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揭阳市2015高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题和参考答案


绝密★启用前

揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考试 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如

需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式:V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 A ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z } ,则下列表示正确的是 A. ?1 ? A B. ?11 ? A C. 3k ? 1? A
2

D. ?34 ? A

2.已知复数 z ? 1 ? i ,则 z 2 (1 ? z ) ? A. 2 B. -2 C. 2 ? 2i
?

D. ?2 ? 2i

3.命题 P: “对 ?x ? R, x2 ? 1 ? 2x ”的否定 P 为 A. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2x C. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2x 4.已知 sin(? ? ? ) ? B. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2x D. ?x ? R, x2 ? 1 ? 2 x

1 ,则 cos 2? ? 3
B.

A.

7 9

8 9

C. ?

7 9

D.

4 2 9

5. 若 0 ? x ? y ? 1 ,则下列不等式正确的是 A. 4 ? 4
y x

B. x >y

3

3

C. log4 x ? log4 y

D. ( ) ? ( )
x

1 4

1 4

y

,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 a ? ? b 与向量 c ? (?5, ? 6) 共线,则 ? 的值为 6.设向量 a ? (1
揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 1 页(共 4 页)

h

A.

4 3

B.

4 13

C. ?

4 9
3

D. 4

7.图 1 中的三个直角三角形是一个体积为 30cm 的几何体的三视图, 则侧视图中的 h 为 A. 5 cm B.6 cm C.7 cm D.8 cm 图1

? x? y ?5 ? 0 ? y x ? 2 y ?1 ? 0 8.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 的最小值是 ? x ?1 ? 0 x ?
A.1 B. 4 C.

2 3

开始

D.0

输入a1,a2,……,a12

9.下表记录了某学生进入高三以来各次数学考试的成绩 考试第次 1 2 78 3 85 4 87 5 88 6 99 7 90 8 94 9 93 10 102 11 105 12 116

n=0,i=1
i=i+1 n=n+1 是 ai≥90? 否

成绩(分) 65

是 i≤12? 否 输出n

将第 1 次到第 12 次的考试成绩依次记为 a 1, a 2 ,L , a 12 .图 2 是统计上表中 成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图,那么算法流程图输出的结果是 A.8 B.7 C.6 D.5

结束

图2

10. 已知 a ?{1, 2,3, 4}, b ?{1, 2,3} , 则关于 x 的不等式 x2 ? 2(a ?1) x ? b2 ? 0 的解集为 R 的 概率为 A.

1 4

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题) 11.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (3, ) ,则 log2 f (2) 的值为 12.以点 (2, ?1) 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的标准方程是

1 3

. .

13.在△ABC 中,已知角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 c(a cos B ?b cos A) ?b 2 ,则

sin A = sin B



(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中 , 曲 线

? (2cos ? ? sin ? ) ? 3 与 ? (cos? ? 2sin ? ) ? ?1 的交点的极坐标为



15. (几何证明选讲选做题)如图 3,点 P 在圆 O 的直径 AB 的 延长线上,且 PB=OB=3,PC 切圆 O 于 C 点,CD ? AB 于 D 点, 则 CD 的长为 .

图3

揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 2 页(共 4 页)

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

y

) ( A ? 0,? ? 0) 的部分图象如图 4 示,

P

其中 M (? , 0) 为图象与 x 轴的交点, P( , 2) 为图象的最高点.
M

1 1 6 3 (1)求 A 、 ? 的值; ? 2 ? ? (2)若 f ( ) ? , ? ? ( ? , 0) ,求 cos(? ? ) 的值. ? 3 3 3

o

N

x

图4

17.(本小题满分 12 分) 某校为了调查“学业水平考试”学生的数学成绩,随机地抽取该校甲、乙两班各 10 名 同学,获得的数据如下: (单位:分) 甲:132,108,112,121,113,121,118,127,118,129; 乙:133,107,120,113,121,116,126,109,129,127. (1)以百位和十位为茎,个位为叶,在图 5 中作出以上抽取的甲、乙两班学生数学成绩 的茎叶图,求出这 20 个数据的众数,并判断哪个班的平均水平较高; (2)将这 20 名同学的成绩按下表分组,现从第一、二、三组中,采用分层抽样的方法 抽取 6 名同学成绩作进一步的分析,求应从这三组中各抽取的人数.

