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(山西、河南、河北)2013届高三名校理科最新试题精选(31套)分类汇编12:概率


【精品推荐】新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013 届高三名校理科最新试题精 选(31 套)分类汇编 12:概率
一、选择题 1 . (山西省太原市 2013 届高三调研考试数学(理)试题)某同学一次考试的 7 科成绩中,有 4 科在 80 分以

上.现从该同学本次考试的成绩中任选 3 科成绩,则所选成绩中至少有两科成绩在 80 分以上的概率

为 ( ) A.

22 35

B.

18 35

C.

2 7

D.

4 35

2 . (河南省郑州市智林学校 2013 届高三 4 月模拟考试数学试题(理) 为了了解某校高三学生的视力情况, )

随机地抽查了该校 100 名高三学生,得到学生视力频率分布直方图,如右图,由于不慎将部分数据丢失, 但知道前 4 组的 频数成等比数列,后 6 组的频率成等差数列.设最大频率为 a;视力在 4.6 到 5.0 之间的 学生人数为 b,则 a、b 的值分别为

( A.0.27,78 B.0.27,83 C.2.7,78 D.2.7,83



( x?
3 . (河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题)在二项式
前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为

1 s x
4

)n
的展开式中,





1 A. 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

5 12
( )

4 . (河南省信阳高中 2013 届高三 4 月模拟考试 (一) 数学理试题) 将一枚质地均匀的硬币连掷 4 次,出现“至

少两次正面向上”的概率为

1 A. 4

3 B. 4

3 C. 8

11 D. 16

5 . (河南省洛阳市 2013 届高三二练考试数学(理)试题)某项测量中,测量结果 X

~ N (1, ? 2 )(? ? 0) ,若 X

在(0, 1 )内取值的概率为 0.4 ,则 X 在(0, 2 )内取值的概率为 ( ) A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2 6 . (河南省六市 2013 届高中毕业班第一次联合考试数学(理)试题)从如图所示的正方形 OABC 区域内随机 任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为 ( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

第1页

7 (河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟考试数学 . (理) 试题) 设随机变量 X ? B(2,P),随机变量 Y ? B(3,P),

若 P(X≥1)= A.

19 27

5 ,则 P(Y≥1)等于 9 5 B. 9

( C.



7 9

D.

5 27

8 .(河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟考试数学理(A)试题(word 版) )现釆用随机模拟的

方法估计该运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指 定 0、1 表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281

根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 A.0.852 B.0.8192 C.O.8 D.0.75
9 . (河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟考试数学理 A.试题(word 版) ) 设随机变量 ? 服从正态分布



p(0<




N (1, ? 2 ) .若 P( ? <2)=0.8,则

? <1)的值为



A.0.2 B.0.3 C.? 0.4

D.0.6 10. (河北省石家庄市 2013 届高三下学期第二次质量检测数学(理)试题)在圆的一条直径上,任取一点作与 该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角 形的边长的概率为 ( )

1 A. 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 2

11.(河北省廊坊市大城一中 2013 届高三 3 月月考数学试题)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均

属次品,在正常生产情况下,出现乙级品 和丙级品的概率分别是 5%和 3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为 A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08 意长的 3 段,则能构成三角形的概率为 ( )

12. (河北省邯郸市 2013 届高三下学期第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)把一根长度为 7 的铁丝截成任





1 A. 2
二、填空题

3 B. 4

4 C. 5
第2页

1 D. 4

?y ? x ? 13. (山西省山大附中 2013 届高三 3 月月考数学理试题)已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域为 M ,直线 ?x ? 2 ?
y ? x 与曲线 y ?

1 2 x 所围成的平面区域为 N ,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内 2

的概率为___________.
14. (河南省信阳高中 2013 届高三 4 月模拟考试 (一) 数学理试题) 已知平面区域 Ω = ?( x, y )

? ? ? ?

? ? ?y ? 0 ? ? ?, 2 ?y ? 4? x ? ? ?

直线 l: y ? mx ? 2m 和曲线 C: y ?

4 ? x 2 有两个不同的交点,直线 l 与曲线 C 围城的平面区域为 M,

向区域 Ω 内随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P ( M ) ,若 P ( M ) ? [ 范围是____.

? ?2 ,1] ,则实数 m 的取值 2?

15. (河南省 2013 届高三新课程高考适应性考试(一)数学(理)试题)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC

中任取一点 M.则点 M 恰好取自阴影部分的概率是_______.

16. (河北省唐山市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)1000 名考生的数学成绩近似服从正态分

布 N(100,100),则成绩在 120 分以上的考生人数约为___________. (注:正态总体 N(μ,σ2)在区.间(μ-σ, μ+σ), (μ-2σ, μ+2σ) , (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别为 0.683, 0.954,
0,997)
三、解答题 17.山西省忻州市 2013 届高三第一次联考数学 ( (理) 试题) 为迎接建党 90 周年,某班开展了一次“党史知



竞赛”,竞赛分初赛和决赛两个阶段进行,在初赛后,把成绩(满分为 100 分,分数均为整数)进行统计, 制成如右图的频率分布表: (1)求 a , b, c, d 的值; (2)决赛规则如下:为每位参加决赛的选手准备四道题目,选手对其依次作答,答对两道就终止答题,并 获得一等奖,若题目答完仍然只答对一道,则获得二等奖.某同学进入决赛,每道题答对的概率 P 的值恰 好与频率分布表中不少于 90 分的频率的值相同.设该同学决赛中答题个数为 X,求 X 的分布列以及 X 的 数学期望.

