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2.3直线、平面垂直的判定及其性质课件


2.3.1

直线与平面垂直的判定 第一课时

直线与平面垂直的概念和判定

问题提出

1.前面我们全面分析了直线与平面平 行的概念、判定和性质,对于直线与平 面相交,又有哪些相关概念和原理?我 们有必要进一步研究. 2.直线与直线存在有垂直关系,直 线与平面也存在有垂直关系,我们如何 从理论上加以认识?

知识探究(一):直线与平面垂直的概念

思考1:田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉? 你还能列举一些类似的实例吗?

思考2:将一本书打开直立在桌面上, 观察书脊(想象成一条直线)与桌 面的位置关系呈什么状态?此时书 脊与每页书和桌面的交线的位置关 系如何?

思考3:如图,在阳光下观察直立于 地面的旗杆AB及它在地面的影子BC, 随着时间的变化,影子BC的位置在 移动,在各时刻旗杆AB所在直线与 影子BC所在直线的位置关系如何?
A B C

思考4:上述旗杆与地面、书脊与桌 面的位置关系,称为直线与平面垂 直.一般地,直线与平面垂直的基本 特征是什么?怎样定义直线与平面 垂直? 如果一条直线l与平面α内的任 意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直.

思考5:在图形上、符号上怎样表示 直线与平面垂直?
l

α

l ??
画直线与平面垂直时,通常把直线画成与 表示平面的平行四边形的一边垂直。

如果直线l与平面α 垂直,则直线 l叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直 线l的垂面,它们的交点叫做垂足.
l
A

垂线 垂面

α

垂足

1、过一点可作多少条平面α的垂线? 2、过一点可作多少个直线l的垂面?

知识探究(二):直线与平面垂直的判定

思考1:对于一条直线和一个平面,如果 根据定义来判断它们是否垂直,需要解 决什么问题?如何操作?

思考2:我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 1、如果直线l与平面α内的一条直线垂直, 能保证l⊥α吗? 2、如果直线l与平面α内的两条直线垂直, 能保证l⊥α吗?

思考3:如图,将一块三角形纸片 ABC沿折痕AD折起,把翻折后的纸片 竖起放置在桌面上,使BD、DC与桌 面接触,观察折痕AD与桌面的位置 关系. A A
C B

D C

B

D

如何调整折痕AD的位置,才能使翻折后 直线AD与桌面所在的平面垂直?
A B B D C A D C

?

思考4:由上可知当折痕AD垂直平面 α 内的两条相交直线时,折痕AD与 平面垂直.由此我们是否能得出直线 与平面垂直的判定方法?

直线与平面垂直的判定定理 文字语言
定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直.
“线线垂直,则线面垂直”

l P α

图形语言 符号语言

a

b

a ? ? , b ? ? , a ? b ? P, l ? a, l ? b ? l ? ?

思考5:如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线,那么这条直 线与这个平面垂直吗?

理论迁移

例1 已知 a // b, a ? ? .求证: ? ?. b
证明:在平面?内作两条相交直线m, n. 因为直线a ? ? , 根据直线与平面垂直的定义知 a ? m, a ? n. 又因为b // a, 所以b ? m, b ? n 所以b ? ? 又因为m ? ? , n ? ? , m, n是俩条相交直线,

a

b

α

n

m

例2 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点, 求证:AD⊥PC.
P D

C E

A B

例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直 棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 当底面四边形ABCD满足什么条件时, 有A1C⊥B1D1,说明你的理由.
A1

B1
C1 B C A

D1

AC⊥BD
D

D. 小结作业

P67 练习: 1. P74习题2.3 B组:2,4.

2.3.1

直线与平面垂直的判定 第二课时

直线和平面所成的角

问题提出

1.直线和平面垂直的定义和判定定理分 别是什么? 定义:如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直,则称这条直线与这个平 面互相垂直.

定理:一条直线与一个平面内的两条

相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直.

