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2014高考数学第一轮复习全套讲义


第一章 集合与简易逻辑
第 1 课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言, 集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集 的含义. 3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给 定集合中一个

子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集 合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等 式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想. 【基础练习】 1.
{ (


0


,

{ x(

y? ,

) ?x 0

?

y? , 2

0 ?列 2 Z , 法 , 表 x 用 y 举

} 示

0

)

,

(

0 . ,

1

)

,

(

1

,

0

)

,

(

1

,

1

)

,

(

2

2.设集合 A ? {x x ? 2k ? 1, k ? Z } , B ? {x x ? 2k , k ? Z } ,则 A ? B ? ? .
{0, 2} 3.已知集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x x ? 2a, a ? M } ,则集合 M ? N ? _______.
C 4.设全集 I ? {1,3,5,7,9} , 集合 A ? {1, a ? 5 ,9} , I A ? {5, 7} , 则实数 a 的值为____8

或 2___. 【范例解析】 例 . 已 知 R 为 实 数 集 , 集 合 A ? { x 2x ? 3 x? 2 ? 0.}若 B ? C R A ? R ,
B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,求集合 B.

分析:先化简集合 A,由 B ? C R A ? R 可以得出 A 与 B 的关系;最后,由数形结 合,利用数轴直观地解决问题. 解 : 1 ) ? A ? {x 1 ? x ? 2} , ? CR A ? {x x ? 1 或 x ? 2} . 又 B ? C R A ? R , (
A?C R A ? R,

可得 A ? B .

1/210

而 B ? C R A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ,

? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? B.
借助数轴可得 B ? A ? {x 0 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3} ? {x 0 ? x ? 3} .

【反馈演练】 1.设集合 A ? ? ,2? , B ? ? ,2,3?, C ? ?2,3,4?,则 ? A ? B ? U C =_________. 1 1 2 . 设

P , Q

为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合

P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q}, 若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是____8___
个. 3.设集合 P ? {x x 2 ? x ? 6 ? 0} , Q ? {x 2a ? x ? a ? 3} . (1)若 P ? Q ? P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围; (3)若 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3} ,求实数 a 的值. 解: (1)由题意知: P ? {x ?2 ? x ? 3} ,? P ? Q ? P ,? Q ? P . ①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 . ②当 Q ? ? 时,得 ?2 ? 2a ? a ? 3 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 0 . 综上, a ? (?1,0) ? (3, ??) . (2)①当 Q ? ? 时,得 2a ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ;
? 2a ? a ? 3, 3 ②当 Q ? ? 时,得 ? ,解得 a ? ?5或 ? a ? 3 . 2 ? a ? 3 ? ?2或2a ? 3

3 综上, a ? (??, ?5] ? [ , ??) . 2

(3)由 P ? Q ? {x 0 ? x ? 3} ,则 a ? 0 .

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第2课 【考点导读】

命题及逻辑联结词

1. 了解命题的逆命题, 否命题与逆否命题的意义;会分析四种命题的相互关系. 2. 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能用“或”“且”“非”表述 , , , , 相关的数学内容. 3. 理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学 内容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词 的命题进行否定. 【基础练习】 1.下列语句中:① x2 ? 3 ? 0 ;②你是高三的学生吗?③ 3 ? 1 ? 5 ;④ 5x ? 3 ? 6 . 其中,不是命题的有____①②④_____. 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,则它的逆命题可表示为若 q 则 p ,否命题可表示为
若?p则?q ,逆否命题可表示为 若?q则?p ;原命

题与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题. 【范例解析】 例1. 写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假. (1) 平行四边形的对边相等; (2) 菱形的对角线互相垂直平分; (3) 设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d . 分析:先将原命题改为“若 p 则 q” ,在写出其它三种命题. 解: (1) 原命题:若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题; 逆命题:若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题; 否命题: 若一个四边形不是平行四边形, 则其两组对边至少一组不相等; 真命题; 逆否命题: 若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四 边形;真命题. (2) 原命题:若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题; 逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题; 否命题:若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题; 逆否命题:若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真 命题. (3) 原命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;真命题; 逆命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b, c ? d ;假命题;

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否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b 或 c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;假命题; 逆否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b 或 c ? d ;真命题. 点评:已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式, 找出其条件 p 和结论 q,再根据四种命题的定义写出其它命题;对于含大前提的 命题,在改写命题时大前提不要动;在写命题 p 的否定即 ?p 时,要注意对 p 中 的关键词的否定,如“且”的否定为“或”“或”的否定为“且”“都是”的否 , , 定为“不都是”等. 例 2.写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题,并判 , , 断真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同, q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根 的绝对值相等. 分析:先写出三种形式命题,根据真值表判断真假. 解: (1)p 或 q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p 且 q:2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数,真命题; 非 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p 或 q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p 且 q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 非 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p 或 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;

p 且 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非 p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号不同,真命题. 点评:判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假,先要把结构弄清 , , 楚,确定命题构成的形式以及构成它们的命题 p,q 的真假然后根据真值表判断 构成新命题的真假. 例 3.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除; (2)p:每一个非负数的平方都是正数; (3)p:存在一个三角形,它的内角和大于 180°; (4)p:有的四边形没有外接圆; (5)p:某些梯形的对角线互相平分. 分 析 : 全 称 命 题 “ ?x ? M, p( x)” 的 否 定 是 “ ?x ? M , ?p( x) ” 特 称 命 题 ,

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“ ?x ? M , p( x) ”的否定是“ ?x ? M , ?p( x) ” . 解: (1) ?p :存在末位数字是 0 或 5 的整数,但它不能被 5 整除,假命题; (2) ?p :存在一个非负数的平方不是正数,真命题; (3) ?p :任意一个三角形,它的内角和都不大于 180°,真命题; (4) ?p :所有四边形都有外接圆,假命题; (5) ?p :任一梯形的对角线都不互相平分,真命题.

点评:一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:
正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 等于 不等于 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 小于 不小于 任意的 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 ? ?

【反馈演练】 若 b ? M ,则 a ? M 1.命题“若 a ? M ,则 b ? M ”的逆否命题是__________________. 2.已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则 ?p : ?x ? R,sin x ? 1 . 3.若命题 m 的否命题 n,命题 n 的逆命题 p,则 p 是 m 的____逆否命题____.
若 a ? b ,则 2a ? 2b ?1 4.命题“若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的否命题为________________________.

5.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. (1)设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; (2)设 a, b ? R ,若 a ? 0, b ? 0 ,则 ab ? 0 . 解: (1)逆命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;真命题; 否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ;真命题; 逆否命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;真命题; (2)逆命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0, b ? 0 ;假命题; 否命题:设 a, b ? R ,若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 ab ? 0 ;假命题; 逆否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;真命题.

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第 3 课时 【考点导读】

充分条件和必要条件

1. 理解充分条件,必要条件和充要条件的意义;会判断充分条件,必要条件和 充要条件. 2. 从集合的观点理解充要条件,有以下一些结论: 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的充分条件; 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的必要条件; 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的充要条件. 3. 会证明简单的充要条件的命题,进一步增强逻辑思维能力. 【基础练习】 1.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件.若 q ? p ,则 p 是 q 的必要条件.若 p ? q , 则 p 是 q 的充要条件. 2.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件” 填空. (1)已知 p : x ? 2 , q : x ? 2 ,那么 p 是 q 的_____充分不必要___条件. (2)已知 p : 两直线平行, q : 内错角相等,那么 p 是 q 的____充要_____条件. (3)已知 p : 四边形的四条边相等, q : 四边形是正方形,那么 p 是 q 的___必要 不充分__条件. 3.若 x ? R ,则 x ? 1 的一个必要不充分条件是 x ? 0 . 【范例解析】 例.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件” 填空.
? x ? 2, ? x ? y ? 4, (1) ? 是? 的___________________条件; ? y ? 2. ? xy ? 4.

(2) ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 是

x?4 ? 0 的___________________条件; x ?1

(3) ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的___________________条件; (4) x ? y ? 3 是 x ? 1 或 y ? 2 的___________________条件. 分析:从集合观点“小范围 ? 大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用.

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? x ? 2, ? x ? y ? 4, 1 解: (1)因为 ? 结合不等式性质易得 ? ,反之不成立,若 x ? , 2 ? y ? 2. ? xy ? 4. ? x ? y ? 4, ? x ? 2, ? x ? 2, ? x ? y ? 4, ,但 ? 不成立,所以 ? 是? 的充分不必要 y ? 10 ,有 ? ? xy ? 4. ? y ? 2. ? y ? 2. ? xy ? 4.

条件. ( 2 ) 因 为 ( x ? 4 ) x ? 1) 的 解 集 为 [? 1, 4 ] , ( ? 0
( x ? 4 ) x ? 1) 是 ( ? 0

(3) ? ? ? ? 当

?
2

x?4 ? 0 的必要不充分条件. x ?1

x?4 ] ? 0 的 解 集 为 (? 1, 4 , 故 x ?1

时, ? , tan ? 均不存在; tan ? ? tan ? 时, ? ? 当 取 tan

?
4

, ? ?

5? , 4

但 ? ? ? ,所以 ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的既不充分也不必要条件. (4)原问题等价其逆否形式,即判断“ x ? 1 且 y ? 2 是 x ? y ? 3 的____条件” , 故 x ? y ? 3 是 x ? 1 或 y ? 2 的充分不必要条件. 点评:①判断 p 是 q 的什么条件,实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真假,若原命题为真,逆命题为假,则 p 为 q 的充分不必要条件;若 原命题为假,逆命题为真,则 p 为 q 的必要不充分条件;若原命题为真,逆命题 为真,则 p 为 q 的充要条件;若原命题,逆命题均为假,则 p 为 q 的既不充分也 不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断 “若 p 则 q” 的真假困难时, 则可以判断它的逆否命题“若 ? q 则 ? p”的真假. 【反馈演练】 1.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,则“ a ? M ”是“ a ? N ”的_ 必要不充分 条件. 充分不必要 2.已知 p:1<x<2,q:x(x-3)<0,则 p 是 q 的 条件. 3. 已知条件 p : A ? {x ? R x 2 ? ax ? 1 ? 0} , 条件 q : B ? {x ? R x 2 ? 3 x ? 2 ? 0} . ?q 若 是 ?p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解: q : B ? {x ? R 1 ? x ? 2} ,若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,则 A ? B . 若 A ? ? ,则 a 2 ? 4 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 ;
?a 2 ? 4 ? 0, 5 ? 若 A ? ? ,则 ? ? a ? a 2 ? 4 ? a ? a 2 ? 4 解得 ? 2 ? a ? ?2 . ?x? , ? ? 2 2

5 综上所述, ? ? a ? 2 . 2
7/210

8/210

第二章 函数
【考点导读】

第1课

函数的概念

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上, 通过集合与对应的语言 刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函 数的定义域和值域. 2.准确理解函数的概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数. 【基础练习】 1.设有函数组:① y ? x , y ?

x 2 ;② y ? x , y ? 3 x 3 ;③ y ? x , y ?

x ;④ x

?1 y?? ? ?1

( x ? 0), ( x ? 0),

,y ?

x x

;⑤ y ? lg x ? 1 , y ? lg

x .其中表示同一个函数的有___ 10

②④⑤___. 2.设集合 M ? {x 0 ? x ? 2} , N ? { y 0 ? y ? 2} ,从 M 到 N 有四种对应如图所示: y 2 y 2 y 2 y 2

O

1 ①

2

x

O

1 ②

2

x

O

1 ③

2

x

O

1 ④

2

x

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_____②③____. 3.写出下列函数定义域: (1)

R f ( x) ? 1 ? 3x 的 定 义 域 为 ______________ ;

(2)

f ( x) ?

1 {为 的 定 义 域x x ? ?1} x ?1
2

______________;
0 1 [?1,0) ? (0, ??) ; (4) f ( x ) ? ( x ? 1) 的 定 义(域 为?1) ? (?1,0) ??, (3) f ( x) ? x ? 1 ? 的 定 义 域 为 ______________ x x ?x

_________________. 4.已知三个函数:(1) y ?

P( x) ; (2) y ? 2 n P ( x ) (n ? N *) ; (3) y ? logQ ( x ) P( x) .写出使 Q( x)

各函数式有意义时, P ( x) , Q( x) 的约束条件:

Q( x ) ? 0 (1)______________________ ; (3)______________________________. 5.写出下列函数值域:
2

P( x) ? 0 (2)______________________P( x) ? ;且 Q( x) ? 1 Q( x ) ? 0 且 0

(1) f ( x) ? x ? x , x ?{1, 2,3} ;值域是 {2, 6,12} .

9/210

(2) f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ; 值域是 [1, ??) .
2

(3) f ( x) ? x ? 1, x ? (1, 2] .

值域是 (2,3] .

【范例解析】 例 1. 设 有 函 数 组 : ① f ( x) ?

x2 ?1 , g ( x) ? x ? 1 ; ② f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 1 , x ?1

g ( x) ? x 2 ? 1 ;
③ f ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x ? 1 ;④ f ( x) ? 2 x ?1 , g (t ) ? 2t ? 1 .其中表示同一个

函数的有③④. 分析:判断两个函数是否为同一函数,关键看函数的三要素是否相同. 解:在①中, f ( x) 的定义域为 {x x ? 1} , g ( x) 的定义域为 R ,故不是同一函数;在②中,

f ( x) 的定义域为 [1, ??) , g ( x) 的定义域为 (??, ?1] ? [1, ??) ,故不是同一函数;③④是
同一函数. 点评:两个函数当它们的三要素完全相同时,才能表示同一函数.而当一个函数定义域和对 应法则确定时,它的值域也就确定,故判断两个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域 和对应法则是否相同即可. 例 2.求下列函数的定义域:① y ?

1 ? x2 ?1 ; 2? x

② f ( x) ?

x ; log 1 (2 ? x)
2

解得 x ? ?1 且 x ? ?2 或 x ? 1且 x ? 2 , 2 ? x ? 1 ? 0, ? 故定义域为 (??, ?2) ? (?2, ?1] ? [1, 2) ? (2, ??) . ② 由题意得: log 1 (2 ? x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,故定义域为 (1, 2) . 解: (1)① 由题意得: ?
2

? 2 ? x ? 0, ?

例 3.求下列函数的值域: (1) y ? ? x ? 4 x ? 2 , x ? [0,3) ;
2

x2 ( x ? R) ; x2 ? 1 (3) y ? x ? 2 x ? 1 .
(2) y ? 分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域. (1) 解: y ? ? x ? 4 x ? 2 ? ?( x ? 2) ? 2 ,? x ? [0,3) ,?函数的值域为 [?2, 2] ;
2 2

(2) 解 法 一 : 由 y ?

x2 1 1 1 ? 1? 2 , ?0 ? 2 ? 1 , 则 ? ?1 ? ? 2 ?0 , 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 ? 0 ? y ? 1,故函数值域为 [0,1) .

x2 y y 2 2 ? 0 ,? 0 ? y ? 1,故 解法二:由 y ? 2 ,则 x ? ,? x ? 0 ,? x ?1 1? y 1? y 函数值域为 [0,1) .
2 2 2 (3)解:令 x ? 1 ? t (t ? 0) ,则 x ? t ? 1 ,? y ? t ? 2t ? 1 ? (t ? 1) ? 2 ,

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当 t ? 0 时, y ? ?2 ,故函数值域为 [?2, ??) . 点评: 二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法; 逆求法利用函数有界性求函数的值 域;用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围.

【反馈演练】

(??,0] 1.函数 f(x)= 1 ? 2 的定义域是___________.
x

2.函数 f ( x) ? 3. 函数 y ?

1 (1, 2) ? (2,3) 的定义域为_________________. log 2 (? x ? 4 x ? 3)
2

1 (0,1] ( x ? R) 的值域为________________. 1 ? x2

(??, 4] 4. 函数 y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域为_____________.

1 3 [? , 0) ? ( ,1] y ? log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为_____________________. 5.函数 4 4
6.记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. x ?1

(1) 求 A; (2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 2-

x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,x<-1 或 x≥1, 即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞) . x ?1 x ?1

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1) . ∵B ? A, ∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ ∴

1 或 a≤-2,而 a<1, 2

1 1 ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1). 2 2

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第2课
【考点导读】

函数的表示方法

1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法,列表法,解析法)表示函数. 2.求解析式一般有四种情况: (1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式; (2)给出函数 特征,利用待定系数法求解析式; (3)换元法求解析式; (4)解方程组法求解析式. 【基础练习】

6x ? 7 6x ? 4 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3 ,g ( x) ? 3x ? 5 , f ( g ( x)) ? _________;g ( f ( x)) ? __________. 则
2.设函数 f ( x) ?

1 1 2 , g ( x) ? x ? 2 ,则 g (?1) ? _____3_______; f [ g (2)] ? ; 7 1? x

f [ g ( x)] ?

1 . x ?3
2

3.已知函数 f ( x) 是一次函数,且 f (3) ? 7 , f (5) ? ?1 ,则 f (1) ? __15___.

4 ?| x ? 1 | ?2,| x |? 1, 1 ? 4.设 f(x)= ? 1 ,则 f[f( )]=_____________. 13 2 , | x |? 1 ?1 ? x 2 ? 3 3 y ? ? | x ? 1 | (0≤x≤2) 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________. 2 2
【范例解析】 例 1.已知二次函数 y ? f ( x) 的最小值等于 4,且 f (0) ? f (2) ? 6 ,求 f ( x) 的解析式. 分析:给出函数特征,可用待定系数法求解. 第5题

? ?c ? 6, ? a ? 2, ? ? ? 2 解法一:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,则 ?4a ? 2b ? c ? 6, 解得 ?b ? ?4, ?c ? 6. ? 4ac ? b 2 ? ? ? 4. ? 4a ? 2 故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 . 解 法 二 : ? f (0) ? f (2) , ? 抛 物 线 y ? f ( x) 有 对 称 轴 x ? 1 . 故 可 设 f ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 4(a ? 0) .
将点 (0, 6) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 .
2

解法三:设 F ( x) ? f ( x) ? 6. ,由 f (0) ? f (2) ? 6 ,知 F ( x) ? 0 有两个根 0,2, 可设 F ( x) ? f ( x) ? 6 ? a( x ? 0)( x ? 2) (a ? 0) ,? f ( x) ? a( x ? 0)( x ? 2) ? 6 , 将点 (1, 4) 代入解得 a ? 2 .故所求的解析式为 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 6 . 点评: 三种解法均是待定系数法, 也是求二次函数解析式常用的三种形式: 一般式, 顶点式, 零点式. 例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园, 甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km,甲 10 时出发前往乙家.如图,表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y(km)与时间 x (分)的关系.试写出 y ? f ( x) 的函数解析式. y
2

4
12/210

3 2 1

分析:理解题意,根据图像待定系数法求解析式. 解:当 x ?[0,30] 时,直线方程为 y ?

1 1 x ,当 x ? [40, 60] 时,直线方程为 y ? x ? 2 , 15 10

?1 ?15 x x ? [0,30], ? ? f ( x) ? ?2 x ? (30, 40), ?1 x ? [40, 60]. ? x?2 ?10
点评: 建立函数的解析式是解决实际问题的关键, 把题中文字语言描述的数学关系用数学符 号语言表达.要注意求出解析式后,一定要写出其定义域. 【反馈演练】

e x ? e? x e x ? e? x 1.若 f ( x) ? , g ( x) ? ,则 f (2 x) ? ( D ) 2 2 A . B . 2 [f ( ? ) g ( ) ] 2 f ( x) x x 1 D. 2[ f ( x) ? g ( x)] ? 4 1 2.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则 m 等于________. 2
2

C . 2g ( ) x

3. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称,且 f(x)=x +2x.求函数 g(x)的解析式. 解:设函数 y ? f ? x ? 的图象上任意一点 Q ? x0 , y0 ? 关于原点的对称点为 P ? x, y ? ,

? x0 ? x ? 0, ? ? x0 ? ? x, ? 则? 2 即? ? y0 ? y ? 0, ? y0 ? ? y. ? 2 ?
∵点 Q ? x0 , y0 ? 在函数 y ? f ? x ? 的图象上 ∴ ? y ? x ? 2 x,即y ? ? x ? 2 x, 故g ? x ? ? ? x ? 2 x .
2 2 2

13/210

第3课
【考点导读】

函数的单调性

1.理解函数单调性,最大(小)值及其几何意义; 2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性. 【基础练习】 1.下列函数中: ① f ( x) ?

1 2 ; ② f ? x ? ? x ? 2x ? 1 ; x

③ f ( x) ? ? x ;

④ f ( x) ? x ? 1 .

其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有___②___. 2.函数 y ? x x 的递增区间是___ R ___. 3.函数 y ?

(??, ?1] x 2 ? 2 x ? 3 的递减区间是__________.
(1, ??)

4.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数,且 f (a ? 1) ? f (2a) ,则实数 a 的取值 范围__________. 5.已知下列命题: ①定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 是 R 上的增函数; ②定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x) 在 R 上不是减函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??,0] 上是增函数,在区间 [0, ??) 上也是增函数,则函 数 f ( x) 在 R 上是增函数; ④定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (??,0] 上是增函数,在区间 (0, ??) 上也是增函数,则函 数 f ( x) 在 R 上是增函数. 其中正确命题的序号有_____②______. 【范例解析】 例 . 求证: (1)函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 1在区间 ( ??, ] 上是单调递增函数;
2

(2)函数 f ( x) ?

2x ?1 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调递增函数. x ?1

3 4

分析:利用单调性的定义证明函数的单调性,注意符号的确定. 证明: (1)对于区间 ( ??, ] 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2 x1 ? 3x1 ? 1 ? (?2 x2 ? 3x2 ? 1) ? 2 x2 ? 2 x1 ? 3x1 ? 3x2
2 2

3 4

2

2

? ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ,
14/210

又 x1 ? x2 ?

3 3 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ,得 3 ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2

故 ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 所以,函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x ? 1在区间 ( ??, ] 上是单调增函数.
2

3 4

(2)对于区间 (??, ?1) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

又 x1 ? x2 ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 1) ? 0 , ( x2 ? 1) ? 0 得, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 故

3( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2x ?1 在区间 (??, ?1) 上是单调增函数. x ?1 2x ?1 同理,对于区间 (?1, ??) ,函数 f ( x) ? 是单调增函数; x ?1 2x ?1 所以,函数 f ( x) ? 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调增函数. x ?1
所以,函数 f ( x) ? 点评: 利用单调性定义证明函数的单调性, 一般分三步骤: 在给定区间内任意取两值 x1 , (1)

x2 ; (2)作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,化成因式的乘积并判断符号; (3)给出结论.
例 2.确定函数 f ( x) ?

1 的单调性. 1? 2x

分析:作差后,符号的确定是关键. 解:由 1 ? 2x ? 0 ,得定义域为 ( ??, ) .对于区间 ( ??, ) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且

1 2

1 2

x1 ? x2 ,


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?

1 1 ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2( x1 ? x2 )

?

1 ? 2 x2 ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2

1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 )

又 x1 ? x2 ? 0 , 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ( 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 x2 ) ? 0 ,

15/210

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
所以, f ( x) 在区间 ( ??, ) 上是增函数. 点评:运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定.

