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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 专题二 创新性问题


专题二 创新性问题

新课程标准要求学生对“新颖的信息、情景和设问选择有效的方法和手段收集信息,综 合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探索和探究,提出解决问题 的思路,创造性地解决问题.”随着新一轮课程改革的深入和推进,高考的改革使知识立意 转向能力立意,推出了一批新颖而又别致,具有创新意识和创新思维的新题. 高考创新性问题重点出在函数、数列、不等式、立体几何和解析几何等方面,大多会结 合合情推理知识点出探索型问题(特别是解答题), 应加强对这些内容的研究; 创新题型多出 现与经济、 生活密切相关(像概率、 线性规划等)的数学问题, 题目新颖, 数学知识并不复杂, 关注以下三种类型: 新定义型 新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点,此类题目常常以“问题”为核 心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,常见的命题形式有新定义、新运算、新性质, 考查考生理解问题、解决创新问题的能力. - (1)(2014·高考广东卷)对任意复数 ω 1,ω 2,定义 ω 1*ω 2=ω 1ω 2,其中ω 2 是 ω 2 的共轭复数,对任意复数 z1,z2,z3 有如下四个命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3); ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3); ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3); ④z1*z2=z2*z1. 则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2014·高考福建卷)在平面直角坐标系中,两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L?距 离”定义为||P1P2┃=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2 的“L? 距离”之和等于定值(大于||F1F2┃)的点的轨迹可以是( )

- - - [解析] (1)由题意得(z1+z2)*z3=(z1+z2) z3 =z1 z3 +z2 z3 =z1*z3+z2*z3,故①正确;

z1*(z2+z3)=z1( z2+z3 )=z1 z2 +z1 z3 = (z1*z2) + (z1*z3) , 故②正确; (z1*z2)*z3=z1 z2 z3 ,
而 z1*(z2*z3)=z1 z2 z3 故③错误;z1*z2=z1 z2 ,而 z2* z1=z2 z1 ,故④不正确.故选 B. (2)设 F1(-c,0),F2(c,0),P(x,y),则点 P 满足:||PF1┃+||PF2┃=2a(2a>||F1F2 ?x+a,x<-c, ┃),代入坐标,得|x+c|+|x-c|+2|y|=2a.当 y>0 时,y=?a-c,-c≤x≤c,当 y≤0

?

? ?-x+a,x>c.

-x-a,x<-c, ? ? 时,y=?c-a,-c≤x≤c,所以图象应为 A. ? ?x-a,x>c. [答案] (1)B (2)A [规律方法] 解决新定义问题分为三步: (1)对新定义进行信息提取,确定化归的方向; (2)对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法; (3)对定义中提出的知识进行转换,有效地输出.其中对定义信息的提取和转化与化归 是解题的关键,也是解题的难点.

类比归纳型 类比归纳型创新题给出了一个数学情景或一个数学命题, 要求用发散思维去联想、 类比、 推广、 转化, 找出类似的命题, 或者根据一些特殊的数据、 特殊的情况去归纳出一般的规律, 这是新课程较为重视的类比推理、归纳推理.主要考查学生的观察、分析、类比、归纳的能 力,从不变中找规律,从不变中找变化. (2014·高考北京卷)对于数对序列 P:(a1,b1),(a2,b2),?,(an,bn),记 T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+?+ak}(2≤k≤n),其中 max{Tk-1(P),a1 +a2+?+ak}表示 Tk-1(P)和 a1+a2+?+ak 两个数中最大的数. (1)对于数对序列 P:(2,5),(4,1),求 T1(P),T2(P)的值; (2)记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对 序列 P:(a,b),(c,d)和 P′:(c,d),(a,b),试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2(P) 和 T2(P′)的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列 中,写出一个数对序列 P 使 T5(P)最小,并写出 T5(P)的值.(只需写出结论) [解] (1)T1(P)=2+5=7, T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d}, T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}. 当 m=a 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为 a+b+d≤c+b+d,且 a+c+d≤c+b+d,所以 T2(P)≤T2(P′). 当 m=d 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为 a+b+d≤c+a+b,且 a+c+d≤c+a+b,所以 T2(P)≤T2(P′). 所以无论 m=a 还是 m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立. (3)数对序列 P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的 T5(P)值最小. T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52. [规律方法] 解决创新性问题应注意: 认真审题, 确定目标; 深刻理解题意; 开阔思路, 发散思维,运用观察、比较、类比、联想、猜想等带有非逻辑思维成分的合理推理,以便为 逻辑思维定向.方向确定后,又需借助逻辑思维,进行严格推理论证,这两种推理的灵活运 用,两种思维成分的交织融合,便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略.

信息迁移型 创新题是指以学生已有的知识为基础,并给出一定容量的新信息,通过阅读,从中获取 有关信息, 捕捉解题信息, 发现问题的规律, 找出解决问题的方法, 并应用于新问题的解答, 它既能有效地考查学生的思维品质和学习潜力,又能考查学生的综合能力和创新能力.

