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2016年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3},集合 B={2,3,4,5},则( ) A.A? B B.B? A C.A∩B={2,3} D.A∪B={1,4,5} 2.若复数 x 满足 x+i= A. B.10 C.4 ,则复数 x 的模为( D. 的一条渐近线方程为

,则双曲线的离心率为 )

3.双曲线 ( A. ) B. C. D.

4.已知数列{an}和{bn}都是等差数列,若 a2+b2=3,a4+b4=5,则 a7+b7=( A.7 B.8 C.9 D.10 5.下列说法中不正确的个数是( ) 3 2 ①命题“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x0∈R,x03﹣x02+1>0”; ②若“p∧q”为假命题,则 p、q 均为假命题; ③“三个数 a,b,c 成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件. A.O B.1 C.2 D.3 6.若 x0 是函数 f(x)=2



的一个零点,x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,则(



A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 0 D.f(x1)<0,f(x2)>0 7.已知直线 l⊥平面 α,直线 m? 平面 β,给出下列命题 ①α∥β=l⊥m; ②α⊥β? l∥m; ③l∥m? α⊥β; ④l⊥m? α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④ 8.已知向量 =( 的值为( A.﹣ B. ) C.﹣ D. , ) , =(cosx,sinx) , = ,且

C.f(x1)>0,f(x2)<

,则 cos(x+



9.设变量 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=abx+y(a,b 均大于 0)的最大

值为 8,则 a+b 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D.2
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10. 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角 三角形. 若该几何体的体积为 V, 并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体, 则 V,n 的值是( )

A.V=32,n=2

B.

C.

D.V=16,n=4

11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙C:x2+(y﹣1)2=5,点 A 为⊙C 与 x 轴负半轴的交 点,过 A 作⊙C 的弦 AB,记线段 AB 的中点为 M,若|OA|=|OM|,则直线 AB 的斜率为 ( ) A.﹣2 B. C.2 D.4 ) )

12. f x) =x3﹣x2﹣x+a 的图象与 x 轴只有一个交点, 已知函数 ( 则实数 a 的取值范围是 ( A. (﹣∞,﹣1)∪(﹣ ,+∞) ∪(1,+∞) 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.抛物线 y=﹣4x2 的准线方程是______. 14.若| |=1,| |= , ,且 ,则向量 与 的夹角为______. 15.设函数 f(x)= ,且函数 f(x)为奇函数,则 g(﹣2)=______. B. (﹣ , 1) C . (﹣∞,1) D. (﹣∞, ﹣

16.已知在三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=BC=1,AB= ,AB⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC, 若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为______. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知在等比数列{an}中,a1+2a2=1,a (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求数列{ }的前 n 项和 Sn. =2a2a5.

18.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2acosC+c﹣2b=0. (1)求∠A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 周长的取值范围. 19. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面是矩形, △PAD 为等边三角形, 且平面 PAD⊥平面 ABCD, E,F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)证明:平面 PDC⊥平面 PAD; (3)若 AB=1,AD=2,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

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20.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=x2. (1)求函数 h(x)=f(x)﹣x+1 的最大值; (2)对于任意 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x2<x1,是否存在实数 m,使 mg(x2)﹣mg(x1) x f x x f x ﹣ 1 ( 1)+ 2 ( 2)恒为正数?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 21.已知椭圆 E: 过点(0, ) ,且离心率为 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A,B,且线段 AB 的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为 ,求 k 的取值范围.

选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 为⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BC,OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线 交 BC 于点 D. (1)求证:CE2=CD?CB; (2)若 AB=BC=2,求 CE 和 CD 的长.

选修 4-4:坐标系与参数方程

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .以原点为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2 (I)求出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|AB|的值.

sinθ.

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (1)解不等式:f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x+2|≥|a﹣1|对一切实数 x 均成立,求 a 的取值范围.
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2016 年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 A={1,2,3},集合 B={2,3,4,5},则( ) A.A? B B.B? A C.A∩B={2,3} D.A∪B={1,4,5} 【考点】交集及其运算;并集及其运算. 【分析】根据 A 与 B,找出 A 与 B 的交集,并集,即可做出判断. 【解答】解:∵A={1,2,3},B={2,3,4,5}, ∴A∩B={2,3},A∪B={1,2,3,4,5},1?B,4,5?A, 故选:C.

