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均值不等式归纳总结


均值不等式归纳总结 1. (1)若 a, b ? R ,则 a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”) 2. (1)若 a, b ? R * ,则 a ? b ?
2 ab

(2)若 a, b ? R ,则 ab ? a

2

? b2 2

(2)若 a, b

? R * ,则 a ? b ? 2 ab

( 当

且仅当 a ? b 时取“=” )
a ?b? (3)若 a, b ? R * ,则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

3.若 x ? 0 ,则 x ? ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” )

1 x 1 若 x ? 0 ,则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) x

若 x ? 0 ,则 x ? 1
x
b a

? 2即x ?

1 1 ? 2或x ? ? -2 x x

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

4.若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2

(当且仅当 a ? b 时取“=” ) (当且仅当 a ? b 时取

若 ab ? 0 ,则 a ? b ? 2即 a ? b ? 2或 a ? b ? -2
b a b a b a

“=” ) 5.若 a, b ? R ,则 ( a ? b ) 2 ? a
2
2

? b2 2

(当且仅当 a ? b 时取“=” )

『ps.(1)当两个正数的积为定植时, 可以求它们的和的最小值, 当两 个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值, 正所谓 “积 定和最小,和定积最大” . (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等 式、解决实际问题方面有广泛的应用』


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