第3页

18. (山西省太原市 2013 届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题)为了解某校高三毕业班报考体育专业

学生的体重(单位:千克)情况,将从该市某学校抽取的样本数据整理后得到如下频率分布直方图.已知 图中从左至右前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,其中第 2 小组的频数为 12. (I)求该校报考体育专业学生的总人数 n; (Ⅱ)若用 这所学校的样本数据来估计该市的总体情况,现从该市报考体育专业的学生中任选 3 人,设 ? 表示体重超过 60 千克的学生人数,求 ? 的 分布列和数学期望.

19. (山西省太原市 2013 届高三调研考试数学(理)试题)为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念,某市建立

了公共自行车服务系统,鼓励市民租用公共自行车出行.公共自行车按每车每次的租用时间进行收费, 具体收费标准如下: ①租用时间不超过 1 小时,免费; ②租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时,收费 1 元; ③租用时间为 2 小时以上且不超过 3 小时,收费 3 元; ④租用时间超过 3 小时,按每小时 3 元收费(不足 l 小时的部分按 1 小时计算). 甲、乙两人独立出行,各租用公共自行车一次,两人租车时间都不会超过 3 小时,设甲 、乙租用时间不 超过一小时的概率分别是 0.6 和 0.7;有租用时间为 1 小时以上且不超过 2 小时的概率分别是 0.3 和 0.2..
第4页

(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费相同的概率; (Ⅱ)设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ? .

20. (山西省山大附中 2013 届高三 3 月月考数学理试题)2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环

境空气质量标准》 .其中规定:居民区中的 PM2.5(PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称可入肺颗粒物)年平均浓度不 得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓度不得超过 75 微克/ 立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据 统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5(微克/立方米) (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] 频数(天) 4 12 8 8 频率 0.1 0.3 0.2 0.2[来 源:Zx xk.Com] 0.1 0.1

第三组 (60,75] 4 第四组 (75,90) 4 (Ⅰ)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程); (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑,判 断该居民区的环 境是否需要改进?说明理由; (Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气 质量标准的天数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

21. (山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中 2013 届高三第三次四校联考数学(理)试题)某中学参

加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100 名学生,他们参加活动的次数统计如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率. (3)从合唱团中任选两名学生,用? 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布列及数 学期望 E? .

第5页

参加人数

50 40 30 20 10 1 2 3
活动次数

22. (山西省晋中市 2013 届高三第二次四校联考数学(理)试题)高二年级某班学生在数学校本课程选课过

程中,已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目,第一小组选 《数学运算》 的 有 1 人,选《数学解题思想与方法》的有 5 人,第二小组选《数学运算》的有 2 人,选《数学解题思想与 方法》的有 4 人,现从第一、第二两小组各任选 2 人 分析选课情况. (Ⅰ)求选出的 4 人均选《数学解题思想与方法》的概率; (Ⅱ)设 ? 为选出的 4 个人中选《数学运算》的人数,求 ? 的分布列和数学期望.

第6页

23. (山西省 2013 届高三高考考前适应性训练数学(理)试题)“幸福感指数”是指某个人主观地评价

他对自己目前生活状态的满意程度时,给出的区间 [0, 10] 内的一个数,该数越接近 10 表示越满意.为了 解某大城市市民的幸福感,随机对该城市的男、女各 500 人市民进行了调查,调查数据如下表所示: 幸福感 指数 男市民 人数 女市民 人数

[0, 2)
10 10

[2, 4) [来源
20 10

[4, 6)
220[ 180

[6, 8)
125 175

[8, 10)
125 125

根据表格,解答下面的问题: (1)完成频率分布直方图,并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值;(参考数据: 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 40 ? 5 ? 30 ? 7 ? 25 ? 9 ? 646 ) (2)如果市民幸福感指数达到 6,则认为他幸福.据此,在该市随机调查 5 对夫妇,求他们之中恰好有 3 对 夫妇二人都幸福的概率.(以样本的频率作为总体的概率)
频率 组距 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
0.01 0.015 0.125

O

2

4

6

8

10 幸福感指数

24.(河南省郑州四中 2013 届高三第六次调考数学(理)试题) 现有3个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.约定:每个人 将质地均匀的硬币抛掷2次决定自己去参加哪个游戏.2次抛出的硬币朝上的面均为正面的 人去参加甲游戏,2次抛出的硬币朝上的面为其它情形的去参加乙游戏. (1) 求这3个人中恰有2人去参加甲游戏的概率; (2) 求这3个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用X,Y分别表示这3个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? .