1 2

【反馈演练】

1 (0,1) , 则该函数在 R 上单调递__减__,填 ( “增”减”值域为_________. “ ) 2 ?1 2 2.已知函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在 (??, ?2) 上是减函数,在 (? 2, ?? ) 上是增函数,则 f (1) ? __25___.
1. 已知函数 f ( x) ?
x

3. 函数 y ?

1 ? x 2 ? x ? 2 的单调递增区间为 [?2, ? ] . 2
2

4. 函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x 的单调递减区间为 (??, ?1],[ ,1] . 5. 已知函数 f ( x) ?

1 2

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x?2

解:设对于区间 (?2, ??) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 (1 ? 2a)( x2 ? x1 ) ? ? ? 0, x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

即 ? ? x1 ? x2 ? 0 ,( x1 ? 2) ? 0 ,( x2 ? 2) ? 0 得,( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 , 1 ? 2a ? 0 , a ?

1 . 2

16/210

第4课
【考点导读】

函数的奇偶性

1.了解函数奇偶性的含义,能利用定义判断一些简单函数的奇偶性; 2.定义域对奇偶性的影响: 定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条 件;不具备上述对称性的,既不是奇函数,也不是偶函数. 【基础练习】 1. 给 出 4 个 函 数 : ① f ( x) ? x ? 5 x ; ② f ( x) ?
5

x4 ?1 ; ③ f ( x) ? ?2 x ? 5 ; ④ x2

f ( x) ? e x ? e ? x .
其中奇函数的有___①④___; 偶函数的有____②____; 既不是奇函数也不是偶函数的有____ ③____. 2. 设函数 f ?x ? ?
3

?x ? 1??x ? a ? 为奇函数,则实数 a ?
x
B. y ? sin x, x ? R

-1

. C. y ? x, x ? R

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A ) A. y ? ? x , x ? R D. y ? ( ) x , x ? R 【范例解析】 例 1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?

1 2

(1 ? 2 x ) 2 ; 2x
2

(2) f ( x) ? lg( x ?

x 2 ? 1) ;

(3) f ( x) ? lg x ? lg

1 ; x2

(4) f ( x) ? (1 ? x)

1? x ; 1? x

(5) f ( x) ? x ? x ? 1 ? 1 ;
2

(6) f ( x ) ? ?

? ? x 2 ? x ( x ? 0), ? 2 ? x ? x ( x ? 0). ?
于 原 点 对 称 ;

分析:判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再利用定义判断. 解 : ( 1 ) 定 义 域 为

x?R





? f (? x) ?

(1 ? 2? x ) 2 22 x ? (1 ? 2? x ) 2 (1 ? 2 x ) 2 ? ? ? f ( x) , 2? x 22 x ? 2? x 2x

所以 f ( x) 为偶函数. ( 2 ) 定 义 域 为

x?R

















? f (? x) ? f ( x) ? lg(? x ? x 2 ? 1) ? lg( x ? x 2 ? 1) ? lg1 ? 0 ,

? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数.
17/210

(3)定义域为 x ? (??,0) ? (0, ??) ,关于原点对称;? f ( x) ? 0 ,? f (? x) ? ? f ( x) 且

f (? x) ? f ( x) ,
所以 f ( x) 既为奇函数又为偶函数. (4)定义域为 x ?[?1,1) ,不关于原点对称;故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数. ( 5 ) 定 义 域 为 x ? R , 关 于 原 点 对 称 ; ? f (? 1) ? 4, f (1) ? 2 , 则 f (? 1) ? f (1)且

f (?1) ? ? f (1) ,故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
(6)定义域为 x ? R ,关于原点对称;

??(? x) 2 ? (? x) (? x ? 0), ? ? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? ? f (? x) ? ? ,? f ( ? x ) ? ? 2 又 f (0) ? 0 , 2 ?(? x) ? (? x) (? x ? 0). ? x ? x ( x ? 0). ? ? ? ? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? f (? x) ? ? 2 ? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ? x ? x ( x ? 0). ?
点评:判断函数的奇偶性,应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次,利用定义即

f ( ? x) ? ? f ( x) 或 f ( ? x ) ? f ( x ) 判 断 , 注 意 定 义 的 等 价 形 式 f ( ? x ) ? f ( x) ? 0 或 f ( ? x ) ? f ( x) ? 0 .
例 2. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ,求函数
2

f ( x) 的解析式,并指出它的单调区间.
分析:奇函数若在原点有定义,则 f (0) ? 0 . 解:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f (? x) ? x ? 2 x ? 2 .
2

又 f ( x) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) ? ? f (? x) ? ? x ? 2 x ? 2 .
2

当 x ? 0 时, f (0) ? 0 .

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? 综上, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ?0, x ? 0. ?? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ?
作出 f ( x) 的图像,可得增区间为 (??, ?1] , [1, ??) ,减区间为 [?1,0) , (0,1] . 点评: (1)求解析式时 x ? 0 的情况不能漏; (2)两个单调区间之间一般不用“ ? ”连接;

18/210

(3)利用奇偶性求解析式一般是通过“ ?x ”实现转化; (4)根据图像写单调区间.

【反馈演练】 1.已知定义域为 R 的函数 f ? x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则( D ) A. f ?6? ? f ?7 ? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7 ? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10 ?

2. 在 R 上定义的函数 f ? x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ? x ? 在区间 ?1,2? 是减函数, 则函数 f ? x ? ( B )

A.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为____1, 2 ? 5 3 ___. 2 1 4.设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ? , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ________. 2
3. 设 ? ? ?? 1,1, 5.若函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得

? ?

f ( x) ? 0 的 x 的取
值范围是(-2,2) .

ax 2 ? 1 6. 已知函数 f ( x) ? (a, b, c ? Z ) 是奇函数.又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a,b,c 的 bx ? c
值;

19/210

解:由 f (? x) ? ? f ( x) ,得 ?bx ? c ? ?(bx ? c) ,得 c ? 0 .又 f (1) ? 2 ,得 a ? 1 ? 2b ,

4a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 .又 a ? Z ,?a ? 0 或 1. a ?1 1 若 a ? 0 ,则 b ? ? Z ,应舍去;若 a ? 1 ,则 b ? 1? Z . 2
而 f (2) ? 3 ,得 所以, a ? 1, b ? 1, c ? 0 . 综上,可知 f ( x) 的值域为 {0,1, 2,3, 4} .

20/210

第5 课
【考点导读】

函数的图像

1.掌握基本初等函数的图像特征,学会运用函数的图像理解和研究函数的性质; 2.掌握画图像的基本方法:描点法和图像变换法. 【基础练习】 1.根据下列各函数式的变换,在箭头上填写对应函数图像的变换: (1) y ? 2
x

向右平移 1 个单位

y ? 2 x ?1

向上平移 3 个单位

y ? 2 x ?1 ? 3 ; y ? log 2 (? x)

作关于 y 轴对称的图形 ( 2 ) y ? log 2 x

向右平移 3 个单位

y ? log 2 (3 ? x) .
2.作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? 3 ? 1 ;
x

(2) y ? log 2 ( x ? 2) ;
x

(3) y ?

2? x . x ?1

解: (1)将 y ? 3 的图像向下平移 1 个单位,可得 y ? 3 ? 1 的图像.图略;
x

(2)将 y ? log 2 x 的图像向右平移 2 个单位,可得 y ? log 2 ( x ? 2) 的图像.图略;

2? x 1 1 1 的图像, ? ? 1 ,将 y ? 的图像先向右平移 1 个单位,得 y ? x ?1 x ?1 x x ?1 2? x y 再向下平移 1 个单位,可得 y ? 的图像.如下图所示: x ?1
(3)由 y ? O -1 1 x

3.作出下列各个函数图像的示意图: (1) y ? log 1 (? x) ; (2) y ? ?( ) ; (3) y ? log 1 x ;
x

2

1 2

(4) y ? x ? 1 .
2

2

解: (1)作 y ? log 1 x 的图像关于 y 轴的对称图像,如图 1 所示;
2

1 x 2 (3)作 y ? log 1 x 的图像及它关于 y 轴的对称图像,如图 3 所示;
(2)作 y ? ( ) 的图像关于 x 轴的对称图像,如图 2 所示;
2

(4)作 y ? x ? 1 的图像,并将 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方,如图 4 所示.
2

y

y

O -1 -1 O x
21/210

x

图1

图2

y y

-1 -1 O 1 x

O

x

图4 图3 4. 函数 f ( x) ?| x ?1| 的图象是 y 1 -1 O 1 A x -1 O y 1 1 B x -1 O y 1 1 C x -1 O ( B ) y 1 1 D x

【范例解析】
2 例 1.作出函数 f ( x) ? ?2 x ? 2 x ? 3 及 f (? x) , ? f ( x) , f ( x ? 2) , f ( x ) , f ( x ) 的图

像. 分析:根据图像变换得到相应函数的图像. 解: y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称;
将 y ? f ( x) 的图像向左平移 2 个单位得到 y ? f ( x ? 2) 的图像; 保留 y ? f ( x) 的图像在 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去,并去掉原 下方的部分; 将 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左边部分, 并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分.图略. 点评:图像变换的类型主要有平移变换,对称变换两种.平移变换:左“+”右“-” ,上 “+”下“-” ;对称变换: y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称;

y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称; y ? ? f (? x) 与 y ? f ( x) 的图像关于原点对
称;

22/210

y ? f ( x) 保留 y ? f ( x) 的图像在 x 轴上方的部分,将 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折上去,
并去掉原下方的部分;

y ? f ( x ) 将 y ? f ( x) 的图像在 y 轴右边的部分沿 y 轴翻折到 y 轴的左边部分替代原 y 轴左
边部分,并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分. 例 2.设函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5 . (1)在区间 [ ? 2, 6 ] 上画出函数 f (x) 的图像; (2)设集合 A ? ? x f ( x) ? 5 ?, 间的关系,并给出证明.

B ? ( ? ?, ? 2 ] ? [ 0, 4 ] ? [ 6, ? ? ) . 试判断集合 A 和 B 之

分析:根据图像变换得到 f (x) 的图像,第(3)问实质是恒成立问题. 解: (1)

(2) 方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14 , 0, 4 和 2 ? 14 , 由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1] 和 [ 2, 5 ] 上 单 调 递 减 , 在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上 单 调 递 增 , 因 此

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14 , ? ? .
由于 2 ? 14 ? 6, 2 ? 14 ? ?2, ? B ? A .

?

?

?

?

23/210

【反馈演练】 1.函数 y ? 1 ? 的图象是( B ) x ?1 y

1

y

1 O 1 A. y x

1 O 1 B. y x

1 -1 O C. x -1

1 O D. x

2. 为了得到函数 y ? 3? ( ) 的图象,可以把函数 y ? ( ) 的图象向右平移 1 个单位长度
x x

1 3

1 3

得到. 3.已知函数 y ? log 1 x与y ? kx 的图象有公共点 A,且点 A 的横坐标为 2,则 k = ?
4

1 . 4

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f (x)的图象关于直线 x ? 1 对称,则 2 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ . 5. 作出下列函数的简图:
x (1) y ? x ? 2 ( x ? 1) ; (2) y ? 2 ? 1 ; (3) y ? log 2 2 x ? 1 .

24/210

第6课
【考点导读】

二次函数

1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的图像和性质; 2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数, 从而了解函数的零点与 方程根的联系.

【基础练习】 1. 已知二次函数 y ? x ? 3x ? 2 ,则其图像的开口向__上__;对称轴方程为 x ?
2

3 ;顶点坐 2

1 1 . 4 4 2 2 2. 二次函数 y ? ? x ? 2mx ? m ? 3 的图像的对称轴为 x ? 2 ? 0 ,则 m ? __-2___, 顶点坐 标为 (?2,3) ,递增区间为 ( ??, ?2] ,递减区间为 [ ?2, ??) .
标为 ( , ? ) ,与 x 轴的交点坐标为 (1, 0), (2, 0) ,最小值为 ?

3 2

1 . 2 2 4. 实系数方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 两实根异号的充要条件为 ac ? 0 ;有两正根的充要 b c b c 条件为 ? ? 0, ? ? 0, ? 0 ;有两负根的充要条件为 ? ? 0, ? ? 0, ? 0 . a a a a 2 5. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是
3. 函数 y ? 2 x ? x ? 1 的零点为 1, ?
2

[1, 2]

__________. 【范例解析】 例 1.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R .
2

(1)讨论 f (x) 的奇偶性; (2)若 a ? 2 时,求 f (x) 的最小值. 分析:去绝对值. 解: (1)当 a ? 0 时,函数 f (? x) ? (? x) ? | ? x | ?1 ? f ( x)
2

此时, f (x) 为偶函数. 当 a ? 0 时, f (a) ? a ? 1 , f (?a) ? a ? 2 | a | ?1 ,
2 2

f ( a ) ? f ( ? a ) , f ( a ) ? ? f ( ?a ) .
此时 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数.

25/210

(2) f ( x ) ? ?

? 2 ?x ? x ? 3 ? 2 ?x ? x ? 1

x?2 x?2

由于 f (x) 在 [2,??) 上的最小值为 f (2) ? 3 ,在 (??,2) 内的最小值为 f ( ) ? 故函数 f (x) 在 (??, ?) 内的最小值为

1 2

3 . 4

3 . 4

点评: 注意分类讨论; 分段函数求最值, 先求每个区间上的函数最值, 再确定最值中的最值. 例 2.函数 f ( x) ?

1 2 ax ? x ? a (a ? R) 在区间 [ 2, 2] 的最大值记为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达 2

式. 分析:二次函数在给定区间上求最值,重点研究其在所给区间上的单调性情况. 解:∵直线 x ? ? 论: (1)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) , x ? [ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,

1 1 是抛物线 f ( x) ? ax 2 ? x ? a 的对称轴,∴可分以下几种情况进行讨 a 2

1 ? 0 知 f ( x) 在 x ? [ 2, 2] 上单调递增,故 g (a ) ? f (2) ? a ? 2 ; a (2)当 a ? 0 时, f ( x) ? x , x ? [ 2, 2] ,有 g (a ) =2;
由x?? (3)当 a ? 0 时, ,函数 y ? f ( x) , x ? [ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,

2 1 ? (0, 2 ] 即 a ? ? 时, g (a ) ? f ( 2) ? 2 , 2 a 2 1 1 1 1 ,? ] 时, g (a ) ? f (? ) ? ?a ? 若 x ? ? ? ( 2 ,2] 即 a ? (? , 2 2 a a 2a 1 1 若 x ? ? ? (2,??) 即 a ? (? ,0) 时, g (a ) ? f (2) ? a ? 2 . a 2 1 ? (a ? ? ) ? a?2 2 ? 1 2 1 ? 综上所述,有 g (a ) = ?? a ? , (? ? a ? ? ). 2a 2 2 ? 2 ? 2 (a ? ? ) ? 2 ? 点评:解答本题应注意两点:一是对 a ? 0 时不能遗漏;二是对 a ? 0 时的分类讨论中应同 时考察抛物线的开口方向,对称轴的位置及 y ? f ( x) 在区间 [ 2, 2] 上的单调性.
若x?? 【反馈演练】 1.函数 y ? x ? bx ? c?x ? ?0,?? ?? 是单调函数的充要条件是 b ? 0 .
2

2.已知二次函数的图像顶点为 A(1,16) ,且图像在 x 轴上截得的线段长为 8,则此二次函数 的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 15 .
2

3. 设 b ? 0 ,二次函数 y ? ax ? bx ? a ? 1 的图象为下列四图之一:
2 2

26/210

则 a 的值为 ( B ) A.1 B.-1 C.

?1? 5 2

D.

?1? 5 2

4.若不等式 x ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ) 成立,则 a 的取值范围是 [? , ??) .
2

1 2

5 2

5. 若 关 于 x 的 方 程 x ? mx ? 4 ? 0 在 [?1,1] 有 解 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
2

(??, ?5] ? [5, ??) .
6.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2ax ? 3 在 [?1,1] 有最小值,记作 g ( a ) .
2

(1)求 g ( a ) 的表达式; (2)求 g ( a ) 的最大值. 解: (1)由 f ( x) ? 2 x ? 2ax ? 3 知对称轴方程为 x ?
2

a , 2

a ? ?1 时,即 a ? ?2 时, g (a) ? f (?1) ? 2a ? 5 ; 2 a a2 a 当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, g (a ) ? f ( ? ) ? 3 ? ; 2 2 2 a 当 ? 1 ,即 a ? 2 时, g (a) ? f (1) ? 5 ? 2a ; 2 ?2a ? 5, (a ? ?2) ? 2 ? a 综上, g (a) ? ?3 ? , (?2 ? a ? 2) . 2 ? ?5 ? 2a, (a ? 2) ?
当 (2) a ? ?2 时,g (a) ? 1 ; ?2 ? a ? 2 时,g (a) ? 3 ; a ? 2 时,g (a) ? 1 . 当 当 当 故当 a ? 0 时, g ( a ) 的最大值为 3. 7. 分别根据下列条件,求实数 a 的值: (1)函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在在 [0,1] 上有最大值 2;
2

(2)函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1在在 [?3, 2] 上有最大值 4.
2

27/210

解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) max ? f (0) ,令 1 ? a ? 2 ,则 a ? ?1 ; 当 0 ? a ? 1时, f ( x)max ? f (a) ,令 f (a) ? 2 ,? a ? 当 a ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ,即 a ? 2 . 综上,可得 a ? ?1 或 a ? 2 . (2)当 a ? 0 时, f ( x) max ? f (2) ,即 8a ? 1 ? 4 ,则 a ? 当 a ? 0 时, f ( x)max ? f (?1) ,即 1 ? a ? 4 ,则 a ? ?3 .

1? 5 (舍) ; 2

3 ; 8

3 或 a ? ?3 . 8 2 8. 已知函数 f ( x) ? x ? a, ( x ? R) . x ? x2 1 (1)对任意 x1 , x2 ? R ,比较 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 与 f ( 1 ) 的大小; 2 2
综上, a ? (2)若 x ?[?1,1] 时,有 f ( x) ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

1 2 x ? x2 1 故 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 ). 2 2

解: (1)对任意 x1 , x2 ? R , [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f (

x1 ? x2 1 ) ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 2 4

2 (2)又 f ( x) ? 1 ,得 ?1 ? f ( x) ? 1 ,即 ?1 ? x ? a ? 1 ,

? a ? (? x 2 ? 1) max , x ? [?1,1] ? 得? ,解得 ?1 ? a ? 0 . 2 ? a ? (? x ? 1) min , x ? [?1,1] ?

28/210

第7课
【考点导读】

指数式与对数式

1.理解分数指数幂的概念,掌握分数指数幂的运算性质; 2.理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 3.能运用指数,对数的运算性质进行化简,求值,证明,并注意公式成立的前提条件; 4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算. 【基础练习】 1.写出下列各式的值: (a ? 0, a ? 1)

(3 ? ? ) 2 ? ? ? 3 ;

8 3 ? ____4____;

2

81

?

3 4

?

1 ; 27

log a 1 ? ___0_____;
2.化简下列各式: (a ? 0, b ? 0)
2 3 ? 1 3

log a a ? ____1____;

log 1 4 ? __-4__.
2

(1) 4a b

2 ?1 ?1 ? (? a 3 b 3 ) ? ?6a ; 3
?2 2 ?2

(2) (a ? 2 ? a ) ? (a ? a ) ?
2

a2 ?1 . a2 ? 1

3.求值: (1) log
3

1 2

(83 ? 45 ) ? ___-38____;
3

(2) (lg 2) ? 3lg 2 ? lg 5 ? (lg 5) ? ____1____; (3) log 2 3 ? log3 4 ? log 4 5 ? log5 6 ? log 6 7 ? log 7 8 ? _____3____. 【范例解析】 例 1. 化简求值: (1)若 a ? a
?1

? 3 ,求 a 2 ? a 2 及

1

?

1

a 4 ? a ?4 ? 4 的值; a 2 ? a ?2 ? 8

(2)若 x log 3 4 ? 1 ,求 分析:先化简再求值. 解: (1)由 a ? a
?1 2

23 x ? 2?3 x 的值. 2 x ? 2? x

?1

? 3 ,得 (a 2 ? a 2 )2 ? 1 ,故 a 2 ? a
2 ?2

1

?

1

1

?

1 2

? ?1 ;

又 (a ? a ) ? 9 , a ? a

? 7 ;? a 4 ? a ?4 ? 47 ,故

a 4 ? a ?4 ? 4 ? ?43 . a 2 ? a ?2 ? 8

29/210

(2)由 x log 3 4 ? 1 得 4 x ? 3 ;则

23 x ? 2?3 x 7 ? 4 x ? 1 ? 4? x ? . x ?x 2 ?2 3

点评:解条件求值问题: (1)将已知条件适当变形后使用; (2)先化简再代入求值.

1 1 ? lg 9 ? lg 240 2 例 2.(1)求值: ?1; 2 36 1 ? lg 27 ? lg 3 5
(2)已知 log 2 3 ? m , log3 7 ? n ,求 log 42 56 . 分析:化为同底.

1 lg lg10 ? lg 3 ? lg 240 解: (1)原式= ?1 ? 8 ?1 ? 0 ; 36 lg 8 lg10 ? lg 9 ? lg 5
( 2 ) 由

l

2

o? m g

,3



l

3

o?

1 g m

;2





log 42 56 ?

log3 56 3log 2 ? 3 log 7 3 ? mn ? ? 3 . log 3 42 1 ? 3log 3 2 ? log 3 7 m ? 1 ? mn

点评:在对数的求值过程中,应注意将对数化为同底的对数. 例 3. 已知 3 ? 5 ? c ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,求 c 的值. a b

分析:将 a,b 都用 c 表示. 解:由 3 ? 5 ? c ,得
a b

1 1 1 1 ? log c 3 , ? log c 5 ;又 ? ? 2 ,则 log c 3 ? log c 5 ? 2 , a b a b

2 得 c ? 15 .?c ? 0 ,? c ? 15 .

点评:三个方程三个未知数,消元法求解.

【反馈演练】 1.若 10
2x

? 25 ,则 10? x ?

1 . 5

2.设 lg321 ? a ,则 lg 0.321 ? a ? 3 . 3.已知函数 f ( x) ? lg

1? x ,若 f (a) ? b ,则 f (?a) ? -b. 1? x

?2 ? x ? 1, x ? 0, ? 4.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是(-∞,-1)∪(1, , ?x 2 x?0 ?

30/210

+∞) . 5.设已知 f (x6) = log2x,那么 f (8)等于

1 . 2

6.若 3 ? 0.618 , a ? [k , k ? 1) ,则 k =__-1__.
a

7.已知函数 f ( x) ? ? (1)求实数 c 的值;

?cx ? 1 ? ?2 ?
? x c
2

(0<x<c) (c ? x<1)

?1

,且 f (c 2 ) ?

9 . 8

(2)解不等式 f ( x)>

2 ?1. 8
2

解: (1)因为 0 ? c ? 1,所以 c ? c , 由 f (c ) ?
2

9 9 1 3 ,即 c ? 1 ? , c ? . 8 8 2
1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ≤ x ? 1? ?2 ?