2.若复数 x 满足 x+i= A. B.10 C.4

,则复数 x 的模为( D.



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数 x,再求其模即可. 【解答】解:x+i= ∴x= ∴|x|= , 故选:A. , ﹣i=﹣1﹣3i,

3.双曲线 ( A. ) B. C. D.

的一条渐近线方程为

,则双曲线的离心率为

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的渐近线方程,转化求出双曲线的离心率即可. 【解答】解:双曲线 的一条渐近线方程为 ,

可得 = ,即 故选:A.

,解得 e2=

,e= .

4.已知数列{an}和{bn}都是等差数列,若 a2+b2=3,a4+b4=5,则 a7+b7=( A.7 B.8 C.9 D.10
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【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由数列{an}和{bn}都是等差数列,得{an+bn}为等差数列,由已知求出{an+bn}的公 差,再代入等差数列通项公式求得 a7+b7. 【解答】解:∵数列{an}和{bn}都是等差数列,∴{an+bn}为等差数列, 由 a2+b2=3,a4+b4=5,得 d= ∴a7+b7=(a4+b4)+3×1=5+3=8. 故选:B. 5.下列说法中不正确的个数是( ) 3 2 ①命题“? x∈R,x ﹣x +1≤0”的否定是“? x0∈R,x03﹣x02+1>0”; ②若“p∧q”为假命题,则 p、q 均为假命题; ③“三个数 a,b,c 成等比数列”是“b= ”的既不充分也不必要条件. A.O B.1 C.2 D.3 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①根据含有量词的命题的否定判断.②根据复合命题与简单命题之间的关系判 断.③根据充分条件和必要条件的定义判断. 【解答】解:①全称命题的否定是特称命题,∴命题“? x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“? x0 ∈R,x03﹣x02+1>0”正确. ②若“p∧q”为假命题,则 p、q 至少有一个为假命题;故错误. ③“三个数 a,b,c 成等比数列”则 b2=ac,∴b= , 若 a=b=c=0,满足 b= ,但三个数 a,b,c 成等比数列不成立, ”的既不充分也不必要条件,正确. ∴“三个数 a,b,c 成等比数列”是“b= 故不正确的是②. 故选:B. .

6.若 x0 是函数 f(x)=2

的一个零点,x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,则(



A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)< 0 D.f(x1)<0,f(x2)>0 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】因为 x0 是函数 f(x)的一个零点 可得到 f(x0)=0,再由函数 f(x)的单调性可 得到答案. 【解答】解:∵x0 是函数 f(x)=2x﹣ 的一个零点, ∴f(x0)=0, 又∵f′(x)=2xln2+ >0,

∴f(x)=2x﹣ 是单调递增函数,且 x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) , ∴f(x1)<f(x0)=0<f(x2) . 故选:D.

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7.已知直线 l⊥平面 α,直线 m? 平面 β,给出下列命题 ①α∥β=l⊥m; ②α⊥β? l∥m; ③l∥m? α⊥β; ④l⊥m? α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③④ C.①③ D.②④

【考点】平面与平面之间的位置关系. 【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直,另一个也和平面垂直得直线 l⊥平面 β,再利 用面面垂直的判定可得①为真命题; 当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行,也可以在平面内,故②为假命 题; 由两平行线中的一条和平面垂直,另一条也和平面垂直得直线 m⊥平面 α,再利用面面垂直 的判定可得③为真命题; 当直线与平面都和同一平面垂直时,直线与平面可以平行,也可以在平面内,如果直线 m 在平面 α 内,则有 α 和 β 相交于 m,故④为假命题. 【解答】解:l⊥平面 α 且 α∥β 可以得到直线 l⊥平面 β,又由直线 m? 平面 β,所以有 l⊥ m;即①为真命题; 因为直线 l⊥平面 α 且 α⊥β 可得直线 l 平行与平面 β 或在平面 β 内,又由直线 m? 平面 β, 所以 l 与 m,可以平行,相交,异面;故②为假命题; 因为直线 l⊥平面 α 且 l∥m 可得直线 m⊥平面 α,又由直线 m? 平面 β 可得 α⊥β;即③为 真命题; 由直线 l⊥平面 α 以及 l⊥m 可得直线 m 平行与平面 α 或在平面 α 内,又由直线 m? 平面 β 得 α 与 β 可以平行也可以相交,即④为假命题. 所以真命题为①③. 故选 C.