? X ? Y ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望

25. (河南省郑州市智林学校 2013 届高三 4 月模拟考试数学试题(理) 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 )

3 个黑球, 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 4 个 黑球,现从甲、乙两个盒内各任 取 2 个球. (Ⅰ)求取出的 4 个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; (Ⅲ)(理)设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.
26. (河南省郑州市盛同学校 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)某学生社团在对本校学生学习方法开
第7页

展问卷调查的过程中发现,在回收上来的 1000 份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种: 白天背和晚上临睡前背.为研究背单词时间安排对记忆效果的影响,该社团以 5%的比例对这 1000 名学 生按时间安排类型进行分层抽样,并完成一项实 验,实验方法是,使两组学生记忆 40 个无意义音节(如

XIQ、 ),均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在 8 小时后进行记忆测验.不同的是,甲组同学识记 GEH
结束后一直不睡觉,8 小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8 小时后叫醒测验. 两组同学识记停止 8 小时后的准确回忆(保持 )情况如图(区间含左端点而不含右端点)

(1)估计 1000 名被调查的学生中识记停止后 8 小时 40 个音节 的保持率大于等于 60%的人数; (2)从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选 3 人,记能准确回忆 20 个以上(含 20)的人 数为随机变量 X,求 X 分布列及数学期望; (3)从本次实验的结果来看,上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明 理由.

27.(河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第二次质量预测数学(理)试题)

每年的三月十二日,是中国的植树节.林管部门在植树前,为 保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两批 树苗中各抽测了 10株树苗的高度,规定高于128厘米的为“良种 树苗”,测得高度如下(单位:厘米) 甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133 乙:110,13 0,147,127,146,114,126,110,144,146 (I)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据你填写 的茎叶图,对甲、乙两批树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度 的统计结论; (II)设抽测的10株甲种树苗髙度平均值为 将这10株树

苗的高度依次输人按程序 框图进行运算,(如图)问输出的S大小为多少?并说明S的统计学意义;

第8页

(III)若小王在甲批树苗中随机领取了 5株进行种植,用样本的频率分布估计总 体分布, 求小王领取到的“良种树苗”株数X的分布列.

28. (河南省信阳高中 2013 届高三 4 月模拟考试(一)数学理试题)某学生社团在对本校学生学习方法开展

问卷调查的过程中发现,在回收上来的 1000 份有效问卷中,同学们背英语单词的时间安排共有两种:白 天背和晚上临睡前背.为研究背单词时间安排对记忆效果的影响,该社团以 5%的比例对这 1000 名学生 按时间安排类型进行分层抽样,并完成一项实验,实验方法是,使两组学生记忆 40 个无意义音节(如 XIQ、 ),均要求在刚能全部记清时就停止识记,并在 8 小时后进行记忆测验.不同的是,甲组同学识记 GEH 结束后一直不睡觉,8 小时后测验;乙组同学识记停止后立刻睡觉,8 小时后叫醒测验. 两组同学识记停止 8 小时后的准确回忆(保持)情况如图(区间含左端点而不含右端点)

(1)估计 1000 名被调查的学生中识记停止后 8 小时 40 个音节的保持率大于等于 60%的人数; (2)从乙组准确回忆因结束在[12,24)范围内的学生中随机选 3 人,记能准确回忆 20 个以上(含 20)的人 数为随机变量 X,求 X 分布列及数学期望; (3)从本次实验的结果来看,上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好? 计算并说明 理由. 29. (河南省十所名校 2013 届高三第三次联考数学(理)试题)为了整顿道路交通秩序,某地考虑将对行人闯 红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通行人中随机选取了 200 人进行调查,得到如下数据:

第9页

(Ⅰ)若用表中数据所得频率代替概率,则处罚 10 元时与处罚 20 元时,行人会闯红灯 的概率的差是多少? (Ⅱ)若从这 5 种处罚金额中随机抽取 2 种不同的金额进行处罚,在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于 20 元的概率; ②若用 X 表示这两种金额之和,求 X 的分布列和数学期望. 30. (河南省洛阳市 2013 届高三二练考试数学(理)试题)(本题满分 12 分) 某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩,分为 5 组制出频率分布直方 图如图所示.

(1)求 a, b , c , d ; (2)该校决定在成绩较好的 3 , 4 , 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试,则每组应各抽多少名学 生? (3)在(2)的前提下,已知面试有 4 位考官,被抽到的 6 名学生中有两名被指定甲考官面试,其余 4 名 则随机分配给 3 位考官中的一位对其进行面试,求这 4 名学生分配到的考官个数 X 的分布列和期 望.

31. (河南省六市 2013 届高中毕业班第一次联合考试数学(理)试题)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,

等级系数 ξ 依次为 1,2,,8,其中 ξ ≥5 为标准 A,ξ ≥3 为标准 B,产品的等级系数越大表明产品的质量 越好,已知某厂执行标准 B 生产该产品,且该厂的产品都符合相应的执行标准. (Ⅰ)从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3.5 3 3 8 5 5 6 3 4 6.3 4 7 5 3 4 8 5 3 8.3 4 3 4 4 7 5 6 7 该行业规定产品的等级系数 ξ ≥7 的为一等品,等级系数 5≤ξ <7 的为二等品,等级系数 3≤ξ <5 的为 三等品,试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (Ⅱ) 已 知 该 厂 生 产 的 一 件 该 产 品 的 利 润 y( 单 位 : 元 ) 与 产 品 的 等 级 系 数 ξ 的 关 系 式