2.当直线与平面相交时,对于直 线与平面垂直的情形,我们已作了一 些相关研究,对于直线与平面不垂直 的情形,我们需要从理论上作些分析.

(一):平面的斜线

1、当直线与平面相交时,它们可能垂 直,也可能不垂直,如果一条直线和 一个平面相交但不垂直,这条直线叫 做这个平面的斜线,斜线和平面的交 点叫做斜足.
思考:过一点作 一个平面的斜线 有多少条?

l

斜线

斜足

α

P

2、过斜线上斜足外一点向平面引垂 线PO,连结垂足O和斜足A的直线AO 叫做这条斜线在这个平面上的射影.
P l α A

O
射影

垂线 斜线

思考:斜线l在平面α内的射影有几条?

3、两条平行直线、相交直线、 异面直线在同一个平面内的射 影可能是哪些图形?

4、如图,过平面α 外一点P引平面 α 的两条斜线段PA、PB,斜足为A、 B,再过点P引平面α 的垂线,垂足 为O,如果PA>PB,那么OA与OB的大 小关系如何?反之成立吗?
P

PA ? PB ? OA ? OB
B

α

A

O

5、如图,过平面α 内一点P引平面 α 的两条斜线PA、PB,这两条斜线 段在平面α 内的射影分别为PC、PD, 如果PA>PB,那么PC与PD的大小关 系确定吗?
A B
不确定,由直 线和这个平面所 成的角确定。

C

α

D

P

(二):直线和平面所成的角

1、平面的一条斜线与这个平面总存在一 个相对倾斜度,我们设想用一个平面角 来反映这个倾斜度,并且这个角的大小 由斜线与平面的相对位置关系所确定, 那么角的顶点宜选在何处?
l

α

2、如图,AB为平面α 的一条斜线, A为斜足,AC为平面α 内的任意一条 直线,能否用∠BAC反映斜线AB与平 面α 的相对倾斜度?为什么?
B

A

α

C

3、反映斜线与平面相对倾斜度的 平面角的顶点为斜足,角的一边在 斜线上,另一边在平面内的哪个位 置最合适?为什么?
P

α

A

B

4、我们把平面的一条斜线和它在平面上 的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这 个平面所成的角.在实际应用或解题中, 怎样去求这个角?
P

α

A

B

(1)一条直线与平面垂直时,规定 它们所成的角为90°; (2)一条直线和平面平行或在平面 内时,规定它们所成的角为0°. (3)直线与平面所成的角的取值范 围是什么?

[0 , 90 ]

?

?

5、如图,∠BAD为斜线AB与平面α 所成的角,AC为平面α 内的一条直 线,那么∠BAD与∠BAC的大小关系 如何?
B

∠BAC >∠BAD
A D C

α

6、两条平行直线与同一个平面所 成的角的大小关系如何?反之成立 吗?一条直线与两个平行平面所成 的角的大小关系如何?

α

7、过平面α 外一点P引平面α 的斜 线,斜足为A,若斜线PA与平面α 所 成的角为50°,那么点A在平面α 内 的运动轨迹是什么图形?
P

α

A

O

理论迁移

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1 C1

B1
O

C
D A B

(2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
设正方体的棱长为a,因为A1 B1 ? B1C1 , A1 B1 ? B1 B, 所以A1 B1 ? 平面BCC1 B1. 因为BC1 ? 平面BCC1 B1. 所以A1 B1 ? BC1
又因为BC1 ? B1C,所以BC1 ? 平面A1 B1CD 所以A1O为斜线A1 B在平面A1 B1CD内的摄影, ?BA1O为A1 B与平面A1 B1CD所成的角.

