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2104浙江省高中数学竞赛(WORD完美版)


2014 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分)

,? 1. 已 经 集 合 P ? ?1 , |a ? | Q

?

2 2 b , 为 全 集 U ? ?1, 2,3, a 2 ? b 2 ? a ? b? 的 子 集 , 且 ?

? U ? P ? Q? ? ?6? ,则下面结论正确的是()
A. a ? 3, b ? 1 B. a ? 3, b ? ?1 C. a ? ?3, b ? 1 D. a ? ?3, b ? ?1

2.已知复数 z1 , z2 ,且 | z1 |? 2,| z2 |? 2,| z1 ? z2 |? 7 ,则 | z1 ? z2 | 的值为() A.

5

B.

7

C. 3

D.

3

3.已知 ?A, ?B, ?C, 为 ? ABC 的三个内角,命题 P : ?A ? ?B, 命题 Q : sin ?A ? sin ?B , 则 ?P是?Q 的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
2014 k ?1

4.已知等比数列 ? an ? : a1 ? 5, a4 ? 625 ,则 A

? log

1 ? () 5 ak log 5 ak ?1

2014 2015

B.
2

2013 2014
2

C.

2012 4028
2

D.

2013 4030
2

5.已知圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为() A. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0

6.若某立体的三视图如下,则该立体的体积为() A.1 B.2 C. 2 2 D.

2 3

1 9 ) 展开式中常数项为() x4 A. ?1259 B. ?1260 C. ?1511 D. ?1512
3 7.若 x ? R , 则 ( x ? 1 ?
?

8.设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则方程 3x ? 10[ x] ? 3 ? 0 的所有实数根的个数为
2

A.0

B.1

C.2

D.3
x?R

2 ? 9.若 a ? R , b ? R ,且 max min 2 x ? 4, ax ? b,5 ? 3 x ? 2 ,则 a ? b 值为()

?

?

A. -1

B. 1

C.2

D.3
2 2

10.已知函数 f ( x) ? cos(a sin x) ? sin(b cos x) 无零点,则 a ? b 取值范围为()

A. [0,

?
4

)

B. [0,

?2
2

)

C. [0,

?2
4

)

D. [0,

?
2

)

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分)

y 的最大值为 x ???? ??? ? ???? S 12.若平面上四点 A, B, C , D, 满足任意三点不共线,且 4 AC ? 2 AB ? 2 AD, 则 ? ABD ? S? ABC
11.设实数 x, y 满足方程 ( x ? 2) ? y ? 1 ,则
2 2

13.如图, ABCD ? A1 B1C1 D1 为正四棱柱,已知 AB1 与底面 A1 B1C1 D1 所成角的正切值为 a , 则二面角 A ? B1D1 ? A1 的正切值为 14.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 , 则
2 2

2014 k ?1

? f (k ) ?

15.设 P 是椭圆 2 x ? 3 y ? 1 上的一点, F1 , F2 是该椭圆的两个焦点,且 ? F1 PF2 的面积为 16. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,满足 | f ( x) ? cos x |?
2

3 1 , | f ( x) ? sin 2 x |? , 则函数 4 4

f ( x) ?
17.有一个快递公司承担某地区 13 个城市之间的快递业务,如果每个快递员最多只能承接 4 个城市之间的快递业务, 要使每两个城市之间至少有 1 名快递员, 那么此快递公司最少需要 名快递员 三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18. 已知 b, c ? R , 二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 在 (0,1) 上与 x 轴有两个不同的交点,求
2

c 2 ? (1 ? b)c 得取值范围.

19.已知 A 为抛物线 y ? 2 x 上的动点, 定点 B 的坐标为 (2, 0) , 以 AB 为直径作圆 C,若圆 C
2

截直线 l : x ? ky ?

3 ? 0 所得的弦长为定值,求此弦长和实数 k 的值. 2

20. 设数列 ? an ? 定义为 a1 ? a , an ?1 ? 1 ?

1 , n ? 1. 求所有实数 a ,使得 a1 ? a2 ? ??? ? an ? 1

0 ? an ? 1, n ? 2 .

四.附加题(本大题共有 2 个小题,每题 25 分,共 50 分) 21.在1 ? 100 的 100 个整数中,任意选取三个互不相同的数组成有序三元数 ( x, y, z ) .求满足 方程 x ? y ? 3z ? 10 的 ( x, y, z ) 的个数.

?a 2 ? b 2 ? 3 ? 2 2 22.设正实数 a, b, c 满足 ?a ? c ? ac ? 4 ,求 a, b, c 的值. ? 2 2 ?b ? c ? 3bc ? 7


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