?1,3≤?<5, ? 为:y= ?2,5≤?<7, 从该厂生产的产品中任取一件,其利润记为 X,用这个样本的频率分布估计总体分 ?4, ?≥7, ?
布,将频率视为概率,求 X 的分布列和数学期望.
第 10 页

32. (河南省开封市 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)某苗木公司要为一小区种植三棵景观树,有

甲、乙两种方案. 甲方案:若第一年种植后全部成活,小区全额付款 8 千元;若第一年成活率不足 任何款项;若成活率超过

1 ,终止合作,小区不付 2

1 ,但没有全成活,第二年公司将对没有成活的树补种,若补种的树全部成活, 2

小区付款 8 千元,否则终止合作,小区付给公司 2 千元. 乙方案:只种树不保证成活,每棵树小区付给公司 1.3 千元.苗木公司种植每棵树的成本为 1 千元,这种 树的成活率为

2 . 3

(I)若实行甲方案,求小区给苗木公司付款的概率; (Ⅱ)公司从获得更大利润考虑,应选择那种方案.

33. (河南省焦作市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)甲、乙两同学进行下棋比赛,约定每局胜者

得 1 分,负者得 0 分(无平局),比赛进行到有一个人比对方多 2 分或比满 8 局时停止,设甲在每局中获胜 的概率为 P(P>

1 5 ),且各局胜负相互独立,已知第二局比赛结果时比赛停止的概率为 . 2 8

(1)若右图为统计这次比赛的局数 n 和甲、乙的总的得分 S,T 的程序框图,其中如果甲获胜,输入 a=1,b=0;如果乙获胜,则输入 a=0,b=1.请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件? (2)求 P 的值; (3)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

第 11 页

34. (河南省 2013 届高三新课程高考适应性考试(一)数学(理)试题)某校从参加某次知识竞赛的 同学中,

选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图中的 信息, 回答下列问题.

(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,记[70,100]记 1 分,用 X 表示抽 取结束后的总记分,求 X 的分布列和数学期望.

35. (河北省武邑中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题) 如图,在斜三棱柱

ABC ? A1 B1C1

中, ?A1 AB ? ?A1 AC , AB ? AC , A1 A ? A1 B ? a , 侧面 B 1 BCC 1 与底面 ABC 所成的二面角为 120 ? ,E、F 分别是棱 B1C1、A1 A 的中点. (1)求 A1 A 与底面 ABC 所成的角; (2)证明 A1 E ∥平面 B1 FC ; (3)求经过 A1、A、B、C 四点的球的体积.

36. (河北省武邑中学 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)某校中学生篮球队假期集训,集训前共有

6 个篮球,其中 3 个是新球(即没有用过的球),3 个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意 取出 2 个球,用完后放回. (1)设第一次训练时取到的新球个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.

第 12 页

37. (河北省唐山市 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)某公司共冇职工 8000 名,从中随机抽取了 100
名 表: 公司规定,按照乘车所用时间每月发给职 工 路途补贴,补贴金额 Y ( 元)与乘市时 间 t ( 分钟)的关系是 , 调 杏 上 、 下 班 乘 车 所 用 时 间 , 得 下

y ? 200 ? 40[

t t t ] ,其中 [ ] 表示不超过 [ ] 的最大整数.以样本频率为概率: 20 20 20

(I) 估算公司每月用于路途补贴的费用总额(元); (II)以样本频率作为概率,求随机选取四名职工,至少冇两名路途补贴超过 300 元的概率.

38.(河北省石家庄市2013 届高三下学期第二次质量检测数学 (理) 试题) 某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素

质 测试, 随机抽取了部分学生的成绩,得到如图所示的成绩 频率分布直方图. (I )估计全市学生综合素质成绩的平均值; (II)若评定成绩不低于 8o 分为优秀.视频率为概率,从 全市学生中任选 3 名学生(看作有放回的抽样), 变量 ? 表示 3 名学生中成绩优秀的人数,求变量 ? 的分布列及期望 E (? )

39.(河北省邯郸市 2013 届高三下学期第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)

某大学体育学院在2012年新招的大一学生中,随机抽取了 他们的身高(单位:cm)情况共分成五组:第1 组[175,180),第 2 4

40名男生,

组[180,185),第

3



[185,190),第

组[190,195),第

5

组[195, 200) .得到的频率分布直方图(局部)如图所

示,同时规定身高在185cm以上(含185cm)的学生成为组建该校篮球队的“预备生”. (I)求 第 四 组 的 并 补 布 直 方 图 ; (II)如果用分层抽样的方法从“预备生”和 “非预备生”中选出5人,再从这5人中 随机选2人,那么至少有1人是“预备 生”的概率是多少?
第 13 页

(III)若该校决定在第4,5组中随机抽取2名学生接受技能测试,第5组中有ζ 名学生接受 测试,试求ζ 的分布列和数学期望.