解:连接BC1交B1C与点O,连接A1O

D1 B1

C1

A1 2 在Rt?A1 BO中,A1 B ? 2a, BO ? a, 2 1 所以BO ? A1 B,?BA,1O ? 30 ?. 2 因此,直线A1 B和平面A1 B1CD所成的角为30 ?. D A

O
C B

例2 如图,AB为平面α 的一条斜线, B为斜足,AO⊥平面α ,垂足为O,直 线BC在平面α 内,已知∠ABC=60°, ∠OBC=45°,求斜线AB和平面α 所成 提示: 的角. A
B O
BO cos ?ABO ? BA BD cos ?ABC ? BA BD cos ?OBC ? BO 三者又什么关系?

D

α

C

作业: P67 练习:2. P74习题2.3A组:9.

一、知识拓展
我们已经学习过直线与平面的垂直关系, 请大家回答下列几个问题: (1) 、直线与平面垂直的定义. (2) 、直线与平面垂直的判定定理. (3) 、有关概念:平面的垂线、斜线、斜 线在平面上的射影.

结论1:斜线上任意一点在平面的射影一定在 P l 该斜线的射影上。 A 结论2:当直线与平面垂直时,直线在平面内 O α 的射影是一个点。

二、猜想与发现
根据直线和平面垂直的定义,我们知道,平 面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直。现在 我们想一想,平面内的任意一条直线是否也都和 平面的一条斜线垂直呢? P
m

l
A

O

平面内的一条直线具备什么条件,才能和平面的一条 斜线垂直呢?即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线 垂直呢?

结论:平面内的一条直线如果和平面的一
条斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直.

三、证明
现在我们把实验发现的结论表达成命题的形式. 已知:如图,PA、PO分别是平面α的垂线和斜 线,AO是PO在平面α上的射影,a在α内,a⊥AO 求证:a⊥PO 分析:这是证明两条直线互相垂直的问题. 在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢? P 证明:PA ? ? ?
? ? AO ? a ?? AO ? PA ? A? ? a ? 平面PAO ? ? ? a ? PO PO ? 平面PAO?

P a

?? a ?? ?

PA ? ?

α

A O

三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.

四、剖析定理
(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面α而进行的.那

么定理对其他位置的平面是否成立?并说明理由. (2)直线a是平面α内垂直于AO的任意一条直线,a和斜线 PO的位置关系有几种?反映三垂线定理的图形有几种可 能的情况?并画出图形.

答案:
(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立.因为定理中并没有 水平平面的限制.定理的实质是研究平面内的一条直线与这 个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系, 与平面的位置无关.
(2)因为a是平面α内的任意一条直线,所以a与斜线PO的 位置关系有两种情况:一是不过斜足O的异面垂直;一是过 斜足O的相交垂直.反映三垂线定理的图形有四种情况(如图).

p
A

p

p

p a O A O

a O

A

a O

a
A

五、定理的应用
归纳:应用三垂线定理的思维过程是
“一定”——定平面及平面内的一条直线 “二找”——找这个平面的垂线、斜线及 斜线在这个平面上的射影; “三证”——证明平面内的一条直线与射影垂直。

三垂线逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的
一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.

例 侧棱与底面垂直的棱柱称为直 棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 当底面四边形ABCD满足什么条件时, 有A1C⊥B1D1,说明你的理由.
A1

B1
C1 B C A

D1

AC⊥BD
D

六、小结
证、 用 (1)本节课的教学可概括为四个字: 猜、 剖、 即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征;证明 三垂线定理;剖析定理的内容;应用定理证题. (2)叙述三垂线定理的内容,定理的证明方法是证 明空间两条直线互相垂直的基本方法,称为线面垂 直法. (3)此定理是空间两条直线垂直的判定定理,与平 面的位置无关.运用定理的步骤是:“一定、二找、 三证明”.
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2.3.2

平面与平面垂直的判定 第一课时

二面角的有关概念

问题提出

1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系,对于两个平面平行, 我们已作了全面的研究,对于两个 平面相交,我们应从理论上有进一 步的认识.

2.在铁路、公路旁,为防止山体滑坡, 常用石块修筑护坡斜面,并使护坡斜面 与水平面成适当的角度;修筑水坝时, 为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与 水平面成适当的角度,如何从数学的观 点认识这种现象?

