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高考导数类型题目详解


高考导数类型题目详解 1.【2015 高考福建,理 10】若定义在上的函数满足,其导函数满足, 则下列结论中一定错误的是() A. B. C. D.

【答案】C 【解析】 由已知条件, 构造函数, 则, 故函数在上单调递增, 且, 故, 所以, ,所以结论中一定错误的是 C,选项 D 无法判断;构造函数, 则,所以函数在上单调递增,且,所以,即, ,选项 A

,B 无法判断, 故选 C. 【考点定位】函数与导数. 【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种 常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法 建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、 最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 2.【2015 高考陕西,理 12】对二次函数(为非零常数) ,四位同学分 别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 () A.是的零点 C.3 是的极值 【答案】A 【解析】若选项 A 错误时,选项 B、C、D 正确, ,因为是的极值点, 是的极值,所以,即,解得: ,因为点在曲线上,所以,即,解得: , B.1 是的极值点 D. 点在曲线上

所以, , 所以, 因为, 所以不是的零点, 所以选项 A 错误, 选项 B、 C、 D 正确,故选 A. 【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值. 【名师点晴】 本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极 值,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错 误” ,否则很容易出现错误.解推断结论的试题时一定要万分小心, 除了作理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的 合情推理. 3.【2015 高考新课标 2,理 12】设函数是奇函数的导函数, ,当时, , 则使得成立的的取值范围是 A. C. B. D.

【答案】A 【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质. 【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种 常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法 建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、 最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 4. 【2015 高考新课标 1, 理 12】 设函数=,其中 a1, 若存在唯一的整数, 使得 0,则的取值范围是() (A)[-,1) (B)[-, ) 【答案】D (C)[, ) (D)[,1)

【解析】设=, ,由题知存在唯一的整数,使得在直线的下方.因为, 所以当时,<0,当时,>0,所以当时,=,当时,=-1, ,直线恒过 (1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故选 D.

【考点定位 【名师点睛】对存在性问题有三种思路,思路 1:参变分离,转化为 参数小于某个函数(或参数大于某个函数) ,则参数该于该函数的最 大值(大于该函数的最小值) ;思路 2:数形结合,利用导数先研究 函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围, 若原函数图像不易做,常化为一个函数存在一点在另一个函数上方, 用图像解;思路 3:分类讨论,本题用的就是思路 2. 5.【2015 高考陕西,理 16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因 泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示) ,则原始 的最大流量与当前最大流量的比值为.

【答案】 【解析】建立空间直角坐标系,如图所示:

原始的最大流量是,设抛物线的方程为() ,因为该抛物线过点,所 以,解得,所以,即,所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当 前最大流量的比值是,所以答案应填: . 【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.

【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几 何意义,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前” , 否则很容易出现错误. 解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义, 即由直线, ,和曲线所围成的曲边梯形的面积是. 6. 【 2015 高考天津,理 11 】曲线与直线所围成的封闭图形的面积 为 【答案】 .

【考点定位】定积分几何意义与定积分运算. 【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几 何意义体现数形结合的典型示范, 既考查微积分的基本思想又考查了 学生的作图、识图能力以及运算能力. 【2015 高考湖南,理 11】 【答案】. 【解析】 试题分析:. 【考点定位】定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生的运算求解 能力,属于容易题,定积分的计算通常有两类基本方法:一是利用牛 顿-莱布尼茨定理;二是利用定积分的几何意义求解. 7.【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 分) 设函数 .

(Ⅰ)证明:在单调递减,在单调递增; (Ⅱ)若对于任意都有求的取值范围 【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ). 若,则当时, , ;当时, , . 若,则当时, , ;当时, , . 所以,在单调递减,在单调递增 (Ⅱ)(Ⅰ)知,对任意的,在单调递减,在单调递增,故在处取得最 小值.所以对于任意,的充要条件是:即①,设函数,则.当时, ; 当时, .故在单调递减,在单调递增, ,故当时, .当时, , ,即①式成 立.当时,由的单调性, ,即;当时, ,即.综上,的取值范围. 【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数,根据的范围讨论导函数在和的符号即 可; (Ⅱ) .由是两个独立的变量,故可求研究的值域,由(Ⅰ)可得最 小值为,最大值可能是或,故只需,从而得关于的不等式,因不易解 出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解. 8.【2015 高考江苏,19】 (本小题满分 16 分) . (1)试讨论的单调性; (2)若(实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是,求 c 的值.

