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红对勾文科数学10-1


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必考部分

必考部分·第十章

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第十章 概率

必考部分·第十章

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第一节

随机事件的概率

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第十章·第一节

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考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意 义,了解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式.

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第十章·第一节

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考情剖析 1.互斥事件和对立事件的概率是高考重点考查的内容,其中对立 事件的概率是“正难则反”思想的具体应用,在高考中经常考查. 2.多以选择题、填空题的形式考查,有时也渗透在解答题中,属 容易题.

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第十章·第一节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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第十章·第一节

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自主回顾·打基础
强根基·固本源

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第十章·第一节

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1.概率 (1)在相同条件下,大量重复进行同一试验,随机事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动,即随机事件 A 发生的频 率具有 稳定性 . 我们把这个常数叫做随机事件 A 的概率. 记 作P(A).

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第十章·第一节

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(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度, 但是频率 是随机的,而 概率是一个确定的值,通常人们用 概率来反映 随机事件发生的可能性的大小. 有时也用频率 来作为随机事 件概率的估计值.

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第十章·第一节

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1.概率和频率有什么区别和联系? 提示:频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一 个常数,它是频率的科学抽象.当试验次数越来越大时, 频率也越来越向概率接近,只要次数足够多,所得频率就 近似地看作随机事件的概率.

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第十章·第一节

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2.事件的关系与运算 定义 如果事件 A 发生,则事件 B 包含 一定发生 , 这时称事件 B 包 关系 含事件 A(或称事件 A 包含于 事件 B) 符号表示

B?A(或 A?B)

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第十章·第一节

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定义 相等 若 B?A 且 A?B,那么称事 关系 件 A 与事件 B 相等 并事 件(和 事件) 若某事件发生当且仅当事件

符号表示

A=B

A 发生或事件 B 发生, 称 此
事件为事件 A 与事件 B 的

A∪B(或 A+B)

并事件 (或和事件)

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第十章·第一节

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定义 交事 件(积 事件) 若某事件发生 当且仅当事件

符号表示

A 发生且事件 B

发生,

则称此事件为事件A与事件B 的 交事件 (或积事件)

A∩B(或 AB)

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第十章·第一节

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定义 互斥 若 A∩B 为不可能事件, 则事 事件 件 A 与事件 B 互斥 对立 事件 若 A∩B 为 不可能 事件,A ∪B 为必然条件 ,那么称事 件 A 与事件 B 互为对立事件

符号表示 A∩B=?

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第十章·第一节

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2.互斥事件和对立事件有什么区别和联系? 提示: 互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言 的.在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能 有一个发生;而对立事件则是必有一个发生,但不能同时发 生.所以两个事件互斥但未必对立;反之两个事件对立则它 们一定互斥.

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第十章·第一节

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3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围: 0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率 P(E)= 1 . (3)不可能事件的概率 P(F)= 0 . (4)概率的加法公式. 如果事件 A 与事件 B 互斥, 则 P(A∪B)= P(A)+P(B) .

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第十章·第一节

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(5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件,则 A∪B 为必然事 件.P(A∪B)= 1 ,P(A)=1-P(B) .

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第十章·第一节

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1.甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件.那 么( ) A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

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第十章·第一节

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解析:对立事件一定互斥,互斥事件不一定对立.
答案:B

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第十章·第一节

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2.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小 于 160 cm 的概率为 0.2,该同学的身高在[160,175]的概率为 0.5,那么该同学在身高超过 175 cm 的概率为( A.0.2 C.0.7 B.0.3 D.0.8 )

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第十章·第一节

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解析: 由对立事件的概率可求该同学的身高超过 175 cm 的概率为 1-0.2-0.5=0.3.
答案:B

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第十章·第一节

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3.某城市 2012 年的空气质量状况如下表所示: 污染指数 T 30 概率 P 1 10 60 100 110 130 140 1 6 1 3 7 30 2 15 1 30

其中污染指数 T≤50 时, 空气质量为优; 50<T≤100 时, 空气质量为良;100<T≤150 时,空气质量为轻微污染.该 城市 2012 年空气质量达到良或优的概率为( 3 A. 5 1 C.19
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)

1 B. 180 5 D.6
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第十章·第一节

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1 解析:由表知空气质量为优的概率为10,空气质量为良 1 1 3 1 1 1 的概率为 6 + 3 = 6 = 2 . 故空气质量为优或良的概率为 10 + 2 3 =5.
答案:A

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第十章·第一节

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4.从一副混合后的扑克牌(52 张)中,随机抽取 1 张, 事件 A 为“抽得红桃 K”, 事件 B 为“抽得黑桃”, 则概率 P(A∪B)=________.(结果用最简分数表示).