(2013· 高 考 重 庆 卷 ) 对 正 整 数 n , 记 In = {1 , 2 , ? , n} , Pn = ? m ? |m∈In,k∈In?. k ? ? (1)求集合 P7 中元素的个数; (2)若 Pn 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方,则称 A 为“稀疏集”,求 n 的 最大值,使 Pn 能分成两个不相交的稀疏集的并. ? m ? ? ? [解] (1)当 k=4 时,? |m∈I7?中有 3 个数与 I7 中的 3 个数重复,因此 P7 中元素的 ? k ? ? ?
? ? ? ? ?

个数为 7×7-3=46. (2)先证:当 n≥15 时,Pn 不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设 A,B 为不相 2 交的稀疏集, 使 A∪B=Pn?In.不妨设 I∈A, 则因为 1+3=2 ,故 3?A,即 3∈B.同理,6∈A, 2 10∈B,又推得 15∈A,但 1+15=4 ,这与 A 为稀疏集矛盾.
? m ? |m∈I14?=I14 可分成两个稀疏集之并,事实上,只 ? k ? ? ? 要取 A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},则 A1,B1 为稀疏集, 且 A1∪B1=I14. ? m ? ?1 3 5 13? ? ? 当 k=4 时, 集合? |m∈I14?中除整数外剩下的数组成集? , , ,?, ?, 可求解为 2? ?2 2 2 ? ? ? k ?

再证 P14 符合要求.当 k=1 时,?

? ?

?1 5 9 11? ?3 7 13? 下面两稀疏集的并:A2=? , , , ?,B2=? , , ?. 2 2 2 2 ? ? ?2 2 2 ?

当 k = 9 时 , 集 合 ?

? ?

m? ? ?m∈I14? 中 除 正 整 数 外 剩 下 的 数 组 成 集 k? ?

?1 2 4 5 ?1 4 5 10 13? 13 14? ? , , , ,?, , ?,可分解为下面两稀疏集的并:A3=? , , , , ?, 3 3? 3? ?3 3 3 3 ?3 3 3 3 ?2 7 8 11 14? B3=? , , , , ?. 3? ?3 3 3 3 ? ? m ? ? 最后,集合 C=? |m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9?中的数的分母均为无理数,它与 P14 k ? ? ? ?

中的任何其他数之和都不是整数,因此,令 A=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,则 A 和 B 是 不相交的稀疏集,且 A∪B=P14. 综上可知,所求 n 的最大值为 14. [规律方法] 本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识,本 题属于信息给予题, 通过定义“稀疏集”这一概念, 考查考生分析探究及推理论证的能力. 综 合考查集合的基本运算,集合问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视. 1.(2015·吉林长春调研)对于非空实数集 A,记 A ={y|?x∈A,y≥x}.设非空实数 集合 M,P 满足:M?P,且若 x>1,则 x?P.现给出以下命题: * * ①对于任意给定符合题设条件的集合 M,P,必有 P ?M ; * ②对于任意给定符合题设条件的集合 M,P,必有 M ∩P≠?; * ③对于任意给定符合题设条件的集合 M,P,必有 M∩P =?; * ④对于任意给定符合题设条件的集合 M,P,必存在常数 a,使得对任意的 b∈M ,恒有 * a+b∈P ,其中正确的命题是( ) A.①③ B.③④ C.①④ D.②③ ? ? ? ? 1? 1? * * 解析:选 C.对于②,假设 M=P=?x?0<x< ?,则 M =?y?y≥ ?,则 M ∩P=?,因此②错 2? 2? ? ? ? ? ? ? 1? 1 1 * * 误;对于③,假设 M=P=?x?0<x≤ ?,则 ∈M,又 ∈P ,则 M∩P ≠?,因此③也错误;而 2? 2 2 ? ? ①和④都是正确的.
*

1? ? 1 2.(2015·贵州省六校联考)给出定义:若 x∈?m- ,m+ ?(其中 m 为整数),则 m 叫 2? ? 2 做与实数 x“亲密的整数”,记作{x}=m,在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x-{x}| 的四个命题:①函数 y=f(x)在 x∈(0,1)上是增函数;②函数 y=f(x)的图象关于直线 x = (k∈Z)对称; ③函数 y=f(x)是周期函数, 最小正周期为 1; ④当 x∈(0, 2]时, 函数 g(x) 2 =f(x)-ln x 有两个零点.其中正确命题的序号是( ) A.②③④ B.①③ C.①② D.②④ ? 1 1? f(x)=|x-{x}|=|x-0|; ?1 3? 解析: 选 A. 由函数定义可知当 x∈?- , ?时, 当 x∈? , ? ? 2 2? ?2 2? 时,f(x)=|x-{x}|=|x-1|; ?3 5? 当 x∈? , ?时,f(x)=|x-{x}||x-2|;?.可以作出函数的图象(如图),根据函数 ?2 2? 的图象可以判断①错误,②③是正确的,④由函数的图象再作出函数 y=ln x,x∈(0,2] 的图象,可判断有两个交点,故④也正确.

