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必修1《基本初等函数》检测(带答案)


必修 1《基本初等函数》检测 (时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.下列结论中正确的个数有( ①幂函数的图象一定过原点; ③当 α>0 时,幂函数是增函数; A.0 个 B.1 个 C.2 个 ) D.-1 ) ) ②当 α<0 时,幂函数是减函数; ④函数 y=2x2 既是二次函数,又是幂函数. 满分:150 分)

/>D.3 个

1 2.方程 3x-1=9的解为( A.2 B.-2 C.1

3.函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是(

A 4.已知 x,y 为正实数,则( A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy )

B

C

D

B.2lg(x+y)=2lgx· 2lgy

lgy C.2lgx· =2lgx+2lgy

D.2lg(xy)=2lgx· 2lgy

5.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( A.y=9-x2 B.y=x· log0.23+1

)
1

C.y=x 2

2 D.y=x

6.已知三个对数函数:y=logax,y=logbx,y=logcx,它们分别对应如图 21 中标号为①② ③三个图象,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b ) D.c<b<a )

?log2x,x>0, 1 7.已知函数 f(x)=? x 若 f(a)=2,则 a=( ?2 ,x≤0, A.-1 B. 2 C.-1 或 2 D.1 或- 2

8. 记函数 y=f(x)的反函数为 y=f-1(x). 如果函数 y=f(x)的图象过点(1,0), 那么函数 y=f-1(x) +1 的图象过点( A.(0,0) B.(0,2) ) C.(1,1) D.(2,0)

9.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,又 f(1)=0,则满足 f(log2x)>0 的 x 的 取值范围是( )

A.(2,+∞)

1? ? B.?0,2? ? ?

1? ? C.?0,2?∪(2,+∞) ? ?

?1 ? D.?2,2? ? ? )

?1? ?1? 10.设 a,b,c 均为正数,且 2a=log 1 a,?2?b=log 1 b,?2?c=log2c.则( ? ? ? ? 2 2 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.若幂函数的图象经过点(9,3),则 f(64)=________________. 12.lg 5+lg 20的值为____________. 1 13.已知 3a=2,3b=5,则 32a-b=____________. 14.里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振 幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时 标准地震的振幅 A0 为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级地震的最大振幅是 5 级 地震最大振幅的________倍. 三、解答题(共 80 分) 15.(12 分)计算: ? 9?1 ?64? ? 1 (1)?16? 2 + 3 1000 -?27? 3 +3· e0; ? ? ? ? (2) lg 27+lg8-log48 . 1 lg0.3+lg2 2

16.(12 分)求函数 y= log0.3?2x-12?的定义域. 17.(14 分)求函数 y=4x-2x+1(x∈[-2,3])的值域. 2x+2-x 2x-2-x 18.(14 分)已知函数 f(x)= 2 ,g(x)= 2 。 (1)计算:[f(1)]2-[g(1)]2; (2)证明:[f(x)]2-[g(x)]2 是定值.

a· 2x+a-1 19.(14 分)已知函数 f(x)= 。(1)求证:不论 a 为何实数,f(x)总是为增函数;(2)确 2x+1 定 a 的值,使 f(x)为奇函数;(3)当 f(x)为奇函数时,求 f(x)的值域。 20.(14 分)已知函数 f(x)=loga 1-mx 是奇函数(a>0,a≠1)。(1)求 m 的值;(2)判断 f(x)在区间 x-1

(1,+∞)上的单调性并加以证明;(3)当 a>1,x∈(r,a-2)时,f(x)的值域是(1,+∞),求 a 与 r 的值。 参考答案:1.A 2.D 6.C 3.A 4.D 5.C 7.C

解析:作直线 y=1,与图象交点的横坐标为相应解析式的底.

8.B 解析:∵y=f(x)的图象过点(1,0),

∴其反函数 y=f-1(x)必过点(0,1),即 f-1(0)=1.

∴y=f-1(x)+1 的图象过点(0,2). 11.8
1

9.C

10.A

1 解析:设幂函数为 f(x)=xα,点(9,3)满足解析式,则 3=9α,即 3=32α,∴α=2,∴f(x)
1

=x 2 ,f(64)=(64) 2 =8. 12.1 14.6 解析:lg 5+lg 20=lg 100=1. 10 000 13.20 1 解析:32a-b=(3a)2÷ 3b=4÷ 5=20.