8.已知向量 =( 的值为( A.﹣ B. )



) , =(cosx,sinx) ,

= ,且

,则 cos(x+



C.﹣

D.

【考点】两角和与差的余弦函数;平面向量数量积的运算. 【分析】由平面向量的数量积和三角函数公式可得 sin(x+ 函数基本关系可得. 【解答】解:∵向量 =( ∴ = cosx+ , ) , =(cosx,sinx) , )= , = , ) ,再由角的范围和同角三角

sinx=2sin(x+

∴sin(x+ 又∵

)= , ,
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<x+

< )=﹣

, =﹣ ,

∴cos(x+ 故选:A.

9.设变量 x,y 满足约束条件

,目标函数 z=abx+y(a,b 均大于 0)的最大

值为 8,则 a+b 的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D.2 【考点】简单线性规划. 【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件,画出满足约 束条件的可行域,再根据目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为 8,求出 a,b 的关系 式,再利用基本不等式求出 a+b 的最小值. 【解答】解:满足约束条件的区域是一个四边形,如下图:

4 个顶点是(0,0) , (0,2) , ( ,0) , (2,6) , 由图易得目标函数在(2,6)取最大值 8, 即 8=2ab+6,∴ab=1, =2,在 a=b=2 时是等号成立, ∴a+b≥2 ∴a+b 的最小值为 2. 故选:D. 10. 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角 三角形. 若该几何体的体积为 V, 并且可以用 n 个这样的几何体拼成一个棱长为 4 的正方体, 则 V,n 的值是( )

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A.V=32,n=2

B.

C.

D.V=16,n=4

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥,再根据公式求解即可. 【解答】解:由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥, 所以 V= ,

边长为 4 的正方体 V=64,所以 n=3. 故选 B 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知⊙C:x2+(y﹣1)2=5,点 A 为⊙C 与 x 轴负半轴的交 点,过 A 作⊙C 的弦 AB,记线段 AB 的中点为 M,若|OA|=|OM|,则直线 AB 的斜率为 ( ) A.﹣2 B. C.2 D.4

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】因为圆的半径为 ,所以 A(﹣2,0) ,连接 CM,则 CM⊥AB,求出圆的直径, 在三角形 OCM 中,利用正弦定理求出 sin∠OCM,利用∠OCM 与∠OAM 互补,即可得出 结论. 【解答】解:因为圆的半径为 ,所以 A(﹣2,0) ,连接 CM,由题意 CM⊥AB, 因此,四点 C,M,A,O 共圆,且 AC 就是该圆的直径,2R=AC= , 在三角形 OCM 中,利用正弦定理得 2R= 根据题意,OA=OM=2, 所以, = , ,tan∠OCM=﹣2(∠OCM 为钝角) , ,

所以 sin∠OCM=

而∠OCM 与∠OAM 互补, 所以 tan∠OAM=2,即直线 AB 的斜率为 2. 故选:C.

12. f x) =x3﹣x2﹣x+a 的图象与 x 轴只有一个交点, 已知函数 ( 则实数 a 的取值范围是 (
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A. (﹣∞,﹣1)∪(﹣ ,+∞) ∪(1,+∞)

B. (﹣

, 1) C . (﹣∞,1)