k

3.若有穷数列 a1,a2,?,an(n 是正整数)满足 a1=an,a2=an-1,?,an=a1,即 ai= an-i+1(i 是正整数,且 1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.已知数列{bn}是项数为 7 的 “对称数列”,且 b1,b2,b3,b4 成等差数列,b1=2,b4=11,则{bn}的项为________. 解析:设数列 b1,b2,b3,b4 的公差为 d,则 b4=b1+3d=2+3d=11,解得 d=3,所以 数列{bn}的项为 2,5,8,11,8,5,2. 答案:2,5,8,11,8,5,2 4.(2015·海淀区第二学期期中练习)已知向量序列:a1,a2,a3,?,an,?满足如下 条件: |a1|=4|d|=2, 2a1· d=-1 且 an-an-1=d(n=2, 3, 4, ?). 若 a1· ak=0, 则 k=________; |a1|,|a2|,|a3|,?,|an|,?中第________项最小. 解析:因为 an-an-1=d,所以 a2-a1=d,a3-a2=d,?,an-an-1=d,利用叠加法可 2 得 an=a1+(n-1)d.因为 a1·ak=0,所以 a1·[a1+(k-1)d]=0,a1+(k-1)a1·d=0,即 2 (n-1) 1 ? 1? 2 2 2 2 4+(k-1)?- ?=0,k=9.又 an=a1+(n-1) d +2(n-1)a1·d= -(n-1)+4= 4 4 ? 2? 2 2 (n-3) +3,所以当 n=3 时,an取最小值,即|an|取最小值. 答案:9 3 5.(2015·海淀区第二学期期中练习)在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共 线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n):A1,A2,A3,?,An 与 B(n):B1, B2,B3,?,Bn,其中 n≥3,若同时满足:①两点列的起点和终点分别相同;②线段 AiAi+1 ⊥BiBi+1,其中 i=1,2,3,?,n-1,则称 A(n)与 B(n)互为正交点列. (1)求 A(3):A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列 B(3); (2)判断 A(4):A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)是否存在正交点列 B(4)?并说 明理由; (3)?n≥5,n∈N,是否都存在无正交点列的有序整点列 A(n)?并证明你的结论. 解:(1)设点列 A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列是 B1,B2,B3, → → 由正交点列的定义可知 B1(0,2),B3(5,2),设 B2(x,y),由A1A2=(3,-2),A2A3=(2, → → 2),B1B2=(x,y-2),B2B3=(5-x,2-y),

→ → → → 由正交点列的定义可知A1A2·B1B2=0,A2A3·B2B3=0, ?3x-2(y-2)=0 ?x=2 ? ? 即? ,解得? , ? ? ?2(5-x)+2(2-y)=0 ?y=5 所以点列 A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列是 B1(0,2),B2(2,5),B3(5,2). → → → (2)由题可得A1A2=(3,1),A2A3=(3,-1),A3A4=(3,1), 设点列 B1,B2,B3,B4 是点列 A1,A2,A3,A4 的正交点列, → → → 则可设B1B2=λ 1(-1,3),B2B3=λ 2(1,3),B3B4=λ 3(-1,3),λ 1,λ 2,λ 3∈Z, 因为 A1 与 B1,A4 与 B4 相同,所以有 -λ 1+λ 2-λ 3=9,① 3λ 1+3λ 2+3λ 3=1,② 因为 λ 1,λ 2,λ 3∈Z,方程②显然不成立, 所以有序整点列 A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)不存在正交点列. (3)?n≥5,n∈N,都存在整点列 A(n)无正交点列. ?n≥5,n∈N,设 AiAi+1=(ai,bi),其中 ai,bi 是一对互质整数,i=1,2,3,?,n -1, 若有序整点列 B1,B2,B3,?,Bn 是点列 A1,A2,A3,?,An 的正交点列, 则 BiBi+1=λ i(-bi,ai),i=1,2,3,?,n-1, (-λ ibi)= ? ai,(*)= ? λ iai= ? bi,(**) i=1 i=1 i=1 i=1 ?1,i为奇数 ? ①当 n 为偶数时,取 A1(0,0),ai=3,bi=? , ? ?-1,i为偶数 i=1,2,3,?,n-1. 由于 B1,B2,B3,?,Bn 是整点列,所以有 λ i∈Z,i=1,2,3,?,n-1. 等式(**)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A1,A2,A3,?,An 无正交点列; ②当 n 为奇数时, ?1,i为奇数 ? 取 A1(0,0),a1=3,b1=2,ai=3,bi=? ,i=2,3,?,n-1, ? ?-1,i为偶数 由于 B1,B2,B3,?,Bn 是整点列,所以有 λ i∈Z,i=1,2,3,?,n-1. 等式(**)中左边是 3 的倍数,右边等于 1,等式不成立, 所以该点列 A1,A2,A3,?,An 无正交点列. 综上所述,?n≥5,n∈N,都存在无正交点列的有序整点列 A(n). 则有

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