第 14 页

40.(河北省部分重点中学协作体 2013 届高三第一次模拟考试数学(理)试题)某公司向市场投放三种新型

产品,经调 查发现第一种产品受欢迎的概率为 4 ,第二、第三种产品受欢迎的概率分别为 p , q ( p > q ),且

5
不同种产品是否受欢迎相互独立.记 ? 为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量,其分布列为

?
p

0

1

2

3

2 45

a

d

8 45

(I)求该公司至少有一种产品受欢迎的概率; (II)求 p , q 的值; (III)求数学期望 E? .

41. (河北省保定市 2013 届高三第一次模拟数学理试题(WORD 版) 每一个父母都希望自己的孩子能升上比较 )

理想的中学,于是就催生了“择校热”,这样“择校”的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了. 若某生由于种种原因,每天只能 6:15 骑车从家出发到学校,途经 5 个路口,这 5 个路口将家到学校分成 了 6 个路段,每个路段的骑车时间是 10 分钟(通过路口的时间忽略不计),假定他在每个路口遇见红灯的 概率均为

1 ,且该生只在遇到红灯或到达学校才停车.对每个路口遇见红灯的情况统计如下: 3

(1)设学校规定 7:20 后(含 7:" 20)到校即为迟到,求这名学生迟到的概率; (2)设 ? 表示该学生第一次停车时已经通过的路口数,求它的分布列与期望.

第 15 页

【精品推荐】新课标全国统考区(山西、河南、河北)2013 届高三名校理科最新试题精选(31 套)分类汇 编 12:概率参考答案 一、选择题

A 2. A 3. D
1. 4.

D A 6. B 7. A 8. D 9. B 10. C 11.解析:记抽验的产品是甲级品为事件 A,是乙级品为事件 B,是丙级品为事件 C,这三个事件彼此互斥,因而抽 验产品是正品(甲级)的概率为 P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92. 答案:C 12. D
5. 二、填空题 13. 14. 15.

13 36

?0,1?
1 6

16. 23 三、解答题 17. (Ⅰ) a ? 50 ? 0.1 ? 5, b ?

15 ? 0.3, c ? 10, d ? 0.2 50

(Ⅱ)X 的可能取值为 2,3,4,

1 P( X ? 2) ? 0.2 ? 0.2 ? 0.04, P( X ? 3) ? C2 0.2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.064,

1 P( X ? 4) ? C3 0.2 ? 0.82 ? 0.83 ? 0.896

所以分布列为 X P 2 0.04 3 0.064 4 0.896

E ( X ) ? 2 ? 0.04 ? 3 ? 0.064 ? 4 ? 0.896 ? 3.856
18.

第 16 页

19.

20. 【解】:(1)众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米

(2)













PM2.5













7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5 (微克/立方米). 因为 40.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准,
故该居民区的环境需要改进. (3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准”, 则 P( A) ?

9 . 10

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且 ?

? B(2,

9 ). 10

第 17 页

所以 P(?

?
p

9 9 ? k ) ? C2k ( ) k (1 ? ) 2?k (k ? 0,1, 2) , 10 10
0 1

所以变量 ? 的分布列为 2

1 100

18 100

81 100

E? ? 0 ?

1 18 81 9 ? 1? ? 2? ? 1.8 (天),或 E? ? nP ? 2 ? ? 1.8 (天) 1 2 分 100 100 100 10

21.由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、50 和 40.

(1)该合唱团学生参加活动的人均次数为 1?10 ? 2 ? 50 ? 3 ? 40 ? 230 ? 2.3 100 100
2 2 2 (2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为 P0 ? C10 ? C50 ? C40 ? 41 2 C100 99

(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动”为事件 A ,“这 两人中一人参加 2 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 B ,“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参 加 3 次活动”为事件 C .易知
1 1 P(? ? 1) ? P( A) ? P( B) ? C10C50 ? C50C40 ? 50 ; P(? ? 2) ? P(C ) ? C10C40 ? 8 ; 2 4 2

1

1

1

1

C100

C100

99

C100

99

? 的分布列:
?
0
41 99

1
50 99

2
8 99

P

? 的数学期望: E? ? 0 ?

41 50 8 2 ? 1? ? 2 ? ? 99 99 99 3

22.解:(Ⅰ)设“从第一小组选出的 2 人选《数学解题思想与方法》”为事件 A,“从第二小组选出的 2 人选

《数学解题思想与方法》”为事件 B.由于事 件 A、B 相互独立, 且 p ( A) ?

C52 2 ? , C62 3

P( B) ?

2 C4 2 ? C62 5

所以选出的 4 人均考《数学解题思想与方法》的概率为

2 2 4 P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? 3 5 15 (Ⅱ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得 4 P(? ? 0) ? , 15 C 2 C1 ? 1 C1 C 2 22 C P(? ? 1) ?? 52 ? 2 2 4 ? 5 ? 4 ? , C6 C6 C62 C62 45

p (? ? 3) ?

1 c5 1 1 . 2 ? 2 c6 c6 45

p (? ? 2) ? 1 ? p(? ? 0) ? p(? ? 1) ? p(? ? 3) ?

? 的分布列为

2 9

第 18 页

?
P

0

1

2

3

4 15

22 45

2 9

1 45

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ?
23.

