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人教版选修4-5高中数学:2.2《综合法与分析法》ppt课件


第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法 栏 目 链 接 综合法证明不等式 栏 目 链 接 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1.求证: (1)(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc; (2)ab+bc+ac≤. 证 明 : (1)(1 - a)(1 - b)(1 - c) = (b + c)(a + b)(a + c)≥2 bc·2 ab·2 ac=8abc; 当且仅当 a=b=c 时,等号成立. (2)因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 所以 2(a +b +c )≥2(ab+bc+ca). 所以 ab+bc+ca≤a2+b2+c2. 所以 3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2= 1. 1 1 所以 ab+bc+ca≤ .当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 3 3 2 2 2 栏 目 链 接 点评:综合法证明不等式时常用的不等式: (1)a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时,取“=”); a+b (2) ≥ ab(a,b∈R+,当且仅当 a=b 时,取“=”); 2 (3)a2≥0,|a|≥0,(a-b)2≥0; b a b a (4) + ≥2(a,b 同号), + ≤-2(a,b 异号); a b a b 1 (5)a,b∈R,a +b ≥ (a+b)2. 2 2 2 栏 目 链 接 ?变式训练 1.已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:(2+a)(2+ b)· (2+c)≥27. 证法一 因为(2+a)(2+b)(2+c)= 8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc≥ 8+4×3 abc+2×3 (abc)2+1=27, 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立, 所以原不等式成立. 3 3 栏 目 链 接 证法二 因为(2+a)(2+b)(2+c)= 8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc= ? 1 1 1? 8+2(a+b+c)+2?a+a+b+b+c+c?+1≥ ? ? 栏 目 链 接 8+2× abc+2×(2+2+2)+1=27, 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立, 所以原不等式成立. 3 证法三 (2+a)(2+b)(2+c)= (1+1+a)(1+1+b)(1+1+c)≥ 3 a×3 b× c=27, 当且仅当 a=b=c=1 时,等号成立, 所以原不等式成立. 3 3 3 栏 目 链 接 分析法证明不等式 1 已知 x>0,y>0,求证:(x2+y2)2> 1 (x3+y3)3. 分析:运用分析法,先化分数指数幂为整数指数幂形式,再进一 步分析证明. 证明:因为 x>0,y>0, 1 1 3 3 所以要证明(x +y )2>(x +y )3, 2 2 栏 目 链 接 只需证(x2+y2)3>(x3+y3)2, 即证 x6+3x4y2+3x2y4+y6>x6+2x3y3+y6, 即证 3x4y2+3x2y4>2x3y3. 因为 x>0,y>0,所以 x2y2>0, 即证 3x +3y >2xy. 因为 3x2+3y2>x2+y2≥2xy, 所以 3x2+3y2>2xy 成立. 点评: 当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没有直接 联系,或很难发现条件与结论之间的关系时,可用分析法来证明. 2 2 栏 目 链 接 ?变式训练 2.已知 a,b∈R+,且 2c>a+b,求证:c- c2-ab<a<c+ c2-ab. 证明:要证 c

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