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【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第8章 第6节 双曲线课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 8 章 第 6 节 双曲线课后 限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题

y2 1.(2014?苏州调研)已知双曲线 x - =1(m>0)的离心率为 2,则 m 的值为________. m
2

[解析] ∵a =1,b =m,c= 1+m,∴e

= = [答案] 3

2

2

c a

1+m =2,∴m=3. 1

x2 y2 2.(2014?苏锡常镇四市调研)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 的一个 9 m
焦点为(5,0),则实数 m=________. [解析] 由题设知 a =9,b =m,∴9+m=25,∴m=16. [答案] 16 3. (2014?苏州四市期末检测)已知双曲线 2- 2=1 的一条渐近线方程为 2x-y=0, 则 该双曲线的离心率为________. [解析] 由题意得 =2,∴b=2a,∴c =a +b =a +4a =5a , ∴c= 5a,∴e= = 5. [答案] 5
2 2

x2 y2 a b

b a

2

2

2

2

2

2

c a

4.(2014?南通、扬州、泰州、连云港、淮安五市调研)在平面直角坐标系 xOy 中,曲 线 C 的离心率为 2,且过点(1, 2),则曲线 C 的标准方程为________. [解析] 由离心率 2>1 知曲线 C 是双曲线.∵双曲线的离心率为 2,∴该双曲线为等 轴双曲线, 设双曲线方程为 x -y =m,将点(1, 2)坐标代入,得 1-2=m, ∴m=-1 故双曲线方程为 y -x =1. [答案] y -x =1 5.(2014?徐州市、宿迁市质检)已知点 P(1,0)到双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一 1 条渐近线的距离为 ,则双曲线 C 的离心率为________. 2
1
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

b 1 b b 1 [解析] 渐近线方程为 y=± x 即 bx±ay=0,∴ = 2 ,整理得 2= ,故 e= 2 a 2 a 3 a +b b2 1+ 2= a
[答案] 1 2 3 1+ = . 3 3 2 3 3

2

x2 y2 6.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点 a b
的距离为 1,则双曲线 C 的方程为________. [解析] 依题意 c-a=1,① 又 e= =2,即 c=2a,② 由①②联立,得 a=1,c=2. ∴b =c -a =3,故双曲线 C 为 x - =1. 3 [答案] x - =1 3 7.(2014?泰州期末检测)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, 以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P.若∠PF1F2=30°,则该双曲线的离心率 为________. [解析] 因为以 F1F2 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P,故∠F1PF2=90°,又 ∠PF1F2=30°, F1F2=2c, ∴PF1= 3c, PF2=c, 由双曲线的定义知 2a=PF1-PF2=( 3-1)c, 2c 2c ∴e= = = 3+1. 2a ? 3-1?c [答案] 3+1
2 2 2 2 2 2 2 2

c a

y2

y2

x2 y2 a b

x2 y2 8.(2014?盐城模拟)若圆 x +y =r 过双曲线 2- 2=1 的右焦点 F,且圆与双曲线的 a b
渐近线在第一、四象限的交点分别为点 A,B,当四边形 OAFB 为菱形时,双曲线的离心率为 ________. [解析] 由题意,得 OA=OF=AF,∴ =tan ∴e= [答案] 2 二、解答题 9.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
2

b a

π = 3, 3

1+? ? =2.

?b?2 ?a?

5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12). (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7). (4)右焦点为( 5,0)且与双曲线 - =1 有相同的渐近线. 4 16 [解] (1)设双曲线的标准方程为

x2

y2

x2 y2 y2 x2 - = 1 或 - =1(a>0,b>0). a2 b2 a2 b2 c 5 由题意知:2b=12,e= = . a 4
∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a =12. 又 2c=26,∴c=13.∴b =c -a =25. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 (3)设双曲线方程为 mx -ny =1(mn>0). 1 m=- ,? ? ? 75 解得? 1 n=- . ? ? 25
2 2 2 2 2

x2

y2

y2

x2

y2

x2

?9m-28n=1,? ? ∴? ?72m-49n=1, ?