组别 分值区间

第一

第二

第三

第四

[100,110)

[110,120)

[120,130)

[130,140]

18.(本小题满分 14 分) 已知等比数列 ?a n ?满足: an ? 0 , a1 ? 5 , S n 为其前 n 项和,且 20S1,S3,7S2 成等差 数列. (1)求数列{ an }的通项公式; (2)设 bn ? log5 a1 ? log5 a2 ?

? log5 an ,求数列{

1 }的前 n 项和 Tn . bn

19. (本小题满分 14 分) 如图 6,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均 为等边三角形, AB ? 2 , ?BAC ? 90° . (1)证明: SA ? BC ; (2)求三棱锥 S ? ABC 的体积. 图6

20.(本小题满分 14 分)
揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 3 页(共 4 页)

x2 y 2 P 为椭 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦点分别为 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) , a b
圆 C 上任一点, PF1 ? PF2 的最大值为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 A(1, 0) ,试探究是否存在直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 D 、 E 两点, 且使得 | AD |?| AE | ?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,请说明理由.

uuu r uuu r

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x3 ? (2k ? 1) x2 ? 3k (k ? 2) x ? 1 ,其中 k 为实数. (1)当 k ? ?1 时,求函数 f ( x) 在 [0, 6] 上的最大值和最小值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 f ( x) 的导函数 f '( x) 在 (0, 6) 上有唯一的零点,求 k 的取值范围.

1 3

揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 4 页(共 4 页)

揭阳市 2015 年高中毕业班高考第二次模拟考试

数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:CADAC ABCBD 二、填空题:11. ?1 ;12. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ;13. 2 ;14. ( 2, 三、解答题: 16.解: (1)由 P( , 2) 为图象的最高点知 A ? 2 ,---------------------1 分 又点 M (? , 0) 知函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 4( ? ) ? 2 ,-----------------------3 分 ∵T ?

7? 3 3 ) ;15. . 4 2

1 3

2?

1 6

1 1 3 6

?
? ?

∴ ? ? ? ,-------------------------------------------------5 分

(2)由(1)知, f ( x) ? 2sin(? x ? 由 f( )? ∵ ? ? (? 分 ∴ cos(? ? ∵ cos(? ? 分 ∴ cos(? ?

?
6

)

?
3

2 ? 1 得 sin(? ? ) ? ,----------------------------------------6 分 3 6 3 , 0)
∴?

?

6

?? ?

?

6

?

?

6

----------------------------------------7

?
?

? 1 2 2 -------------------------9 分 ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 1 ? ? 6 6 9 3
3 ) ? cos(? ?

?

? ) ? cos(? ? ) cos ? sin(? ? ) sin -------------11 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

?
3

)?

2 2 3 1 1 2 6 ?1 ? ? ? ? ------------------------------------------------12 3 2 3 2 6

分 17.解: (1)甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图如右图示:----4 分 这 20 个数据的众数为 121,----------------------------------5 分 乙班的平均水平较高;----------------------------------------7 分 (2)由上数据知,这 20 人中分值落在第一组的有 3 人, 落在第二组的有 6 人,落在第三组的有 9 人,-------------9 分
揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 5 页(共 4 页)

6 ? 3 ? 1 ,-------10 分 3? 6?9 6 ? 6 ? 2 ,--------------------------------11 分 应从第二组中抽取的人数为: 3? 6?9 6 ? 9 ? 3 .-----------------------------------12 分 应从第三组中抽取的人数为: 3? 6?9 18.解: (1)设数列 ?a n ?的公比为 q ,
故应从第一组中抽取的人数为: ∵20S1 , S3 ,7S2 成等差数列,? 2S3 ? 20S1 ? 7S2 . -----------------------------------2 分 即 2(a1 ? a1q ? a1q2 ) ? 20a1 ? 7(a1 ? a1q) ,化简得 2q2 ? 5q ? 25 ? 0 ,------4 分 解得: q ? 5 或 q ? ? ∵an ? 0 ,∴ q ? ?

