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2013成都二诊数学




成都市 2013 届高中毕业班第二次诊断性检测 数学 理工农医类) 数学(理 农医类)
本试卷分选择题和非选择题两部分。 I 卷(选择题)1 至 2 页, II 卷(非选择题)3 第 第 至 4 页,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项:
1. 答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改

动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位

置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5. 考试结束后,只将答题卡交回。

第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、 选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一 共 项是符合题目要求的. 1. 在复平面内,复数 z=

2 (i 为虚数单位)对应的点位于 1+ i

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2. 已知全集 U={x|x>0},M={x|x2<2x},则 CU M =
(A){x|x>2} (B){x|x>2}


(C){X|x≤0

x ≥ 2}

(D) {X|0<x<2}

第 1页



3.若直线(a+l)x+2y=0 与直线 x 一 ay=1 互相垂直,则实数 a 的值等于 (A)-1 (B)O (C)1 (D)2

4. 已知直线 l 和平面 a,若 l//a,P∈a,则过点 P 且平行于 l 的直线
(A)只有一条,不在平面 a 内

(B)只有一条,且在平面 a 内 (D)有无数条,不一定在平面 a 内

(C)有无数条,一定在平面 a 内

5. —个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角 形,则

该几何体的体积为
3 3

(A)

(B)1

(C)

2 3 (D) 3

3 1 —1 的零点的个数为 x
(B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

6. 函数 f(x)= log2x+ (A)O 个 7. 已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) (a>0,b>0)的一条渐近线与曲线 y = 2 x ? 1 a 2 b2

相切,则该双曲 线的离心率为
(A)

2 (B)

3

(C)2

(D) 2 2

1 2 + 当 1∈(0,l)时恒成立,则实数 m 的最大值为 2x 1? x 5 9 (A)9 (B) (C)5 (D) 2 2 π 2 x 9.已知数列{an}满足 an+2-an+1= an+1-an, n ∈ N * ,且 a5= 若函数 f(x)= sin2x+2cos , 2 2
8. 若不等式 m ≤

记 yn=f(an),则数列{yn}的前 9 项和为
(A)O (B)-9 (C)9 (D)1

第 2页



1O.某算法的程序框图如图所示, 则执行该程序后输出

的 S 等于
(A) 24 (B) 26 (C) 30 (D) 32

第II 卷(非选择题,共 100 分)

二、填空題:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
2 11.已 知 sina+cosa= , 则 sin2a 的 值 为 _______. 3
12.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a 1 +a2 +a3 +a4 =_______
13. 设 G 为ΔABC 的重心,若ΔABC 所在平面内一点 P 满足 PA + 2 BP = 0 =0,则

| AP | | AG |

的值等于_______
?2 x + y ? 4 ≤ 0 ? ?x + y ≥ 0 ?x ? y ≥ 0 ?
2

? ? 14. 已知集合 ?( x, y ) ? ?

? ? ? 表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取 ? ?
2

一点 P(x,y) ,则点 P 的坐标满足不等式 x +y ≤2 的概率为_______

第 3页



15.对于定义在区间 D 上的函数 f(x) ,若满足对 ?x1 , x 2

∈ D ,且 x 1 <x 2 时 都 有

f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ,则称函数 f(x)为区间 D 上的“非增函数”.若 f(x)为区间[0,1]上的“非
1 增函数”且 f(0) = l,ff(x)+f(l—x) = l,又当 x ∈ [0, ] 时,f(x)≤-2x+1 恒成立.有 4
下列命题:
① ?x ∈ [0,1], f ( x) ≥ 0 ; ②当 x1 , x2 ∈ [0,1]且x1 ≠ x2, fx)≠ f(x?) 时(1 , ③ f ( )+ f (

1 8

5 7 7 ) + f ( ) + f ( )=2 ; 11 13 8

④当 x ∈ [0, ] 时, f ( f ( x)) ≤ f ( x) . 其中你认为正确的所有命题的序号为____ ____

1 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.
16.(本小题满分 12 分)

π 在ΔABC 中,已知内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 2a sin( B + ) = c 4
(I)求角 A 的大小.,

(II)若ΔABC 为锐角三角形,求 sinBsinC 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)

某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度 的破坏,可见部分如下:

第 4页



试根据图表中的信息解答下列问题:
( I ) 求全班的学生人数及分数在[ 7 0 ,8 0 ) 之间的频数;
(II)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于[70,80),[80,90)和 [90,100]

分数段的试卷中抽取 8 份进行分析,再从中任选 3 人进行交流,求交流的学生中, 成绩位于[70,80)分数段的人数 X 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分)

如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC—A B1C1 中,
1

0 点 AC=AA1=2AB = 2, ∠BAC =90 , D 是侧棱 CC1

延长线上一点, 是平面 ABD EF

与平面 A1B1C1 的交线.

(I)求证:EF 丄 A1C;

第 5页



(II)当平面 DAB 与平面 CA1B1 所成锐二面角的余弦值为

26 时,求 DC 的长. 26
1

19. ( 本小题满分 12 分)

设函数 f(x)=x 过点 C 1 (1,0) 作 X 轴的垂线 l 交函数 f(x)图象于点 A1,以 A1 为切 点
2 1

作函数 f(x)图象的切线交 X 轴于点 C2,再过 C2 作 X 轴的垂线 l 交函数 f(x)图象于点
2

A2,…,以此类推得点 An,记 An 的横坐标为 an, n ∈ N * .
(I ) 证明数列{a n } 为等比数列并求出通项公式 an;

(II)设直线 ln 与函数 g(x)=

log 1 x :的图象相交于点 B ,记 bn = OAn .OBn (其中 O 为 n
2

坐标原点) ,求数列{bn}的 前 n 项 和 Sn.

20. ( 本小题满分 13 分)

巳知椭圆 E.. 离心率为
1 2

x2 y2 2 + 2 = 1(a > b > 0) (a>b>0)以抛物线 y =8x 的焦点为顶点,且 2 a b

( I ) 求椭圆 E

的方程;

(II )若直线 l:y=kx+m

与椭圆 E 相交于 A、B 两点, 与直线 x= -4 相交于 Q 点,P 是 椭圆

第 6页



E 上一点且满足 OP

,试问在 X 轴上是否存在一点 T, 使 = OA + OB (其中 O 为坐标原点)

得 OP.TQ 为定值?若存在,求出点了的坐标及 OP.TQ 的值; 若不存在,请说明理由.

21. ( 本小题满分 14 分)

已知函数

f ( x) = x ?

1 1 ? a ln x, g ( x) = x + ? (ln x) a ,其中 x>0,a∈R x x

( I ) 若函数 f ( x ) 无极值, 求 a 的取值范围; ( I I ) 当 a 取(I ) 中的最大值时,求函数 g ( x ) 的最小值;
n

(III)证明不等式


k =1

2 n +1 > ln n (n ∈ N *) . 2 +1 2 k (2 k + 1) 1

第 7页



第 8页



第 9页



第 10页



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