∴双曲线的标准方程为 - =1 25 75 (4)∵双曲线 C 与 C′: - =1 有相同的渐近线, 4 16 ∴设双曲线 C 的方程为 - =λ (λ ≠0). 4 16 则双曲线 C: - =1, 4λ 16λ 又双曲线 C 的右焦点为( 5,0), 1 ∴c= 5,则 4λ +16λ =5,∴λ = . 4 故所求双曲线 C 的方程为 x - =1. 4
2

y2

x2 y2

x2

x2

y2

x2

y2

y2

3

π 10.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,一条渐近线的倾斜角为 ,点(-4,- 3 6)在双曲线上,直线 l 的方程为 x-my-4=0. (1)求双曲线的方程; (2)若 l 与双曲线的右支相交于 A,B 两点,试证:以 AB 为直径的圆 M 必与双曲线的右 准线相交. [解] (1)由题意,设双曲线的方程为 3x -y =λ ,
2 2 2 2

∵点(-4,-6)在双曲线上,∴λ =3?4 -6 =12, 故所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 (2)由 l 的方程为 x-my-4=0,且 l 过双曲线的右焦点 F(4,0), 设 AB 的中点为 M.A,B,M 在右准线上的射影分别为 A1,B1,M1, 则

x2

y2

AF BF = =e=2, AA1 BB1 AF+BF AB =2,即 =AA1+BB1, AA1+BB1 2

所以

1 所以圆 M 的半径 R=2MM1=2d,所以 d= R<R,故圆 M 必与右准线相交. 2 [B 级 能力提升练] 一、填空题 1.(2014?无锡模拟)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与直线 y= 3x 无交点,则离心率

x2 y2 a b

e 的取值范围是________.
[解析] 因为双曲线的渐近线为 y=± x, 要使直线 y= 3x 与双曲线无交点,则直线 y= 3x 应在两渐近线之间. 所以有 ≤ 3,即 b≤ 3a,所以 b ≤3a , ∴c -a ≤3a ,则 c ≤4a ,故 1<e≤2. [答案] (1,2] 2.设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在 点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近 线方程为____________. [解析] 设 PF1 的中点为 M,由|PF2|=|F1F2|得 F2M⊥PF1,由 F2 到直线 PF1 的距离等于双
4
2 2 2 2 2

b a

b a

2

2

x2 y2 a b

曲线的实轴长,知|F2M|=2a,在 Rt△F1F2M 中,|F1M|= ?2c ?-?2a? =2b,故|PF1|= 4b.根据双曲线的定义,得 4b-2c=2a 即 2b-a=c,∴(2b-a) =c =a +b ,∴3b=4a,
2 2 2 2

2

2

b 4 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 y=± x 即 4x±3y=0 a 3
[答案] 4x±3y=0 二、解答题 3.(2013?课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 [解] 2 ,求圆 P 的方程. 2

(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r.
2 2 2 2 2 2

由题设 y +2=r ,x +3=r ,从而 y +2=x +3, 故 P 点的轨迹方程为 y -x =1. (2)设 P(x0,y0).由已知得
2 2 2 2

|x0-y0| 2 = , 2 2

又 P 点在双曲线 y -x =1 上,
? ?|x0-y0|=1, 从而得? 2 2 ?y0-x0=1. ?

由?

?x0-y0=1, ? ? ?y -x =1
2 0 2 0

得?

?x0=0, ? ? ?y0=-1.

此时圆 P 的半径 r= 3. 由?
? ?x0-y0=-1, ?y -x =1 ?
2 2 0 2 0

得?

? ?x0=0, ?y0=1, ?
2

此时圆 P 的半径 r= 3.
2 2

故圆 P 的方程为 x +(y+1) =3 或 x +(y-1) =3.

5


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