?1 ? 2 x ?1 ? (2)由(1)得: f ( x ) ? ? ?2?4 x ? 1 ? ?
由 f ( x) ? 当

2 2 1 1 ?x? . ? 1 得,当 0 ? x ? 时,解得 4 2 8 2

1 1 5 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? , 2 2 8
? 2 5? 2 ? ? ? x? ?. ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

所以 f ( x) ?

31/210

第8课
【考点导读】

幂函数、指数函数及其性质

1.了解幂函数的概念,结合函数 y ? x , y ? x , y ? x , y ?
2

3

1 1 , y ? x 2 的图像了解它们 x

的变化情况; 2.理解指数函数的概念和意义, 能画出具体指数函数的图像, 探索并理解指数函数的单调性; 3.在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 【基础练习】 1.指数函数 f ( x) ? (a ? 1) 是 R 上的单调减函数,则实数 a 的取值范围是 (1, 2) .
x

2.把函数 f ( x) 的图像分别沿 x 轴方向向左,沿 y 轴方向向下平移 2 个单位,得到 f ( x) ? 2 的图像,则 f ( x) ? 2 3.函数 y ? 0.3
2? x ? x2

x

x? 2

?2.

1 1 的定义域为___R__;单调递增区间 (??, ? ] ;值域 (0, 0.3 4 ] . 2

4.已知函数 f ( x) ? a ? 5.要使 y ? ( )

1 1 是奇函数,则实数 a 的取值 ? . 2 4 ?1
x

1 2

x ?1

? m 的图像不经过第一象限,则实数 m 的取值范围 m ? ?2 .
2 x ?1

6.已知函数 f ( x) ? a 【范例解析】

1 ? 1 (a ? 0, a ? 1) 过定点,则此定点坐标为 ( , 0) . 2

例 1.比较各组值的大小: (1) 0.4
?b

0.2

, 0.2
b

0.2 a

,2

0.2

,2 ;

1.6

(2) a , a , a ,其中 0 ? a ? b ? 1 ; (3) ( ) 3 , ( ) 2 . 分析:同指不同底利用幂函数的单调性,同底不同指利用指数函数的单调性.

1 2

1

1 3

1

? 0.40.2 ? 0.40 ? 1,而1 ? 20.2 ? 21.6 , ? 0.20.2 ? 0.40.2 ? 20.2 ? 21.6 . ?b a b (2)? 0 ? a ? 1 且 ?b ? a ? b ,? a ? a ? a . 1 1 1 1 1 1 (3) ( ) 3 ? ( ) 2 ? ( ) 2 . 2 2 3
解: (1)? 0.2
0.2

点评:比较同指不同底可利用幂函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注 意通过 0,1 等数进行间接分类. 例 2.已知定义域为 R 的函数 f ( x) ?

?2 x ? b 是奇函数,求 a, b 的值; 2 x ?1 ? a
32/210

解:因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) =0,即

b ?1 1 ? 2x ? 0 ? b ? 1? f ( x) ? a?2 a ? 2 x ?1

1 1? 2 又由 f(1)= -f(-1)知 ? ? 2 ? a ? 2. a?4 a ?1 x?2 例 3.已知函数 f ( x) ? a x ? (a ? 1) ,求证: x ?1 1?
(1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负根. 分析:注意反证法的运用. 证明: (1)设 ?1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a 1 ? a 2 ?
x x

3( x2 ? x1 ) , ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? a ? 1 ,? a x2 ? a x1 ? 0 ,又 ?1 ? x1 ? x2 ,所以 x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 ,则
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
故函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上是增函数. ( 2 ) 设 存 在 x0 ? 0 ( x0 ? ? 1), 满 足 f ( x0 ) ? 0 , 则 a
x0

??

x0 ? 2 x . 又 0 ? a 0 ?1 , x0 ? 1

?0 ? ?


x0 ? 2 ?1 x0 ? 1

1 ? x0 ? 2 ,与假设 x0 ? 0 矛盾,故方程 f ( x) ? 0 没有负根. 2

点评:本题主要考察指数函数的单调性,函数和方程的内在联系.

【反馈演练】 1.函数 f ( x) ? a (a ? 0且a ? 1) 对于任意的实数 x, y 都有( C )
x

A. f ( xy) ? f ( x) f ( y) C. f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) 2.设 3 ?
x

B. f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) D. f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)

1 ,则( A ) 7
B.-3<x<-2 C.-1<x<0 D.0<x<1

A.-2<x<-1

33/210

3. y=2x 的图像 ( D ) 再作关于直线 y=x 对称的图像, 将 可得到函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的图 像. A.先向左平行移动 1 个单位 C.先向上平行移动 1 个单位 4.函数 f ( x) ? a
x ?b

B.先向右平行移动 1 个单位 D. 先向下平行移动 1 个单位 y 1

的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确的是( C ) B. a ? 1, b ? 0 D. 0 ? a ? 1, b ? 0

A. a ? 1, b ? 0 C. 0 ? a ? 1, b ? 0
x

-1 O

1

x

第4题

5.函数 y ? a 在 ?0,1? 上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为___2__. 6.若关于 x 的方程 4 ? 2 ? m ? 2 ? 0 有实数根,求实数 m 的取值范围.
x x

解:由 4 ? 2 ? m ? 2 ? 0 得, m ? ?4 ? 2 ? 2 ? ?(2 ? ) ?
x x

x

x

x

1 2

2

9 ? 2 ,? m ? (??, 2) 4

7.已知函数 f ( x) ?

a (a x ? a ? x )(a ? 0, a ? 1) . a ?2
2

(1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)若 f ( x) 在 R 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围.

a ( a ? x ? a x ) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 是奇函数. a ?2 a 1 (2)设 x1 ? x2 ? R , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 (a x1 ? a ? x2 )(1 ? x1 ? x2 ) , a ?2 a
解: (1)定义域为 R,则 f (? x) ?
2

当 0 ? a ? 1时,得 a ? 2 ? 0 ,即 0 ? a ? 1;
2

当 a ? 1 时,得 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 ;
2

综上,实数 a 的取值范围是 (0,1) ? ( 2, ??) .

34/210

第9课
【考点导读】

对数函数及其性质

1.理解对数函数的概念和意义, 能画出具体对数函数的图像, 探索并理解对数函数的单调性; 2.在解决实际问题的过程中,体会对数函数是一类重要的函数模型; 3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数,对数函数的单调性问题. 【基础练习】 1. 函数 y ? log 0.1 (6 ? x ? 2 x ) 的单调递增区间是 [ , 2) .
2

1 4

2. 函数 f ( x) ? log 2 2 x ?1 的单调减区间是 ( ??, ) . 【范例解析】 例 1. (1)已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 是减函数,则实数 a 的取值范围是_________. (2)设函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a) ,给出下列命题:
2

1 2

① f (x) 有最小值;

②当 a ? 0 时, f (x) 的值域为 R ;

③当 ?4 ? a ? 0 时, f (x) 的定义域为 R ; ④若 f (x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a ? ?4 . 则其中正确命题的序号是_____________. 分析:注意定义域,真数大于零. 解: (1)? a ? 0, a ? 1 ,? 2 ? ax 在 [0,1] 上递减,要使 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 是减函数, 则 a ? 1 ;又 2 ? ax 在 [0,1] 上要大于零,即 2 ? a ? 0 ,即 a ? 2 ;综上, 1 ? a ? 2 . (2)① f (x) 有无最小值与 a 的取值有关;②当 a ? 0 时, f ( x) ? lg x ? R ,成立;
2

③当 ?4 ? a ? 0 时,若 f (x) 的定义域为 R ,则 x ? ax ?a ? 0 恒成立,即 a ? 4a ? 0 ,即
2 2

? a ?? ? 2, 解得 a ?? , ?4 ? a ? 0 成立;④若 f (x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则 ? 2 ?4 ? 2a ? a ? 0. ?
不成立. 点评:解决对数函数有关问题首先要考虑定义域,并能结合对数函数图像分析解决. 例 3.已知函数 f ( x) ?

1 1? x ,求函数 f (x) 的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. ? log 2 x 1? x

分析:利用定义证明复合函数的单调性.

35/210

?x ? 0 1? x ? ,由 ? 0得 ? 1 ? x ? 1, 所以函数 f (x) 的定义域为(-1,0)∪ 解:x 须满足 ?1 ? x ?1 ? x ? 0 1 ? x ?
(0,1). 因为函数 f (x) 的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有

1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? log 2 ? ?( ? log 2 ) ? ? f ( x) ,所以 f (x) 是奇函数. x 1? x x 1? x
研究 f (x) 在(0,1)内的单调性,任取 x1、x2∈(0,1) ,且设 x1<x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?( 由

1 ? x1 1 1 ? x2 1 ? log 2 ? ? log 2 x1 1 ? x1 x 2 1 ? x2 1 1 2 2 ? ) ? [log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1)], x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? ? 0, log 2 ( ? 1) ? log 2 ( ? 1) ? 0, x1 x 2 1 ? x2 1 ? x1

得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,即 f (x) 在(0,1)内单调递减, 由于 f (x) 是奇函数,所以 f (x) 在(-1,0)内单调递减. 点评:本题重点考察复合函数单调性的判断及证明,运用函数性质解决问题的能力. 【反馈演练】 1.给出下列四个数:① (ln 2) ;② ln(ln 2) ;③ ln 2 ;④ ln 2 .其中值最大的序号是___ ④___. 2. 设函数 f ( x) ? log a ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图像过点 (2,1) ,(8, 2) , a ? b 等于___5_ _. 则
2

3.函数 y ? log a ( x ? 3) ?1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,则定点 A 的坐标是 ( ?2, ?1) .

4.函数 f ( x) ? a ? log a ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为
x

1 . 2

5 . 函 数 f ?x ? ? ? ___3___个.

? 4x ? 4 , x ? 1 的 图 象 和 函 数 g ?x ? ? log 2 x 的 图 象 的 交 点 个 数 有 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

6.下列四个函数:① y ? x ? lg x ; ② y ? x ? lg x ;③ y ? ? x ? lg x ;

36/210

第6题

④ y ? ? x ? lg x .其中,函数图像只能是如图所示的序号为___②___.

7.求函数 f ( x) ? log 2 2 x ? log 2 解: f ( x) ? log 2 2 x ? log 2

x 1 , x ? [ , 4] 的最大值和最小值. 4 2

x ? (log 2 x ? 1)(log 2 x ? 2) ? log 2 2 x ? log 2 x ? 2 4

令 t ? log 2 x ,? x ? [ , 4] ,则 t ?[?1, 2] , 即求函数 y ? t ? t ? 2 在 [?1, 2] 上的最大值和最小值.
2

1 2

故函数 f ( x) 的最大值为 0,最小值为 ? 8.已知函数 f ( x) ? log a

x?b (a ? 0, a ? 1, b ? 0) . x ?b

9 . 4

(1)求 f ( x) 的定义域; (2)判断 f ( x) 的奇偶性; (3)讨论 f ( x) 的单调性,并证明.

x?b ? 0 ,故的定义域为 (?? ? b) ? (b, ??) . x ?b ?x ? b (2)? f (? x) ? log a ( ) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ?x ? b
解: (1)解:由 (3)证明:设 b ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log a

( x1 ? b)( x2 ? b) , ( x2 ? b)( x1 ? b)

( x1 ? b)( x2 ? b) 2b( x2 ? x1 ) ?1 ? ? 0. ( x2 ? b)( x1 ? b) ( x2 ? b)( x1 ? b)
? 当 a ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , f (x) 在 (b, ??) 上为减函数; 故 同理 f (x) 在 (??, ?b) 上
也为减函数; 当 0 ? a ? 1时,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,故 f (x) 在 (b, ??) , (??, ?b) 上为增函数.

37/210

第 10 课
【考点导读】

函数与方程

1.能利用二次函数的图像与判别式的正负,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,了解 函数零点与方程根的联系. 2.能借助计算器用二分法求方程的近似解,并理解二分法的实质. 3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法. 【基础练习】 1.函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在区间 [?4, ?1] 有_____1 ___个零点.
2

2.已知函数 f ( x) 的图像是连续的,且 x 与 f ( x) 有如下的对应值表:

x
f ( x)

1 -2.3

2 3.4

3 0

4 -1.3

5 -3.4

6 3.4

则 f ( x) 在区间 [1, 6] 上的零点至少有___3__个. 【范例解析】 例 1. f ( x) 是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示:令 g ( x) ? af ( x) ? b , 则下列关于函数 g ( x) 的结论: ①若 a<0,则函数 g ( x) 的图象关于原点对称; ②若 a=-1,-2<b<0,则方程 g ( x) =0 有大于 2 的实根; ③若 a≠0, b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有两个实根; ④若 a ? 0 , b ? 2 ,则方程 g ( x) =0 有三个实根. 其中,正确的结论有___________. 分析:利用图像将函数与方程进行互化. 解:当 a ? 0 且 b ? 0 时, g ( x) ? af ( x) ? b 是非奇非偶函数,①不正确;当 a ? ?2 , b ? 0 时,g ( x) ? ?2 f ( x) 是奇函数, 关于原点对称, ③不正确; a ? 0 ,b ? 2 时, f ( x) ? ? 当 由图知,当 ?2 ? ?

2 , a

2 2 ? 2 时, f ( x) ? ? 才有三个实数根,故④不正确;故选②. a a

点评:本题重点考察函数与方程思想,突出考察分析和观察能力;题中只给了图像特征,因 此,应用其图,察其形,舍其次,抓其本.

38/210

例 2.设 f ( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,若 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0 , f (1) ? 0 .
2

求证: (1) a ? 0 且 ? 2 ?

b ? ?1 ; a

(2)方程 f ( x) ? 0 在 (0,1) 内有两个实根. 分析:利用 a ? b ? c ? 0 , f (0) ? 0 , f (1) ? 0 进行消元代换. 证明: (1)? f (0) ? c ? 0 , f (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 ,由 a ? b ? c ? 0 ,得 b ? ?a ? c ,代 入 f (1) 得:

a ? c ? 0 ,即 a ? c ? 0 ,且 0 ?
(2)? f ( ) ? ? 得证.

c b c ? 1 ,即 ? ?1 ? ? (?2, ?1) ,即证. a a a

1 2

1 1 1 a ? 0 ,又 f (0) ? 0 , f (1) ? 0 .则两根分别在区间 (0, ) , ( ,1) 内, 4 2 2 1 来考 2

点评:在证明第(2)问时,应充分运用二分法求方程解的方法,选取 (0,1) 的中点

1 2 b 选? ,也可利用根的分布来做. 3a
【反馈演练】

察 f ( ) 的正负是首选目标,如不能实现 f ( ) ? 0 ,则应在区间内选取其它的值.本题也可

1 2

1.设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 , a 为常数.若存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取 值范围是

1 (??, ?1) ? ( , ??) . 2
? x 2 ? bx ? c, x ? 0, ?2, x ? 0.
若 f (?4) ? f (0) , f (?2) ? ?2 ,则关于 x 的方程 ( C ) B.2 C . 3

2.设函数 f ( x) ? ?

f ( x) ? x 解的个数为
A.1 D.4

3.已知 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) ,且方程 f ( x) ? x 无实数根,下列命题:
2

①方程 f [ f ( x)] ? x 也一定没有实数根; ②若 a ? 0 , 则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都 成立; ③若 a ? 0 ,则必存在实数 x0 ,使 f [ f ( x0 )] ? x0

39/210

④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立. 其中正确命题的序号是
2

①②④



4. 设二次函数 f ( x) ? x ? ax ? a , 方程 f ( x) ? x ? 0 的两根 x1 和 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 . 求 实数 a 的取值范围. 解:令 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? (a ? 1) x ? a ,
2

? ? ? 0, ? 1? a ?a ? 0, ?0 ? ?1 , ? ? 则由题意可得 ? ? 0 ? a ? 3? 2 2 . ? ??1 ? a ? 1 , 2 ? g (1) ? 0, ? ?a ? 3 ? 2 2,或a ? 3 ? 2 2, ? ? g (0) ? 0, ?
3 故所求实数 a 的取值范围是 (0,? 2 2) .
5.已知函数 f ( x) ? log 2 (4 ? 1) ? kx(k ? R) 是偶函数,求 k 的值;
x

解: ? f ( x) 是偶函数,? f (? x) ? f ( x)

? log 2 (4? x ? 1) ? kx ? log 2 (4 x ? 1) ? kx ? 2 x ? 2kx ? 0
由于此式对于一切 x ? R 恒成立,? k ? ?1 6.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c .若 a>b>c, 且 f(1)=0,证明 f(x)的图象与 x
2

轴有 2 个交点. 证明: ? f (1) ? a ? b ? c ? 0且a ? b ? c,? a ? 0且c ? 0,?? ? b 2 ? 4ac ? 0,

? f ( x) 的图象与 x 轴有两个交点.

40/210

第 11 课
【考点导读】

函数模型及其应用

1.能根据实际问题的情境建立函数模型,结合对函数性质的研究,给出问题的解答. 2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法, 会根据条件借助计算工具解 决一些简单的实际问题. 3.培养学生数学地分析问题,探索问题,解决问题的能力. 【基础练习】 1 今有一组实验数据如下:

t

1.99 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.12 18.01

v

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律, ① v ? log 2 t ② v ? log 1 t
2

③v ?

t 2 ?1 2

④ v ? 2t ? 2

其中最接近的一个的序号是______③_______. 2.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆,出厂价为 1.2 万元/辆, 年销售量为 1000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每 辆车投入成本增加的比例为 x(0 < x < 1),则出厂价相应的提高比例为 0.75x,同时预计年销 售量增加的比例为 0.6x.已知年利润 = (出厂价-投入成本)?年销售量. (Ⅰ)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 解: (Ⅰ)由题意得 y = [ 1.2?(1+0.75x)-1?(1 + x) ] ?1000?( 1+0.6x )(0 < x < 1) 整理得 y = -60x2 + 20x + 200(0 < x < 1).

? y ? (1.2 ? 1) ? 1000 ? 0 , (Ⅱ)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当 ? ?0 ? x ? 1.
?? 60 x 2 ? 20 x ? 0 , 即? ?0 ? x ? 1.
解不等式得 0 ? x ?

1 . 3

答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足 0 < x < 0.33.

【范例解析】 例. 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的 300 天内,西红柿市场

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售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二 的抛物线段表示. (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 p=f(t);写出图二表示的种植成本与时间 的函数关系式 Q=g(t); (Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

(注:市场售价和种植成本的单位:元/10 kg,时间单位:天) 解:(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

2

?300 ? t,0 ? t ? 200 , f ?t ? ? ? ?2t ? 300,200 ? t ? 300 .
由图二可得种植成本与时间的函数关系为 g(t)=

1 (t-150)2+100,0≤t≤300. 200

(Ⅱ)设 t 时刻的纯收益为 h(t),则由题意得 h(t)=f(t)-g(t),

? 1 2 1 175 ?? 200 t ? 2 t ? 2 ,0 ? t ? 200 , ? 即 h?t ? ? ? ?? 1 t 2 ? 7 t ? 1025 ,200 ? t ? 300 . ? 200 2 2 ?
当 0≤t≤200 时,配方整理得 h(t)=-

1 (t-50)2+100, 200 1 (t-350)2+100, 200

所以,当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100; 当 200<t≤300 时,配方整理得:h(t)=-

所以,当 t=300 时,h(t)取得区间(200,300]上的最大值 87.5. 综上:由 100>87.5 可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值 100,此时 t=50,即从二
42/210

月一日开始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大 【反馈演练】

王新敞
奎屯

新疆

1.把长为 12cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,则这两个正三角形面积之和
2 的最小值是______ 4 3 _____ cm .

2.某地高山上温度从山脚起每升高 100m 降低 0.7℃,已知山顶的温度是 14.1℃,山脚的温 度是 26℃,则此山的高度为_____17_____m. 3.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06x-0.15 x 2 和 L2=2 x,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最大 利润为____45.6___万元. 4.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x,y(单位:m)的矩形.上 部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积 8cm2. 问 x、y 分别为多少时用料最省?

解:由题意得 xy+

1 2 x =8,∴y= 4

8?

x2 4 = 8 ? x (0<x<4 2 ). x x 4

则框架用料长度为 l=2x+2y+2(

2 3 16 x )=( + 2 )x+ ≥4 6 ? 4 2 . 2 2 x

y

3 16 当( + 2 )x= ,即 x=8-4 2 时等号成立. 2 x
此时,x=8-4 2 , y ? 2 2 , x 故当 x 为 8-4 2 m,y 为 2 2 m 时,用料最省. 第4题

43/210

第三章 三角函数和解三角形
【考点导读】

第 1 课 三角函数的概念

1. 理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算. 角的概念推广后,有正角、负角和零角;与 ? 终边相同的角连同角 ? 本身,可构成一 个集合 S ? ? ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧
?

?

?

度的角,熟练掌握角度与弧度的互换,能运用弧长公式 l ? ? r 及扇形的面积公式 S = lr ( l 为弧长)解决问题. 2. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为 x 轴的正半轴,建立直角坐标 系,在角的终边上任取一点 P( x, y ) (不同于坐标原点) ,设 OP ? r ( r ? 则 ? 的三个三角函数值定义为: sin ? ?

1 2

x2 ? y 2 ? 0 ) ,

y x y , cos ? ? , tan ? ? . r r x

从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为 R;正切函 数的定义域为 {? | ? ? R, ? ? k? ?

?
2

, k ? Z} .

3. 掌握判断三角函数值的符号的规律,熟记特殊角的三角函数值. 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全 为正值) ,二正弦(第二象限内只有正弦值为正) ,三切(第三象限只有正切值为正) ,四余 弦(第四象限内只有余弦值为正) .另外,熟记 0 、 速、准确地运算很有好处. 4. 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念. 在平面直角坐标系中, 正确地画出一个角的正弦线、 余弦线和正切线, 并能运用正弦线、 余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题. 【基础练习】 1. ?885 化成 2k? ? ? (0 ? ? ? 2? , k ? Z ) 的形式是
?

? ? ? ? 、 、 、 的三角函数值,对快 6 4 3 2

?6? ?

13 ? 12



? 所在的象限是 第二或第四象限 . 2 5 ? 3.已知角 ? 的终边过点 P(?5,12) ,则 cos? = 13 , tan ? =
2.已知 ? 为第三象限角,则 4.

?

12 5 .

tan(?3)sin 5 的符号为 cos8





5.已知角 ? 的终边上一点 P(a, ?1) ( a ? 0 ) ,且 tan? ? ?a ,求 sin ? , cos? 的值.

44/210

解:由三角函数定义知, a ? ?1 ,当 a ? 1 时, sin ? ? ?

