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1.2.1 任意角的三角函数教学设计


必修四 第一章 1.2.1
知识与技能: 1.掌握任意角的三角函数的定义; 2.已知角 α 终边上一点,会求角 α 的各三角函数值; 过程与方法: 1.理解并掌握任意角的三角函数的定义;

三角函数

任意角的三角函数

2.树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数;

3.通过

对定义域, 三角函数值的符号, 诱导公式一的推导, 提高学生分析、 探究、 解决问题的能力。 情感态度与价值观: 1.使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函 数值)的一种联系方式 2.学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神; 教学重点:三角函数的定义;三角函数的定义域及其确定方法;三角函数值在各个象限内的符号 以及诱导公式一 教学难点:任意角三角函数的定义. 一.复习引入 思考: 我们已经学过锐角三角函数, 知道它们都是以锐角为自变量, 以比值为函数值的函数, 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?

结论:在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦,余弦, 正切依次为: sinA ? 为函数值的函数 思考 1:角推广后,这样的三角函数的定义不再适用,我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,那 么它的终边在第一象限.在 ? 的终边上任取一点 P ( a, b) ,它与原点的
?

a b a , cosA ? , tanA ? 所以说:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值 c c b

Y

P(a,b) O M x

距离 r ? a ? b ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ,则线段 OM 的
2 2

长度为 a ,线段 MP 的长度为 b . 则 sin ? ?

MP b ? ; OP r

cos ? ? tan ? ?

OM a ? ; OP r

MP b ? . OM a

思考 2:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置的改变而改变呢? 为什么? 根据相似三角形的知识, 对于确定的角 ? , 三个比值不以点 P 在 ?
1

Y

P(a,b)
?

的终边上的位置的改变而改变大小. 我们可以将点 P 取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可 以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
O

M

A(1,0)

x

sin ? ?

MP ?b; OP

cos ? ?

OM ?a; OP

tan ? ?

MP b ? . OM a

二、新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?

显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x, y ) ,那么:
Y
P(x,y) ?
O A(1,0)

x

(1) y 叫做 ? 的正弦(sine),记做 sin ? ,即

sin ? ? y;

(2) x 叫做 ? 的余弦(cossine),记做 cos? ,即 cos? ? x ; (3)

y y 叫做 ? 的正切(tangent),记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) . x x

思考 3:在上述三角函数定义中,自变量是什么?对应关系有什么特点,函数值是什么? 说明:(1)当 ? ? 以 tan ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时, ? 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ,所

y 无意义,除此情况外,对于确定的值 ? ,上述三各值都是唯一确定的实数 . x

(2)当 ? 是锐角时,此定义与初中定义相同;当 ? 不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然 有角, 就必然有终边, 终边就必然与单位圆有交点 P ( x, y ) , 从而就必然能够最终算出三角函数值 . (3)正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们 将这种函数统称为三角函数. 2.利用定义求角的三角函数值 例 1.求

5? 的正弦,余弦和正切值. 3 5? 1 3 , ?AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 ( , ? ) ,所以 3 2 2

解:在直角坐标系中,作 ?AOB ?

sin

5? 3 5? 1 5? ?? , cos ? , tan ?? 3 3 2 3 2 3
5? 7? 变为 呢? 3 6

思考:如果将 知识点二

正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

思考

如何利用任意角的三角函数来判断正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

例2

确定下列三角函数的符号
?

(1) cos 250 ;

(2) sin( ?

?
4

);
D )

(2)若α 是第二象限角,则点 P(sin α ,cos α )在( A.第一象限 C.第三象限 知识点三 思考 诱导公式 B.第二象限 D.第四象限

当角α 分别为 30°,390°,-330°时,它们的终边有什么关系?他们的三角函数值有什

么关系?为什么?可知它们的终边是同一个终边,它们的三角函数值也相同,所以

诱导公式一 例 5. 求下列三角函数值

?1? cos 9? ; ?2? tan ?
4
三.归纳小结:

?

11? 6

?

1. 任意角的三角函数的定义 2 三角函数的定义域及三角函数值的符号 3.诱导公式 四 布置作业 1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α 的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关. 2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题. 3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切函数值。 五、作业布置:40 分钟练习册

五 板书设计 任意角的三角函数

一.定义:设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么

sin α =y; cos α =x; y tan α =x (x≠0).
二.三角函数在各象限的符号

三.诱导公式(一)

sin ?α +k·2π ?=sin α cos ?α +k·2π ?=cos α tan ?α +k·2π ?=tan α ,
其中 k∈Z


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