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高考导数类型题目详解


高考导数类型题目详解 1.【2015 高考福建,理 10】若定义在上的函数满足,其导函数满足, 则下列结论中一定错误的是() A. B. C. D.

【答案】C 【解析】 由已知条件, 构造函数, 则, 故函数在上单调递增, 且, 故, 所以, ,所以结论中一定错误的是 C,选项 D 无法判断;构造函数, 则,所以函数在上单调递增,且,所以,即, ,选项 A

,B 无法判断, 故选 C. 【考点定位】函数与导数. 【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种 常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法 建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、 最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 2.【2015 高考陕西,理 12】对二次函数(为非零常数) ,四位同学分 别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 () A.是的零点 C.3 是的极值 【答案】A 【解析】若选项 A 错误时,选项 B、C、D 正确, ,因为是的极值点, 是的极值,所以,即,解得: ,因为点在曲线上,所以,即,解得: , B.1 是的极值点 D. 点在曲线上

所以, , 所以, 因为, 所以不是的零点, 所以选项 A 错误, 选项 B、 C、 D 正确,故选 A. 【考点定位】1、函数的零点;2、利用导数研究函数的极值. 【名师点晴】 本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极 值,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错 误” ,否则很容易出现错误.解推断结论的试题时一定要万分小心, 除了作理论方面的推导论证外,利用特殊值进行检验,也可作必要的 合情推理. 3.【2015 高考新课标 2,理 12】设函数是奇函数的导函数, ,当时, , 则使得成立的的取值范围是 A. C. B. D.

【答案】A 【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质. 【名师点睛】联系已知条件和结论,构造辅助函数是高中数学中一种 常用的方法,解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题,设法 建立起目标函数,并确定变量的限制条件,通过研究函数的单调性、 最值等问题,常可使问题变得明了,属于难题. 4. 【2015 高考新课标 1, 理 12】 设函数=,其中 a1, 若存在唯一的整数, 使得 0,则的取值范围是() (A)[-,1) (B)[-, ) 【答案】D (C)[, ) (D)[,1)

【解析】设=, ,由题知存在唯一的整数,使得在直线的下方.因为, 所以当时,<0,当时,>0,所以当时,=,当时,=-1, ,直线恒过 (1,0)斜率且,故,且,解得≤<1,故选 D.

【考点定位 【名师点睛】对存在性问题有三种思路,思路 1:参变分离,转化为 参数小于某个函数(或参数大于某个函数) ,则参数该于该函数的最 大值(大于该函数的最小值) ;思路 2:数形结合,利用导数先研究 函数的图像与性质,再画出该函数的草图,结合图像确定参数范围, 若原函数图像不易做,常化为一个函数存在一点在另一个函数上方, 用图像解;思路 3:分类讨论,本题用的就是思路 2. 5.【2015 高考陕西,理 16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因 泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示) ,则原始 的最大流量与当前最大流量的比值为.

【答案】 【解析】建立空间直角坐标系,如图所示:

原始的最大流量是,设抛物线的方程为() ,因为该抛物线过点,所 以,解得,所以,即,所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当 前最大流量的比值是,所以答案应填: . 【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.

【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几 何意义,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前” , 否则很容易出现错误. 解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义, 即由直线, ,和曲线所围成的曲边梯形的面积是. 6. 【 2015 高考天津,理 11 】曲线与直线所围成的封闭图形的面积 为 【答案】 .

【考点定位】定积分几何意义与定积分运算. 【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几 何意义体现数形结合的典型示范, 既考查微积分的基本思想又考查了 学生的作图、识图能力以及运算能力. 【2015 高考湖南,理 11】 【答案】. 【解析】 试题分析:. 【考点定位】定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算,意在考查学生的运算求解 能力,属于容易题,定积分的计算通常有两类基本方法:一是利用牛 顿-莱布尼茨定理;二是利用定积分的几何意义求解. 7.【2015 高考新课标 2,理 21】 (本题满分 12 分) 设函数 .

(Ⅰ)证明:在单调递减,在单调递增; (Ⅱ)若对于任意都有求的取值范围 【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ). 若,则当时, , ;当时, , . 若,则当时, , ;当时, , . 所以,在单调递减,在单调递增 (Ⅱ)(Ⅰ)知,对任意的,在单调递减,在单调递增,故在处取得最 小值.所以对于任意,的充要条件是:即①,设函数,则.当时, ; 当时, .故在单调递减,在单调递增, ,故当时, .当时, , ,即①式成 立.当时,由的单调性, ,即;当时, ,即.综上,的取值范围. 【考点定位】导数的综合应用. 【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数,根据的范围讨论导函数在和的符号即 可; (Ⅱ) .由是两个独立的变量,故可求研究的值域,由(Ⅰ)可得最 小值为,最大值可能是或,故只需,从而得关于的不等式,因不易解 出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解. 8.【2015 高考江苏,19】 (本小题满分 16 分) . (1)试讨论的单调性; (2)若(实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数有三个不同的零点时, a 的取值范围恰好是,求 c 的值.

【答案】 (1)当时,在上单调递增; 当时,在,上单调递增,在上单调递减; 当时,在,上单调递增,在上单调递减. (2)

当时,时, ,时, , 所以函数在,上单调递增,在上单调递减. (2)由(1)知,函数的两个极值为, ,则函数有三个 零点等价于,从而或. 又,所以当时,或当时, . 设,因为函数有三个零点时,的取值范围恰好是 ,则在上,且在上均恒成立, 从而,且,因此. 此时, , 因函数有三个零点,则有两