公路

(一):二面角的有关概念

1、直线上的一点将直线分割成两部 分,每一部分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分,每一部分叫半平面。
射线 射线

半平面

半平面

2、将一条直线沿直线上一点折起,得 到的平面图形是一个角;将一个平面 沿平面上的一条直线折起,得到的空 间图形称为二面角,你能画一个二面 角的直观图吗?

3、在平面几何中,我们把角定 义为“从一点出发的两条射线所 组成的图形叫做角”,按照这种 定义方式,二面角的定义如何?

二面角定义:

从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。
β
l α α

l
β

相关概念: 一个二面角是由一条直线和两个半 平面组成,其中直线l叫做二面角的 棱,两个半平面α 、β 都叫做二面 角的面。
β




l

α

二面角的表示

二面角通常记作 “二面角α-l-β”.
或“二面角α-AB-β” 或“二面角P-l-Q”
?P

β
A

l
B

?Q

α

4、两个相交平面共组成几个二面角?

β

l

α

(二):二面角的平面角

思考:把门打开,门和墙构成二面角; 把书打开,相邻两页书也构成二面 角.随着打开的程度不同,可得到不 同的二面角,这些二面角的区别在 哪里?

思考2:我们设想用一个平面角来反 映二面角的两个半平面的相对倾斜 度,那么平面角的顶点应选在何处? 角的两边在如何分布?
β

l

α

思考3:在二面角α -l-β 的棱上取一 点O,过点O分别在二面角的两个面 内任作两条射线OA,OB,能否用 ∠AOB来刻画二面角的张开程度?
β B l O A α

思考4:在上图中如何调整OA、OB的 位置,使∠AOB被二面角α -l-β 唯一 确定?这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关?
β B l

O
A

α B

β α

l

O

A

如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一 点O为顶点,在两个半平面α和β内 分别作垂直于棱的两条射线OA和OB, 这两条射线OA和OB所成的角 ∠AOB叫做二面角的平面角.
B β A α

l O

二面角的大小可以用它的平面角来度 量,二面角的平面角是多少度,就说二 面角是多少度.
(1)平面角是直角的二面角叫做直二面角; (2)二面角的两个面重合时,二面角的大小 为零度; (3)二面角的两个面合成一个平面时,二面 角的大小为180°

一般地,二面角的平面角的取值范围为

[0 ,180 ]

?

?

思考5:如图,过二面角α -l-β 一个 面内一点A,作另一个面的垂线,垂 足为B,过点B作棱的垂线,垂足为O, 连结AO,则∠AOB是二面角的平面角 吗?为什么?
β A

O

l
B

α

思考6:如图,平面γ 垂直于二面角 的棱l,分别与面α 、β 相交于OA、 OB,则∠AOB是二面角的平面角吗? 为什么?
l
O

B A

α

α

γ

β β

理论迁移

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
C1 B1 C

D1 A1 D
O

B

A

例2 如图所示,河堤斜面与水平面 ? 所成二面角为 60 ,堤面上有一条直 道CD,它与堤角的水平线AB的夹角 ? 为30,沿这条直道从堤脚C向上行走 10m到达E处,此时人升高了多少m?
60?

D E
O

A C

F

B

作业:
P73习题2.3 A组:4,7.

2.3.2

平面与平面垂直的判定

第二课时 平面与平面垂直

问题提出

1.二面角与二面角的平面角分 别是什么含义?二面角的平面角有 哪几个基本特征?
(1)顶点在棱上;
(2)边在两个面内; (3)边垂直于棱.

2.直线与直线,直线与平面可以 垂直,平面与平面是否存在垂直关 系?如何认识两个平面垂直?

(一):两个平面垂直的概念

思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的?直线与平面垂直是怎样定义 的?
思考2:什么叫直二面角?如果两个 相交平面所成的四个二面角中,有 一个是直二面角,那么其他三个二 面角的大小如何?