2 2 , cos ? ? ; 2 2

当 a ? ?1 时, sin ? ? ? 【范例解析】

2 2 , cos ? ? ? . 2 2

例 1.(1)已知角 ? 的终边经过一点 P(4a, ?3a)(a ? 0) ,求 2sin ? ? cos ? 的值; (2)已知角 ? 的终边在一条直线 y ? 分析:利用三角函数定义求解. 解: (1)由已知 x ? 4a , r ? 5 a .当 a ? 0 时, r ? 5a , sin ? ? ? , cos ? ?

3 x 上,求 sin ? , tan ? 的值.

3 5

4 ,则 5

2 2sin ? ? cos ? ? ? ; 5
当 a ? 0 时, r ? ?5a , sin ? ?

3 4 2 , cos ? ? ? ,则 2sin ? ? cos ? ? . 5 5 5
3 x 上一点,则 tan ? ? 3 ;

(2)设点 P(a, 3a )(a ? 0) 是角 ? 的终边 y ? 当 a ? 0 时,角 ? 是第一象限角,则 sin ? ?

3 ; 2 3 . 2

当 a ? 0 时,角 ? 是第三象限角,则 sin ? ? ? 点评:要注意对参数进行分类讨论.

例 2.(1)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 ? 在第_____________象限. (2)若角 ? 是第二象限角,则 sin 2? , cos 2? , sin 的有____个. 解: (1)由 sin ? ? cos? ? 0 ,得 sin ? , cos ? 同号,故 ? 在第一,三象限. (2)由角 ? 是第二象限角,即

?
2

, cos

?
2

, tan

?
2

中能确定是正值

?
2

? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ,得

?
4

? k? ?

?
2

?

?
2

? k? ,

? ? 4k? ? 2? ? 2? ? 4k? ,故仅有 tan

?
2

为正值.

点评:准确表示角的范围,由此确定三角函数的符号. 例 3. 一扇形的周长为 20cm ,当扇形的圆心角 ? 等于多少时,这个扇形的面积最大?最大 面积是多少? 分析:选取变量,建立目标函数求最值.
45/210

解:设扇形的半径为 x ㎝,则弧长为 l ? (20 ? 2 x) ㎝,故面积为

1 y ? (20 ? 2 x) x ? ?( x ? 5) 2 ? 25 , 2
当 x ? 5 时,面积最大,此时 x ? 5 , l ? 10 , ? ? 所以当 ? ? 2 弧度时,扇形面积最大 25 cm .
2

l ?2, x

点评:由于弧度制引入,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数.

【反馈演练】 二 1.若 sin ? ? cos? 且 sin ? ? cos? ? 0 则 ? 在第_______象限. 三 2.已知 ? ? 6 ,则点 A(sin ? , tan ? ) 在第________象限. 3.已知角 ? 是第二象限,且 P(m, 5) 为其终边上一点,若 cos ? ? _______. 4.将时钟的分针拨快 30min ,则时针转过的弧度为 5.若 4? ? ? ? 6? ,且 ? 与 ?

?

? 12


2 m ,则 m 的值为? 4

3

2? 终边相同,则 ? = 3

16? 3

.1
1

sin 6.已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2,则这个圆心角所对的弧长是_______,这个圆心角所 2 1 在的扇形的面积是___________. 1 ? cos1

7. (1)已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形中心角是 1 弧度,求该扇形面积. (2)若扇形的面积为 8 cm ,当扇形的中心角 ? (? ? 0) 为多少弧度时,该扇形周长最小.
2

简解: (1)该扇形面积 2 cm ;

2

? 2r ? l ? y 16 ? (2) ? 1 ,得 y ? 2r ? ? 8 2 ,当且仅当 r ? 2 2 时取等号.此时, l ? 4 2 , r ? 2 rl ? 8 ?

? ? ? 2.

l r

46/210

第 2 课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】 1.理解同角三角函数的基本关系式;同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间 的联系. 2.掌握正弦,余弦的诱导公式;诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律,起 着变名,变号,变角等作用. 【基础练习】
3 1. tan600°=______.

? 5 13 2. 已知 ? 是第四象限角, tan ? ? ? ,则 sin ? ? ______. 12
3.已知 cos ?

5

3 ? ?? ? - 3 ?? ? ? ,且 ? ? ,则tan ? =______. 2 ?2 ? 2

4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___. 【范例解析】 例 1.已知 cos(? ? ? ) ?

8 ,求 sin(? ? 5? ) , tan(3? ? ? ) 的值. 17

分析:利用诱导公式结合同角关系,求值.

8 8 ,得 cos ? ? ? ? 0 ,?? 是第二,三象限角. 17 17 15 15 若 ? 是第二象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? ? , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? ? ; 17 8 15 15 若 ? 是第三象限角,则 sin(? ? 5? ) ? ? sin ? ? , tan(3? ? ? ) ? tan ? ? . 17 8
解:由 cos(? ? ? ) ? 点评:若已知正弦,余弦,正切的某一三角函数值,但没有确定角所在的象限,可按角的象 限进行分类,做到不漏不重复. 例 2.已知 ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

1 ,求 tan ? 的值. 5

分析:先求出 sin ? ? cos ? 的值,联立方程组求解. 解 : 由

sin ? ? cos ? ?

1 1 两 边 平 方 , 得 1 ? 2sin ? ? cos ? ? , 即 5 25

? 2sin ? ? cos ? ? ?

24 ? 0. 25

又 ? 是三角形的内角,? cos ? ? 0 ,? 由 (sin ? ? cos ? ) ?
2

?
2

?? ?? .

49 7 ,又 sin ? ? cos ? ? 0 ,得 sin ? ? cos ? ? . 25 5

1 4 ? ? ?sin ? ? cos ? ? 5 ?sin ? ? 5 4 ? ? 联立方程组 ? ,解得 ? ,得 tan ? ? ? . 3 ?sin ? ? cos ? ? 7 ?cos ? ? ? 3 ? ? 5 5 ? ?
47/210

点评:由于 (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ,因此式子 sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? ,
2

sin ? ? cos ? 三者之间有密切的联系,知其一,必能求其二.
【反馈演练】 1.已知 sin ? ? 2. n “s i
3 5 ? 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为_____. 5 5

A?

1 ”是“A=30? ”的必要而不充分条件. 2

3.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则 x 的取值范围是 4.已知 sin ? ? cos ? ? 5. (1)已知 cos ? ? ? (2)已知 sin( x ?

?

1 ? 3? ,且 ≤ ? ≤ ,则 cos 2? 的值是 5 2 4

4 7 ? 25

?x?

5? 4



2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 1 ? ,且 ? ? ? ? 0 ,求 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) 3 2

?
6

)?

1 5? ? ,求 sin( ? x) ? sin 2 ( ? x) 的值. 4 6 3

1 ,得 tan ? ? ?2 2 . 3 ?2cos ? ? 3sin ? ?2 ? 3tan ? 5 原式= ? ? 2? 2. 4cos ? ? sin ? 4 ? tan ? 2
解: (1)由 cos ? ? ? ( 2 )

? sin(

5? ? ? ? ? ? x) ? sin 2 ( ? x) ? sin[? ? ( x ? )] ? sin 2[ ? ( x ? )] 6 3 6 2 6 ? ? 19 ? sin( x ? ) ? cos2 ( x ? ) ? . 6 6 16 4 6.已知 tan ? ? ? ,求 3 6sin ? ? cos ? (I) 的值; 3sin ? ? 2cos ? 1 (II) 的值. 2sin ? cos ? ? cos 2 ?

? 1 ? sin( x ? ) ? 6 4



4 6(? ) ? 1 4 7 6sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 解: (I)∵ tan ? ? ? ;所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3 4 (II)由 tan ? ? ? , 3 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5 1 ? ? ?? . 于是 2 2 3 2sin ? cos ? ? cos ? 2sin ? cos ? ? cos ? 2 tan ? ? 1

48/210

第 3 课 两角和与差及倍角公式(一)
【考点导读】 1.掌握两角和与差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系; 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换; 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角,函数名称及次数三方面的差异及联系,然后通 过“角变换”“名称变换”“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系; , , 4.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简, 左右归一,变更命题等方法将等式两端的“异”化“同” . 【基础练习】
?

1 2 1. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ___________.
? ? ?

? 2 2 cos( x ? ) 3 2. 化简 2 cos x ? 6 sin x ? _____________.
4.化简:

3+cos2x 3. 若 f(sinx)=3-cos2x,则 f(cosx)=___________ .

sin ? ? sin 2? tan ? ? ___________ . 1 ? cos ? ? cos 2?

【范例解析】

1 2 ; 例 .化简: (1) ? 2 ? 2 tan( ? x) sin ( ? x) 4 4 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
(1 ? sin ? ? cos ? )(sin
(2)

?

2 ? 2 cos ?

? cos ) 2 2 (0 ? ? ? ? ) .
一 : 原 式

?

(1)分析一:降次,切化弦. 解 法

=

1 (2 cos 2 x ? 1) 2 2 2sin( ? x) ? 4 cos 2 ( ? x) ? 4 cos( ? x) 4

?

?

(2 cos 2 x ? 1)2 4sin( ? x) cos( ? x) 4 4

?

?

?

1 ? cos 2 x . ? 2sin( ? 2 x) 2 2

cos 2 2 x

分析二:变“复角”为“单角” . 解 法 二







1 (2 cos 2 x ? 1) 2 2 ? ? c 1 ? tan x 2 2 2? ( sin x ? cos x) 2 ? c 1 ? tan x 2 2
( 2 )

c x? x? x x

2

x o x? o

1 ? c s x 2( 2 s


o

s x. s


o

2 s s i

s

(2sin cos ? 2 cos 2 )(sin ? cos ) cos (sin 2 ? cos 2 ) ? cos ? cos ? 2 2 2 2 2 ? 2 2 2 ? 2 = ? ? ? cos cos 4 cos 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

49/210

? 0 ? ? ? ? ,? 0 ?

?
2

?

?
2

, cos

?
2

? 0 ,?原式= ? cos? .

点评:化简本质就是化繁为简,一般从结构,名称,角等几个角度入手.如:切化弦, “复 角”变“单角” ,降次等等. 【反馈演练】 1.化简

2sin 2? cos 2 ? ? ? tan 2? . 1 ? cos 2? cos 2?

2.若 sin x ? tan x ? 0 ,化简 1 ? cos 2x ? _________. ? 2 cos x

? a?b ,sin α+cos α = α,sin β+cos β= b,则 a 与 b 的大小关系是_________. 4 ? ? ( , ) ? 4.若 sin ? ? cos ? ? tan ? (0 ? ? ? ) ,则 ? 的取值范围是___________. 4 3 2
3.若 0<α<β< 5.已知 ? 、 ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ,则 tan ? = 1 .

6.化简:

2 tan( ? ? ) ? sin ( ? ? ) 4 4
2

?

2 cos 2 ? ? 1

?



解:原式=

2sin( ? ? ) ? 4 ? cos 2 ( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) 4
2 2

?

2 cos 2 ? ? 1

?

2sin( ? ? ) ? cos( ? ? ) 4 4

?

cos 2?

?

?

cos 2? ? 1. cos 2?

7.求证: sin 2 x ? 2cos x cos 2 x ? 2cos x .
2

证明:左边= 4sin x cos x ? 2cos x cos 2 x ? 2cos x(2sin x ? 1 ? 2cos x) ? 2cos x =
2 2 2
2 2 2 2

右边. 8.化简: sin ? ? sin ? ? 2sin ? sin ? cos(? ? ? ) .
2 2

解:原式= sin ? ? sin ? ? 2sin ? sin ? (cos ? cos ? ? sin ? sin ? )
2 2

? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? 2sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? sin 2 ? cos2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? 2sin ? sin ? cos ? cos ? ? (sin ? cos ? ? sin ? cos ? )2

? sin 2 (? ? ? ) .
50/210

第 4 课 两角和与差及倍角公式(二)
【考点导读】 1.能熟练运用两角和与差公式,二倍角公式求三角函数值; 2.三角函数求值类型: “给角求值”“给值求值”“给值求角” . , , 【基础练习】 1.写出下列各式的值:

1 (1) 2sin15? cos15? ? _________; 2
(3) 2sin 15? ? 1 ? _________; 2
2

3 (2) cos 15? ? sin 15? ? _________; 2
2 2

?

3

(4) sin 15? ? cos 15? ? ____1_____.
2 2

1 3 ? 7 2.已知 ? ? ( , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) =_________. 2 5 3 4 1 1 ? tan15? ? 5? 3.求值: (1) (2) cos cos ? _______; ? _________. 3 4 1 ? tan15? 12 12 4.求值: tan10?? tan 20? ? 3(tan10? ? tan 20?) ? ____1____. 4 - ? 5.已知 tan ? 3 ,则 cos ? ? ________. 5 2 1 cos 2? 2 2 ?? 6.若 ,则 cos ? ? sin ? ? _________. π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?

?

【范例解析】 例 1.求值: (1) sin 40?(tan10? ? 3) ;

(2)

2sin 50? ? sin 80?(1 ? 3 tan10?) . 1 ? cos10?

分析:切化弦,通分. 解 = sin 40?( : ( 1 ) 原 式

sin10? ? 3 cos10? sin10? 2sin(10? ? 60?) ? 3) = sin 40?? ? sin 40?? cos10? cos10? cos10?

? ? sin 40??
( )

2cos 40? ? sin 80? ? ? ?1 . cos10? cos10?
?1 ? 3 tan10? ? 1 ? 3
? 2

2

sin10? cos10? ? 3 sin10? 2sin 40? ? ? cos10? cos10? cos10?
5





1?

c o ?s ? 0 . 1

c o s

51/210

2sin 50? ? sin 80??
原式=

2sin 40? cos10? ? 2(sin 50? ? sin 40?) ? 2 2 cos 5? ? 2 . 2 cos 5? 2 cos 5? 2 cos 5?

点评:给角求值,注意寻找所给角与特殊角的联系,如互余,互补等,利用诱导公式,和与 差公式,二倍角公式进行转换. 例 2.设 cos(? ? ? ) ? ?

4 12 ? 3? , cos(? ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? ? ? ( , 2? ) ,求 5 13 2 2

cos 2? , cos 2? .
分析: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) .

4 ? 3 5 , ? ? ? ( ,? ) , n ? ) ? ? , 得( 同理, 可得 sin(? ? ? ) ? ? ? i s ? 5 2 5 13 33 63 ? cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? ? ,同理,得 cos 2? ? ? . 65 65
解: cos(? ? ? ) ? ? 由 点 评 : 寻 求 “ 已 知 角 ” 与 “ 未 知 角 ” 之 间 的 联 系 , 如 : 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 等.
例 3.若 cos(

?
4

? x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x 3 17? 7? , ,求 的值. ?x? 1 ? tan x 5 12 4

分析一: x ? (

?
4

4 17? 7? 5? ? 解法一:? ,? ?x? ? x ? ? 2? , 12 4 3 4 ? 3 ? 4 ? 4 又 cos( ? x) ? ,? sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? . 4 5 4 5 4 3

? x) ?

?



? ? 2 7 2 ? cos x ? cos[( ? x) ? ] ? ? ,? sin x ? ? , tan x ? 7 . 4 4 10 10
2 ? (?
所以,原式= 分析二: 2 x ? 2(

7 2 2 7 2 2 ) ? (? ) ? 2 ? (? ) 28 10 10 10 ?? . 1? 7 75

?

4 2 sin 2 x ? sin 2 x ? tan x sin 2 x(1 ? tan x) ? 解法二:原式= ? ? sin 2 x ? tan( ? x) 1 ? tan x 1 ? tan x 4 ? ? ? ? 7 2 又 sin 2 x ? sin[2( ? x) ? ] ? ? cos 2( ? x) ? ?[?2cos ( ? x) ? 1] ? , 4 2 4 4 25

? x) ?

?



52/210

所以,原式 ?

7 4 28 ? (? ) ? ? . 25 3 75

点评:观察“角”之间的联系以寻找解题思路.

【反馈演练】

1 3 ? 1.设 ? ? (0, ) ,若 sin ? ? ,则 2 cos( ? ) =__________. ? 5 2 5 4 4 1 ? ? ? ? 3 2.已知 tan =2,则 tanα 的值为_______,tan (? ? ) 的值为___________ . 7 4 2 7 ? ?? ? 1 ? 2? ? 9 3.若 sin? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =___________. ?6 ? 3 ? 3 ? 1 1 3 4.若 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? tan ? ? . 2 5 5 1 1 3 5.求值: ? ? _________. sin 20? tan 40?

?

6.已知 cos? ? ?

? ?

??

3 ? 3? ?? ? .求 cos? 2? ? ? 的值 ? ? , ?? ? 4? 5 2 2 4? ?

王新敞
奎屯

新疆

解: cos? 2? ?

? ?

??

? ? 2 ?cos 2? ? sin 2? ?. ? ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4? 4 4 2



?
2

?? ?

3? ? 7? 3? ?? ? ?? ? ? , 且 cos ? ? ? ? ? 0, 2 4? 4 4 4 ?

?? ?? 4 ? ? ? sin? ? ? ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? ? ? ? 4? 4? 5 ? ?
从而 cos 2? ? sin? 2? ?

王新敞
奎屯

新疆

? ?

??

?? ? ?? 24 ? , ? ? 2 sin?? ? ? cos?? ? ? ? ? 2? 4? ? 4? 25 ?

?? ?? 7 ? ? sin 2? ? ? cos? 2? ? ? ? 1 ? 2 cos2 ?? ? ? ? 2? 4 ? 25 ? ?
?? 2 ? 24 7 ? 31 2 ? ? cos? 2? ? ? ? ? ?? ? ??? 4? 2 ? 25 25 ? 50 ?
53/210

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

第 5 课 三角函数的图像和性质(一)
【考点导读】 1.能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像,借助图像理解正弦函数,余弦函数在

[0, 2? ] ,正切函数在 (?

? ?

, ) 上的性质; 2 2

2.了解函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的实际意义,能画出 y ? A sin(? x ? ? ) 的图像; 3.了解函数的周期性,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 1. 已知简谐运动 f ( x) ? 2sin(

) 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小 3 ? 2 正周期 T ? _____6____;初相 ? ?6 __________. ? { x x ? 2 k? ? , k ? Z } ? 2. 三角方程 2sin( -x)=1 的解集为_______________________. 3 2 ? 3. 函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ? , x ? R) 的部分图象如图所示,则函数表达式为 2 ? ? y ? ?4 sin( x ? ) 8 4 ______________________.

?

x ? ? )( ? ?

?

第3题

? ?? ? 4. 要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象向右平移__________ ? ?? ?
个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (Ⅰ)用五点法画出函数在区间 ? ? ? , ? ? 上的图象,长度为一个周期; ? 2 2? ? ? (Ⅱ)说明 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) 的图像可由 y ? sin x 的图像经过怎样变换而得到. 分析:化为 A sin(? x ? ? ) 形式. 解: (I)由 f ( x) ? 2 sin x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x
2

? 1 ? 2 ( s i 2 x ? c o s ? c o s x s i n ) ? 1 ? 2 s i n2(x ? ) . n 2 4 4 4
列表,取点,描图:

?

?

?

54/210

x
y

?

3? 8
1

?

?
8

? 8
1

3? 8
1? 2

5? 8
1

1? 2

故函数 y ? f (x) 在区间 [?

? ?

, ] 上的图象是: 2 2

? ? 个单位,得到 y ? sin( x ? ) 的图像, 4 4 ? 1 再 把 y ? sin( ? )的 图 像 上 所 有点 的横 坐 标 缩短 为 原 来的 ( 纵 坐 标 不变 ) 得到 , x 4 2 ? ? y ? sin(2 x ? ) 的图像,然后把 y ? sin(2 x ? ) 的图像上所有点纵坐标伸长到原来的 2 4 4 ? ? 倍(横坐标不变) ,得到 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像,再将 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像上所 4 4 ? 有点向上平移 1 个单位,即得到 y ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 的图像. 4 1 解法二: y ? sin x 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) 得到 y ? sin 2 x 把 , 2 ? ? 的图像,再把 y ? sin 2 x 图像上所有点向右平移 个单位,得到 y ? sin(2 x ? ) 的图像, 4 8 ? 然后把 y ? sin(2x ? ) 的图像上所有点纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到 4 ? ? y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像,再将 y ? 2 sin(2 x ? ) 的图像上所有点向上平移 1 个单位, 4 4 ? 即得到 y ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 的图像. 4
(Ⅱ)解法一:把 y ? sin x 图像上所有点向右平移 例 2.已知正弦函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0) 的图像如右图所示. (1)求此函数的解析式 f1 ( x ) ; (2)求与 f1 ( x ) 图像关于直线 x ? 8 对称的曲线的解析式 f 2 ( x) ; (3)作出函数 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的图像的简图.

55/210

y x=8

2
-2 O 2 x

分析:识别图像,抓住关键点. 解: (1)由图知, A ? 将 x ? 2 ,y ?

2 ,?

2?

?

? 2 ? (6 ? 2) ? 16 ,?? ?

?
8

,即 y ?

2sin(

?
?
8

x ?? . )

2 代入, 2 sin( ? ? ) ? 2 , ? ? , f1 ( x ? 2s 得 解得 即 ) n i ( )x ? . 4 4 8 4 ( 2 ) 设 函 数 f 2 ( x) 图 像 上 任 一 点 为 M ( x, y ) , 与 它 关 于 直 线 x ? 8 对 称 的 对 称 点 为 M ?( x?, y?) , ? x? ? x 6 , ? 8, ? x? ? 1 ? x ? ? ? 得 ? 2 解 得 ? 代 入 f1 ( x? ? ) 2 sx? ? n ( 中 , 得) i 8 4 ? y? ? y. ? y? ? y. ?

?

?

?

f2 ( x ? ? )

2 sx ? n . i ( 8 4

?

?

)

(3) y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ?

2 sin( x ? ) ? 2 sin( x ? ) ? 2cos x ,简图如图所示. 8 4 8 4 8
y

?

?

?

?

?

2 12 -4 O 4 x

点评:由图像求解析式, A 比较容易求解,困难的是待定系数求 ? 和 ? ,通常利用周期确 定 ? ,代入最高点或最低点求 ? . 【反馈演练】
x ? 1.为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2sin x , x ? R 的图像上所 3 6 有的点 ? 1 ①向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 6 3

56/210

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ; 6 3 ? ③向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) ; 6 ? ④向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) . 6 其中,正确的序号有_____③______.
②向右平移 2.为了得到函数 y ? sin(2 x ? 个单位长度. 3.若函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ?R (其中 ? ? 0 , ? ?

?
6

) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移__ ? __
3

f (0) ? 3 ,则 ? ? __2____; ? ? __________.

? 3

? )的最小正周期是 ? ,且 2

4.在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为____________________. 5.下列函数: ① y ? sin ? x ?

? ? 5? ? ? , ? ?4 4 ?

? ?

??

?; 6?

② y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

?; 6?

③ y ? cos ? 4 x ?

? ?

??

?; 3?

④ y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

?. 6?
第5题

其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____.

6.如图,某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段时间的函数解析式. 解: (1)由图示,这段时间的最大温差是 30 ? 10 ? 20 ℃ (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的半个周期

1 2? ? ? ? 14 ? 6 ,解得 ? ? 2 ? 8 1 由图示, A ? (30 ? 10 ) ? 10 2
∴ 这时, y ? 10 sin(

b?

