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2015-2016学年高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件 新人教A版选修2-3


1.3.2

“杨辉三角”与二项式系数的性质

题型1 “杨辉三角”的变形及引申问题

例 1 如图,在“杨辉三角”中,斜线 AB 的上方,从 1 开始箭头所示的数组成一个锯 齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,?,记其前 n 项和为 Sn,求 S19 的值. 栏
2 1 2 1 2 解析: S19=

(1+2)+(3+3)+(4+6)+?+(10+45)+55=(C1 2+C2)+(C3+C3)+(C4+C4) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 +?+(C1 10+C10)+C11=(C2+C3+C4+?+C10)+(C2+C3+?+C10+C11)=

(2+10)×9 2

目 链 接

+220=274. 规律方法:利用杨辉三角和二项式系数的关系,将问题转化,利用组合数的性质求解问 题.

?变式训练 1.如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第__________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.

解析:由题可设第 n 行的第 14 个与第 15 个数的比为 2∶3, 14 故二项展开式的第 14 项和第 15 项的系数比为 2∶3,即 C13 n ∶Cn =2∶3, n! n! 所以 ∶ =2∶3, 13!(n-13)! 14!(n-14)! 即 14 2 = ,解得 n=34. n-13 3

栏 目 链 接

答案:34

题型2 求展开式的系数和
例 2 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7.求: (1)a1+a2+?+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.
解析:(1)令 x=0,则 a0=17=1; 令 x=1, 则 a0+a1+a2+?+a7=(1-2)7=-1.① ∴a1+a2+?+a7=-1-1=-2. (2)令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② 由①-②, 得 2(a1+a3+a5+a7)=-1-37=-2 188, ∴a1+a3+a5+a7=-1 094.

栏 目 链 接

(3)由①+②,得 2(a0+a2+a4+a6)=-1+37=2 186, ∴a0+a2+a4+a6=1 093. (4)法一 ∵(1-2x)7 的展开式中,a0,a2,a4,a6 均大于 0,而 a1,a3,a5,a7 均小于 0, 栏 ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=2 187. 目 7 法二 |a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|为(1+2x) 的展开式中各项系数的和,∴令 x=1,得|a0|链 接 +|a1|+|a2|+?+|a7|=37=2 187. 规律方法: 赋值法是求展开式系数和的常用方法, 有时还要求奇次项、 偶次项系数的和, 令其中字母等于 0,1,-1 是常见的赋值方法.

?变式训练 2.(1)(2- x) 展开式中不含 x4 的系数的和为( A.-1 B.0
n 8

)

C.1

D.2

? (2)在? ?
是________.

1 5 1? 的展开式中,所有奇数项的二项式系数之和为 1 024,则中间项系数 + 3? x x?
8 8

解析:(1)令(2- x) =a0+a1x+?+a8x ,令 x=1,得 a0+a1+?+a8=(2- 1) =1,
4 0 8 4 含 x4 项的系数为 C8 82 (-1) =1,所以不含 x 的项的系数和为 1-1=0. (2)因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为 2n,而所有偶数项的二项式系数和 - 与所有奇数项的二项式系数和相等,故由题意知 2n 1=1 024,所以 n=11,所以展开式共 6 12 项,中间项为第六项、第七项,其系数为 C5 11=C11=462. 答案:(1)B (2)462

栏 目 链 接

题型3 二项式系数的性质
2 x- 2? 的展开式中: 例 3 在? x? ? (1)系数绝对值最大的项是第几项? (2)求二项式系数最大的项. (3)求系数最大的项. (4)求系数最小的项. k
8-k? 2 ? 解析:Tk+1=Ck · ( x ) 8 ?-x2?
8

栏 目 链 接

5k k =(-1)k·Ck 8·2 ·x4- . 2 (1)设第 k+1 项系数的绝对值最大,
k k k 1 k 1 ? ?C8·2 ≥C8 ·2 , 则? k k k-1 k-1 ?C8·2 ≥C8 ·2 . ?
+ +

?8-k≥k+1, ∴? ?5≤k≤6. 2 1 ?k≥9-k

1

2

又∵k∈N*,∴k=5 或 k=6. 故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项. (2)二项式系数最大的项为中间项,即为第 5 项. 20 -6 4 ∴T5=C4 8·2 ·x4- =1 120x . 2 (3)由(1)知,展开式中的第 6 项和第 7 项系数的绝对值最大,而第 6 项的系数为负,第 栏 7 项的系数为正. 目 -11 -11 6 6 链 故系数最大的项为 T7=C8·2 ·x =1 792x . 接 17 17 5 5 (4)系数最小的项为 T6=-C8·2 x- =-1 792x- . 2 2 规律方法:二项式的最大系数问题:(1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性 质,当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数最大;当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数最 大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需要根据各项系数的正、 负变化情况,一般采用列不等式组、解不等式的方法求解.

?变式训练

? 3 1?n 3.已知? x+ ? 展开式中的第 10 项是常数项,则展开式中系数最大的项是(A) x? ?
A.第 19 项 B.第 17 项 C.第 17 项或第 19 项 D.第 18 项或第 19 项
n-9 n-9 9 3 n-9 1 解析:T10=Cn ( x) · 9=C9 -9,由 T10 为常数项,得 -9=0,所以 n=36, nx x 3 3 故第 19 项系数最大.故选 A.

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