一般地,两个平面相交,如果它们 所成的二面角是直二面角,就说这 两个平面互相垂直.

在你的周围或空间几何体中,有哪些 实例反映出两个平面垂直?

图形与符号表示两个平面互相垂直
β β

α

α

? ??

思考3:如果平面α ⊥平面β ,那么 平面α 内的任一条直线都与平面β 垂直吗?
α

β

(二):两个平面垂直的判定

思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题? 思考2:如图,∠AOB为直二面角 Α -l-β 的平面角,那么直线AO与 平面α 的位置关系如何?
A β l O B α

两个平面垂直的判定定理

文字语言

一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.
“线面垂直,则面面垂 直”

β

图形语言
符号语言

l α

l ? ?,l ? ? ? ? ? ?

思考3:过一点P可以作多少个平面与 平面α 垂直? 过一条直线l可以作多少个平面与 平面α 垂直?
P
l α l

α

例1 如图,AB是⊙O的直径,PA⊥α ,C为圆 周上不同于A、B的任意一点, 求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明: 设⊙O在平面α内,由已知条件, PA ? ? , BC ? ?,
所以PA ? BC
因为点C是圆周上不同于A, B的任意一点, AB是圆O的直径, 所以,?BCA是直角,即BC ? AC

P

又因为PA与AC是?PAC 所在平面内的两条相交直线, 所以,BC ? 平面PAC

C A
?

又因为BC ? 平面PBC, 所以,平面PAC ? 平面PBC

O

B

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面 为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M 为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面 PCD.
P
F

E

D A M
B

C

例3 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD, BAC=∠CAD=45°,∠BAD=60°, 求证:平面ABC⊥平面ACD.
D

C E A

B

作业: P73习题2.3A组:3,6. P74习题2.3B组:1.

2.3.3

直线与平面垂直的性质

问题提出

1.直线与平面垂直的定义是什么? 如何判定直线与平面垂直? 2.直线与平面垂直的判定定理, 解决了直线与平面垂直的条件问题; 反之,在直线与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

(一)直线与平面垂直的性质定理

思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,棱AA1,BB1,CC1,DD1所在直线 与底面ABCD的位置关系如何?它们 彼此之间具有什么位置关系?
C1 B1 C B A A1 D D1

思考2:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考3:一个平面的垂线有多少条? 这些直线彼此之间具有什么位置关 系?
a b

c

α

O

思考4:如果直线a,b都垂直于平面 α ,由观察可知a//b,从理论上如 何证明这个结论?

如图,假定b与a不平行,且b ? ? ? O, b1 是经过点O与直线a平行的直线 直线b与b1 确定平面?, 设? ? ? ? c,则O ? c. 因为a ? ? , b ? ? , 所以a ? c, b ? c, 又因为b1 // a, 所以b1 ? c, 这样在平面?内,经过直线上同一点O 就有两条直线b, b1 与c垂直, 显然不可能,因此b // a.
α a b
c
?

b1

O

直线与平面垂直的性质定理 文字语言 定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行

图形语言
符号语言
α

a

b

a ? ? , b ? ? ? a // b

(二)直线与平面垂直的性质探究

思考1:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//a,则b与α 的位置关 系如何?为什么?
a
b

α

思考2:设a,b为直线,α 为平面, 若a⊥α ,b//α ,则a与b的位置关 系如何?为什么?
b

a
l

α

思考3:设l为直线,α ,β 为平面, 若l⊥α ,α //β ,则l与β 的位置关 系如何?为什么?
l
b α β a

思考4:设l为直线,α 、β 为平面, 若l⊥α ,l⊥β ,则平面α 、β 的位 置关系如何?为什么?

l α

β

理论迁移

例1 如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , a 于点A,CB ? ? 于点B, ? ? , a ? AB, 求证:a // l .
β B α l A C

证明 l // 平面ABC a // 平面ABC

a

例2 如图,已知 a ? b, b ? ? , a ? ? . a 求证: // ? .
β

b
l

A

a

证明a // l
B

α

例3 如图,已知 PA ? 矩形ABCD所 在平面,M、N分别是AB、PC的中点 求证: (1) MN ? CD; ? (2)若 ?PDA ? 45,求证:MN ? 面PCD
P E N A M B D

PA ?