D. (﹣∞, ﹣



【考点】函数的图象. 【分析】求出导数,求出单调区间,求出极值,曲线 f(x)与 x 轴仅有一个交点,可转化 成 f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0 即可. 【解答】解:函数 f(x)=x3﹣x2﹣x+a 的导数为 f′(x)=3x2﹣2x﹣1, 当 x>1 或 x<﹣ 时,f′(x)>0,f(x)递增; 当﹣ <x<1 时,f′(x)<0,f(x)递减. 即有 f(1)为极小值,f(﹣ )为极大值. ∵f(x)在(﹣∞,﹣ )上单调递增, ∴当 x→﹣∞时,f(x)→﹣∞; 又 f(x)在(1,+∞)单调递增,当 x→+∞时,f(x)→+∞, ∴当 f(x)极大值<0 或 f(x)极小值>0 时,曲线 f(x)与 x 轴仅有一个交点. 即 a+ <0 或 a﹣1>0, )∪(1,+∞) ,

∴a∈(﹣∞,﹣ 故选:D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.抛物线 y=﹣4x2 的准线方程是 .

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】化抛物线的方程为标准方程,可得 p 值,结合抛物线的开口方向可得方程. 【解答】解:化抛物线方程为标准方程可得 由此可得 2p= ,故 , , , ,

由抛物线开口向下可知,准线的方程为:y= 故答案为:

14.若| |=1,| |=



,且

,则向量 与 的夹角为



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出. 【解答】解:设向量 与 的夹角为 θ, ∵ ,且 ,
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∴ ? =( + )? = 即 1+ cosθ=0, ,

+

=| |2+| |?| |cosθ=0,

即 cosθ=﹣ ∵0≤θ≤π ∴θ= ,

故答案为:



15.设函数 f(x)=

,且函数 f(x)为奇函数,则 g(﹣2)= ﹣6 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可得到结论. 【解答】解:∵函数 f(x)为奇函数, ∴f(﹣2)=g(﹣2)=﹣f(2)=﹣(22+2)=﹣6; 故答案为:﹣6. 16.已知在三棱锥 P﹣ABC 中,PA=PB=BC=1,AB= 若三棱锥的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为 【考点】球的体积和表面积. 【分析】求出 P 到平面 ABC 的距离为 得 R2=( )2+d2=( )2+( ,AB⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC, 3π .

,AC 为截面圆的直径,AC=

,由勾股定理可

﹣d)2,求出 R,即可求出球的表面积. ,

【解答】解:由题意,AC 为截面圆的直径,AC= 设球心到平面 ABC 的距离为 d,球的半径为 R, ∵PA=PB=1,AB= , ∴PA⊥PB, ∵平面 PAB⊥平面 ABC, ∴P 到平面 ABC 的距离为 由勾股定理可得 R2=( ∴d=0,R2= , ∴球的表面积为 4πR2=3π. 故答案为:3π. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知在等比数列{an}中,a1+2a2=1,a . )2+d2=( )2+(

﹣d)2,

=2a2a5.

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(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log2a1+log2a2+…+log2an,求数列{ 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 ( I)设数列{an}的公比为 q,从而由 a 从而解得; =﹣ ( II) 化简 bn=log2a1+log2a2+…+log2an=﹣ (1+2+3+…+n) 从而求和. 【解答】解: ( I)设数列{an}的公比为 q, 由a =2a2a5 得(a1q2)2=2a1q?a1?q4, , 故 =﹣2 ( ﹣ ) , =2a2a5 及 a1+2a2=1 可解得 q= ,a1= , }的前 n 项和 Sn.

∴q= , 由 a1+2a2=1 得 a1= . 故数列{an}的通项公式为 an= . ,

( II)bn=log2a1+log2a2+…+log2an=﹣(1+2+3+…+n)=﹣ ∴ =﹣ =﹣2( ﹣ ) , )]=﹣ .

∴Sn=﹣2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( ﹣

18.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2acosC+c﹣2b=0. (1)求∠A 的大小; (2)若 a=1,求△ABC 周长的取值范围. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由余弦定理化简已知等式,整理得 c2+b2﹣a2=bc,可求 cosA= ,结合范围 0 <A<π,即可得解 A 的值. (2)由(1)可求 sinA,由正弦定理可得 = = ,可求△ABC

的周长 l=2sin(B+

)+1.由 0

,利用正弦函数的性质可求周长的取值范围.

