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第七章立体几何第1课时(高考总复习·数学文)


第七章

立体几何

第七章

立体几何

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知识点 考纲下载 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特 征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体 的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆 锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的 三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出 它们的直观图. 3.了解平行投影与中心投影,了解空间图形的不 同表示形式. 4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形 特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).

空间几何 体的结构 及三视图 和直观图

空间几何 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算 体的表面 公式.(不要求记忆公式) 积与体积
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知识点

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1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 空间点、 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 线、面的 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空 位置关系 间位置关系的简单命题. 空间中的 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识 平行关系 和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质. 空间中的 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识 垂直关系 和理解空间中线面垂直的判定定理与有关性质.

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第1课时 空间几何体的结构特征 及三视图和直观图

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1.空间几何体的结构特征 (1)中学阶段对多面体研究通常分为棱柱、棱锥、棱台三类. 试想各类的结构特征是什么? 提示:棱柱的侧棱都平行且相等,上下底面是全等且平行的 多边形;棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点 的三角形;棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下 底面是相似多边形.

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(2)简单的旋转体一般可分为圆柱、圆锥、圆台、球四类,

它们的结构特征是什么?
提示:圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到;圆锥可以由直 角三角形绕其直角边旋转得到;圆台可以由直角梯形绕直角

腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到,也可由平行于
圆锥底面的平面截圆锥得到;球可以由半圆或圆绕直径旋转 得到. 温馨提示:棱柱、棱锥、棱台之间的关系

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2.空间几何体的三视图
正投影 得到的,它包括________ 正视图 、 空间几何体的三视图是用_______ 侧视图 、俯视图 高平齐 、 长对正 、 ________ ________ ______ ,其画法规则是 __________ 宽相等 . ________ 温馨提示:理解三视图的长度特征:“长对正、宽相等、高平

齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧
视图和俯视图一样宽.若相邻两物体的表面相交 , 表面的交 线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.

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3.空间几何体的直观图的画法
斜二测画法 规则来画,基本步骤是: 空间几何体的直观图常用____________ (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴,y轴,两轴相交于点O,画直 观图时,把它们画成对应的x′轴,y′轴,两轴相交于点O′, 45°(或135°) 已知图形中平行于x轴的线 且使∠x′O′y′=_______________, 保持不变 ,平行于y轴的线段,长度变 段,在直观图中长度___________

原来的一半 . 为_____________

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(2)画几何体的高
在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面,在直观图中对应 的z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线 不变 . 段,在直观图中仍平行于z′轴且长度________

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1.如图所示的几何体是棱柱的有 (

)

A.②③⑤ C.③⑤

B.③④⑤ D.①③

答案:C

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2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面, 则这个几何体一定是( A.圆柱 C.球体 ) B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体

解析:选C.当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别 为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.

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3.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧 棱 AA1⊥平面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形,该三棱 柱的侧视图的面积为 ( A. 4 C. 2 2 B. 2 3 D. 3 )

解析:选 B.依题意得,该几何体的侧视图是边长分别为 2 和 3的矩形,因此其侧视图的面积为 2 3.
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4.一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能

①②③⑤ 填入所有可能的几何体前的 是下列几何体中的 __________(
编号). ①三棱锥 圆柱 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥

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5.在 Rt△ ABC 中,∠ C=90°,a= 3,b=4,则以斜边 AB 所在直线为轴旋转可得到一个几何体,当用一个垂直于斜边 的平面去截这个几何体时,所得截面圆的直径的最大值是 24 ________ . 5
解析:最大截面圆的直径为 Rt△ ABC 斜边上高的 2 倍,即 12 24 2× = . 5 5

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空间几何体的结构特征 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的各侧棱延长后必交于一点. ①④ . 其中真命题的序号是________

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[解析] 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的;
底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题 ②是错误的;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故 命题③是错误的;命题④由棱台的定义知是正确的.

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判定与空间几何体结构特征有关命题的方法: (1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征, 依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的 线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.

(2)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误
的,只要举出一个反例即可.

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1.以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.

其中正确命题的个数为(
A.0 C.2 B.1 D.3

)

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解析:选B.命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,

则得不到圆锥.命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的
腰.命题③对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截 圆锥才可以.