C

作业:
P71练习:1,2.(做书上)

2.3.4

平面与平面垂直的性质

问题提出

1.平面与平面垂直的定义是什 么?如何判定平面与平面垂直?
2.平面与平面垂直的判定定理, 解决了两个平面垂直的条件问题; 反之,在平面与平面垂直的条件下, 能得到哪些结论?

(一)平面与平面垂直的性质定理

思考1:如果平面α与平面β互相垂 直,直线l在平面α内,那么直线l 与平面β的位置关系有哪几种可能?
α

l

α

l

α

l
β β β

(一)平面与平面垂直的性质定理

思考2:黑板所在平面与地面所在平 面垂直,在黑板上是否存在直线与 地面垂直?若存在,怎样画线?
α

β

思考3:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1 中,平面A1ADD1与平面ABCD垂直,其 交线为AD,直线A1A,D1D都在平面 A1ADD1内,且都与交线AD垂直,这两 条直线与平面ABCD垂直吗?
C1 B1 C B A A1 D1

D

? ? ? ,? ? ? ? CD, AB ? ? , AB ? CD,

? 思考4:一般地, ? ? ,? ? ? ? CD AB ? ? , AB ? CD ,垂足为B,那么直 线AB与平面 ? 的位置关系如何?为 什么?
β E D B C A

α

两平面垂直的性质定理

文字语言
定理 两个平面垂直,则一个平面内 垂直交线的直线与另一个平面垂直.
线线垂直,则线面垂直

图形语言 符号语言 l ? ? , ? ? ? ? m, l ? m

α l

β
m

? l ? ?.

(二)平面与平面垂直的性质探究

思考1:若α⊥β,过平面α内一点A 作平面β的垂线,垂足为B,那么点 B在什么位置?
α A

β

B

思考2:上述分析表明:如果两个平 面互相垂直,那么经过一个平面内 一点且垂直于另一个平面的直线, 必在这个平面内.
α A

β

B

思考3:对于三个平面α、β、γ, ? 如果α⊥γ,β⊥γ, ? ? ? l ,那 么直线l与平面γ的位置关系如何? 为什么?
l
α β

a
b

γ

思考4:上述结论如何用文字语言表 述?
l α γ

β

如果两个相交平面都垂直于另一个 平面,那么这两个平面的交线垂直 于这个平面.

理论迁移
例1 a ? ? , 试判断直线a与平面?的位置关系。
解:在?内作垂直于?与?交线的直线b, 因为? ? ?,所以b ? ? . 因为a ? ? , 所以a // b. 又因为a ? ? , 所以a // ? . 即直线a与平面?平行.
α b m β a

如图平面?,?,? ? ?,直线a满足a ? ?,

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩 形,AB=2,BC ? 2 ,侧面PAB是等边 三角形,且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC; (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P

A E B C

D

作业: P73练习:1,2.(做书上) P73习题2.3A组:2. P74习题2.3B组:3.

线线垂直

判定 定义

线面垂直
性 质

判定 性质

面面垂直

线线平行
判定 性质 判定

面面平行
定义

线面平行


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必修2 2.3直线、平面垂直的判定及其性质

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2.3直线、平面垂直的判定及其性质——集体备课

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2.3.1直线与平面垂直的判定

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2(3)直线、平面垂直的判定定理及性质

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2.3.1直线与平面垂直的判定与性质

备课组 课题 2019 届 数学学科 二次备课教师 上课时间 课时 2.3.1 直线平面垂直的判定性质 集体备课内容 二次备课 授课类型 新授课 1、知识与技能(1)...


2.3直线、平面垂直的判定及其性质

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必修二:第二章:2.3直线、平面垂直的判定及其性质_图文

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