【解答】 (本小题满分 12 分) 1 解: ( )由已知 2acosC+c﹣2b=0, 由余弦定理得:2a? 整理得 c2+b2﹣a2=bc,
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+c﹣2b=0,…

∴cosA= ,∵0<A<π, ∴A= .… ,…

(2)∵cosA= ,∴sinA=

由正弦定理得:

=

=

,…

△ABC 的周长:l=1+ ∵0 ∴ <sin(B+ ,∴

(sinB+sinC)=1+ <B + < ,

[sinB+sin(B+

)]=2sin(B+

)+1.…

)≤1,…

因此 2<l≤3,故△ABC 的周长的取值范围为: (2,3].… 19. 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面是矩形, △PAD 为等边三角形, 且平面 PAD⊥平面 ABCD, E,F 分别为 PC 和 BD 的中点. (1)证明:EF∥平面 PAD; (2)证明:平面 PDC⊥平面 PAD; (3)若 AB=1,AD=2,求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)根据线面平行的判定定理进行证明即可. (2)根据面面垂直的判定定理进行证明即可. (3)根据条件求出四棱锥的高,利用棱锥的体积公式进行求解即可. 【解答】解: (I)连结 AC,则 F 也是 AC 的中点, 又 E 是 PC 的中点,∴EF∥PA, 又 EF?平面 PAD,PA? 平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.… (II)∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, CD? 平面 ABCD,CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD,… 又 CD? 平面 PCD, ∴平面 PDC⊥平面 PAD.… (III)取 AD 的中点 H,连接 PH, ∵△PAD 为等边三角形,∴PH⊥AD, 又平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,
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PH? 平面 PAD, ∴PH⊥平面 ABCD.… ∵AD=2,∴PH= , ∴VP﹣ABCD= × = .…

20.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=x2. (1)求函数 h(x)=f(x)﹣x+1 的最大值; (2)对于任意 x1,x2∈(0,+∞) ,且 x2<x1,是否存在实数 m,使 mg(x2)﹣mg(x1) ﹣x1f(x1)+x2f(x2)恒为正数?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的定义域、导数 h′(x) ,由导数的符号可知函数单调性,根据单调性 即可得到最大值; (2)mg(x2)﹣mg(x1)﹣x1f(x1)+x2f(x2)>0 恒成立,只需 mg(x2)+x2f(x2)> mg(x1)+x1f(x1) ,设 φ(x)=mg(x)+xf(x)=mx2+xlnx,又 0<x2<x1,则只需 φ(x) 在(0,+∞)上单调递减.从而有 φ′(x)=2mx+1+lnx≤0 在(0,+∞)上恒成立,分离出 参数 m 后化为函数最值即可,利用导数可求得函数的最值 【解答】解: (1)函数 h(x)的定义域为(0,+∞) , ∵h(x)=lnx﹣x+1,∴h′(x)= ,

当 x∈(0,1)时,h′(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0. ∴h(x)在(0,1)上是单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴h(x)max=h(1)=0,即函数的最大值为 0. (2)若 mg(x2)﹣mg(x1)﹣x1f(x1)+x2f(x2)>0 恒成立,只需 mg(x2)+x2f(x2) >mg(x1)+x1f(x1) , 设 φ(x)=mg(x)+xf(x)=mx2+xlnx, 又 0<x2<x1,则只需 φ(x)在(0,+∞)上单调递减. ∴φ′(x)=2mx+1+lnx≤0 在(0,+∞)上成立,得 2m≤ 设 t(x)= ,则 t′(x)= ,

,知函数 t(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)

上单调递增,即 t(x)min=t(1)=﹣1. ∴存在实数 m≤﹣ ,使 mg(x2)﹣mg(x1)﹣x1f(x1)+x2f(x2)恒为正数.