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 15 45 9 45

24. 解 : 将 质 地 均 匀 的 两 枚 硬 币 抛 掷 两 次 朝 上 的 面 有 等 可 能 的 四 种 结 果 :

?正, 正?

,

?正, 反? , ?反, 正? , ?反, 反? ,
所以 3 个人中,每个人去参加甲游戏的概率为

1 3 ,去参加乙游戏的概率为 4 4

设“这 3 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai ?i ? 0,1,2,3?

?1? 则 P ? Ai ? ? C ? ? ?4?
i 3

i

?3? ? ? ?4?

3? i

第 19 页

?1? ?3? (1)这 3 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P? A2 ? ? C ? ? ? ? ?4? ?4?
2 3

2

3? 2

?

9 64

(2)设“这 3 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B ,则 B ? A3 ? A2 ,

1 9 5 ?1? 2? 1 ? ? 3? 由于 A3与A2 互斥,故 P?B ? ? P? A3 ? ? P? A2 ? ? C ? ? ? C 3 ? ? ? ? ? . ? ? ?4? ? 4 ? ? 4 ? 64 64 32
3 3

3

2

所以, 这 3 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能取值为 1,3 , 由于 A1 与 A2 , A0 与 A3 互斥,故

5 32

9 ? 1 ? ? 3 ? 27 9 1 ? 1 ?? 3 ? P?? ? 1? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? C 3 ? ?? ? ? C 32 ? ? ? ? ? , [来源:学、科、网 Z、X、 ? ? ? 4 ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? 64 64 16
X、K]

2

2

27 1 7 ?3? 3? 1 ? P?? ? 3? ? P? A0 ? ? P? A3 ? ? C ? ? ? C 3 ? ? ? ? ? 64 64 16 ?4? ?4?
0 3

3

3

所以, ? 的分布列为

?
P

1

3
7 16
9 7 30 15 ? 3? ? ? 16 16 16 8

9 16

所以随机变量 ? 的数学期望 E? ? 1 ?
25.

第 20 页

1 3 , (Ⅲ) ? 可能的取值为 0,2,.
由(Ⅰ),(Ⅱ)得 P (? ? 0) ?

C1 1 1 1 7 , P (? ? 1) ? , P (? ? 3) ? 3· 2 ? . 2 C4 C6 30 5 15
3 . 10

从而 P (? ? 2) ? 1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) ?

? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 5

7 15

3 10

1 30

1 7 3 1 7 ? 的数学期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 15 10 30 6 26.解:(Ⅰ)∵ 1000 ? 5% ? 50 , 由甲图知,甲组有 4 ? 10 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 30 (人),∴乙组有 20 人. 又∵ 40 ? 60% ? 24 ,
∴识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的在甲组中有 1 人 乙组有 (0.0625 ? 0.0375) ? 4 ? 20 ? 8 (人) ∴ (1 ? 8) ? 5% ? 180 即估计 1000 名被调查的学生中识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的人数为 180 人. ? 4? (Ⅱ)由乙图知,乙组在 [12, 24) 之间有 (0.025 ? 0.025 ? 0.075) ? 4 ? 20 ? 10 (人) 在 [20, 24) 之间有 0.075 ? 4 ? 20 ? 6 (人)
第 21 页

∴ X 的可能取值为 0,1,2,3 ? 6?

P( X ? 0) ?

3 0 C4 C6 1 , ? 3 C10 30 2 1 C4 C6 3 ? , 3 C10 10

P( X ? 1) ?

1 C4C62 1 P( X ? 2) ? 3 ? , C10 2 0 3 C4 C6 1 ? ?8? 3 C10 6

P( X ? 3) ?

∴ X 的分布列为

X P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

数学期望 E ( X ) ? 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5
1 288 1 ? ? ? 9.6 ? 0.24 40 30 40

?10?

(Ⅲ)甲组学生准确回忆音节数共有: 2 ? 4 ? 6 ? 10 ? 10 ? 8 ? 14 ? 4 ? 18 ? 21 ? 22 ? 1 ? 26 ? 1 ? 288 个 故甲组学生的平均保持率为

乙组学生准确回忆音节数共有: (6 ? 0.0125 ? 10 ? 0.0125 ? 14 ? 0.025 ? 18 ? 0.025 ? 22 ? 0.075 ? 26 ? 0.0625 ? 30 ? 0.0375) ? 4 ? 432 个 故乙组学生平均保持率为
1 432 1 ? ? ? 21.6 ? 0.54 ? 0.24 , 40 20 40

所以临睡前背单词记忆效果更好. ?12? (只要叙述合理都给分)
27.解: (Ⅰ)茎叶图略. ―――2 分

统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为 127 ,乙种树苗的中位数为 128.5 ; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近, 乙种树苗的高度分布较为分散. ―――4 分(每写出一个统计结论得 1 分) (Ⅱ) x ? 127, S ? 135. ――――6 分

S 表示 10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量. S 值越小,表示 长得越整齐, S 值越大,表示长得越参差不齐.――――8 分
(Ⅲ)由题意,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为 所以随机变量 X 的 分布列为
第 22 页