【答案】 (1)当时,在上单调递增; 当时,在,上单调递增,在上单调递减; 当时,在,上单调递增,在上单调递减. (2)

当时,时, ,时, , 所以函数在,上单调递增,在上单调递减. (2)由(1)知,函数的两个极值为, ,则函数有三个 零点等价于,从而或. 又,所以当时,或当时, . 设,因为函数有三个零点时,的取值范围恰好是 ,则在上,且在上均恒成立, 从而,且,因此. 此时, , 因函数有三个零点,则有两个异于的不等实根, 所以,且, 解得. 综上. 【考点定位】利用导数求函数单调性、极值、函数零点 【名师点晴】求函数的单调区间的确定函数 y=f(x)的定义域;求导数 y′=f′(x), 令 f′(x)=0, 解此方程, 求出在定义区间内的一切实根; 把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按

由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成 若干个小区间;确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数 在每个相应区间内的单调性. 已知函数的零点个数利用函数的单调性、 极值画出函数的大致图像,数形结合求解.

9.【2015 高考福建,理 20】已知函数, (Ⅰ)证明:当; (Ⅱ)证明:当时,存在,使得对 (Ⅲ)确定 k 的所以可能取值,使得存在,对任意的恒有. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) . 【解析】解法一:(1)令则有 当 ,所以在上单调递减; 故当时,即当时, . (2)令则有 当 ,所以在上单调递增, (3)当时,由(1)知,对于故, , 令,则有 故当时,,在上单调递增,故,即,所以满足题意的 t 不存在. 当时,由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有. 此时, 令,则有

故当时,,在上单调递增,故,即,记与中较小的为, 则当,故满足题意的 t 不存在. 当,由(1)知, , 令,则有 当时,,所以在上单调递减,故, 故当时,恒有,此时,任意实数 t 满足题意. 综上,. 解法二: (1) (2)同解法一. (3)当时,由(1)知,对于, 故, 令, 从而得到当时,恒有,所以满足题意的 t 不存在. 当时,取 由(2)知存在,使得. 此时, 令,此时 , 记与中较小的为,则当,

【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中 千变万化的隐藏信息进行转化,探究这类问题的根本,从本质入手 , 进而求解,利用导数研究函数的单调性,再用单调性来证明不等式是

函数、导数、不等式综合中的一个难点,解题技巧是构造辅助函数, 把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值, 从而证得 不等式,注意与不等价,只是的特例,但是也可以利用它来证明,在 2014 年全国Ⅰ卷理科高考 21 题中,就是使用该种方法证明不等式; 导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数 大致图象, 这是利用研究基本初等函数方法所不具备的, 而是其延续. 10.【2015 江苏高考,17】 (本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路, 为进一步改善山区的交通 现状,计划修建 一条连接两条公路的山区边界的直线型公路, 记两条相互垂直的公路 为,山区边 界曲线为 C, 计划修建的公路为 l, 如图所示, M, N 为 C 的两个端点, 测得点 M 到 的距离分别为 5 千米和 40 千米,点 N 到的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 所在的直线分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 (其中 a,b 为常数)模型. (1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

【答案】 (1) (2)①定义域为,②千米 【解析】 (1)由题意知,点,的坐标分别为, . 将其分别代入,得, 解得. (2)①由(1)知, () ,则点的坐标为, 设在点处的切线交,轴分别于,点, , 则的方程为,由此得, . 故, . ②设,则.令,解得. 当时, ,是减函数; 当时, ,是增函数. 从而,当时,函数有极小值,也是最小值,所以, 此时. 答:当时,公路的长度最短,最短长度为千米. 【考点定位】利用导数求函数最值,导数几何意义 【名师点晴】解决实际应用问题弄清题意,分清条件和结论,理顺数 量关系,初步选择数学模型将自然语言转化为数学语言,将文字语言 转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;求解数学模 型,得出数学结论导数的几何意义是切点处切线的斜率, 11.【2015 高考山东,理 21】设函数,其中.