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第十章·第一节

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1 13 解析:∵P(A)=52,P(B)=52,∴P(A∪B)=P(A)+P(B) 1 13 14 7 =52+52=52=26.

7 答案:26

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第十章·第一节

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5.某射手的一次射击中,射中 10 环、9 环、8 环的概 率分别为 0.2、0.3、0.1,则此射手在一次射击中不超过 8 环 的概率为________.

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第十章·第一节

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解析:依题设知,此射手在一次射击中不超过 8 环的概 率为 1-(0.2+0.3)=0.5.

答案:0.5

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第十章·第一节

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合作学习·速通关
抓重点·破疑难

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第十章·第一节

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随机事件间的关系

【例 1】 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立 事件. 某小组有 3 名男生和 2 名女生,从中任选 2 名同学 去参加演讲比赛,其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生; (2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生; (3)至少有 1 名男生和全是女生.
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第十章·第一节

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应重点关注从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 名 同学的所有可能情况, 然后根据各事件包含的各种可能结果 来判断各事件的关系.

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第十章·第一节

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【解析】

(1)是互斥事件,不是对立事件.

原因是:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质 是选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有两名男 生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件.但其并事件 不是必然事件,所以不是对立事件.

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第十章·第一节

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(2)不可能是互斥事件,从而也不是对立事件. 原因是:“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女 生”与“两名都是男生”两种结果.“至少有1名女生”包 括“1名女生和1名男生”与“两名都是女生”两种结果, 它们可能同时发生.

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第十章·第一节

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(3)是互斥事件,也是对立事件. 原因是:“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女 生”与“两名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不 可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以也是对立事 件.

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第十章·第一节

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判断两事件的关系时,一是要考虑试验的前提条件;二是 考虑事件间是否有交事件,可考虑利用 Venn图分析.对于较 难作出判断关系的情况,也可列出全部结果,再进行分析 .

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第十章·第一节

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从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否 为互斥事件,是否为对立事件. (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于 10”.

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第十章·第一节

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解:(1)是互斥事件但不是对立事件.因为“抽出红 桃”与“抽出黑桃”在仅取一张时不可能同时发生,因而 是互斥的.同时,不能保证其中必有一个发生,因为还可 能抽出“方块”或“梅花”,因此两者不对立. (2)是互斥事件又是对立事件.因为两者不可能同时发 生,但其中必有一个发生. (3)不是互斥事件,更不是对立事件.因为“抽出的牌 点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”这两个事件有 可能同时发生.
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第十章·第一节

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随机事件的频率与概率

【例2】

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区

市场上销售量相等,为了解他们的使用寿命,现从这两 种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统 计如下:

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第十章·第一节

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(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率; (2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试 估计该产品是甲品牌的概率. 分别计算出相应的频率,由频率可估计概率.

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第十章·第一节

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【解析】 (1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 5+20 1 100 = 4 ,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200 1 小时的概率为4. (2)根据频数分布表可得寿命大于200小时的两种品牌产 品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样 75 15 本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是 145 = 29 .据 15 此估计已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为29.
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第十章·第一节

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1.概率是一个常数,它是频率的科学抽象,将事件发生的 频率近似地作为它的概率是求一事件概率的基本方法 . m 2.概率公式P= n ??n次试验中,事件A出现m次?

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第十章·第一节

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(2013· 新课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一 个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产 品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场 需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销 售季度购进了130 t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表 示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一 个销售季度内经销该农产品的利润.

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(1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率.

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第十章·第一节

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解:(1)当X∈[100,130)时, T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000.
? ?800X-39 000,100≤X<130, 所以T=? ? ?65 000,130≤X≤150.

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下 一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为 0.7.
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互斥事件与对立事件

【例3】

某战士射击一次,问:

(1)若中靶的概率为0.95,则不中靶的概率为多少? (2)若命中10环的概率是0.27,命中9环的概率为 0.21,命中8环的概率为0.24,则至少命中8环的概率为 多少?不够9环的概率为多少?