1 1 ,则 X ~ B (5, ) ―――10 分 2 2

X
p

0

1

2

3

4

5

1 32

5 32

5 16

5 16

5 32

1 32

――――12 分 28.解析:(Ⅰ)∵ 1000 ? 5% ? 50 , 由甲图知,甲组有 4 ? 10 ? 8 ? 4 ? 2 ? 1 ? 1 ? 30 (人),∴乙组有 20 人. 又∵ 40 ? 60% ? 24 , ∴识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的在甲组中有 1 人 乙组有 (0.0625 ? 0.0375) ? 4 ? 20 ? 8 (人)∴ (1 ? 8) ? 5% ? 180 即估计 1000 名被调查的学生中识记停止 8 小时后 40 个音节的保持率大于等于 60%的人数为 180 人. ? 4? (Ⅱ)由乙图知,乙组在 [12, 24) 之间有 (0.025 ? 0.025 ? 0.075) ? 4 ? 20 ? 10 (人) 在 [20, 24) 之间有 0.075 ? 4 ? 20 ? 6 (人) ∴ X 的可能取值为 0,1,2,3 ? 6?

P( X ? 0) ?

3 0 C4 C6 C 2C 1 3 C1C 2 1 1 , P ( X ? 1) ? 4 3 6 ? , P ( X ? 2) ? 4 3 6 ? , ? 3 C10 30 C10 10 C10 2

0 3 C4 C6 1 P( X ? 3) ? 3 ? ?8? ∴ X 的分布列为 C10 6

X P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

数学期望 E ( X ) ? 0 ?

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 30 10 2 6 5

?10?

(Ⅲ) 甲组学生准确回忆音节数共有: 2 ? 4 ? 6 ? 10 ? 10 ? 8 ? 14 ? 4 ? 18 ? 21 ? 22 ? 1 ? 26 ? 1 ? 288 个 故甲组学生的平均保持率为
1 288 1 ? ? ? 9.6 ? 0.24 40 30 40

乙组学生准确回忆音节数共有: (6 ? 0.0125 ? 10 ? 0.0125 ? 14 ? 0.025 ? 18 ? 0.025 ? 22 ? 0.075 ? 26 ? 0.0625 ? 30 ? 0.0375) ? 4 ? 432 个 故乙组学生平均保持率为
1 432 1 ? ? ? 21.6 ? 0.54 ? 0.24 , 40 20 40

所以临睡前背单词记忆效果更好. ?12?
29.解:(Ⅰ)由条件可知,处罚 10 元会闯红灯的概率与处罚 20 元会闯红灯的概率的差是:

40 10 3 . ? ? 200 200 20

(Ⅱ)①设“两种金额之和不低于 20 元”的事件为 A ,从 5 种金额中随机抽取 2 种,总的抽选方法共有
2 C5 ? 10 种,满足金额之和不低于 20 元的有 6 种,

第 23 页

故所求概率为 P ( A) ?

6 3 ? . 10 5

②根据条件, X 的可能取值为 5,10,15,20,25,30,35,分布列为

X

5

10

15

20

25

30

35

1 1 1 1 1 10 5 5 5 10 1 1 1 1 1 1 1 EX ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 35 ? =20. 10 10 5 5 5 10 10

P? X ?

1 10

1 10

30.

31.

第 24 页

32.

33.

第 25 页

34.解:(Ⅰ)设分数在 ? 70,80 ? 内的频率为 x,根据频率分布直方图,

则有 (0.01+0.015 ? 2 ? 0.025 ? 0.005) ? 10 ? x ? 1 ,可得 x=0.3. 所以频率分布直方图如图所示:

(Ⅱ)平均分为: x ? 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05
? 71.

(Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有 0.4×60=24 人,在[70,100]的有 0.6×60=36 人, 且 X 的可能取值是 0,1,2. 则 P( X ? 0) ?
2 C1 C1 144 C 2 105 C24 46 , P( X ? 1) ? 24 2 36 ? , P( X ? 2) ? 36 ? . ? 2 2 C60 295 C60 295 C60 295

所以 X 的分布列为:

X P

0
46 295

1
144 295

2
105 295

所以 EX=0×

46 144 105 354 +1× +2× = 295 295 295 295

35.解:(Ⅰ)过 A1 作 A1 H

? 平面 ABC ,垂足为 H .连结 AH ,并延长交 BC 于 G ,

于是 ?A1 AH 为 A1 A 与底面 ABC 所成的角. ∵ ?A1 AB ? ?A1 AC ,∴ AG 为 ?BAC 的平分线.
第 26 页

又∵ AB ? AC ,∴ AG ? BC ,且 G 为 BC 的中点. 因此,由三垂线定理 A1 A ? BC .∵ A1 A // B1 B ,且 EG // B1 B ,∴ EG ? BC . 于是 ?AGE 为二面角 A ? BC ? E 的平面角, 即 ?AGE ? 120 ? . 由于四边形 A1 AGE 为平行四边形,得 ?A1 AG ? 60 ? (Ⅱ)证明:设 EG 与 B1C 的交点为 P ,则点 P 为 EG 的中点.连结 PF . 在平行四边形 AGEA1 中,因 F 为 A1 A 的中点,故 A1 E // FP . 而 FP ? 平面 B1 FC , A1 E ? 平面 B1 FC ,所以 A1 E // 平面 B1 FC (Ⅲ)连结 A1C .在 ?A1 AC 和 ?A1 AB 中,由于 AC ? AB , ?A1 AB ? ?A1 AC , A1 A ? A1 A ,则

?A1 AC ≌ ?A1 AB ,故 A1C ? A1 B .由已知得 A1 A ? A1 B ? A1C ? a .
又∵ A1 H ? 平面 ABC ,∴ H 为 ?ABC 的外心. 设所求球的球心为 O ,则 O ? A1 H ,且球心 O 与 A1 A 中点的连线 OF ? A1 A .