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空间几何体的三视图 (1)(2013· 高考四川卷)一个几何体的三视图如图所示,则 该几何体可以是( A.棱柱 C.圆柱 ) B.棱台 D.圆台

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(2)(2013· 高考湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一 个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2的矩形,则该 正方体的正视图的面积等于( 3 A. 2 2+ 1 C. 2 B. 1 D. 2 )

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[解析]

(1)由俯视图是圆环可排除 A,B, 由正视图和侧视图

都是等腰梯形可排除 C. (2)由于该正方体的俯视图是面积为 1 的正方形,侧视图是一 个面积为 2的矩形,因此该几何体的正视图是一个长为 2, 宽为 1 的矩形,其面积为 2.

[答案] (1)D

(2)D

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(1)由实物图画三视图或判断选择三视图,此时需要注意“长 对正、高平齐、宽相等”的原则; (2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三 视图要熟悉,再复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合

而成的;其次,要遵循以下三步:①看视图,明关系;②分
部分,想整体;③综合起来,定整体.

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2. (1)(2014· 河南郑州质量检测 ) 一个锥体的正视图和侧视图 如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是 ( )

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(2)(2014· 陕西省质量检测)如图是由若干个相同的小立方体组 成的几何体的俯视图,其中小立方体中的数字表示相应位置

的小立方体的个数,则该几何体的侧视图为(

)

解析:(1)选 C.注意到在三视图中,俯视图的宽度应与左视图 3 的宽度相等,而在选项 C 中,其宽度为 ,与题中所给的左 2 视图的宽度 1 不相等. (2)选 C.由俯视图知侧视图从左到右最高的小立方体个数分 别为 2, 3, 1.
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空间几何体的直观图 已知平面△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形, 求原△ABC的面积.
[解] 如图所示,△ A′ B′ C′是边长为 a 的正三角形,作 3 C′D′∥ A′B′交 y′轴于点 D′,则 D′到 x′轴的距离为 a. 2 ∵∠ D′ A′ B′= 45°, 6 ∴ A′ D′= a. 2 由斜二测画法的法则知,
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在△ ABC 中, AB= A′B′= a, AB 边上的高是 A′D′的二倍, 1 6 2 即为 6a,∴ S△ ABC= a· 6a= a . 2 2

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画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位 置,因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连接这些顶点就 可画出相应的多边形,因此平面多边形的直观图的画法可以 归结为确定点的位置的画法.

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3.若将本例中△A′B′C′是边长为a的正三角形改为△ABC是边 长为a的正三角形,求直观图△A′B′C′的面积.
解:如图所示的实物图和直观图.

1 3 由图可知, A′ B′= AB= a, O′ C′= OC= a. 2 4 2 6 在图中作 C′D′⊥ A′B′于 D′,则 C′D′= O′ C′= a. 2 8 1 1 6 6 2 ∴ S△ A′ B′ C′= A′ B′· C′ D′= × a× a= a . 2 2 8 16
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三视图识图不准致误

将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到如图2所示的 几何体,则该几何体的侧视图为( )

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[解析] 图2所示的几何体的侧视图可由点A,D和D1,B1确

定其外形为正方形,判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一
实一虚,且要把AD1和B1C区别开来,故选B. [答案] B

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易错选答案A或D,致错原因是根据提示观测位置确定三视图
时其实质是正投影,将几何体中的可见轮廓线在三视图中为 实线,不可见轮廓线为虚线,错选A或D都是没有抓住看到的 轮廓线在面上的投影位置,从而导致失误. (1)在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面的交线 是它们的分界线,在三视图中,分界线和可见轮廓线都用实 线画出,被挡住的轮廓线画成虚线,并做到“正侧一样高, 正俯一样长,俯侧一样宽”. (2)在还原空间几何体实际形状时,一般是以正视图和俯视图 为主,结合侧视图进行综合考虑.
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(2014· 福州一中检测)如图是一正方体被过棱的中点M,N和 顶点A,D,C1截去两个角后所得的几何体,则该几何体的

主视图(或称正视图)为(

)

解析:选B.利用主视图的特征知本题选B.

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