?

1 (10 ? 30) ? 20 2

8

x ? ? ) ? 20 3? 4
第6题

将 x ? 6, y ? 10 代入上式,可取 ? ? 综上,所求的解析式为 y ? 10 sin(

3? ) ? 20 ( x ? [6,14] ) 8 4 π 7 . 如 图 , 函 数 y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤? ≤ ) 的 图 象 与 y 轴 相 交 于 点 0 2 x?

?

(0,3) ,且该函数的最小正周期为 ? .

57/210

(1)求 ? 和 ? 的值; (2)已知点 A ? ,? ,点 P 是该函数图象上一点,点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, 0

?π ?2

? ?

y
3

P

当 y0 ?

3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值. 2 ?2 ?

O

A

x

第7题 解: (1)将 x ? 0 , y ? 3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 得 cos ? ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 , 2

? ? ,所以 ? ? . 2 6

又因为该函数的最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 , 因此 y ? 2 cos ? 2 x ?

? ?

?? ?. 6?

(2)因为点 A ? ,? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? 0

?? ?2

? ?

3 , 2

所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ?

? ?

? ? ,3 ? . 2 ?
5? ? 3 ?? ? . ? 的图象上,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6 ? 2 6? ?

又因为点 P 在 y ? 2 cos ? 2 x ? 因为

? ?

? 7? 5? 19? , ≤ x0 ≤ ? ,所以 ≤ 4 x0 ? ≤ 2 6 6 6 5? 11? 5? 13? 从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? . ? ? 6 6 6 6 2? 3? 即 x0 ? 或 x0 ? . 3 4

58/210

第 6 课 三角函数的图像和性质(二)
【考点导读】 1. 理 解 三 角 函 数 y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x 的 性 质 , 进 一 步学 会 研 究形 如 函 数

y ? A sin(? x ? ? ) 的性质;
2.在解题中体现化归的数学思想方法,利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究. 【基础练习】 1.写出下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ?

sin

x {x 6k? ? x ? 6k? ? 3? , k ? Z } 的定义域是______________________________; 3

? 2.函数 f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________.
? 的最小正周期是_______. ) sin(x ? ) ? 2 4 4 ? ( ,0) ? 4. 函数 y=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称. 3 3 ? ? ?1 ? ? ? 0 5. 已知函数 y ? tan ? x 在(- , )内是减函数,则 ? 的取值范围是______________. 2 2
3.函数 (x) sin(x ? f ?
2

? sin 2 x { x x ? k? ? , k ? Z } 的定义域是____________________. 2 cos x

?

?

【范例解析】 例 1.求下列函数的定义域: (1) y ?

sin x (2) y ? 2 ? log 1 x ? tan x . ? 2sin x ? 1 ; tan x 2

? ? ? ? ? x ? k? ? 2 , ? x ? k? ? 2 , ? ? 解: (1) ? tan x ? 0, 即 ? x ? k? , , ? 2sin x ? 1 ? 0. ? ? 7? ? ? 2 k? ? ? x ? 2 k? ? . 6 6 ? ?
故函数的定义域为 {x 2k? ?

?
6

? x ? 2k? ?

7? ? 且 x ? k? , x ? k? ? , k ? Z } 6 2

?2 ? log 1 x ? 0, ?0 ? x ? 4, ? ? 2 (2) ? 即? ? ? k? ? x ? k ? ? 2 . ? tan x ? 0. ? ?
故函数的定义域为 (0,

?
2

) ? [? , 4] .

点评:由几个函数的和构成的函数,其定义域是每一个函数定义域的交集;第(2)问可用
59/210

数轴取交集.

例 2.求下列函数的单调减区间: (1) y ? sin(

?
3

? 2 x) ;

(2) y ?

解 :( 1 ) 因 为 2k? ?

?
2

?

?
3

2 cos x ; ? x sin( ? ) 4 2

? 2 x ? 2k? ?

?

[ k? ?

?
12

, k? ?

5? ](k ? Z ) . 12

2

, 故 原 函 数 的 单 调 减 区 间 为

(2)由 sin( 又y?

?

? x ? ) ? 0 ,得 {x x ? 2k? ? , k ? Z } , 2 4 2

2 cos x x ? ? 4sin( ? ) , ? x 2 4 sin( ? ) 4 2 ? x ? 3? ? 5? 所以该函数递减区间为 2k? ? ? ? ? 2k? ? ,即 (4k? ? , 4k? ? )(k ? Z ) . 2 2 4 2 2 2
点评:利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制. 例 3.求下列函数的最小正周期: (1) y ? 5 tan(2 x ? 1) ; (2) y ? sin ? x ?

? ?

??

?? ? ? sin ? x ? ? . 3? ? 2?
π ? ,得 y ? 5 tan(2 x ? 1) 的周期 T ? . 2 2

解: (1)由函数 y ? 5tan(2 x ? 1) 的最小正周期为 (2) y ? sin( x ?

?

)sin( x ? ) ? (sin x cos ? cos x sin ) cos x 3 2 3 3

?

?

?

1 3 1 3 1 ? cos 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 2 2 4 2 2

?

3 1 ? ? sin(2 x ? ) 4 2 3

?T ? ? .

点评:求三角函数的周期一般有两种: (1)化为 A sin(? x ? ? ) 的形式特征,利用公式求解; (2)利用函数图像特征求解.

60/210

【反馈演练】

? 1.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为 _____________. 2
4 2

? 2? 7? 5? [ , ] ,[ , ] ?? ? 2 . 设 函 数 f ( x) ? sin ? x ? ? ( x ? R ) , 则 f ( x) 在 [0, 2? ] 上 的 单 调 递 减6 间 为 区 3 6 3 3? ?
___________________.

[?

?

3.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[ ??,0]) 的单调递增区间是________________.

6

, 0]

2? 4.设函数 f ( x) ? sin 3x? | sin 3x | ,则 f ( x) 的最小正周期为_______________. 3

[ ,? ] x 5.函数 f ( x) ? cos x ? 2cos 在 [0, ? ] 上的单调递增区间是_______________. 3 2
2 2

?

π? ? 1 ? 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? 6.已知函数 f ( x) ? . π? ? sin ? x ? ? 2? ?
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角 ? 在第一象限且 cos ? ? 解: (Ⅰ) 由 sin ? x ?

3 ,求 f (? ) . 5

? ?

π π π? ? ? 0 得 x ? ? ? kπ ,即 x ? kπ ? (k ? Z) . 2? 2 2
π 2 ? ?

故 f ( x) 的定义域为 ? x ? R | x ? kπ ? ,k ? Z ? .

? ?

4 ?3? (Ⅱ)由已知条件得 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? . 5 ?5?
2

2

π? ? 1 ? 2 cos ? 2? ? ? 4? ? 从而 f (? ) ? π? ? sin ? ? ? ? 2? ?

π π? ? 1 ? 2 ? cos 2? cos ? sin 2? sin ? 4 4? ? ? cos ?
? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? cos ?

61/210

? 2(cos ? ? sin ? ) ?

14 . 5

7. 设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调增区间; (Ⅲ)画出函数 y ? f (x) 在区间 [0, ? ] 上的图像 解: (Ⅰ)? x ?

?
8



王新敞
奎屯

新疆

?

?

?
4

? ? ? k? ?

?

8

是函数y ? f ( x) 的图像的对称轴,? sin(2 ? , k ? Z. ? ?? ? ? ? 0, ? ? ? 3? . 4

?
8

? ? ) ? ?1,

3? 3? ,因此y ? sin(2 x ? ). 4 4 ? 3? ? 由题意得 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 4 2 3? ? 5? 所以函数 y ? sin(2 x ? )的单调增区间为 k? ? , k? ? ], k ? Z . [ 4 8 8 3? (Ⅲ)由 y ? sin(2 x ? )知 4 3? 5? 7? ? x 0 8 8 8 8
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? ? ? y

2

?
? 2 2

?

2 2

-1

0

1

0

[ 故函数 y ? f ( x)在区间 0, ? ]上图像是
3 2 1 1 2

y

o
1 2 -1 3 2

? 8

? 4

3? 8

? 2

5? 8

3? 4

7? 8

?

x

62/210

第 7 课 三角函数的值域与最值
【考点导读】 1.掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题; 2.求三角函数值域与最值的常用方法: (1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有 界性或单调性求解; (2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像 法求解; (3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解; (4)换元法. 【基础练习】 1.函数 y ? sin x ?

3 cos x 在区间 [0, ] 上的最小值为 2 3 1 4 2.函数 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2
3.函数 y ? tan( 4.当 0 ? x ?

?

1 .



?

2

? x) (?

?

4

?x?

?

4

(??, ?1] ? [1, ??) 且 x ? 0) 的值域是___________________.


?
2

时,函数 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 8 sin 2 x 的最小值为 sin 2 x

4

【范例解析】 例 1.(1)已知 sin x ? sin y ?

1 2 ,求 sin y ? cos x 的最大值与最小值. 3

(2)求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x ? cos x 的最大值. 分析:可化为二次函数求最值问题.

1 2 ? sin x ,? sin y ?[?1,1] ,则 sin x ? [? ,1] . 3 3 1 11 1 11 2 ? sin y ? cos 2 x ? (sin x ? )2 ? ,当 sin x ? 时, sin y ? cos x 有最小值 ? ;当 2 12 2 12 2 4 sin x ? ? 时, sin y ? cos2 x 有最小值 . 3 9
解: (1)由已知得: sin y ? (2)设 sin x ?cos x ? t (? 2 ? t ?

2) ,则 sin x ?cos x ?

t 2 ?1 1 2 1 ,则 y ? t ? t ? ,当 2 2 2

1 t ? 2 时, y 有最大值为 ? 2 . 2
点评:第(1)小题利用消元法,第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题; 但要注意变量的取值范围. 例 2.求函数 y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 的最小值. sin x

分析:利用函数的有界性求解.

63/210

解 法 一 : 原 式 可 化 为 y s i nx? c o x? s

x 2 2 ?0x ? , 得 1 ? y 2 s i n (? ? ?) , 即 ( ? )

s i nx ? ? ? ( )

2 1? y2





2 1? y2

,所以 y 的最小值为 3 . ? 1 ,解得 y ? 3 或 y ? ? 3 (舍)

解法二: y ?

2 ? cos x (0 ? x ? ? ) 表示的是点 A(0, 2) 与 B(? sin x,cos x) 连线的斜率,其 sin x
2 2

中点 B 在左半圆 a ? b ? 1(a ? 0) 上,由图像知,当 AB 与半圆相切时, y 最小,此时

k AB ? 3 ,所以 y 的最小值为 3 .
点评: 解法一利用三角函数的有界性求解; 解法二从结构出发利用斜率公式, 结合图像求解. 例 3.已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(I)求 f ( x) 的最大值和最小值; (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 分析:观察角,单角二次型,降次整理为 a sin x ? b cos x 形式. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

?π π? ? ?

? ?

?π ?? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 3? 6 3 3 ? ?4 2?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,

, ∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) .
点评:第(Ⅱ)问属于恒成立问题,可以先去绝对值,利用参数分离转化为求最值问题.本
64/210

小题主要考查三角函数和不等式的基本知识, 以及运用三角公式、 三角函数的图象和性质解 题的能力.

【反馈演练】 1.函数 y ? 2 sin(

?

? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值等于____-1_______. 3 6

?

cos 2 x 2.当 0 ? x ? 时,函数 f ( x) ? 的最小值是______4 _______. cos x sin x ? sin 2 x 4 3 3 ? sin x 3.函数 y ? 的最大值为_______,最小值为________. 3 3 cos x ? 2
4.函数 y ? cos x ? tan x 的值域为 (?1,1) .

?

? ? ?? 5.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 ? ? , ? 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等 ? 3 4?
于_________. 6.已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R . , (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 因此,函数 f ( x) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)因为 f ( x) ?

3 2

? π 3π ? ? ?

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?

π? ? ? π 3π ? ? 3π 3π ? 2 sin ? 2 x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减 4? ? ?8 8 ? ?8 4?

函数,又 f ?

?π? ??0, ?8?

? 3π ? f ? ?? 2, ? 8 ?

π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4?

故函数 f ( x) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4

? π 3π ? ? ?

65/210

第8课 解三角形
【考点导读】 1.掌握正弦定理,余弦定理,并能运用正弦定理,余弦定理解斜三角形; 2.解三角形的基本途径:根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理,然后通过化边为角或 化角为边,实施边和角互化. 【基础练习】 1.在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC=

? 3 2.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5: 7 :8 ,则 ?B 的大小是______________.
1 ? 3.在 △ABC 中,若 tan A ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3
【范例解析】 例1. 在△ABC 中, b, 分别为∠A, a, c ∠B, 的对边, ∠C 已知 a ? c ? 20 , ? 2 A , A ? cos C

4 6 .

10 2



3 . 4

c 的值; (2)求 b 的值. a 分析:利用 C ? 2 A 转化为边的关系. c sin C sin 2 A 3 解: (1)由 ? ? ? 2cos A ? . a sin A sin A 2
(1)求

? a ? c ? 20, ? a ? 8, ? 2 2 2 (2)由 ? c 3 得? .由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A c ? 12. ? . ? ?a 2 ?
得: b ? 18b ? 80 ? 0 ,解得: b ? 8 或 b ? 10 ,
2

若 b ? 8 ,则 A ? B ,得 A ?

?
4

,即 cos A ?

2 3 ? 矛盾,故 b ? 10 . 2 4

点评:在解三角形时,应注意多解的情况,往往要分类讨论. 例 2.在三角形 ABC 中,已知 (a ? b )sin( A ? B) ? (a ? b )sin( A ? B) ,试判断该三角形
2 2 2 2

的形状. 解法一:(边化角)由已知得:a [sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b [? sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ,
2 2

化简得 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,
2 2















sin 2 A cos A sin B ? sin 2 B cos B sin A c B o s s i n





s

A i

n B s

i An ?

( s ? i, n A B

c

o

s

)

0

又 A, B ? (0, ? ) ,?sin A ? sin B ? 0 ,?sin 2 A ? sin 2B .
66/210

又 2 A, 2B ? (0, 2? ) , 2 A ? 2B 或 2 A ? ? ? 2B , 即该三角形为等腰三角形或直角三角形. ? 解法二:(角化边)同解法一得: 2a cos A sin B ? 2b cos B sin A ,
2 2
2

由正余弦定理得: a b
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 , ? b2 a 2bc 2ac
2 2

整理得: (a ? b )(c ? a ? b ) ? 0 ,即 a ? b 或 c ? a ? b ,
2 2 2

即该三角形为等腰三角形或直角三角形. 点评: 判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化, 从而利用角或边判定三角形 形状. 例 3.如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . A (1)证明: sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? . 分析:识别图中角之间的关系,从而建立等量关系. (1)证明:? ? ? ? ? C , C ? β B α

?
2

? B ,? 2? ?

?
2

?? ,

例4

D

C

?sin ? ? cos 2? ? 0
(2)解:?AC= 3 DC,? sin ? ? 3 sin ? ? ? 3 cos 2? ? 2 3 sin ? ? 3 .
2

3 ? ? ,? ? ? . ? ? ? (0, ) ,? sin ? ? 2 2 3
点评:本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系,从而建立三角函数关系, 进而求出 ? 的 值.

【反馈演练】 1.在 ?ABC 中, AB ?

3? 3 3, A ? 45 0 , C ? 75 0 , 则 BC =_____________.

2.?ABC 的内角∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, c, a, c 成等比数列, c ? 2a , b, 若 b, 且 则 cos B ? _____. 3.在 ?ABC 中,若 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,则 ?ABC 的形状是____等边___三 15 角形.
2

3 4

2 ,则 sin A ? cos A = 3 4 5.在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? . 5
4.若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A ? (Ⅰ)求 sin B 的值;
67/210

3



(Ⅱ)求 sin ? 2 B ?

? ?

?? ? 的值. 6?

3 ? 4? 解: (Ⅰ)在 ?ABC 中, sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ? ? ? ? ,由正弦定理, 5 ? 5?
2

2

BC AC AC 2 3 2 .所以 sin B ? ? sin A ? ? ? . sin A sin B BC 3 5 5 4 (Ⅱ)因为 cos A ? ? ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5
21 ?2? cos B ? 1 ? sin 2 B ? 1 ? ? ? ? , 5 ?5?
2

cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2 ? (

21 2 17 ) ?1 ? , 5 25

2 21 4 21 sin 2 B ? 2sin B cos B ? 2 ? ? ? . 5 5 25 3 17 1 12 7 ? 17 ?? ? ? 4 21 ? ? ? ? ? . sin ? 2 B ? ? ? sin 2 B cos ? cos 2 B sin ? 25 2 25 2 50 6? 6 6 ?
6.在 ?ABC 中,已知内角 A ?

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值. 解: (1) ?ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知 AC ?

? 2? . ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? ? ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?
因为 y ? AB ? BC ? AC ,

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

68/210

?? ? ? 4 3 s i?nx ? ? ? ?? ?
所以,当 x ?

? 5? ? ?? 2? 3 ? x? ? ?, ? ? ? ??

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?
1 3 , tan B ? . 4 5

7.在 ?ABC 中, tan A ?

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

1 3 ? 解: (Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 . 1 3 1? ? 4 5 3 又? 0 ? C ? π ,? C ? π . 4 3 (Ⅱ)? C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,?角 A 最小, BC 边为最小边.

? ?

?? ??

sin A 1 ? ? , ? tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

17 AB BC sin A .由 得: BC ? AB? ? ? 2. 17 sin C sin A sin C

所以,最小边 BC ?

2.

69/210

第 9 课 解三角形的应用
【考点导读】 1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题,深化对三角公式和基础知识的理解,进 一步提高三角变换的能力. 【基础练习】

400 3 1.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为 _________ m .
2.某人朝正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好

3 km,那么 x或 3 2 3 的值为_______________ km.
3.一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶 4h 30 2 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km. 4.如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 B,D,已知 ?ABD 为边长等于 a 的正 三角形,当目标出现于 C 时,测得 ?BDC ? 45 , ?CBD ? 75 ,求炮击目标的距离 AC C
? ?

解:在 ?BCD 中,由正弦定理得: ∴ BC ?

a BC ? sin 60? sin 45?
D B

6 a 3
2 2 2

在 ?ABC 中,由余弦定理得: AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC ∴ AC ?

5? 2 3 a 3 5? 2 3 a. 3

A 第4题

答:线段 AC 的长为 【范例解析】

例 .如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 北 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时 两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 分析:读懂题意,正确构造三角形,结合正弦定理或余弦定理求解.
? ?

120? 105?
甲 例 1(1)

A2

B2

A1

B1


70/210

解法一:如图(2),连结 A1 B2 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,

A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 ,? A1 A2 ? A2 B2 , 60
? ? ?



又 ∠A1 A2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,?△ A1 A2 B2 是等边三角形,

120? A 2
B2

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A1 B1 ? 20 ,∠B1 A1 B2 ? 105 ? 60 ? 45 ,
? ? ?

105?

A1

B1
乙 甲 例 1(2)

在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ?A1B2 ? 45? ? 202 ? (10 2) 2 ? 2 ? 20 ?10 2 ? cos

2 ? 200 . 2

? B1 B2 ? 10 2 .因此,乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行 30 2 海里.

10 2 ? 60 ? 30 2 (海里/小时) . 北 20

120? A 2
B2
105?

解法二:如图(3) ,连结 A2 B1 ,

A1

B1
甲 乙 例 1(3)

20 由已知 A1 B1 ? 20 , A1 A2 ? 30 2 ? ? 10 2 ,∠B1 A1 A2 ? 105? , 60
cos105? ? cos(45? ? 60? ) ? cos 45? cos 60? ? sin 45? sin 60? ?

2(1 ? 3) , 4 2(1 ? 3) . 4

sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos 60? ? cos 45? sin 60? ?
在 △ A2 A1 B1 中,由余弦定理,
2 A2 B12 ? A1B12 ? A1 A2 ? 2 A1B1 ?A1 A2 ? cos105?

? (10 2) 2 ? 202 ? 2 ?10 2 ? 20 ?
? A2 B1 ? 10(1 ? 3) .
由正弦定理 sin ∠A1 A2 B1 ?

2(1 ? 3) ? 100(4 ? 2 3) . 4

A1 B1 20 2(1 ? 3) 2 ? ∠B1 A1 A2 ? sin ? ? , A2 B1 4 2 10(1 ? 3)

71/210

?∠A1 A2 B1 ? 45? ,即∠B1 A2 B1 ? 60? ? 45? ? 15? , cos15? ? sin105? ?
在 △B1 A2 B2 中,由已知 A2 B2 ? 10 2 ,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A2 B12 ? A2 B2 ? 2 A2 B1 ?A2 B2 ? cos15?

2(1 ? 3) . 4

? 102 (1 ? 3) 2 ? (10 2) 2 ? 2 ?10(1 ? 3) ?10 2 ?

2(1 ? 3) ? 200 . 4

? B1 B2 ? 10 2 ,乙船的速度的大小为
答:乙船每小时航行 30 2 海里.

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

点评:解法二也是构造三角形的一种方法,但计算量大,通过比较二种方法,学生要善于利 用条件简化解题过程. 【反馈演练】 1.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为 45? 和 30? ,而且 10 3 两条船与炮台底部连线成 30? 角,则两条船相距____________m. 2.有一长为 1km 的斜坡,它的倾斜角为 20? ,现要将倾斜角改为 10? ,则坡底要伸长 ____1___km. 3.某船上的人开始看见灯塔在南偏东 30? 方向,后来船沿南偏东 60? 方向航行 45 海里后,

15 3 看见灯塔在正西方向,则此时船与灯塔的距离是__________海里.
4.把一根长为 30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC ,且

?ABC ? 120? ,则第三条边15 3 AC 的最小值是____________cm.
5.设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是 该港口某一天 从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin

( A )

?

?

6

t , t ? [0,24] t , t ? [0,24]

B. y ? 12 ? 3 sin( t ? ? ), t ? [0,24]

?

6

12

D. y ? 12 ? 3 sin(

t ? ), t[0,24] 12 2

?

?

72/210

第四章 平面向量与复数
【考点导读】

第1课

向量的概念及基本运算

1. 理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算,并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题:①若 a ? b ,则 a ? b ;②若 A、B、C、D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形为平行四边形的充要条件;③若 a ? b, b ? c ,则 a ? c ;④ a ? b 的充要条件是

a ? b 且 a // b ;⑤若 a // b , b // c ,则 a // c 。其中,正确命题材的序号是②③
2. 化简 AC ? BD ? CD ? AB 得 0 3.在四边形 ABCD 中, AB =a+2b, BC =-4a-b, CD =-5a-3b,其中 a、b 不共线,则四 边形 ABCD 为梯形 4.如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点, ??? ? ??? ? ??? ? 2 1 若 OA =a, OB =b,则 OP = a ? b ,
3 3
B Q P A b a

????

??? ?

??? ?

??? ?