1 a A1 F 3a 3 2 在 Rt?A1 FO 中 , A1O ? .故所求球的半径 R ? ? ? a ,球的体积 ? cos AA1 H cos 30 3 3
4 4 3 3 V ? ?R 3 ? ?a 3 27
36.解:(1) ? 的所有可能取值为 0,1,2

设“第一次训练时取到 i 个新球(即 ? ? i )”为事件 Ai ( i ? 0,1,2).因为集训前共有 6 个篮球,其中 3 个是新球,3 个是旧球,所以

P( A0 ) ? P(? ? 0) ?
所以 ? 的分布列为

C32 1 C 1C 1 3 ? P( A1 ) ? P(? ? 1) ? 3 2 3 ? , C62 5 C6 5

P( A2 ) ? P(? ? 2) ?

C32 1 ? . C62 5

?

0

1

2

P

1 5

3 5

1 5

1 3 1 ? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 1 5 5 5
(2)设“从 6 个球中任意取出 2 个球,恰好取到一个新球”为事件 B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 A0 B ? A1 B ? A2 B .
第 27 页

而事件 A0 B 、 A1 B 、 A2 B 互斥,所以, P( A0 B ? A1 B ? A2 B) ? P( A0 B) ? P( A1 B) ? P( A2 B) . 由条件概率公式,得

1 C 1C 1 1 3 3 P( A0 B) ? P( A0 ) P( B | A0) ? 3 2 3 ? ? ? ? 5 C6 5 5 25
1 1 3 C2C4 3 8 8 , P( A1 B) ? P( A1 ) P( B | A1 ? ? 2 ? ? ? ) 5 C6 5 15 25

,

1 C 1C 1 1 1 1 P( A2 B) ? P( A2 ) P( B | A2) ? 1 2 5 ? ? ? . 所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率 ? 5 C6 5 3 15
为 P ( A0 B ? A1 B ? A2 B ) ?

3 8 1 38 [ ? ? = 25 25 15 75

37.解:(Ⅰ)记一名职工所享受的路途补贴为 X(元).

X 的可能值为 200,240,280,320,360.X 的分布列为 X P 200 0.25 240 0.5 280 0.15 320 0.05 360 0.05

X 的均值为 E(X)=200×0.25+240×0.5+280×0.15+(320+360)×0.05=246. 该公司每月用于路途补贴的费用总额约为 E(8000X)=8000E(X)=1968000(元) (Ⅱ)依题意,当 60≤t≤100 时,y>300. 【D】1.名职工中路途补贴超过 300 元的概率 p=P(60≤t≤100)=0.1, 记事件“4 名职工中至少有 2 名路途补贴超过 300 元”为 A,则 2 2 2 3 3 4 P(A)=C4×0.1 ×0.9 +C4×0.1 ×0.9+0.1 =0.0523 38. (Ⅰ)依题意可知

55 ? 0.12 ? 65 ? 0.18+75 ? 0.40+85 ? 0.22+95 ? 0.08 =74.6
所以综合素质成绩的的平均值为 74.6 ( 008+0. ) . , 022 =0 3 (Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为 10 ? 0. 由题意知 ? ? B (3, 故其分布列为

3 3 7 ) , p (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k 10 10 10
0 1 2 3

p

?

343 1000 3 9 ? 10 10

441 1000

189 1000

27 1000

E (? ) ? 3 ?
39.

解:(Ⅰ) 其它组的频率和为 (0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8, 所以第四组的频率为 0.2

第 28 页

(Ⅱ)依题意“预备生”和“非预备生”的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有“预 备生”3 人,“非预备生” 2 人,记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是“预备生”为事件 A

? P( A) ? 1 ? P( A) = 1 ?

2 C2 1 9 ? 1? ? 2 C5 10 10

(Ⅲ)由频率分布直方图可知,第四组的人数为 8 人,第五组的人数为 4 人 ? 的所有可能取值为 0,1,2
1 1 C82 14 C8C4 16 C2 1 , P (? ? 2) ? 4 ? P(? ? 0) ? 2 ? , P(? ? 1) ? 2 ? 2 C12 33 C12 33 C12 11

?
? ? 的分布列为:
P

0

1

2

14 33

16 33

1 11

? E ?) 0 ? ( ?

14 16 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 33 33 11 3 4 , P ( A2 ) ? p , P ( A3 ) ? q 5

40.解:设事件 Ai 表示“该公司第 i 种产品受欢迎”, i =1,2,3,由题意知 P ( A1 ) ?

41.

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