(Ⅰ)讨论函数极值点的个数,并说明理由; (Ⅱ)若成立,求的取值范围. 【答案】 (I) :当时,函数在上有唯一极值点; 当时,函数在上无极值点; 当时,函数在上有两个极值点; (II)的取值范围是.

(2)当时, ①当时, , 所以, ,函数在上单调递增无极值; ②当时, 设方程的两根为 因为 所以, 由可得: 所以,当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 因此函数有两个极值点. (3)当时, 由可得: 当时, ,函数单调递增;

当时, ,函数单调递减; 因此函数有一个极值点. 综上: 当时,函数在上有唯一极值点; 当时,函数在上无极值点; 当时,函数在上有两个极值点; (II)由(I)知, (1)当时,函数在上单调递增, 因为 所以,时, ,符合题意; (2)当时,由,得 所以,函数在上单调递增, 又,所以,时, ,符合题意; (3)当时,由,可得 所以时,函数单调递减; 又 所以,当时,不符合题意; (4)当时,设 因为时,

当时, 此时,不合题意.

综上所述,的取值范围是 【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用;2、分类讨论的思想. 【名师点睛】本题考查了导数在研究函数性质中的应用,着重考查了 分类讨论、数形结合、转化的思想方法,意在考查学生结合所学知识 分析问题、解决问题的能力,其中最后一问所构造的函数体现了学生 对不同函数增长模型的深刻理解. 12.【2015 高考安徽,理 21】设函数. (Ⅰ)讨论函数在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; (Ⅱ)记,求函数在上的最大值 D; (Ⅲ)在(Ⅱ)中,取,求满足时的最大值. 【答案】 ; (Ⅱ) ; (Ⅲ)1. 【解析】 (Ⅰ) ,. ,. 因为,所以. ①当时,函数单调递增,无极值. ②当时,函数单调递减,无极值. ③当,在内存在唯一的,使得. 时,函数单调递减;时,函数单调递增. 因此, ,时,函数在处有极小值. (Ⅱ)时, , 当时,取,等号成立,

当时,取,等号成立, 由此可知,函数在上的最大值为. (Ⅲ) ,即,此时,从而. 取,则,并且. 由此可知,满足条件的最大值为 1. 【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值;2.. 【名师点睛】函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法,在含 有参数的试题中,分类与整合思想是必要的,由于是函数问题,所以 函数思想、数形结合思想也是必要的,把不等式问题转化为函数最值 问题、把方程的根转化为函数零点问题等,转化与化归思想也起着同 样的作用, 解决函数、 导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用. 13.【2015 高考天津,理 20(本小题满分 14 分)已知函数,其中. (I)讨论的单调性; (II)设曲线与轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为,求证: 对于任意的正实数,都有; (III)若关于的方程有两个正实根,求证: 【答案】(I) 当为奇数时,在,上单调递减,在内单调递增;当为偶 数时,在上单调递增,在上单调递减. (II)见解析; (III)见解析.

(2)当为偶数时, 当,即时,函数单调递增; 当,即时,函数单调递减.

所以,在上单调递增,在上单调递减. (II)证明:设点的坐标为,则, ,曲线在点处的切线方程为,即,令, 即,则 由于在上单调递减,故在上单调递减,又因为,所以当时, ,当时, , 所以在内单调递增,在内单调递减,所以对任意的正实数都有,即对 任意的正实数,都有. (III)证明:不妨设,由(II)知,设方程的根为,可得 ,当时,在上单调递减,又由(II)知可得. 类似的,设曲线在原点处的切线方程为,可得,当, ,即对任意, 设方程的根为,可得,因为在上单调递增,且,因此. 由此可得. 因为,所以,故, 所以. 【考点定位】1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函 数性质、证明不等式. 【名师点睛】 本题主要考查函数的性质与导数之间的关系以及利用函 数证明不等式.第(I)小题求导后分为奇偶数讨论函数的单调性, 体现了 数学分类讨论的重要思想;第(II)(III)中都利用了构造函数证明不等式 这一重要思想方法,体现数学中的构造法在解题中的重要作用,是拨 高题. 14.【2015 高考重庆,理 20】设函数