5 2

------------------------------------------------------------------6 分

5 不合舍去, 2 ∴ an ? a1qn?1 ? 5 ? 5n?1 ? 5n .-----------------------------------------7 分
(2)∵ bn ? log5 a1 ? log5 a2 ? = log5 (a1a2

? log5 an
?n

an ) ? log5 51?2?3?

? 1? 2 ? 3 ?

? n ---------------------9 分

?


n(n ? 1) ,----------------------------------------------------------------------------10 分 2

2 1 1 1 = =2( ? ) ----------------------------------------------------------------12 分 bn n(n+1) n n ? 1

∴ Tn ?

1 1 ? ? b1 b2

?

1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 bn

1 1 ?( ? )] n n ?1

? 2(1 ?

1 2n )? .------------------------------------------14 分 n ?1 n ?1

19.解: (1)证明:取 BC 中点 D,连结 SD、AD,-----2 分 ∵△SAB 与△SAC 均为等边三角形 ∴SB=SC=AB=AC=SA=2,∴ SD ? BC , AD ? BC -----4 分 又 SD

AD ? D

∴ BC ? 平面 SAD ----------------------5 分 ∵ SA ? 平面 SAD ∴ SA ? BC -------------------------------------------------7 分 (2)∵ ?BAC ? 90° ,AB=AC, ∴ BC ?

2 AB ? 2 2 ,------------------------------------8 分

∵SB=AB,SC=AC,BC=BC, ∴△SBC≌△ABC,∴ ?BSC ? 90 ,-------------------------9 分
揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 6 页(共 4 页)

∴ SD ? AD ?
2 2

1 BC ? 2 2
2

∵ SD ? AD ? 4 ? SA 又 SD ? BC , BC

∴ SD ? AD ---------------------11 分

AD ? D

∴ SD ? 平面 ABC ,------------------------------------------12 分 ∴ VP ? ABC ?

1 1 1 2 S ?ABC SD ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 .----------------14 分 3 3 2 3

其它解法请参照给分. 20.解:(1)设 P( x, y) ,由 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) 得

uuu r uuu r PF1 ? (? 3 ? x, ? y) , PF2 ? ( 3 ? x, ? y) .
∴ PF1 ? PF2 ? ?( 3 ? x)( 3 ? x) ? y 2 ? x ? y ? 3 ,---------------------2 分
2 2

uuu r uuu r



x2 y 2 x2 2 2 ? ? 1 y ? b (1 ? ) 得 a 2 b2 a2

uuu r uuu r 3 2 x2 2 2 2 ∴ PF1 ? PF2 ? x ? b (1 ? 2 ) ? 3 ? 2 x ? b ? 3 ,------------------------4 分 a a
∵ 0 ? x ? a ,∴当 x ? a ,即 x ? ? a 时, PF1 ? PF2 有最大值,
2 2 2 2

uuu r uuu r

即 ( PF1 ? PF2 )max ? 3 ? b2 ? 3 ? 1,---------------------------------------6 分 ∴ b ? 1, a ? c ? b ? 4 ,
2 2 2 2

uuu r uuu r

∴所求双曲线 C 的方程为 其它解法请参照给分.

x2 ? y 2 ? 1.------------------------------------7 分 4

(2)假设存在直线 l 满足题设,设 D( x1 , y1 ), E( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1并整理得 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 4 ? 0 ,------------------------------------------------------------8 分
2 2 2 2 2 2 由 ? ? 64k m ? 4(1 ? 4k )(4m ? 4) ? ?16(m ? 4k ?1) ? 0 ,得 4k ? 1 ? m -----------①
2 2

又 x1 ? x2 ? ?

