圆 E : 率e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 , 离心 a 2 b2

1 A 、 B 两点,点 A 在 x 轴上方,且 ?ABF2 .过 F 1 的直线交椭圆于 2

的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程; (2)当 AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列时,求直线 AB 的方程; (3) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q .试探究:在坐标 平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理 由.

20. (本小题 15 分) 已知函数 f ( x) ? a x (a ? 0且a ? 1) .

(1)当 a ? e 时, g ( x) ? mx2 (m ? 0, x ? R) , ① 求 H ( x) ? f ( x) g ( x) 的单调增区间; ② 当 x ? [?2, 4] 时,讨论曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的交点个数. (2) 若 A, B 是曲线 y ? f ( x) 上不同的两点, 点 C 是弦 AB 的中点, 过点 C 作 x 轴的垂线交曲线 y ? f ( x) 于点 D , k D 是曲线 y ? f ( x) 在点 D 处的切线的斜率,试比较 k D 与 k AB 的大小.

盐城中学 2013-2014 高二年级期末考试 数学(文科)答题纸 2014、1
一、填空题(14×5=70 分)

1 、 若 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 , 则
x ?1

2、2 4、6 6、5 8、 x ? y ? 1 ? 0 10、4 12、3 14、 (1,7] (??, ?1)

3、25 5、110 7、 9、
3 10
8 3R 3 9

11、6 13、 5 ? 1
2

二、解答题(共 90 分) 15、 (12 分) 解: z ? (m ? m) ? (m ?1)i .
2 2

(1)由 m ? 1 ? 0 ,解得 m ? 1 或 ?1 ,
2

? m ? 1 或 ?1 时, z 是实数;
2 ? ?m ? m ? 0, ?m ? 1或m ? 0, (2)由 ? 2 解得 ? ? ?m ? 1或m ? ?1, ?m ? 1 ? 0,

即 m ? 1 或 m ? ?1 ,

? m ? 1 或 m ? ?1 时, z 对应的点位于复平面的第一象限

16、 (12 分) 解: (1) y 2 ? 4 x ; (2) F (1, 0) , A(4, 4) , B(0, 4) , M (0, 2)

k AF ?

4 3 , k MN ? ? , 3 4 3 ( x ? 0) 4

所以直线 MN 的方程为 y ? 2 ? ? 即 3x ? 4 y ? 8 ? 0 .

17、 (13 分) 解: (1)假设函数 f ( x ) 为偶函数,则 f (? x) = f ( x ) ,

2a 2a 2a 2a ? 1) = lg( ? 1) ,即 ?1 = ?1, ? lg( 1? x 1? x 1? x 1? x
化简得:

4ax ?0, 1 ? x2

? a ? 0 ,与条件 a ? 0 矛盾.? 函数 f ( x) 不能为偶函数.
(2)充分性: 由 a ? 1 ,函数 f ( x) ? lg(

2 1? x ? 1) = lg , 1? x 1? x

1? x ? 0,? ?1 ? x ? 1 , 1? x
又 f ( x) ? f (? x) = lg

1? x 1? x + lg = lg1 ? 0 , 1? x 1? x

? 当 a ? 1 时,函数 f ( x) 为奇函数.
必要性: 由函数 f ( x ) 为奇函数,即 f ( x) ? f (? x) =0,

2a 2a ? 1) + lg( ? 1) ? lg( 1? x 1? x 2a ? 1 ? x 2a ? 1 ? x ) + lg( ) =0, = lg( 1? x 1? x
化简得 (2a ? 1)2 ? 1 ,

a ? 0,

? a ? 1 ,? 当函数 f ( x) 为奇函数时, a ? 1 .
(注:必要性的证明也可由定义域的对称性得到 a ? 1 )

18、 (13 分) 解: (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为

w ? 2000 t ? st .
由 w? ?

1000 1000 ? s t , ?s ? t t
2

? 1000 ? 令 w? ? 0 ,得 t ? t0 ? ? ? . ? s ?

19、 (15 分) 解: (1)因为 | AB | ? | AF2 | ? | BF2 |? 8 , 即 | AF 1 |?| F 1B | ? | AF 2 | ? | BF 2 |? 8 而 | AF1 | ? | AF2 |?| F1B | ? | BF2 |? 2a ,所以 4a ? 8 ? a ? 2 , 而e ?

c 1 1 ? ? c ? a ? 1 ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3 a 2 2

所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)

AF1 、 F1F2 、 AF2 成等比数列,? AF1 ? AF2 ? 4

20、 (15 分) 解: (1)① H ( x) ? f ( x) g ( x) ? mx2e x ,则 H ?( x) ? mxex ( x ? 2) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?2 , 所 以 H ( x ) ? f ( x ) g ( x ) 的 单 调 增 区 间 为

(0, ??),(??, ?2) .
② 当 m ? 0 时, 曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 的公共点个数即方 程 e x ? mx 2 根 的 个 数 . 由 e x ? mx 2 得

1 x2 x2 ? x 设 h( x ) ? x , m e e

h?( x) ?

x (2 ? x) x2 , 所以在 R 上不间断的函数 h( x) ? x 在 (??, 0) ex e

上递减,在 (0, 2) 上递境,在 (2, ??) 上递减, 又因为 m ? 0, h(0) ? 0, h(2) ?

4 16 , h(4) ? 4 , h(?2) ? 4e 2 2 e e
2

t ① 当 a ? 1 时 , a ? 1 , ln a ? 0 , 则 L?(t ) ? (ln a )( at ? a ? t ?

2) ? , 0 所 以 L(t ) 在 (0, ??) 递 增 , 则

x2 ? x 1 x ?1 x 2 a a 2 2 2 L(t ) ? L(0) ? 0 , 又 因 为 ?0 , 所 以 ? [a ?a ? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,, 所 以 x2 ? x1 x2 ? x1

x1 ? x2 2

x1 ? x 2

k AB ? kD ? 0 ;
②当 0 ? a ? 1 时, 0 ? at ? 1 , ln a ? 0
x2 ? x1 2 则 L?(t ) ? ln a(a ? a ? 2) ? 0 ,所以 L(t ) 在 (0, ??) 递减,则 L(t ) ? L(0) ? 0 又因为 a ? 0 ,所以 x2 ? x1

t

?t

x2 ? x1 x1 ? x2 a 2 [a ? a 2 ? ( x2 ? x1 ) ln a] ? 0 ,所以 k AB ? kD ? 0 x2 ? x1

x2 ? x1 2

综上:当 a ? 1 时 k AB ? kD ;当 0 ? a ? 1 时 k AB ? kD .


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