???? 1 2 OQ = a ? b (用 a、b 表示) 3 3
O

第4题

【范例导析】 例 1 .已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F,
??? ???? ? ??? ? 求证: AB ? DC ? 2EF .

D C E A (1) (2) (3) 例1 F B

分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明:如图,连接 EB 和 EC ,

??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 由 EA ? AB ? EB 和 EF ? FB ? EB 可得, EA ? AB ? EF ? FB
由 ED ? DC ? EC 和 EF ? FC ? EC 可得, ED ? DC ? EF ? FC (1)+(2)得, EA ? ED ? AB ? DC ? 2EF ? FB ? FC

??? ???? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ???? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ???? ? ? ?

??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ?

∵E、F 分别为 AD 和 BC 的中点,∴ EA ? ED ? 0 , FB ? FC ? 0 ,
??? ???? ? ??? ? 代入(3)式得, AB ? DC ? 2EF

??? ??? ? ?

点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.

73/210

例 2.已知 OA, OB 不共线, OP ? aOA ? bOB ,求证:A,P,B 三点共线的充要条件是 a ? b ? 1 分析:证明三点共线可以通过向量共线来证明. 解 : 先 证 必 要 性 : 若 A,P,B 三 点 共 线 , 则 存 在 实 数 ? , 使 得 A P? ? A B 即 ,

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ??

? ? ??

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OP ? OA ? ? OB ? OA

?

?

, ∴ OP ? ?1 ? ? ? OA ? ? OB, ∵ OP ? aOA ? bOB , ∴

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

a ? 1 ? ? , b ? ? ,∴ a ? b ? 1.
再证充分性:若 a ? b ? 1. 则 AP ? OP ? OA = ? a ? 1? OA ? bOB ? b OB ? OA = b AB ,∴

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

?

??? ??? ? ?

?

??? ?

??? ??? ? ? AP 与 AB 共线,∴A,P,B 三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、 直线平行等问题. 【反馈练习】 1.已知向量 a 和 b 反向,则下列等式成立的是(C) A. |a|-|b|=|a-b| B. |a|-|b|=|a+b| C.|a|+|b|=|a-b| D. |a|+ |b|=|a+b| 2.设四边形 ABCD 中,有 DC ?

????

? ? 1 ??? ???? ??? AB, AD ? BC 则这个四边形是(C) 2
D.菱形

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 3.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ① AB ? BC ? CD ,

??? ??? ??? ? ? ?

② DB ? AC ? BD ,

??? ??? ??? ? ? ?



??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?OA ? OC ? OB ? CO 。
解析:①原式= ( AB ? BC ) ? CD ? AC ? CD ? AD ; ②原式= ( DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ; ③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB 。 4.设 x 为未知向量, a 、 b 为已知向量, x 满足方程 2 x ?(5 a +3 x ?4 b )+ 则 x=?

??? ??? ? ?

??? ?

???? ??? ? ????

????

??? ??? ? ?

????

? ????

??? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ?

???? ??? ?

??? ? ?

??? ?

1 a ?3 b =0, 2

9 a ? b (用 a 、 b 表示) 2 ???? ??? ? ??? ? 5.在四面体 O-ABC 中, OA ? a,OB ? b,OC ? c, D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 1 1 1 OE = a ? b ? c (用 a,b,c 表示) 2 4 4
6 如图平行四边形 OADB 的对角线 OD,AB 相交于点 C, 线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM, 线段 CD 上有一点 N 满足 CD=3CN,设 OA ? a, OB ? b, 试用a, b表示OM,ON,MN
74/210

????

??? ?

???? ???? ???? ? ?

???? 1 ??? 1 ???? ??? 1 ? ? ? 1 1 BA, ? BM= BA= OA-OB = ? a ? b ? 3 6 6 6 6 ???? ??? ???? 1 ? ? ? 5 1 4 2 ? OM=OB+BM ? a ? b . ? CN ? CD,? ON ? CD ? OD 6 6 3 3 3 ???? 2 ???? 2 ???? ??? ? ???? ???? ???? 1 ? ? 2 1 ? ON= OD= OA+OB ? ? a ? b ? ? MN=ON-OM ? a ? b 3 3 3 2 6
解:? BM= BC=

?

?

?

?

第6题

75/210

第2课
【考点导读】

向量的数量积

1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式. 4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.

【基础练习】
0 1.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ?

13

2.在直角坐标系 xOy 中, i , j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量,若直角三角形 ABC 中,

???? ???? AB ? 2i ? j , AC ? 3i ? kj ,则 k 的可能值个数为 2 个
0 3. 若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a +5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值为

23 8

4.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 120° 【范例导析】

例 1.已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c ? 2a ? b, d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角
0

的余弦值。 分析:利用 a
2

? a 2 及 cos ? ?

a ?b 求解. a?b

0 解:由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 ,所以, a ? b ? a b cos120? ? ?
2

1 , 2

? c ? c ? c ? ? 2a ? b ? ? ? 2a ? b ? ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ? c ? 7 , 同 理 可 得

? d b2 ? 4ac ? 13

而 c ? d ? (2a ? b) ? (3b ? a ) ? 7a ? b ? 3b ? 2a ? ?
2 2

17 , ?为 设 2

c 与 d 的夹角,则 cos ? ? ?

17 2 7 13

??

17 91 182

点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 例 2.已知平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120°, (1)求证: (a ? b) ⊥ c ; (2)若 | ka ? b ? c |? 1 (k ? R) ,求 k 的取值范围. 分 析 : 问 题 ( 1 ) 通 过 证 明 (a ? b) ? c ? 0 证 明 (a ? b) ? c , 问 题 ( 2 ) 可 以 利 用

| ka ? b ? c |2 ? ? ka ? b ? c ?
解: (1)∵

2

| a ? |b ? c ?| ,且 a 、 b 、 c 之间的夹角均为 120°, | | | 1
76/210

∴ ∴ (2)∵

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ?| a || c | cos1200 ? | b || c | cos1200 ? 0 (a ? b) ? c ? 0

| k a? b? c ? 1 | ka ? b ? c |2 ? 1 | ,即
也就是 k a ? b ? c ? 2ka ? b ? 2ka ? c ? 2b ? c ? 1
2 2 2 2

1 ,∴ k 2 ? 2k ? 0 a? b ? b? c ? a? c ? ? 2 所以 k ? 0 或 k ? 2 .
∵ 解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解 决. 例 3.如图,在直角△ABC 中,已知 BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问

PQ与BC 的夹角 ? 取
何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值
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分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得

??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC ) ,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题 解:? AB ? AC ,? AB ? AC ? 0.

??? ?

????

??? ???? ?

??? ? ???? ??? ??? ??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB , CQ ? AQ ? AC , ??? ??? ? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ? BP ? CQ ? ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC )

??? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ? ? ? ? ? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? a 2 ? AP ? AC ? AB ? AP ??? ??? ???? ? ? ? ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) ? ? 1 ??? ??? ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 ? ? 1 ??? ??? ? ? a 2 ? PQ ? BC 2 2 ? ? a ? a 2 cos ? .

例3

故当cos ? ? 0,即? ?

? ? ? ??? ??? 2

??? ??? ? ? ( PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大.其最大值为 ? a 2 .

点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以 用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化 为具体的向量运算.

77/210

【反馈练习】

b 1.已知向量 a,b 满足 a = 1, b ? 4, 且a ? ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为
? ? ? ? ?

? 3
? ?
D C

2.如图,在四边形 ABCD 中, | AB | ? | BD | ? | DC |? 4, AB? BD ? BD? DC ? 0,

| AB | ? | BD |? | BD | ? | DC |? 4 ,则 ( AB ? DC ) ? AC 的值为 4
3.若向量 a,b 满足 a = b = 1 , a,b 的夹角为 60° ,则 a? + a? = a b 4.若向量 a = 1, b ? 2, 且 a -b ? 2 ,则 a +b ?
3 2
A B

?

?

?

?

?

?

?

6

第2题

5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= 21 ,求:① a?b ;②(2a-b) ?(a+3b)

b 解: (1)|a+b| =(a+b) =a +2ab+b =|a| +2a?b+|b| ,∴ a ? ?
2 2 2 2 2 2

a?b ? a ? b
2 2

2

2

? ?10

(2) (2a-b)(a+3b)=2a2+5a?b-3b2=2|a|2+5a?b-3|b|2=2?42+5?(-10)-3?52= ? -93. 6.已知 a 与 b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的夹 角. 解:∵且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直, 2 2 ∴(a+3b)(7a-5b)=0, -4b)(7a-2b)=0 ∴7a +16 a?b-15 b2=0,7a -30 a?b ? (a ? +8 b2=0, ∴b2=2 a?b,|a|=|b| ∴ cos ? ?

a ?b 1 ? a?b 2

∴ ? ? 60

?

78/210

第3课
【考点导读】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.

向量的坐标运算

2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算. 3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题. 【基础练习】 1 若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则
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1 AB = (?3, ?2) 3
4 5 3 5

2 平面向量 a, b 中,若 a ? (4, ?3) , b =1,且 a ? b ? 5 ,则向量 b = ( , ? )
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3.已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,则 k= ? 4.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? 1 【范例导析】 例 1.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 ? a ? kc ? // ? 2b ? a ? ,求实数 k; (3)若 d 满足 ? d ? c ? // ? a ? b ? ,且 d ? c ?

??? ?

??? ?

????

2 3

5 ,求 d

分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.

解: (1)由题意得 ?3,2? ? m?? 1,2? ? n?4,1?

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4 n ? 3 所以 ? ,得 ? 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ?
(2) a ? k c ? ?3 ? 4k ,2 ? k ?,2b ? a ? ?? 5,2?

? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ?
? ?

16 13

(3)设 d ? ? x, y ? ,则 d ? c ? ?x ? 4, y ? 1?, a ? b ? ?2,4? 由题意得 ?

?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 2 2 ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 5
79/210

得?

? ? x ? 3 ?x ? 5 ? 3 或? ∴ d ? ? 3, ?1? 或 ? 5,? ? y ? ?1 ? y ? 3

点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式,建立方程组 求解。

例 2.已知△ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3, 2),C(-3,-1),BC 边上的高为 AD, AD 求 及点 D 的坐标、 分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件. 解:设点 D 的坐标为(x,y) ∵AD 是边 BC 上的高, ∴AD⊥BC,∴ AD ⊥ BC 又∵C、B、D 三点共线, ∴ BC ∥ BD 又 AD =(x-2,y-1), BC =(-6,-3)

BD =(x-3,y-2)
∴?
?? 6( x ? 2) ? 3( y ? 1) ? 0 ?? 6( y ? 2) ? 3( x ? 3) ? 0

例2

解方程组,得 x=

7 9 ,y= 5 5
7 2 9 1 , ), AD 的坐标为(- , ) 5 5 5 5

∴点 D 的坐标为(

点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题. 例 3.已知向量 a ? ? cos

? ?

3x 3x ? x x? ? ?? ? ,sin ? , b ? ? cos , ? sin ? , 且 x ? ?0, ? 2 2 ? 2 2? ? ? 2?

求(1) a ? b 及 a ? b ; (2)若 f ? x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ? 分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解. 解: (1) a ? b ? cos

3 ,求 ? 的值。 2

3 x 3 ? x? x cos ? sin x ? ? sin ? ? cos 2 x 2 2 2 ? 2?
2 2

3 x? ? 3 x? ? , a ? b ? ? cos x ? cos ? ? ? sin x ? sin ? ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos x. 2 2? ? 2 2? ?

80/210

? ?? ? x ? ?0, ? ,? a ? b ? 2 cos x 。 ? 2?
(2) f ?x ? ? cos 2 x ? 4? cos x ? 2 cos x ? 4? cos x ? 1 ? 2?cos x ? ? ? ? 2? ? 1
2 2 2

? ?? ? x ? ?0, ? ? cos x ? ?0,1? ? 2?
(1) 当 ? ? ?0,1? 时, cos x ? ? , f ?x ?min ? ?2? ? 1 ? ?2? ? 1 ? ?
2

2

3 5 ,? ? ? 2 2

(2) 当 ? ? 0 时, cos x ? 0, f ?x ?min ? ?1 ? ?

3 2 3 5 ?? ? ? 1 2 8

(3) 当 ? ? 1 时, cos x ? 1, f ?x ?min ? 1 ? 4? ? ? 综上所述: ? ?

5 。 2

点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论. 【反馈练习】 1.已知向量 a ? (?5, 6) , b ? (6,5) ,则 a 与 b A.垂直 B.不垂直也不平行 (A) D.平行且反向

C.平行且同向

?1 7? ?7 1? ? 4 3? ? 4 3? , ? , b= ? , ? 的夹解相等,且模为 1 的向量是 ? , ? ? 或 ? ? , ? ?2 2? ?5 5? ? 5 5? ?2 2? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? 4? ?2 3.已知向量 OA ? (4, 6), OB ? (3,5), 且 OC ? OA, AC // OB, 则向量 OC 等于 ? ,? ?
2.与向量 a= ?
?7 21 ?

4.已知向量 a ? (1, 2), b ? (?2, ?4),| c |?

5, 若(a ? b) ? c ?

5 , 则a与c的夹角为 120° 2

5.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状____直角三角形_____ 6.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 4
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7.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是 8.已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) (1)若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标;

? 3

5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2 解: (1)设 c ? ( x, y) ,由 c // a 和 c ? 2 5 可得:
(2)若| b |=

81/210

? 1? y ? 2 ? x ? 0 ? x?2 ∴ ? ? 2 2 ? x ? y ? 20 ? y?4 ∴ c ? (2, 4) ,或 c ? (?2, ?4)
? 2 | a |2 ?3a ? b ? 2 | b |2 ? 0 5 ∴ 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? ? 0 , 4 a ?b ∴ co? ? s ? ? 1, | a |? b | |
∴ 9.

或 ?

? x ? ?2 ? y ? ?4
2 2

(2) ? (a ? 2b )? ( 2 ? b ?,(a ? 2b ? ( 2 ? b ) 即 2a ? 3a ? b ? 2b ? 0, a ) ) a ? 0

所以 a ? b ? ? ∵

5 2

? ? [0, ? ]

? ?? .
已 知 点 是 且

O ???? ??? ? ??? ? ?ABC内的一点,?AOB ? 150 0 ,?BOC ? 90 0 , 设OA ? a, OB ? b, OC ? c,
a ? 2, b ? 1, c ? 3, 试用 a, 和b表示c .

解:以 O 为原点,OC,OB 所在的直线为 x 轴和 y 轴建立如图 3 所示的坐标系.
0 , 由 OA=2, ?AOx ? 120 ,所以 A 2 cos120 ,2 sin120 ,即A - 1 ,3 ,
0 0

?

?

?

?

易求 B?0,1?,C?3,0 ? ,设 -

OA ? λ 1 OB ? λ 2 OC, 即 - 1,3 ? λ 1 ?0,1? ? λ 2 ?3,0?, ?λ ? - 3 ? ?- 1 ? 3λ 2 ? 1 , ? ? 1. ? 3 ? - λ 1 ?λ 2 ? ? 3 ?

?

?

1 a ? ? 3b ? c . 3
第9题

82/210

第4课
【考点导读】

向量综合应用

1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不 等式、三角函数、数列等知识的综合问题. 2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用. 【基础练习】

1.已知 a=(5,4) ,b=(3,2) ,则与 2a-3b 平行的单位向量为 e ? ? (

5 5

, 2 55 )

2.已知 a =1, b =1,a 与 b 的夹角为 60°,x=2a-b,y=3b-a,则 x 与 y 的夹 角的余弦值为 ?
【范例导析】 例 1.已知平面向量 a=( 3 ,-1),b=(
21 14

1 3 , ). 2 2

(1) 若存在实数 k 和 t,便得 x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且 x⊥y,试求函数的关系式 k =f(t) ; (2) 根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间。 分析:利用向量知识转化为函数问题求解. 解:(1)法一:由题意知 x=( k),又 x⊥y

t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 3 1 , ), y=( t- 3 k, t+ 2 2 2 2

t2 ? 2 3 ?3 3t 2 ? 2 3 ? 2 3 1 故 x ? y= ?( t- 3 k)+ ?( t+k)=0。 2 2 2 2
整理得:t -3t-4k=0,即 k=
3

1 3 3 t - t. 4 4

法二:∵a=( 3 ,-1),b=(

1 3 , ), ∴. a =2, b =1 且 a⊥b 2 2
2 2 2 3

∵x⊥y,∴x ? y=0,即-k a +t(t -3) b =0,∴t -3t-4k=0,即 k= (2) 由(1)知:k=f(t) =

1 3 3 t- t 4 4

1 3 3 3 2 3 t - t ∴k?=f?(t) = t - , 4 4 4 4

令 k?<0 得-1<t<1;令 k?>0 得 t<-1 或 t>1. 故 k=f(t)的单调递减区间是(-1, 1 ),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). 点拨:第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是先利用向量的坐标运算分 别求得两个向量的坐标, 再利用向量垂直的充要条件; 二是直接利用向量的垂直的充要条件, 其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,
83/210

值得注意) 。第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运 用。

? (2,0) 例 2.已知两个力(单位:牛) f1 与 f 2 的夹角为 60 ,其中 f1 ? ,某质点在这两个

?

?

?

力的共同作用下,由点 A(1,1) 移动到点 B(3,3) (单位:米) (1) 求 f1 ; (2) 求 f1 与 f 2 的合力对质点所做的功 分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.

? ?

?

? ? ? ( 2), t 解:1? f = 2, f = 2,令 f =(t ? 0) ? 1 2

? 1 3 ? ( ?2 ? t ? t,t =2 3+1) f ? 3+1,3+3) ( 2 2 2

? 2 ? 2? W=f ? AB ? ( f1 ? f2 )(2,)=(

? ? ???

?? ??? ?

3+3,3+3) 2,)=12+4 3 ( 2 ?

点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.

84/210

【反馈练习】 1.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3, 1),B(-1, 3), 若点 C 满足

???? ???? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB,其中 ? , ? ∈R 且 ? + ? =1,则点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0

2.已知 a,b 是非零向量且满足(a-2b)⊥a, (b-2a)⊥b,则 a 与 b 的夹角是

? 3

3. 已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,且| OA + OB |=| OA - OB |,其中 O 为原点, 则实数 a 的值为 2 或-2 4.已知向量 a=( cos ?,sin ? ),向量 b=( 3, ?1 ),则|2a-b|的最大值是 5.如图, AB ? (6,1), BC ? ( x, y), CD ? (?2, ?3) , (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 间的关系; (2)在(1)的条件下,若有 AC ? BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. 解(1) AD ? (4 ? x, y ? 2), 又 BC ∥ DA, 4

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

第5题

? x(y ? 2) ? y(4 ? x) ? 0 ? x ? 2y ? 0 ①
(2)由 AC ⊥ BD ,得(x-2)(6+x)+(y-3)?(y+1)=0,② 即 x2+y2+4x-2y-15=0 由①,②得 ?

? x ? ?6 ? x ? 2 或? ?S ? 16 ?y ? 3 ?y ?1

85/210

第5课
【考点导读】

复数的概念和运算

1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性. 2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义. 【基础练习】 1.设 a 、 b 、 c 、 d ?R ,若
1? i

a ? bi 为实数,则 bc ? ad ? 0 c?di
2 2

2.复数 z ? 1 的共轭复数是 1 ? 1 i

i 2 +(1+ 3 i) 对应的点位于第二象限 1? i 2 4.若复数 z 满足方程 z ? 2 ? 0 ,则 z 3 ? ? 2 2 i
3.在复平面内,复数 【范例导析】 例 .m 取何实数时, 复数 z ? 是纯虚数? 分析:本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数.由于所给复数 z 已写成标准形 式,即 z ? a ? bi(a、b ? R ) ,所以只需按题目要求,对实部和虚部分别进行处理,就极易 解决此题. 解: (1)当 ?

m2 ? m ? 6 (3) ? (m 2 ? 2m ? 15)i(1)是实数?(2)是虚数? m?3

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0时, ?m ? 5或m ? ?3时 即m ? 5 即? ∴ m ? 5 时,z 是实数. ?m ? ?3 ?m ? 3 ? 0

?m 2 ? 2m ? 15 ? 0时, ?m ? 5且m ? ?3 (2) ? 当 即? ∴当 m ? 5 且 m ? ?3 时, 是虚数. z ?m ? ?3 ?m ? 3 ? 0

?m 2 ? m ? 6 ? 0 ?m ? 3或m ? ?2 ? ? (3)当 ?m ? 3 ? 0时 即 ?m ? ?3 ∴当 m ? 3 或 m ? ?2 时,z 是纯虚数. ?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ?m ? 5且m ? ?3 ? ?
点拨:研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时,首先要保证这个复数的 实部、虚部是有意义的,这是一个前提条件,学生易忽略这一点.如本题易忽略分母不能为 0 的条件,丢掉 m ? 3 ? 0 ,导致解答出错.

86/210

【反馈练习】 1.如果复数 (m ? i )(1 ? mi ) 是实数,则实数 m ? ?1
2

2.已知复数 z 满足( 3 +3i)z=3i,则 z= +

3 4

3 i 4

3.若复数 Z=

1? i 2

,则 Z 100 +Z 50 +1+i 的值为 0

4.设 x 、 y 为实数,且

x y 5 ,则 x + y =4. ? ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

87/210

第五章 数列
【考点导读】

第1课

数列的概念

1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项 公式) ,了解数列是一种特殊的函数; 2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系; 3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 n 项和的问题。 【基础练习】 1.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 = ? 3 。

分析:由 a1=0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N ? ) 得 a 2 ? ? 3, a3 ? 3, a 4 ? 0,? ? ? ? ? ? 由此可知:

数列 {a n } 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: a 20 ? a 2 ? ? 3. 2.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 2n-1 3.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S n ? 4.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? ? 【范例导析】 例 1.设数列 {an } 的通项公式是 an ? n ? 8n ? 5 ,则
2



a1 (3n ? 1) (n ? N * ) ,且 a4 ? 54 ,则 a1 ? ____2__. 2

n(5n ? 1) ,则其通项 an ? 2

?5n ? 2 .

(1)70 是这个数列中的项吗?如果是,是第几项? (2)写出这个数列的前 5 项,并作出前 5 项的图象; (3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有,是第几项? 分析:70 是否是数列的项,只要通过解方程 70 ? n ? 8n ? 5 就可以知道;而作图时则要注
2

意数列与函数的区别, 数列的图象是一系列孤立的点; 判断有无最小项的问题可以用函数的 观点来解决,一样的是要注意定义域问题。 解: (1)由 70 ? n ? 8n ? 5 得: n ? 13 或 n ? ?5
2

所以 70 是这个数列中的项,是第 13 项。 (2)这个数列的前 5 项是 ?2, ?7, ?10, ?11, ?10 ; (图象略) (3)由函数 f ( x) ? x ? 8 x ? 5 的单调性: (??, 4) 是减区间, (4, ??) 是增区间,
2

88/210

所以当 n ? 4 时, an 最小,即 a4 最小。 点评:该题考察数列通项的定义,会判断数列项的归属,要注重函数与数列之间的联系,用 函数的观点解决数列的问题有时非常方便。 例 2.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n, 列 {an } 的通项公式。

Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y=3x-2 的图像上,求数 n

分析:根据题目的条件利用 S n 与 an 的关系: an ? ? 的情况)求出数列 {an } 的通项。

? S1 (当n ? 1时) ? S n (当n ? 2时)

, (要特别注意讨论 n=1

解:依题意得,

S
n

n

? 3n ? 2, 即 S n ? 3n 2 ? 2n 。

当 n≥2 时, an ?