(1) 若在处取得极值, 确定的值, 并求此时曲线在点处的切线方程; (2)若在上为减函数,求的取值范围。 【答案】 (1) ,切线方程为; (2). 当时,,故为减函数; 当时,,故为增函数; 当时,,故为减函数; 由在上为减函数,知,解得 故 a 的取值范围为. 【考点定位】复合函数的导数,函数的极值,切线,单调性.考查综 合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 【名师点晴】导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点是围 绕导数的几何意义展开,设计求曲线的切线方程,根据切线方程求参 数值等问题, 这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运 算、函数等知识,试题的难度不大;第二个点是围绕利用导数研究函 数的单调性、 极值(最值)展开, 设计求函数的单调区间、 极值、 最值, 已知单调区间求参数或者参数范围等问题, 在考查导数研究函数性质 的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法;第三 个点是围绕导数研究不等式、方程展开,涉及不等式的证明、不等式 的恒成立、讨论方程根等问题,主要考查通过转化使用导数研究函数 性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力, 该点和第二 个点一般是解答题中的两个设问, 考查的核心是导数研究函数性质的 方法和函数性质的应用; 第四个点是围数性质并把函数性质用来分析

不等式和方程等问题的能力, 该点和第二个点一般是解答题中的两个 设问,考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用; 15.【2015 高考四川,理 21】已知函数. (1)设的导函数,评论的单调性; (2)证明:存在,使得在区间内恒成立,且在内有唯一解. 【答案】时,在区间上单调递增,在区间上单调递减;当时,在区间 上单调递增.(2)详见解析. 【解析】的定义域为, , 所以. 当时,在区间上单调递增, 在区间上单调递减; 当时,在区间上单调递增. (2)由,解得. 令. 则,. 故存在,使得. 令,. 由知,函数在区间上单调递增. 所以. 即. 【考点定位】

【考点定位】 【名师点睛】本题作为压轴题,难度系数应在 0.3 以下.导数与微积分 作为大学重要内容,在中学要求学生掌握其基础知识,在高考题中也 必有体现.一般地,只要掌握了课本知识,是完全可以解决第(1)题 的,所以对难度最大的最后一个题,任何人都不能完全放弃,这里还 有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数 形结合,联系图形大胆猜想. 在本题中,结合待证结论,可以想象出 的大致图象, 要使得在区间内恒成立, 且在内有唯一解应为极小值点, 且极小值为 0,当时,的图象递减;当时,的图象单调递增,顺着这 个思想,便可找到解决方法. 16.【2015 高考湖北,理 22】已知数列的各项均为正数, ,为自然对 数的底数. (Ⅰ)求函数的单调区间,并比较与的大小; (Ⅱ)计算, , ,由此推测计算的公式,并给出证明; (Ⅲ)令,数列,的前项和分别记为,, 证明:. 【答案】 (Ⅰ)的单调递增区间为,单调递减区间为. ; (Ⅱ)详见解 析; (Ⅲ)详见解析. 【解析】 (Ⅰ)的定义域为,. 当,即时,单调递增; 当,即时,单调递减. 故的单调递增区间为,单调递减区间为. 当时, ,即.

令,得,即. (Ⅱ) ; ; . 由此推测:②



下面用数学归纳法证明②. (1)当时,左边右边,②成立. (2)假设当时,②成立,即. 当时, , 由归纳假设可得. 所以当时,②也成立. 根据(1) (2) ,可知②对一切正整数都成立. (Ⅲ)由的定义,②,算术-几何平均不等式,的定义及①得

. 即. 【考点定位】导数的应,数列的概念,数学归纳法,基本不等式,不 等式的证明.