8km --------------------10 分 1 ? 4k 2

由 | AD |?| AE | 可得
揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 7 页(共 4 页)

2 ( x1 ?1)2 ? y12 ? ( x2 ?1)2 ? y2 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0

? x1 ? x2 ? 2 ?
? ?(1 ? k 2 )

y1 ? y2 ( y1 ? y2 ) ? 0 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 2km ? 2 ? 0 x1 ? x2

8km ? 2km ? 2 ? 0 1 ? 4k 2

化简得 m ? ?

1 ? 4k 2 ------------②------------------------------------------12 分 3k
2

1 ? 4k 2 2 ) 将②代入①得 4k ? 1 ? ( 3k
化简得 20k 4 ? k 2 ?1 ? 0 ? (4k 2 ? 1)(5k 2 ?1) ? 0 , 解得 k ?

5 5 或k ? ? 5 5 5 5 -------14 ) ? ( , ??) . 5 5

所以存在直线 l , 使得 | AD |?| AE | , 此时 k 的取值范围为 (??, ? 分 21.解: (1)当 k ? ?1 时, f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 ,---------------------------1 分 3

则 f '( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) , 令 f '( x) ? 0 ,∵ x ? [0, 6] 得 x ? 1, ----------------------------------2 分

且 f ( x) 在 [0,1] 上单调递减,在 [1, 6] 上单调递增, ∵ f (0) ? 1, f (1) ? ?

2 , f (6) ? 97 , 3 2 .------------------------4 分 3

∴ f ( x) 在 [0, 6] 上的最大值为 97,最小值为 ?

(2) ∵ f ' ? x ? ? x2 ? 2(2k ? 1) x ? 3k (k ? 2) = ( x ? 3k )[ x ? (k ? 2)] ,----------------5 分
2 当 k ? 1 时, f '( x) ? ( x ? 3) ? 0 ,∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;---6 分

当 k ? 1 时, 3k ? k ? 2 ,由 f '( x) ? 0 解得 x ? 3k 或 x ? k ? 2 ,由 f '( x) ? 0 得

k ? 2 ? x ? 3k ,
∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (3k , ??) 和 (??, k ? 2) , 递减区间为 (k ? 2,3k ) ; ----7 分
揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 8 页(共 4 页)

当 k ? 1 时, 3k ? k ? 2 ,由 f '( x) ? 0 解得 x ? k ? 2 或 x ? 3k ,由 f '( x) ? 0 得

3k ? x ? k ? 2 ,
∴函数 f ( x) 的单调递增区间为 (3k , ??) 和 (??, k ? 2) ; 递减区间为 (3k , k ? 2) .-----9 分 (3)由 f ' ? x ? ? ( x ? 3k )[ x ? (k ? 2)] ? 0 得 x1 ? k ? 2, x2 ? 3k , --------------------------------------------------10 分 ①当 x1 ? x2 时,有 k ? 2 ? 3k ? k ? 1 ,此时 x1 ? x2 ? 3 ? (0,6) , 函数 f '( x) 在 (0, 6) 上有唯一的零点,∴ k ? 1 为所求;----------------------11 分 ②当 x1 ? x2 时,有 k ? 2 ? 3k ? k ? 1 ,此时 x2 ? x1 ? 3 , ∵函数 f '( x) 在 (0, 6) 上有唯一的零点, 得 x2 ? 0 ? x1 ? 3 ,即 3k ? 0 ? k ? 2 ? 3 ,解得 ?2 ? k ? 0 ,-----------------12 分 ③当 x1 ? x2 时,有 k ? 2 ? 3k ? k ? 1 ,此时 x2 ? x1 ? 3 , ∵函数 f '( x) 在 (0, 6) 上有唯一的零点, 得 3 ? x1 ? 6 ? x2 ,即 3 ? k ? 2 ? 6 ? 3k ,解得 2 ? k ? 4 ,------------------13 分 综上得实数 k 的取值范围为是: ?2 ? k ? 0 或 k ? 1 或 2 ? k ? 4 .----------------14 分

揭阳市 2015 年高中毕业班第二次高考模拟考数学(文科)试题第 9 页(共 4 页)


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