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2015-2016高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念课件 新人教A版选修2-2


3.1 3.1.1 念

数系的扩充和复数的概念 数系的扩充和复数的相关概

研题型 学方 法

题型一 复数的基本概念

例1

(x -x-6) 实数 x 取什么值时,复数 + x+3 (x2-2x-15)i 是实数、虚数、纯虚数?

2

r />解析:(1)要使该复数是实数,
? ?x+3≠0, 需满足? 2 解得 x=5. ? ?x -2x-15=0.

? ?x+3≠0, (2) 要使该复数是虚数,需满足? 2 ? ?x -2x-15≠0.

解得 x≠-3 且 x≠5.
2 x -x-6 ? ? x+3 =0, (3) 要使该复数是纯虚数,需满足? ? ?x2-2x-15≠0.

解得 x=3 或 x=-2.

规律方法:对复数基本概念的理解
1.虚数单位的性质 i2=-1,1· i=i,0· i=0. 2.复数的实部与虚部的确定方法 首先将所给的复数化简为复数的代数形式,然后根据

实部与虚部的概念确定实部、虚部.
3.复数z=a+bi(a,b∈R)当且仅当a=0,b≠0时,z 为纯虚数,在求解时,易忽略“b≠0”这一条件.

?变式训练 1.(1)若(x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是( )
2 2

A.-1 B.1 C.±1 D.-1 或-2 (2)已知复数 z=a+(a -1)i 是实数,则实数 a 的 值为________.
2

解析:(1)∵(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,
2 ? ?x -1=0, ∴? 2 由 x2-1=0,得 x=± 1, ? ?x +3x+2≠0.

又由 x2+3x+2≠0,得 x≠-2 且 x≠-1,∴x=1. (2)∵z 是实数,∴a -1=0,∴a=± 1.
2

题型二 两个复数相等的充要 条件

例 2 (1)已知 a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0, 求 a 的值. (2)已知 x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i, 求 x,y. 解析:(1)因为 a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,
? ?a-2=0, 所以? 2 解得 a=2. ? ?a -a-2=0,

(2)因为 x,y∈R,所以(x+2y-1),(x-3y+4)是实数,
? ?x+2y-1=10, 所以由复数相等的条件得? ? ?x-3y+4=-5, ? ?x=3, 解得? 所以 x=3,y=4. ?y=4. ?

规律方法:两个复数相等的充要条件的应用 主要用来求复数,即利用复数相等的条件列出复

数的实部和虚部所满足的方程组,解方程组求复
数或相关的值,所体现的思想是转化思想.

?变式训练 2.给出下列命题: ①若 a+bi=0,则 a=b=0; ②x+yi=2+2i?x=y=2; ③若 y∈R,且(y2-1)-(y-1)i=0,则 y=1.其中正确 命题的个数为(B) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:①,②所犯的错误是一样的,即 a,x 不一定 是复数的实部,b,y 不一定是复数的虚部;③正确, 因为 y∈R,所以 y2-1,-(y-1)是实数,所以由复
2 ? y ? -1=0, 数相等的条件得? 解得 y=1.故选 B. ? ?-(y-1)=0,

题型三

复数中实数比较大小的问题

例3 围.

如果 m2 - (m2 -3m)i<4 ,求实数 m 的取值范

解析:当两个复数都是实数时,才能比较大小.
所以m2-3m=0且m2<4,解得m=0. 规律方法: 一般地,两个复数只能说相等或不相 等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数, 就可以比较大小.若两个复数不全是实数,则不

能比较大小.

?变式训练 3 . 已 知 (2m - 5n) + 3i < 3n - (m + 5)i , m , n∈R,则n的取值范围是____________.

解析:当两个复数都是实数时,才可以比较大
小,所以有2m-5n<3n且3=-(m+5),即4n >m=-8,得n>-2. 答案:(-2,+∞)

析疑难 提能 力

因忽视虚数不能比较大小而延误

【典例】 已知复数 x2-1+(y+1)i 大于复数 2x+3+(y2-1)i,试求实数 x,y 的取值范围. 解析:因为 x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i,
? ?y+1=0, 所以? 2 且 x2-1>2x+3, ?y -1=0, ?

所以 y=-1 且 x<1- 5或 x>1+ 5, 即实数 x,y 的取值范围分别是 x<1- 5或 x>1+ 5,y=-1.

【易错剖析】两个复数比较大小的条件:当两

个复数不全是实数时,不能比较大小,只可判
定相等或不相等,但两个复数都是实数时,可 以比较大小.忽视了这一点,就会出现如下错 误:

因为 x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i,
2 ? x ? -1>2x+3, 所以? 2 ?y+1>y -1, ?

所以{x<1- 5或x>1+ 5 即实数 x,y 的取值范围分别是 x<1- 5或 x>1+ 5,-1<y<2.


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