21.已知椭圆 E:

过点(0,
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) ,且离心率为 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与椭圆 E 相交于两个不同的点 A,B,且线段 AB 的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为 ,求 k 的取值范围.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,即可得到椭圆方程; A y1) B y2) (2) 设直线 l 的方程为 y=kx+m (k≠0) , (x1, , (x2, , 联立方程 ,

整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,运用判别式大于 0 和韦达定理,以及中点坐标公式 和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,求得垂直平分线方程,求得与坐标轴的交点,可得 三角形的面积,解不等式即可得到所求范围. 【解答】解: (1)由题意可得 b= 解得 a=2,b= ,c=1, + =1; ,e= = ,a2﹣b2=c2,

∴椭圆 E 的方程为

(II)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立方程 ,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,

此方程有两个不等实根,可得△=(8km)2﹣4(3+4k2) (4m2﹣12)>0, 整理得 3+4k2﹣m2>0 ①. 由根与系数的关系,可得线段 AB 的中点坐标(x0,y0)满足 x0= =﹣ ,y0=kx0+m= , =﹣ (x+ ) . ,0) , (0,﹣ ) ,

∴AB 的垂直平分线方程为 y﹣

此直线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为(﹣

由已知得 | 整理得 m2=

|?|

|=



,k≠0 ② +3>0,

将②代入①得 4k2﹣

整理得(3+4k2) (4k2﹣8|k|+3)<0,k≠0, 解得 <|k|< , 所以 k 的取值范围为(﹣ ,﹣ )∪( , ) .

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选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,AB 为⊙O 的直径,过点 B 作⊙O 的切线 BC,OC 交⊙O 于点 E,AE 的延长线 交 BC 于点 D. (1)求证:CE2=CD?CB; (2)若 AB=BC=2,求 CE 和 CD 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)要证 CE2=CD?CB,结合题意,只需证明△CED∽△CBE 即可,故连接 BE, 利用弦切角的知识即可得证; (2)在 Rt 三△OBC 中,利用勾股定理即可得出 CE 的长,由(1)知,CE2=CD?CB,代入 CE 即可得出 CD 的长. 【解答】 (1)证明:连接 BE. ∵BC 为⊙O 的切线∴∠ABC=90° … ∵AB 为⊙O 的直径∴∠AEB=90° ∴∠DBE+∠OBE=90°,∠AEO+∠OEB=90° … ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO ∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE, ∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE, ∴ ,∴CE2=CD?CB … ﹣1 … …

(2)解:∵OB=1,BC=2,∴OC= ,∴CE=OC﹣OE= 由(1)CE2=CD?CB 得: ( ﹣1)2=2CD,∴CD=3﹣

选修 4-4:坐标系与参数方程

23.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .以原点为极

点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρ=2 (I)求出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|AB|的值.
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sinθ.

【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)使用加减消元法消去参数 t 即得直线 l 的普通方程,将极坐标方程两边同乘 ρ 即可得到曲线 C 的直角坐标方程; (2)求出曲线 C 的圆心到直线 l 的距离,利用垂径定理求出|AB|.

【解答】解: (I)∵

(t 为参数) ,∴

x﹣y=



即直线 l 的普通方程为 ﹣y+2﹣ =0. 2 =2 sin =2 sin θ得ρ ρ θ,即 x2+y2=2 y. 由ρ ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2 y.即 x2+(y﹣ )2=3. (II)由(1)知曲线 C 的圆心为(0, ) ,半径 r= . ∴曲线 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ∴|AB|=2 =2 =2 = . .

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (1)解不等式:f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x+2|≥|a﹣1|对一切实数 x 均成立,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)需要去掉绝对值,得到不等式解得即可, (2)把含所有绝对值的函数,化为分段函数,再根据函数 f(x)有最小值的充要条件,即 可求得.

【解答】解: (1)f(x)=



当 x≤﹣2 时,由 f(x)>0 得﹣x+3>0,解得 x≤﹣2, 当﹣2<x< 时,由 f(x)>0 得﹣3x﹣1>0,解得﹣2<x<﹣ , 当 x≥ 时,由 f(x)>0 得 x﹣3>0,解得 x>3, 综上,得 f(x)>0 的解集为{x|x<﹣ 或 x>3}; (2)∵f(x)+3|x+2|=|2x﹣1|+2|x+2|=|1﹣2x|+|2x+4|≥|(1﹣2x)+(2x+4)|=5, ∴由题意可知|a﹣1|≤5,解得﹣4≤a≤6, 故所求 a 的取值范围是{a|﹣4≤a≤6}.

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2016 年 9 月 20 日

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