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第十章·第一节

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【解析】

(1)记中靶为事件A,不中靶为事件 A ,根

据对立事件的概率性质,有 P( A )=1-P(A)=1-0.95=0.05. 故不中靶的概率为0.05. (2)记命中10环为事件B,命中9环为事件C,命中8环为 事件D,至少8环为事件E,不够9环为事件F. 由B、C、D互斥,E=B∪C∪D,F= B∪C , 根据概率的基本性质,有

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第十章·第一节

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P(E)=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D) =0.27+0.21+0.24=0.72; P(F)=P( B∪C )=1-P(B∪C)=1-(0.27+0.21)=0.52. 所以至少8环的概率为0.72,不够9环的概率为0.52.

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求复杂的互斥事件的概率的一般方法 (1)直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的 事件的概率求和,运用互斥事件的概率和公式计算. (2)间接法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A ),即运用逆向思维,特别是“至少”“至 多”型题目,用间接法就显得较简便.

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(1)抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、 2、3、4、5、6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事 件B表示“朝上一面的数不超过3”,则P(A∪B)=_______. (2)(2013· 安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、 丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲 或乙被录用的概率为( 2 A.3
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) 3 C.5
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2 B.5

9 D.10
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解析:(1)事件A∪B可以分成事件C为“朝上一面的数 为1、2、3”与事件D为“朝上一面的数为5”这两件事, 则事件C和事件D互斥,故P(A∪B)=P(C∪D)=P(C)+P(D) 3 1 4 2 =6+6=6=3. (2)事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未 被录用”,从五位学生中选三人的基本事件总数为 10, “甲和乙都未被录用”只有1种情况,根据古典概型和对立 1 9 事件的概率公式可得,甲或乙被录用的概率 P=1-10=10. 2 答案:(1)3 (2)D
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1.概率是研究随机事件发生的可能性大小问题,这里 既有随机性,又有随机性中表现出的规律性.突破这一难 点的最好办法是亲自动手操作,在实践中形成对随机事件 以及随机性中表现出的规律性的直观感知.概率的性质可 以类比频率的性质,并利用频率与概率的关系得到.

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2.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下 发生的,当条件变化时,事件的性质也发生变化. 3.必然事件与不可能事件可看做随机事件的两种特殊 情况,因此,任何事件发生的概率都满足 0≤P(A)≤1. 4.随机事件在相同条件下进行大量试验时,呈现规律 m 性,且频率 n 总是接近于常数P(A),则称P(A)为事件A的概 率.

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5.求某些较复杂的概率问题时,通常有两种方法:一 是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和,然后利用概率 加法公式求其值;二是求此事件A的对立事件B的概率,然 后利用P(A)=1-P(B)可得解.

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提升素养·破难点
研经典·明考向

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易错易混警示(十六) 忽略概率加法公式的前提条件致 误 【典例】 抛掷一枚骰子,事件A表示“朝上一面的点

数是奇数”,事件B表示“朝上一面的点数不超过2”. 求:(1)P(A);(2)P(B);(3)P(A∪B).

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失误展示 (1)事件A包括三种结果,可以出现1,3,5点, 3 1 ∴P(A)= = . 6 2 (2)事件B包括二种结果,可以出现1,2点, 2 1 ∴P(B)= = . 6 3 5 (3)P(A∪B)=P(A)+P(B)=6.

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正确解答 基本事件总数为6个. (1)事件A包括出现1,3,5三个基本事件, 3 1 ∴P(A)= = . 6 2 (2)事件B包括出现1,2两个基本事件, 2 1 ∴P(B)= = . 6 3 (3)事件A∪B包括出现1,2,3,5四个基本事件, 4 2 ∴P(A∪B)=6=3.
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点 本题易错原因是学生错用公式P(A∪B)=P(A)+P(B) 拨 来解决,因为这个公式的前提条件是A、B彼此互 提 斥,而本题中的事件A、B并不互斥.所以在应用公 升 式时,要特别注意是否具备应用公式的条件 .

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某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购 多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等

奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1张奖券的中奖概率; (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

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1 10 1 解:(1)P(A)=1 000,P(B)=1 000=100, 50 1 P(C)=1 000=20. 1 1 1 故事件A,B,C的概率分别为1 000,100,20. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设 “1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C. ∵A、B、C两两互斥, ∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

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1+10+50 61 = 1 000 =1 000. 61 故1张奖券的中奖概率为1 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N, 则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
? ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-?1 ?

1 1 ? 989 ? 000+100?=1 000.

989 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 . 1 000

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