Sn ?Sn?1

? (3n2 ? 2n) ? ?3 ? n ?1? ? 2( n ?1) ? ? 6 n ?5 ; ? ?
2
*

当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1

所以 an ? 6n ? 5(n ? N ) 。
*

例 3.已知数列{a n }满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 1(n ? N ) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 4 1
b ?1 b2 ?1

4

...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .(n ? N * ) ,证明: {bn } 是等差数列;

分析:本题第 1 问采用构造等比数列来求通项问题,第 2 问依然是构造问题。 解: (I)? an ?1 ? 2an ? 1(n ? N ), ? an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1),
*

??an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。? an ? 1 ? 2n.


an ? 2n ? 1(n ? N * ).
b ?1 b2 ?1

(II)? 4 1

4

...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .
① ②;

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn . ? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,
2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.
②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn ,

即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③

89/210

∴ nbn ? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? 2 ? 0. ③-④,得



nbn? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0, 即

bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0, ? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ), ??bn ? 是等差数列。
点评:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题 能力。 【反馈演练】 1. 若数列 ? an ? 前 8 项的值各异, an ?8 ? an 对任意 n∈N 都成立, 且 则下列数列中可取遍 ? an ?
*

前 8 项值的数列为 (1) ?a2 k ?1?

(2) (2) ?a3k ?1?

。 (3) ?a4 k ?1?
2

(4) ?a6 k ?1? 。

2.设 Sn 是数列 ? an ? 的前 n 项和,且 Sn=n ,则 ? an ? 是 3.设 f(n)=

等差数列,但不是等比数列

1 1 1 1 (n∈N) ,那么 f(n+1)-f(n)等于 ? ? ????? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n

1 1 ? 。 2n ? 1 2n ? 2
4.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件) 近似地满足 Sn=

n 2 (21n-n -5) n=1,2,??,12).按此预测,在本年度内,需求量超 ( 90
7 月、8 月 。 505 。

过 1.5 万件的月份是

a 5. 在数列 {an } 中, 1 ? 1, a2 ? 2 ? 3, a3 ? 4 ? 5 ? 6, a4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10, 则 a10 ?
6.数列 ? an ? 中,已知 an ?

n2 ? n ? 1 (n ? N ? ) , 3 2 (1)写出 a10 , an ?1 , an2 ; (2) 79 是否是数列中的项?若是,是第几项? 3 2 n ? n ?1 102 ? 10 ? 1 109 (n ? N ? ) ,∴ a10 ? 解: (1)∵ an ? , ? 3 3 3
, an 2 3 3 3 2 2 n ? n ?1 (2)令 79 ? ,解方程得 n ? 15, 或n ? ?16 , 3 3 2 ∵ n ? N ? ,∴ n ? 15 , 即 79 为该数列的第 15 项。 3

an ?1

? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 1 ? n2 ? 3n ? 1 ?
2

?n ? ?

2 2

? n2 ? 1

n4 ? n2 ? 1 ? ; 3

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第2课
【考点导读】

等差、等比数列

1. 掌握等差、等比数列的通项公式、前 n 项和公式,能运用公式解决一些简单的问题; 2. 理解等差、等比数列的性质,了解等差、等比数列与函数之间的关系; 3. 注意函数与方程思想方法的运用。 【基础练习】 1.在等差数列{an}中,已知 a5=10,a12=31,首项 a1= -2 ,公差 d= 3 。 。

2. 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18, 则它的第 1 项是

16 , 2 项是 8 第 3

3 . 设 ? an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则

a1 1? a 1 2 a 1 ? 。 ? 105 3
4.公差不为 0 的等差数列{an}中,a2,a3,a6 依次成等比数列,则公比等于 3 。 【范例导析】 例 1. (1)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390, 则这个数列有 13 项。 (2)设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是 2 。 解: (1)答案:13 法 1:设这个数列有 n 项

3? 2 ? ?S 3 ? 3a1 ? 2 d ? ? ? ∵ ?S 3 ? S n ? S n ?3 ? 3a1 ? 3nd ? 6d ? n(n ? 1) ?S n ? a1n ? d 2 ? ?
∴n=13 法 2:设这个数列有 n 项 ∵ a1 ? a2 ? a3 ? 34, an ? an ?1 ? an ?2 ? 146

? ?3( a1 ? d ) ? 34 ? ∴ ?3a1 ? 3d ( n ? 2) ? 146 ? n( n ? 1) d ?a1 n ? ? 390 2 ?

∴ (a1 ? an ) ? (a2 ? an ?1 ) ? (a3 ? an ?2 ) ? 3(a1 ? an ) ? 34 ? 146 ? 180 又

∴ a1 ? an ? 60

n(a1 ? an ) ? 390 2

∴n=13

(2)答案:2

因为前三项和为 12,∴a1+a2+a3=12,∴a2=

S3 =4 3

又 a1?a2?a3=48, ∵a2=4,∴a1?a3=12,a1+a3=8, 把 a1,a3 作为方程的两根且 a1<a3, 2 ∴x -8x+12=0,x1=6,x2=2,∴a1=2,a3=6,∴选 B. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运用和学生分析问题、 解决问题的
91/210

能力。 例 2. (1)已知数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ????? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

分析: 1) ( 借助 a1 ? 3, a3 ? 9. 通过等差数列的定义求出数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N * ) 的公差, 再求出数列 {a n } 的通项公式, (2)求和还是要先求出数列 { 通项公式进行求和。 解: (1)设等差数列 {log 2 (a n ? 1)} 的公差为 d, 由 a1 ? 3, a3 ? 9得 : 2(log 2 2 ? d ) ? log 2 2 ? log 2 8, 所以 log 2 (a n ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n, 即 a n ? 2 n ? 1. (II)证明:因为 即 d=1。

1 } 的通项公式,再利用 a n ?1 ? a n

1 1 1 ? n ?1 ? n , n a n ?1 ? a n 2 ? 2 2

所以

1 1 1 1 1 1 1 ? ????? ? 1 ? 2 ? 3 ?L? n a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2
点评:该题通过求通项公式,最终通过通项公式解释复杂的不等问题,属于综合性的题目, 解题过程中注意观察规律。
2 例 3.已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 2a ? 1( a 是常数,且 a ? ?1 ) a n ? 2a n ?1 ? n ? 4n ? 2 ,

(n ? 2) ,数列 ?bn ? 的首项 b1 ? a , bn ? a n ? n ( n ? 2 ) 。
2

(1)证明: ?bn ? 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; (2)设 S n 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,且 ?S n ? 是等比数列,求实数 a 的值。 分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出。 解: (1)∵ bn ? a n ? n
2

∴ bn ?1 ? a n ?1 ? (n ? 1) ? 2a n ? (n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 2 ? (n ? 1)
2 2

2

? 2a n ? 2n 2 ? 2bn (n≥2)

92/210

由 a1 ? 2a ? 1 得 a2 ? 4a , b2 ? a2 ? 4 ? 4a ? 4 ,∵ a ? ?1 ,∴ b2 ? 0 , 即 {bn } 从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。 (2) Sn ? a ?

(4a ? 4)(1 ? 2n ?1 ) ? ?3a ? 4 ? (2a ? 2)2n 1? 2

当 n≥2 时,

Sn (2a ? 2)2n ? 3a ? 4 3a ? 4 ? ? 2? n ?1 Sn ?1 (2a ? 2)2 ? 3a ? 4 (a ? 1)2 n ?1 ? 3a ? 4

4 ∵ {S n } 是等比数列, ∴ S n (n≥2)是常数, ∴3a+4=0,即 a ? ? 。 3 S n ?1
点评:本题考查了用定义证明等比数列,分类讨论的数学思想,有一定的综合性

。 【反馈演练】 1.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 7, a4 ? 15 ,则前 10 项的和 S10 = 2.在等差数列 ? an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 = 210 42 。 。 3 。

3. 已知等差数列共有 10 项, 其中奇数项之和 15, 偶数项之和为 30, 则其公差是 4.如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,则 b ? 3 ,

ac ?

-9



5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差 d 的取值范围; (2)指出 S1、S2、?、S12 中哪一个值最大,并说明理由.

? ?a 3 ? a1 ? 2d ? 12, ? 12 ? 11 ? d ?0 解:(1)依题意有: ? S12 ? 12a1 ? 2 ? 13 ? 12 ? ? S13 ? 13a1 ? 2 d ? 0 ?

24 <d<-3. 7 (2)解法一:由 d<0 可知 a1>a2>a3>?>a12>a13,因此,在 S1,S2,?,S12 中 Sk 为最大值的条件
解之得公差 d 的取值范围为-

?a3 ? ( k ? 3) d ? 0 为:ak≥0 且 ak+1<0,即 ? ? a 3 ? ( k ? 2) d ? 0
93/210

?kd ? 3d ? 12 12 12 ∵a3=12, ∴ ? , ∵d<0, ∴2- <k≤3- d d ?kd ? 2d ? 12

24 7 12 <d<-3,∴ <- <4,得 5.5<k<7. 2 7 d 因为 k 是正整数,所以 k=6,即在 S1,S2,?,S12 中,S6 最大. 解法二:由 d<0 得 a1>a2>?>a12>a13, 因此若在 1≤k≤12 中有自然数 k,使得 ak≥0,且 ak+1<0,则 Sk 是 S1,S2,?,S12 中的最大值。 2 1 又 2a7=a1+a13= S13<0, ∴a7<0, a7+a6=a1+a12= S12>0, ∴a6≥-a7>0 13 6 故在 S1,S2,?,S12 中 S6 最大. n d 解法三:依题意得: S n ? na1 ? (n ? 1)d ? n(12 ? 2d ) ? (n 2 ? n) 2 2 d 1 24 d 24 1 24 ? [n ? (5 ? )]2 ? (5 ? ) 2 ,? d ? 0,?[n ? (5 ? )]2 最小时,Sn 最大; 2 2 d 8 d 2 d 24 1 24 ∵- <d<-3, ∴6< (5- )<6.5. 2 7 d 1 24 2 从而,在正整数中,当 n=6 时, n- (5- [ )] 最小,所以 S6 最大. 2 d 点评:该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求,难度不高,入手容易. 第(2)问难度较高,为求{Sn}中的最大值 Sk(1≤k≤12) :思路之一是知道 Sk 为最大值的充要 条件是 ak≥0 且 ak+1<0;而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律, 找出“分水岭” ,从而得解;思路之三是可视 Sn 为 n 的二次函数,借助配方法可求解,它考 查了等价转化的数学思想、 逻辑思维能力和计算能力, 较好地体现了高考试题注重能力考查 的特点.
∵-

94/210

第3课
【考点导读】

数列的求和

对于一般数列求和是很困难的, 在推导等差、 等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一 般数列的求和上,掌握数列求和的常见方法有: (1)公式法:⑴ 等差数列的求和公式,⑵ 等比数列的求和公式 (2)分组求和法:在直接运用公式求和有困难时常,将“和式”中的“同类项”先合并在 一起,再运用公式法求和(如:通项中含(-1) 因式,周期数列等等) (3)倒序相加法:如果一个数列{a n } ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和, 则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加, 就得到了一个常数列的和, 这一求和方 法称为倒序相加法。特征:an+a1=an-1+a2 (4)错项相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所 组成,此时求和可采用错位相减法。 (5)裂项相消法:把一个数列的各项拆成两项之差,在求和时一些正负项相互抵消,于是 前 n 项之和变成首尾若干少数项之和。 【基础练习】 1.已知公差不为 0 的正项等差数列{an}中,Sn 为前 n 项之和,lga1、lga2、lga4 成等差数列, 若 a5=10, 则 S5 = 30 。 2. 已知数列 n} {a 是等差数列,且 a2=8,a8=26,从 n} {a 中依次取出第 3 项,第 9 项,第 27 项?, n n+1 第 3 项,按原来的顺序构成一个新的数列{bn}, 则 bn=__3 +2___
n 3.若数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n , n ? 1 ,2,3?.则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 2 ? 1 .
n

【范例导析】 例 1.已知等比数列 {a n }中, a 2 , a3 , a 4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且

a1 ? 64, 公比q ? 1
(Ⅰ)求 a n ; (Ⅱ)设 bn ? log 2 a n ,求数列 {|b n |}的前n项和Tn . 解: (I)依题意 a 2 ? a 4 ? 3(a3 ? a 4 ), 即2a 4 ? 3a 2 ? a 2 ? 0

? 2a1q 3 ? 3a1q 3 ? a1q ? 0

? 2q 2 ? 3q ? 1 ? 0 ? q ? 1或q ? 1 故a n ? 64 ? ( ) n?1 2

1 2

?q ? 1

?q ?

1 2 1 2
n ?1

(II) bn ? log 2 [64 ? ( )

] ? log 2 2 7?n ? 7 ? n

?7 ? n ?| bn |? ? ?n ? 7

n?7 n?7

95/210

?当n ? 7时, | b1 |? 6, Tn ?

n(6 ? 7 ? n) n(13 ? n) ? 2 2 (1 ? n ? 7)( n ? 7) (n ? 6)( n ? 7) 当n ? 7时, | b8 |? 1, Tn ? T7 ? ? 21 ? 2 2

? n(13 ? n) ( n ? 7) ? ? 2 ? Tn ? ? ? (n ? 6)( n ? 7) ? 21(n ? 7) ? 2 ?
点评:本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和,本题还考查了转化的思想。 例 2.数列 {a n } 前 n 项之和 S n 满足: t ? ( Sn ?1 ? 1) ? (2t ? 1) Sn (n ? N , t ? 0)
*

(1) 求证:数列 {a n } 是等比数列 (n ? 2) ; (2) 若数列 {a n } 的公比为 f (t ) ,数列 {bn } 满足: b1 ? 1, bn ?1 ? f ( 项公式; (3) 定义数列 {c n } 为 cn ?

1 ) ,求数列 {bn } 的通 bn

1 ,求数列 {c n } 的前 n 项之和 Tn 。 , bn bn ?1
*

解: (1)由 t ? ( Sn ?1 ? 1) ? (2t ? 1) Sn (n ? N , t ? 0) 得: t ? ( Sn ? 1) ? (2t ? 1) Sn ?1 (n ? 2) 两式相减得: t ? an ?1 ? (2t ? 1)an , (n ? 2) ∴数列 {a n } 是等比数列 (n ? 2) 。 (2) bn ?1 ? f ( 即

an ?1 2t ? 1 1 ? ? 2 ? , (n ? 2) , an t t

1 ) ? 2 ? bn ,则有 bn ?1 ? bn ? 2 bn

∴ bn ? 2n ? 1 。

(3) cn ? ∴ Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ?( ? ), bnbn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1

点评:本题考查了 an 与 S n 之间的转化问题,考查了基本等差数列的定义,还有裂项相消法 求和问题。 例 3.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ?

an ?1 1 (n ? 2, n ? N ) . , an ? n 4 ?? 1? an?1 ? 2

96/210

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n ; (Ⅲ)设 c n ? a n sin

(Ⅱ)设 bn ?

1 an
2

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ;

(2n ? 1)? ? ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ? N , 2

Tn ?

4 . 7

分析:本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列,对数列中不等式的 证明通常是放缩通项以利于求和。 解: (Ⅰ)?

1 2 1 1 ,? ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)[ ? (?1) n ?1 ] , an a n ?1 an a n?1

又?

?1 1 n? ? (?1) ? 3 ,?数列 ? ? ?? 1? ? 是首项为 3 ,公比为 ? 2 的等比数列. a1 ? an ?

1 ? (?1) n ? 3(?2) n ?1 , an
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2
n ?1

(?1) n ?1 即 an ? . 3 ? 2 n ?1 ? 1

? 1) 2 ? 9 ? 4 n ?1 ? 6 ? 2 n ?1 ? 1.

Sn ? 9 ?

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n ? 3 ? 4n ? 6 ? 2n ? n ? 9 . 1? 4 1? 2

(?1) n ?1 1 (2n ? 1)? n ?1 ? (Ⅲ)? sin . ? (?1) , ? c n ? n ?1 n n ?1 3(?2) ? (?1) 3? 2 ?1 2
当 n ? 3 时,则 Tn ?

1 1 1 1 ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1
1 12

?
?

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ? ? ? 2 3 n ?1 4 7 3? 2 28 3? 2 3? 2

[1 ? ( 1 ) n ? 2 ] 2 1? 1 2

11 1 1 11 1 47 48 4 ? [1 ? ( ) n ?2 ] ? ? ? ? ? . 28 6 2 28 6 84 84 7 4 ? T1 ? T2 ? T3 , ?对任意的 n ? N ? , Tn ? . 7
点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 ?a n ? 的通项 a n ,第 二问分组求和法是非常常见的方法, 第三问不等式的证明要用到放缩的办法, 放缩的目的是 利于求和,所以通常会放成等差、等比数列求和,或者放缩之后可以裂项相消求和。

97/210

【反馈演练】 1.已知数列 {a n } 的通项公式 an ? 2n ? 1(n ? N ) ,其前 n 项和为 S n ,则数列 {
*

Sn } 的前 10 n

项的和为 75 。 2 . 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 an ? {2 n ?1( n ? 2 k ) ( k ? N ) , 其 前 n 项 和 为 S n , 则 S 9 ?
* 2n?1 ( n ? 2 k ?1)

377


n ?1

3. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , Sn ? 2an ? 1 , 且 则数列 {a n } 的通项公式为 an ? ?2
*



4.已知数列 {a n } 中, a1 ? 1, 且有 (2n ? 1)an ? (2n ? 3)an ?1 (n ? N , n ? 2) ,则数列 {a n } 的 通项公式为

3 1 1 3n 。 an ? ( ? ) ,前 n 项和为 2 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
5.数列{an}满足 a1=2,对于任意的 n∈N 都有 an>0, 且(n+1)an +an?an+1-nan+1 =0, n-1 又知数列{bn}的通项为 bn=2 +1. (1)求数列{an}的通项 an 及它的前 n 项和 Sn; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn; 解:(1)可解得
n
* 2 2

a n ?1 n ? 1 2 ? ,从而 an=2n,有 Sn=n +n, an n

(2)Tn=2 +n-1. * 6.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; (3)设 bn=

1 * * (n∈N ),Tn=b1+b2+??+bn(n∈N ),是否存在最大的整数 m,使得对 n(12 ? a n )

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 32 解:(1)由 an+2=2an+1-an ? an+2-an+1=an+1-an 可知{an}成等差数列,? a ? a1 d= 4 =-2,∴an=10-2n. 4 ?1 2 2 (2)由 an=10-2n≥0 可得 n≤5,当 n≤5 时,Sn=-n +9n,当 n>5 时,Sn=n -9n+40,
任意 n∈N 均有 Tn>
*

?? n 2 ? 9 n ? 故 Sn= ? 2 ?n ? 9n ? 40 ?
(3)bn=

1? n ? 5 n?5

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) n(2n ? 2) 2 n n ? 1

98/210

1 1 1 1 1 1 n m ;要使 Tn> ?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2 2 2 3 n n ?1 2(n ? 1) 32
总成立,需

m 1 <T1= 成立,即 m<8 且 m∈Z,故适合条件的 m 的最大值为 7. 4 32

99/210

第4课
【考点导读】

数列的应用

1.能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。 2.注意基本数学思想方法的运用,构造思想:已知数列构造新数列,转化思想:将非等差、 等比数列转化为等差、等比数列。 【基础练习】 1.若数列 ?a n ?中,a1 ?

1 ,且对任意的正整数 p 、q 都有 a p ? q ? a p aq ,则 a n ? 3

1 3n

.

2.设等比数列 ?a n ?的公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 Sn ?1 , Sn , Sn ? 2 成等差数列,则 q 的值为

?2 。
3.已知等差数列 ?a n ?的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? 【范例导析】 例 1 . 已 知 正 数 组 成 的 两 个 数 列 {a n }, {bn } , 若 an , an?1 是 关 于 x 的 方 程
2 x 2 ? 2bn x ? a n bn bn ?1 ? 0 的两根

?6



(1)求证: {bn } 为等差数列; (2)已知 a1 ? 2, a 2 ? 6, 分别求数列 {a n }, {bn } 的通项公式; (3)求数 {

bn }的前n项和s n 。 2n
2 2

(1)证明:由 a n , a n ?1是关于x的方程x ? 2bn x ? a n bn bn ?1 ? 0 的两根得:
2 a n ? a n ?1 ? 2bn , a n a n ?1 ? a n bn bn ?1 2 ? 2bn ? bn ?1bn ? bn bn ?1 ,

? bn ? 0

2 ? 2bn ? bn?1 ? bn ?1 (n ? 1)

?{bn } 是等差数列

(2)由(1)知 2b1 ? a1 ? a 2 ? 8,
2

?b1 ? 2,

? a 2 ? b1b2 ,? b2 ? 3,? bn ? n ? 1,? b1 ? n
∴ a n ? bn ?1bn ? n(n ? 1)( n ? 1) 又 a1 ? 2 也符合该式,

? a n ? n(n ? 1)
(3) s n ?

2 3 4 n ?1 ? 2 ? 3 ??? n ① 2 2 2 2
100/210

1 3 4 n ?1 s n ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ② 2 2 2 2
①—②得

1 1 1 1 1 n ?1 s n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 2

1 1 n ?1 ? 1 ? (1 ? n ?1 ) ? n?1 2 2 2 n?3 ? sn ? 3 ? n . 2

1 1 (1 ? n ?1 ) n ?1 2 ? 1? 4 ? n ?1 1 2 1? 2

例 2 . 设 数 列 ?a n ?, ?bn ? 满 足 a1 ? b1 ? 6, a 2 ? b2 ? 4, a3 ? b3 ? 3

, 且 数 列

?an?1 ? an ??n ? N ? ? 是等差数列,数列 ?bn ? 2??n ? N ? ?是等比数列。
(I)求数列 ?a n ?和 ?bn ? 的通项公式; (II)是否存在 k ? N * ,使 a k ? bk ? ? 0, ? ,若存在,求出 k ,若不存在,说明理由。 解 : 由 题 意 得 :

? ?

1? 2?

an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a1 ) ? ? ? (an ? an?1 ) ? 6 ? (?2) ? (?1) ? 0 ? ? ? (n ? 4)

? 6?

?(?2) ? (n ? 4)?(n ? 1) = n 2 ? 7n ? 18
2
2


n ?1 n ?1

1 由已知 b1 ? 2 ? 4, b2 ? 2 ? 2 得公比 q ? 2

?1? ? bn ? 2 ? ?b1 ? 2?? ? ?2?