解析:由 M=lgA-lgA0 知,M=lg1000-lg0.001=6,故此次地震的级数为
2

A1 6 级.设 9 级地震的最大振幅为 A1,5 级地震的最大振幅为 A2,则 lgA =lgA1-lgA2=(lgA1- lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4.所以 的 10 000 倍.
1 3 3 3? ?3? 2? 1 ?3? 3?1 15.解:(1)原式=?4? 2 +(10) 3 -?4? 3 +3×1=4+10-4+3=13. ? ? ? ?

A1 =104=10 000.故 9 级地震最大振幅是 5 级地震最大振幅 A2

3 2?lg3+2lg2-1? lg 3 ? lg 2 ? log 2 2 (2)原式= =1 =3. 1? 3 ? ? lg3 + 2lg2 - 1 ? lg ? lg 2 ? ? 2 2 ? 10 ?
3 2 3 3
2

16.解:由题意,得 log0.3(2x-12)≥0. 因为 y=log0.3u 是(0,+∞)上的减函数, 13? ? 所以所求函数的定义域是?6, 2 ?. ? ? 17.解:令 t=2x,因为 x∈[-2,3], ?1 ? 所以 2-2≤2x≤23,即 t∈?4,8?. ? ? ?2x-12>0, 13 所以? 解得 6<x≤ 2 . ?2x-12≤1,

1 3 ? 1? 3 ?3 ? 又 y=?t-2?2+4,当 t=2时,ymin=4; 当 t=8 时,ymax=57. 所以原函数的值域是?4,57?. ? ? ? ? 1 18.(1)解:[f(1)]2-[g(1)]2=[f(1)+g(1)]· [f(1)-g(1)]=2×2=1. (2)证明:∵[f(x)]2-[g(x)]2=[f(x)+g(x)]· [f(x)-g(x)]
-x x 2x-2-x??2x+2-x 2x-2-x? ?2 +2 =? 2-x=1,为定值.即本题得证. + 2 ?? 2 - 2 ?=2x· ? 2 ?? ?

19.(1)证明:依题意,f(x)的定义域为(-∞,+∞),原函数即为 f(x)=a- 设 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=a-
2 x1 ? 2 x2 1 1 - a + = . (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) 2x1 ? 1 2x2 ? 1

1 . 2x+1

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+2x1)(1+2x2)>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2).

∴不论 a 为何实数,f(x)总为增函数. (2)解:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 1 1 2x 1 则 2a= -x + x = x + x =1. 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 1 1 (3)解:由(2)知:f(x)=2- x . 2 +1 1 1 1 ∵-1<- x <0,∴-2<f(x)<2. 2 +1 即 a- 1 1 =-a+ x , 2 +1 2 +1
-x

1 1 1 解得 a=2.∴f(x)=2- x . 2 +1 1 <1, 2 +1
x

∵2x+1>1,0<

? 1 1? ∴函数 f(x)的值域为?-2,2?. ? ?

1-mx 1+mx m2x2-1 20.解:(1)由题意,f(x)+f(-x) =loga +loga =loga 2 =0 x-1 -x-1 x -1 ? m2x2-1=x2-1? m=± 1,而 m=1 时,函数没意义, (2)由(1),得 f(x)=loga ∴m=-1.

x+1 x+1 (a>0,a≠1),任取 x1,x2∈(1,+∞),设 x1<x2,令 t(x)= , x-1 x-1 x1+1 x2+1 2?x2-x1? t(x1)-t(x2)= - = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ∴t(x1)>t(x2),即 x1+1 x2+1 > . x1-1 x2-1

x1+1 x2+1 则 t(x1)= ,t(x2)= . x1-1 x2-1

∵x1>1,x2>1,x1<x2,∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0. ∴当 a>1 时, loga

x1+1 x2+1 >loga ,f(x)在(1,+∞)是减函数; x1-1 x2-1

当 0<a<1 时, f(x)在(1,+∞)是增函数. (3)当 a>1 时,要使 f(x)值域是(1,+∞),则 loga a+1 x- a-1 而 a>1,∴上式化为 <0. x-1 又 f(x)=loga x+1 2 =loga(1+ ), x-1 x-1 x+1 x +1 ?1-a?x+a+1 >1,∴ >a,即 >0. x-1 x -1 x-1

① ∴当 x>1 时,f(x)>0;当 x<1 时,f(x)<0, a+1 ∴不等式①,当且仅当 1<x< 时成立. a-1

因而欲使 f(x)的值域是(1,+∞),必须 x>1.
r=1, ? ? a+1 ∴?a-2= , a-1 ? ?a>1.

解得 r=1,a=2+ 3.


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