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2015年高中数学 第二章 第14课时 直线与圆的位置关系学案 苏教版必修2


第二章 平面解析几何初步 第二节 圆与方程 第 14 课时 直线与圆的位置关系
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相离 直线与圆的 位置关系 相切 相交

14 ? x2 ? , ? ? x1 ? 10, ? 5 解这个方程组,得 ? ? ? y1 ? 0, ? y ? 48 . 2 ? 5 ?

14 48 所以公共点坐标为 (10, 0), ( , ) . 5 5 2 直线 4 x ? 3 y ? 40和圆 x ? y 2 ? 100 有两个
公共点,所以直线和圆相交. 例 2: 自点 A(?1, 4) 作圆

学习要求
1.依据直线和圆的方程,能熟练求出它们 的交点坐标; 2.能通过比较圆心到直线的距离和半径之 间的大小关系判断直线和圆的位置关系; 3.理解直线和圆的三种位置关系与相应的 直线和圆的方程所组成的二元二次方程组 的解的对应关系; 4.会处理直线与圆相交时所得的弦长有关 的问题; 5.灵活处理与圆相交的问题. 【课堂互动】

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 的切线 l , 求切线 l 的方
程. 分析:根据点的坐标设出直线方程,再根据直 线和圆相切求解. 【解】法 1 :当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l : x ? ?1 与圆相离,不满足条件 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l 的方程 为 y ? 4 ? k ( x ? 1), 即 kx ? y ? (k ? 4) ? 0 如图,因为直线与圆相切, 所以圆心 (2, 3)到直线 l 的距离等于圆的半 径, 故

自学评价
1.直线与圆有一个交点称为 相切,有两个 交点称为相交,没有交点称为相离. 2.设圆心到直线的距离为 d ,圆半径为 r , 当 d ? r 时,直线与圆相离, 当 d ? r 时,直线与圆相切, 当 d ? r 时,直线与圆相交. 3.直线 l 与圆 C 的方程联立方程组,若方程 组无解,则直线与圆相离,若方程组仅有 一组解,则直线与圆相切,若方程组有两 组不同的解,则直线与圆相交. 【精典范例】 例 1 : 求 直 线 4 x ? 3 y ? 40 和 圆 并判断它们的 x2 ? y 2 ? 100 的公共点坐标, 位置关系. 分析:直线方程和圆的方程联立方程组即可 【解】 直线 4 x ? 3 y ? 40 和圆 x ? y ? 100
2 2

2k ? 3 ? ( k ? 4) k 2 ?1

?1 解 得 k ? 0 或

因此,所求直线 l 的方程是 y?4 或

3 k ?? . 4

3x ? 4 y ? 13 ? 0
法 2: 当直线 l 垂直于 x 轴时, 直线 l : x ? ?1 与 圆相离,不满足条件. 当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l 的方程 为 y ? 4 ? k ( x ? 1), 由于直线 l 与圆相切, 所以 方程组 ?

? y ? 4 ? k ( x ? 1),

2 2 ?( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 由方程组消去 y ,得关于 x 的一元二次方程 (1 ? k 2 ) x2 ? (2k 2 ? 2k ? 4) x ? k 2 ? 2k ? 4 ? 0

仅有一组解.

,因为一元二次方程有两个相等实根,所以判 别 式

的公共点坐标就是方程组 ? 的解.

?4 x ? 3 y ? 40
2 2 ? x ? y ? 100

? ( k2
解得 k ? 0 或 k ? ?

? 2

k

2

3 因此, 所求直线 l 的方程 4 是 y ? 4 或 3x ? 4 y ? 13 ? 0 .
1

点评:该题用待定系数法先设直线方程,应 注意直线的斜率是否存在的问题.本题给出 了两种解法,可以看到用“几何法”来解题 运算量要小的多. 例 3 : 求 直 线 x ? 3y ? 2 3 ? 0 被 圆

【选修延伸】 一、圆、切线、截距 例 4: 已知圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,求该圆与 x 轴和 y 轴的截距相等的切线 l 的方程. 分析:用待定系数法求解. 【解】由题意设切线 l 与 x 轴和 y 轴的截距为

x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长.
分析: 可利用圆心距、半径、弦长的一半 构成直角三角形的性质解题 【解】法 1:如图, 设 直 线

a , b ,则 a ? b
① a ? 0 时,设 l 的方程为

x ? y? a? 0 ,

x y ? ?1 , 即 a a

x ? 3y ? ? 2 2 2 与圆 x ? y ?4 交于 A, B 两点,

3

0

因为直线和圆相切,所以圆心 (2,3) 到直线 l 的 距离等于圆的半径,故

2?3? a 2

? 1, 解得 a ? 5 ? 2 或 a ? 5 ? 2

弦 AB 的 中 点 为 M ,则 OM ? AB ( O 为坐标原点) , 所以 OM ?