【名师点睛】 使用裂项法求和时, 要注意正负项相消时消去了哪些项, 保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称 的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的. 运用数学归纳法应注意以下三点: (1)n=n0n=kn=k+1n=kn=kn=k +1 17.【2015 高考新课标 1,理 21】已知函数 f(x)= (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线的切线; (Ⅱ)用表示 m,n 中的最小值,设函数,讨论 h(x)零点的个数 【答案】 (Ⅰ) ; (Ⅱ)当或时或时时 若则,故=1 不是的零点 当时,所以只需考虑在 (ⅰ)若或则在在, ,所以当时 0 时,在(0,1)无零点. (ⅱ)若,则在(0, ) ,1)单调递增,故当=时,取的最小值,最小值 为=. ①若>0,即<< ②若=0,即,则 ③若<0,即,由于,所以当时)时 综上,当或时或时时 【考点定位 【名师点睛】本题主要考查函数的切线、利用导数研究函数的图像与 性质、 利用图像研究分段函数的零点, 试题新颖.对函数的切线问题, 主要在某一点的切线与过某一点点的切线不同, 在某点的切线该点是

切点,过某点的切线该点不一定是切点,对过某点的切线问题,设切 点,利用导数求切线,将已知点代入切线方程,解出切点坐标,即可 求出切线方程. 18.【2015 高考北京,理 18】已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)求证:当时, ; (Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值. (Ⅰ) , (Ⅱ)证明见解析, (Ⅲ)的最大值为 2 【解析】 试题分析:利用导数的几何意义,求出函数在处的函数值及导数值, 再用直线方程的点斜式写出直线方程;第二步要证明不等式在成立, 可用作差法构造函数, 利用导数研究函数在区间 (0, 1) 上的单调性, 由于,在(0,1)上为增函数,则,问题得证;第三步与第二步方法 类似,构造函数研究函数单调性,但需要对参数作讨论,首先符合题 意,其次当时,不满足题意舍去,得出的最大值为 2 , 成立; (Ⅲ)使成立, ,等价于, ; , 时, ,函数在(0,1)上位增函数, ,符合题意; 时,令, 0 + 极小值 ,显然不

成立, 的最大值为 2 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等 式;3.含参问题讨论. 【名师点睛】 本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题, 本题第一步为基础,第二、三步属于中等略偏难问题,首先利用导数 的几何意义求出切线斜率和切点坐标,写出切线方程,其次用作差法 构造函数,利用导数研究函数的单调性,证明不等式,最后一步对参 数进行分类讨论研究. 19.【2015 高考广东,理 19】设,函数. (1) 求的单调区间; (2) 证明:在上仅有一个零点; (3) 若曲线在点处的切线与轴平行,且在点处的切线与直线平行 (是坐标原点),证明: . 【答案】 ; (2)见解析; (3)见解析. 【解析】 , ∴在上是单调增函数; (2)∵, ∴且, ∴在上有零点, 又由(1)知在上是单调增函数, 在上仅有一个零点;

(3)由(1)知令得,又,即, ∴,又,

【考点定位导数与函数单调性 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性,属于高档题的导数, 第(2)问首先要说明内有零点再结合函数在单调性就易证其结论, 第(3)问由导数的几何意义易得对比要证明的结论的放缩作用并利 用导数证明成立,则易证. 【2015 高考湖南,理 21】.已知,函数,记为的从小到大的第个极值 点,证明: (1)数列是等比数列 (2)若,则对一切,恒成立. 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)求导,可知,利 用三角函数的知识可求得的极值点为, 即可得证; (2) 分析题意可知, 问题等 价于恒成立,构造函数,利用导数判断其单调性即可得证. 试题解析: (1) 其中, ,令,由得,即, , 对,若,即,则, 若,即,则,

因此,在区间与上,的符号总相反,于是 当时,取得极值,∴, 此时, ,易知,而 是非零常数, 故数列是首项为, 公比为的等比数列; (2) 由 (1) 知, , 于是对一切,|恒成立,即恒成立,等价于()恒成立(∵) , 设,则,令,得, 当时, ,∴在区间上单调递减; 当时, ,∴在区间上单调递增, 从而当时,函数取得最小值,因此,要是()式恒成立,只需,即只 需,而当时, ,且,于是 ,且当时, ,因此对一切, ,∴,故()式亦恒成立. 综上所述,若,则对一切,恒成立. 【考点定位】1.三角函数的性质;2.导数的运用;3.恒成立问题. 【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题,主要考查了 函数思想,化归思想,抽象概括能力,综合分析问题和解决问题的能 力,属于较难题,近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度,不仅 题型在变化,而且问题的难度、深度与广度也在不断加大,本部分的 要求一定有三个层次:第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数 的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、 极值、最值等;第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内 容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合, 设计综 合题.


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