?1? ? 4?? ? ?2?

k n 7 ?1 ? ? ?1? ? ?1? ? bn ? 2 ? 8 ? ? ? (2) f (k ) ? a k ? bk ? ? k 2 ? k ? 9 ? ? ? 2 ? 8 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2? ? ?2? ? ? 2 k 1 ?? 7 ? 49 ? ?1? ? ?? k ? ? ? ? ? 8 ? ? ? ? 7 ,所以当 k ? 4 时, f (k ) 是增函数。 2 ?? 2? 4? ?2? ? ?

又? f (4) ?

1 1 , 所以当 k ? 4 时 f (k ) ? , 2 2
? ? 1? 2?

又? f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 , 所以不存在 k ,使 f (k ) ? ? 0, ? 。 【反馈演练】1.制造某种产品,计划经过两年要使成本降低 36% ,则平均每年应降低 成本 20% 。

a 2.等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,S5 ? 2, S10 ? 6 ,则 a16 ?a7 ?a ?a ?20 1 1 8 1 9
101/210

?

54 。

T 3. {a n } 为等差数列,S n 为数列 {a n } 的前 n 项和, 设 已知 S7 ? 7, S15 ? 75 , n 为数列 {
的前 n 项和,则 Tn ?

Sn } n

n 2 ? 9n . 4

4.已知数列 {a n }为等差数列, S n为其前n项和, 且a2 ? 3,4S 2 ? S 4 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求证数列 {2 n } 是等比数列; (3)求使得 S n ? 2 ? 2S n的成立的n 的集合. 解: (1)设数列 {a n }的首项为a1 , 公差为d ,由题意得: ? 解得: a1 ? 1, d ? 2
a

?a1 ? d ? 3 ?4 ? (2a1 ? d ) ? 4a1 ? 6d

? a n ? 2n ? 1

(2)由题意知:

2 an 2 2 n ?1 ? 2 n ?3 ? 4 , 2 an ?1 2

? 数列{2 an } 为首项为 2,公比为 4 的等比数列
(3)由 a1 ? 1, d ? 2, a n ? 2n ? 1得, S n ? n
2

? S n ? 2 ? 2 S n ? ( n ? 2 ) 2 ? 2 n 2 ? ( n ? 2) 2 ? 8 ? n ? 1,2,3,4 故n的集合为 : {1,2,3,4}
5. 已 知 数 列 ?a n ? 的 各 项 均 为 正 数 , S n 为 其 前 n 项 和 , 对 于 任 意 n ? N * , 满 足 关 系

S n ? 2a n ? 2 .
证明: ?a n ?是等比数列; 证明:∵ S n ? 2a n ? 2(n ? N *) ① ∴ S n ?1 ? 2a n ?1 ? 2(n ? N *) ②

②-①,得 a n ?1 ? 2a n ?1 ? 2a n (n ? N *) ∵ a n ? 0,

?

a n ?1 ? 2 (n ? N *) an

故:数列{an}是等比数列

102/210

第六章 不等式
【考点导读】

第1课

基本不等式

1. 能用基本不等式证明其他的不等式,能用基本不等式求解简单的最值问题。 2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。 【基础练习】 1.“a>b>0”是“ab<

a2 ? b2 ”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分 2

条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件) 2. a ? b ? 1, b ? c ? 2, c ? a ? 2, 则ab ? bc ? ca 的最小值为
2 2 2 2 2 2

1 ? 3 2

3.已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为

?

1 16

4.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则 【范例导析】 例 1.已知 x ?

5 2 ? 的最小值是 2 x y

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5

分析:由于 4x ? 5 ? 0 ,所以首先要调整符号. 解:∵ x ? ∴y=4x-2+

5 ∴ 5 ? 4x ? 0 4
1 ? 1 ? = ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ≤-2+3=1 5 ? 4x ? 4x ? 5 ?

当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x=1 时,上式成立,故当 x=1 时, ymax ? 1. 5 ? 4x
a b + = 1 ,求 x+y 的最小值。 x y

例 2.(1)已知 a,b 为正常数,x、y 为正实数,且

(2) 已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? 2 y ? xy ? 30 ,求 xy 的最大值. 分析:问题(1)可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用 基本不等式求解;问题(2)既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于 xy 的不 等式,也可以采用变量代换转换为一元函数再求解. 解 :(1) 法 一 : 直 接 利 用 基 本 不 等 式 : x + y = (x + y)(

a b bx ay + )= a+b+ + ≥ x y y x

103/210

? ay bx ? x = y ? x = a + ab ? ? a +b + 2 ab 当且仅当 ? ,即 ? 时等号成立 ? y = b + ab ?a + b = 1 ? ?x y ?
法二: 由

a b ay + = 1得 x= x y y-b

? x? y?

ay a( y ? b ) ? ab ?y? ?y y ?b y ?b ab ab ?a? ?y? ?( y ?b)? a ?b y ?b y ?b

∵ x>0,y>0,a>0 ∴ 由

ay >0 得 y-b>0 ∴ x+y≥ 2 ab + a +b y-b

? ab ?y-b = y-b ? y = b + ab ? ? 当且仅当 ? ,即 ? 时,等号成立 ? x = a + ab ?a + b = 1 ? ?x y ?
(2)法一:由 x ? 2 y ? xy ? 30 ,可得, y ?

30 ? x   ? x ? 30) . (0 2? x

xy ?

30 x ? x 2 ? (2 ? x) 2 ? 34(2 ? x) ? 64 64 ? ? ? ? 34 ? ?( x ? 2) ? 2? x 2? x x ? 2? ? ?
64 64 ? 2 ( x ? 2) ? ? 16 .可得, xy ? 18 . x?2 x?2

注意到 ( x ? 2) ? 当且仅当 x ? 2 ? 最大值为 18.

64 ,即 x ? 6 时等号成立,代入 x ? 2 y ? xy ? 30 中得 y ? 3 ,故 xy 的 x?2
xy ,

? 法二:? x, y ? R ,? x ? 2 y ? 2 2 xy ? 2 2 ?

代入 x ? 2 y ? xy ? 30 中得: 2 2 ?

xy ? xy ? 30

解此不等式得 0 ? xy ? 18 .下面解法见解法一,下略. 点拨:求条件最值的问题,基本思想是借助条件化二元函数为一元函数,代入法是最基本的 方法,也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决. 【反馈练习】 1.设 a>1,且 m ? log a (a ? 1), n ? log a (a ? 1), p ? log a (2a) ,则 m, n, p 的大小关系为 m>p
2

>n
104/210

2.已知下列四个结论: ①若 a, b ? R, 则 b ? a ? 2 b ? a ? 2 ;
a b a b
? ? ②若 x, y ? R ,则 lg x ? lg y ? 2 lg x lg y ; ?

③若 x ? R , 则 x ? 4 ? ?2 x ? 4 ? ?4 ; ④若 x ? R , 则 2 x ? 2 ? x ? 2 2 x ? 2 ? x ? 2 。
x x

其中正确的是④ 3.已知不等式 ( x ? y )( ?

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 6 y
x2 ? y2 ? 2 2 ,并且求等号成立的条件. x? y

4.(1)已知: x ? y ? 0 ,且: xy ? 1 ,求证:

(2)设实数 x,y 满足 y+x2=0,0<a<1,求证: log a a +a

?

x

y

? ≤ log

a

1 2? 。 8

解: (1)分析:由已知条件 x,y ? R ? ,可以考虑使用均值不等式,但所求证的式子中有

x ? y , 无 法 利 用 x ? y ? 2 xy , 故 猜 想 先 将 所 求 证 的 式 子 进 行 变 形 , 看 能 否 出 现
( x ? y) ? 1 型,再行论证. ( x ? y)

证明:? x ? y ? 0, ? x ? y ? 0.

又? xy ? 1,

?

2 x 2 ? y 2 ( x ? y ) 2 ? 2 xy 2 ? 2 ( x ? y) ? ? 2 2 . 等号成立 ? ? ( x ? y) ? ( x ? y) x? y x? y x? y

当且仅当 ( x ? y ) ?

2 2 2 2 时.? ( x ? y ) ? 2 , x ? y ? 2 , x ? y ? 4. ( x ? y) 6? 2 6? 2 , y? 2 2

? xy ? 1, ? ( x ? y) 2 ? 6, ? x ? y ? 6. 由以上得 x ?

即当 x ?

6? 2 6? 2 , y? 时等号成立. 2 2

说明:本题是基本题型的变形题.在基本题型中,大量的是整式中直接使用的均值不等式, 这容易形成思维定式. 本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式. 要 注意灵活运用均值不等式. (2)∵ a ? a ≥ 2 a
x y

x?y

?

x ?x 2 2a 2

? 2a

1 1 1 ? ( x ? )2 ? 2 2 8



?

1 1 1 1 (x ? ) 2 ? ≤ ,0<a<1 2 2 8 8
1 1 1 ? (x ? )2 ? 2 2 8 1

∴ 2a

≥ 2a 8

∴ ax ? ay ≥
1

∴ log a (a x ? a y ) ≤ log a (2a 8 ) ? log a 2 ?

1 8
105/210

第2课
【考点导读】

一元二次不等式

1. 会解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题. 【基础练习】 1.解不等式:

1 2 3 x ?x? ?0 2 2 1 2 3 2 (3) ? x ? 1?? x ? 3? ? 2 x ? x ? 2 (4) ? 4 ? ? x ? x ? ? ?2 2 2 2 2 解: (1)原不等式化为 3x ? 4 x ? 4 ? 0 ,解集为 ? ? x ? 2 3
(1) ?3x ? 4 x ? 4 ? 0
2

(2)

(2)原不等式化为 x ? 2 x ? 3 ? 0 ,解集为 R
2

(3)原不等式化为 x ? x ? 1 ? 0 ,解集为 ?
2

3 ?1 2 ?2 x ? x ? 2 ? 4 ? x2 ? 2x ? 1 ? 0 1 2 3 ? ? ,得? 2 (4)由 2 ? x ? x ? ? 4, 得 ? 2 2 ?x ? 2x ? 5 ? 0 ? ? 1 x2 ? x ? 3 ? 2 ?2 ? 2
得?

? x ? 2 ? 1或x ? ? 2 ? 1 ? ?? 6 ? 1 ? x ? 6 ? 1 ?

,

? x ? (? 6 ? 1, ? 2 ? 1) ? ( 2 ? 1, 6 ? 1)
点拨:解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程 ? 的判断、以及对应方程两根 大小的比较. 2. 函数 y ?

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为 ? ? 2, ?1 ? 1, 2 ? ? ?
2

? ?

3..二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x y

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax2+bx+c>0 的解集是 (??,?2) ? (3,??)
2 4.若不等式 x ? bx ? c ? 0 的解集是 {x x ? 3或x ? ?1} ,则 b=__-2____ c=__-3____.

【范例导析】

a( x ? 1) ? 1(a ? 1) x?2 (a ? 1) x ? (a ? 2) 解:原不等式等价于 ? 0 ∵ a ? 1 ∴等价于: x?2
例.解关于x的不等式
106/210

?a ? 1?? x ? a ? 2 ? ? ?

a ?1 ? ? ?0 x?2

(*)

a?2 a ? 1 >0∵ a ? 2 ? 1 ? 1 <1∴x< a ? 2 或 x>2 a>1时, (*)式等价于 a ?1 a ?1 a ?1 x?2 a?2 x? a ? 1 <0 由2- a ? 2 = a 知: a<1时, (*)式等价于 a ?1 a ?1 x?2 a?2 a?2 当 0<a<1时, >2,∴2<x< ; a ?1 a ?1 a?2 a?2 当 a<0 时, <2,∴ <x<2; a ?1 a ?1 a?2 当 a=0 时,当 =2,∴x∈φ a ?1 a?2 综上所述可知:当 a<0 时,原不等式的解集为( ,2) ;当 a=0 时,原不等式的解集 a ?1 a?2 为φ ;当 0<a<1时,原不等式的解集为(2, ) ;当 a>1时,原不等式的解集为(- a ?1 a?2 ∞, )∪(2,+∞) 。 a ?1 x?
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏. 【反馈练习】 1.若关于 x 的不等式 ax ? ax ? a ? 1 ? 0, 的解集为 R,则 a 的取值范围是 ? ??, 0 ?
2

2.不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 解集为 ?
2

1 1 ? x ? ,则 ab 值分别为-12,-2 2 3

3.若函数 f(x) =

2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为 ? ?1,? 0

4.已知 M 是关于 x 的不等式 2x2+(3a-7)x+3+a-2a2<0 解集,且 M 中的一个元素是 0,求 实数 a 的取值范围,并用 a 表示出该不等式的解集. 解:原不等式即(2x-a-1)(x+2a-3)<0, 由 x ? 0 适合不等式故得 (a ? 1)( 2a ? 3) ? 0 ,所以 a ? ?1 ,或 a ? 若 a ? ?1 ,则 ? 2a ? 3 ?

a ?1 a ?1 5 , ? (?a ? 1) ? 5 ,∴ 3 ? 2a ? 2 2 2 a ?1 此时不等式的解集是 {x | ? x ? 3 ? 2a} ; 2 a ?1 3 a ?1 5 5 若 a ? ,由 ? 2a ? 3 ? , ? (?a ? 1) ? ? ,∴ 3 ? 2a ? 2 2 2 2 4 a ?1 此时不等式的解集是 {x | 3 ? 2a ? x ? }。 2

3 . 2

107/210

第3课
【考点导读】

线性规划

1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域,能由给定的平 面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组. 2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题,并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究 代数问题的思想. 【基础练习】 1.原点(0,0)和点 P(1,1)在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是 0<a<2 2. 设集合 A=?( x, y ) | x, y,1 ? x ? y是三角形的三边长? , A 所表示的平面区域(不含边 则 界的阴影部分)是( A
1 y

)
1 y
1 y

1

y

1 2

1 2

1 2

1 2

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

o

1 2

1

x

A 3.下面给出四个点中,位于 ? A. (0, 2)

B

C

D

? x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域内的点是( C ) ?x ? y ?1 ? 0
C. (0, 2) ? D. (2, 0)

B. (?2, 0)

4.由直线 x+y+2=0,x+2y+1=0,2x+y+1=0 围成的三角形区域(不含边界)用不等式表示

?x ? y ? 2 ? 0 ? 为 ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?
5.在坐标平面上,不等式组 ? 【范例导析】

3 ?y ? x ?1 所表示的平面区域的面积为 y ? ?3 x ? 1 2 ?

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 1.设 x,y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求目标函数 z=6x+10y 的最大值,最小值。 ? x ?1 ?
分析:求目标函数的最值,必须先画出准确的可行域,然后把线性目标函数转化为一族平行 直线, 这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点, 直线在 y 轴上截距 的最大值与最小值问题. 解:先作出可行域,如图所示中 ?ABC 的区域,

108/210

且求得 A(5,2),B(1,1),C(1,

22 ) 5

例1图

作出直线 L0:6x+10y=0,再将直线 L0 平移 当 L0 的平行线过 B 点时,可使 z=6x+10y 达到最小值 当 L0 的平行线过 A 点时,可使 z=6x+10y 达到最大值 所以 zmin=16;zmax=50 点拨:几个结论:(1)、线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能 在边界处取得。 (2) 求线性目标函数的最优解, 、 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在 y 轴上 的截距或其相反数。

? x? y?2?0 ? 例 2.已知 ? x ? y ? 4 ? 0 , ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
(1) 求 z ? x ? 2 y 的最大和最小值。 (2) 求 z ?

y 的取值范围。 x
2 2

(3) 求 z ? x ? y 的最大和最小值。 解析:注意目标函数是代表的几何意义. 解:作出可行域。 (1)z ? x ? 2 y ? y ? ?

1 z 1 z x ? y ? 4?0 作一组平行线 l:y ? ? x ? , 解方程组{2 x ? y ? 5 ? 0 x? , 2 2 2 2
m n i ? ? ?? 5 3 21
x ? y ? 2?0 。解 {2 x ? y ? 5 ? 0 得最优解 C(7,9) ,

得最优解 B(3,1) ? z ,

? zxa ? ? ? 9 2 7 2 ? 5 m
(2) z ? y ? y ? 0 表示可行域内的点(x,y)与(0,0)的连线的斜率。从图中可得,

x

x?0

1 1 k ? z ? k ,又 k ? 3, k ? ,? ? z ? 3 。 OB OA OA OB 3 3
(3) z ? x ? y

2

2 ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 表示可行域内的点(x,y)到(0,0)的距离的平

方。从图中易得, z

min

(OF 为 O 到直线 AB 的距离) z , ? OC 2 。 ? OF 2 , max
109/210

OF ?

0?0?4 2

? 2 2 , OF

2 ? 8, OC 2 ? 130 ,? z

max

? 130 , z

min

?8。

点拨: 关键要明确每一目标函数的几何意义, 从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的 取值范围. 例 3.本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费 用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、 乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万 元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益 是多少万元? 分析:本例是线性规划的实际应用题,其解题步骤是: (1)设出变量,列出约束条件及目标 函数; (2)画出可行域(3)观察平行直线系 z ? 3000 x ? 2000 y 的运动,求出目标函数的 最值. 解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由

? x ? y ≤ 300, ? 题意得 ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .

y
500

400

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图: 作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,

300 l 200 100 M

0

100

200 300

x

即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ? 例3

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 . ?5 x ? 2 y ? 900.

200) ?点 M 的坐标为 (100, .

? zmax ? 3000 x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告,公司的收益最大,最 大收益是 70 万元. 【反馈练习】

110/210

? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 1.不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 5 ≤ a ? 7 ?0 ≤ x ≤ 2 ? ? x ? 2 ? 0, ? 2.已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
范围是[-1,2]

? x ? y ? 5, ?3 x ? 2 y ? 12, ? 3.设 x 、 y 满足约束条件 ? 则使得目标函数 z ? 6 x ? 5 y 的最大的点 ( x, y ) 是 ?0 ? x ? 3, ?0 ? y ? 4. ?
(2,3) .

? x ? y ≥ 2, ? 7 4.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 2,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是 ? ?5,? ?0 ≤ y ≤ 3, ?
5.画出以 A(3,-1) 、B(-1,1) 、C(1,3)为顶点的△ABC 的区域(包括各边) ,写出 该区域所表示的二元一次不等式组,并求以该区域为可行域的目标函数 z=3x-2y 的最大值 和最小值. 分析:本例含三个问题:①画指定区域;②写所画区域的代数表达式——不等式组;③求以 所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值 解:如图,连结点 A、B、C,则直线 AB、BC、CA 所围成的区域为所求△ABC 区域 直线 AB 的方程为 x+2y-1=0,BC 及 CA 的直线方程分别为 x-y+2=0,2x+y-5=0 在△ABC 内取一点 P(1,1) , 分别代入 x+2y-1,x-y+2,2x+y-5 得 x+2y-1>0,x-y+2>0,2x+y-5<0 因此所求区域的不等式组为 x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0 作平行于直线 3x-2y=0 的直线系 3x-2y=t(t 为参数) ,即平移直线 y= 当直线 y=
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3 x,观察图形可知: 2 第 10 题

3 1 1 x- t 过 A(3,-1)时,纵截距- t 最小 此时 t 最大,tmax=3?3-2?(-1) 2 2 2 3 1 1 =11;当直线 y= x- t 经过点 B(-1,1)时,纵截距- t 最大,此时 t 有最小值为 tmin= 2 2 2 3?(-1)-2?1=-5 因此,函数 z=3x-2y 在约束条件 x+2y-1≥0,x-y+2≥0,2x+y-5≤0 下的最大值为 11, 最小值为-5 。
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第4课
【考点导读】

不等式综合

能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题,如最值问 题、恒成立问题、最优化问题等. 【基础练习】

1 1 1.若函数 f ? x ? ? x ? ? x ? 2? , g ? x ? ? ? ? ? ? x?2 ?2?
是 f ? x? ? g ? x? 2.函数 f ? x ? ? 2 ? a

x2 ? 2

? x ? 0 ? ,则 f ? x ? 与 g ? x ? 的大小关系

?

2

? x ? a 在区间 ? 0,1? 上恒为正,则 a 的取值范围是 0<a<2
x y

3.当点 ? x, y ? 在直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 上移动时, z ? 3 ? 27 ? 1 的最小值是 7 4.对于 0≤m≤4 的 m,不等式 x2+mx>4x+m-3 恒成立,则 x 的取值范围是 x>3 或 x<-1 【范例导析】 例 1、已知集合 P ? ? ,2? ,函数 y ? log 2 ax ? 2 x ? 2 的定义域为 Q ?2 ?
2

?1 ?

?

?

(1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围。 (2)若方程 log 2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解,求实数 a 的取值范围。 2
2

?

?

?1 ? ? ?

分析:问题(1)可转化为 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有有解;从而和问题(2)是同一类 2
2

?1 ? ? ?

型的问题,既可以直接构造函数角度分析,亦可以采用分离参数. 解: (1)若 P ? Q ? ? ,? ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有有解? a ? ? 2 ? x x ?2 ?
2

?1 ?

2

2

令u ? ?

2 2 1 ?1 1? ? ? ?2? ? ? ? 2 x 2 x ? x 2?

2

当 x ? ? ,2? 时, u ? ?? 4, ? 2 2

?1 ? ? ?

? ?

1? ?

所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 a a ? ?4

?

?
2

(2)方程 log 2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解, 则 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有解。 2 2
2

?

?

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

?a ?

2 2 1 ?1 1? ? ? 2? ? ? ? 2 x 2 x ? x 2?

2

112/210

当 x ? ? ,2? 时, a ? ? ,12 ? 2 2 所以 a ? ? ,12 ? 时, log 2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解 2 2
2

?1 ? ? ?

?3 ?

? ?

?3 ?

? ?

?

?

?1 ? ? ?

点拨:本题用的是参数分离的思想.

例 2.甲、乙两地相距 s km ,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过 c km/h ,已知汽车 每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v km/h 的 ........ 平方成正比,且比例系数为 b ;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v km/h 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析:需由实际问题构造函数模型,转化为函数问题求解 解: (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 h ,全程运输成本为

s v

s s a a y ? a ? ? bv2 ? ? s( ? bv) .故所求函数为 y ? s( ? bv) ,定义域为 v ? (0,c) . v v v b (2)由于 s、a、b、v 都为正数,
故有 s ( ? bv) ? s ? 2

a v

a a ? bv ,即 s( ? bv) ? 2s ab . b v a 时上式中等号成立. b

当且仅当

a ? bv ,即 v ? v



a ? c 时,则 v ? b

a 时,全程运输成本 y 最小; b



a a ? c , 易 证 0 ? v ? c , 函 数 y ? f (v) ? s( ? bv) 单 调 递 减 , 即 v ? c 时 , b v

a ymi n ? s( ? bc) . c
综上可知,为使全程运输成本 y 最小, 在

a ? c 时,行驶速度应为 v ? b

a ; b



a ? c 时,行驶速度应为 v ? c . b

点拨:本题主要考查建立函数关系式、不等式性质(公式)的应用.也是综合应用数

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学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题.

【反馈练习】 1.设 0 ? a ? 1 , 函数 f ( x) ? log a (a 2 x ? 2a x ? 2) , 则使 f ( x) ? 0

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