所 以 l 的 方 程 为 x ? y ?( 5 ?

2 ?) 或 0

0?0?2 3 12 ? (? 3)2

? 3,

x ? y ? (5 ? 2) ? 0 x ? y ?0 ② a ? 0 时, 设 l 的方程为 y ? kx , 即k
所 以

2k ? 3
2

所以 AB ? 2 AM ? 2 OA2 ? OM 2

? 2 22 ? ( 3) 2 ? 2 .
法 2: 直 线 x ? 3 y ? 2 ? 3 和 0 圆

k ?1 6?2 3 k? 3 所 以 l 的 方 程 为 ( 6 + 2 x? 3 ) y ? 3或

?1 , 解 得 k ?

6?2 3 或 3

0

x2 ? y 2 ? 4 的 公 共 点 坐 标 就 是 方 程 组 ? x ? 3 y ? 2 3 ? 0, ? 的解 ? 2 2 x ? y ? 4 ? ? ? x ? ? 3, ? x2 ? 0, ? 解得 ? 1 ? ? ? y2 ? 2. ? y1 ? 1,
所以公共点坐标为 (? 3,1),(0, 2), 直线 x ? 3 y ? 2 3 ? 0 被圆 x ? y ? 4
2 2

(6-2 3) x ? 3 y ? 0
综上所述: l 的方程为 x ? y ? (5 ? 2) ? 0 或

x ? y ? (5 ? 2) ? 0 或 (6+2 3) x ? 3 y ? 0 或

(6-2 3) x ? 3 y ? 0 .
点评:本题较为复杂,要讨论的情况比较多,解 题过程中要注重分析. 例 5: 若直线 y ? x ? b 与 x ? 分 析 : 由 题 意 x?

截得的弦长为 (? 3 ? 0) ? (1 ? 2) ? 2
2 2

4 ? y 2 恰有一个
4 ? y2 可 化 为

公共点,求实数 b 的取值范围.? 追踪训练一 1.求过圆 x ? y ? 4 上一点 (1, 3) 的圆的 切线方程.
2 2

答案: x ? 3 y ? 4 . 2. 自点 A(2, 2) 作圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

的切线 l ,求切线 l 的方程. 答案: y ? 2 . 3.从圆 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 外一点 P(2, 3) 向圆引切线,求切线长. 答案: 2 .
2 2

x2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0) 表示一个右半圆,如图所 示,对于 y ? x ? b 当 b 变化时所得的直线是互 相平行的,由图可知 l1 与半圆有一个交点 l2 与半圆正好有两个交点,所以位于 l1 和 l2 之间 的直线都与半圆只有一个交点, 另外 l3 与半圆相
切也符合题意 【 解 】 由 题 意

x ? 4 ? y2 可 化 为
2

x2 ? y 2 ? 4 ( x ? 0)
表示一个右半圆,如图所示 直线 l1 的方程为: y ? x ? 2 , 直线 l2 的方程为: y ? x ? 2 , 因为直线 l3 与半圆相切, 所以

b 2

? 2 ,解得 b ? 2 2
学生质疑

所以直线 l3 的方程为: y ? x ? 2 2 , 由图可知位于 l1 和 l2 之间的直线都与半圆只 有一个交点,且 l3 与半圆相切, 所以实数 b 的取值范围为:

?2 ? b ? 2 或 b ? 2 2
点评:本题应用数形结合的方法去解题. 思维点拔: 在解决直线与圆的位置关系的问题时,我们 通常采用“几何法” .例如,求与圆相切的 直线方程时,先用待定系数法设出直线方 程,然后根据 d ? r 即可求得.这种数形结 合的思想贯穿了整个章节. 追踪训练二 1. 已知圆 x2 ? y 2 ? 2 , 求该圆与 x 轴和 y 轴 的截距的绝对值相等的切线 l 的方程. 答案: y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . 2 .若直线 y ? x ? b 与 y ? 4 ? x 2 有两个 不同的交点,求实数 b 的取值范围. 答案: 2 ? b ? 2 2 .

教师释疑

3


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