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专题四 第2讲 空间中的平行与垂直


第2讲 自主学习导引

空间中的平行与垂直

真题感悟 1.(2012· 浙江)设 l 是直线,α、β 是两个不同的平面 A.若 l∥ α,l∥ β,则 α∥ β B.若 l∥ α,l⊥ β,则 α⊥ β C.若 α⊥ β,l⊥ α,则 l⊥ β D.若 α⊥ β,l∥ α,则 l⊥ β 解析 利用线与面、面与面的关系定理判定,用特例法.

设 α∩β=a,若直线 l∥ a,且 l?α,l?β,则 l∥ α,l∥ β,因此 α 不一定平行于β,故 A 错误; 由于 l∥ α,故在 α 内存在直线 l′∥ l,又因为 l⊥ β,所以 l′⊥ β,故 α⊥ β,所以 B 正确;若 α⊥ β, 在 β 内作交线的垂线 l, l⊥ 此时 l 在平面 β 内, 则 α, 因此 C 错误; 已知 α⊥ 若 α∩β=a, a, β, l∥ 且 l 不在平面 α,β 内,则 l∥ 且 l∥ α β,因此 D 错误. 答案 B 2.(2012·江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D、E 分别是棱 BC、CC1 上 的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

证明

(1)因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,

所以 C C1⊥平面 ABC. 又 AD?平面 ABC,所以 C C1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,C C1,DE?平面 BC C1 B1, C C1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BC C1 B1. 又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BC C1 B1.

(2)因为 A1 B1=A1 C1,F 为 B1 C1 的中点,所以 A1F⊥B1 C1. 因为 C C1⊥平面 A1 B1 C1,且 A1F?平面 A1 B1 C1, 所以 C C1⊥A1F. 又因为 C C1,B1 C1?平面 BC C1 B1,C C1∩B1 C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BC C1 B1. 由(1)知 AD⊥平面 BC C1 B1,所以 A1F∥ AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE,所以 A1F∥ 平面 ADE 考题分析 空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点,多以选择题与解答题的形式出现,难度 中等,解答高考题时,推理过程不完整是失分的重要原因,需引起特别注意. 网络构建

高频考点突破
考点一:线线、线面的平行与垂直 【例 1】如图,在平行四边形 ABCD 中,CD=1,∠BCD=60° ,且 BD⊥CD,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G、H 分别是 DF、BE 的中点. (1)求证:BD⊥平面 CDE; (2)求证:GH∥平面 CDE; (3)求三棱锥 D-CEF 的体积.

[审题导引] (1)先证 BD⊥ ED,BD⊥ CD,可证 BD⊥ 平面 CDE; (2)由 GH∥ 可证 GH∥ CD 平面 CDE; (3)变换顶点,求 VC-DEF. [规范解答] (1)证明 ∵ 四边形 ADEF 是正方形, ∴ ED⊥ AD, 又平面 ADEF⊥ 平面 ABCD, 平面 ADEF∩平面 ABCD=AD. ∴ ED⊥ 平面 ABCD,∴ ED⊥ BD. 又 BD⊥ CD,且 ED∩DC=D, ∴BD⊥平面 CDE. (2)证明 ∵G 是 DF 的中点,又易知 H 是 FC 的中点, ∴在△FCD 中,GH∥CD, 又∵CD?平面 CDE,GH?平面 CDE, ∴GH∥平面 CDE. (3)设 Rt△BCD 中,BC 边上的高为 h, ∵CD=1,∠BCD=60° ,BD⊥CD,

1 1 ∴BC=2,BD= 3,∴2× h=2× 2× 1× 3, 3 3 ∴h= 2 ,即点 C 到平面 DEF 的距离是 2 , 1 1 3 3 ∴VD-CEF=VC-DEF=3× × 2× 2 = 3 . 2 2× 【规律总结】 线线、线面位置关系证法归纳 (1)证线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;二是利 用平行四边形进行平行转换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线面平行、 面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证线面平行常用的两种方法:一是利用线面平行的判定定理,把证线面平行转化为证线线 平行;二是利用面面平行的性质,把证线面平行转化为证面面平行. (3)证线面垂直常用的方法: 一是利用线面垂直的判定定理, 把证线面垂直转化为证线线垂直; 二是利用面面垂直的性质定理,把证面面垂直转化为证线面垂直;另外还要注意利用教材中 的一些结论,如:两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等. 【变式训练】 1.(2012· 山东实验中学一诊)如图,在几何体 ABCDEP 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正 方形,PA⊥平面 ABCD,PA∥EB,且 PA=2BE=4 2. (1)证明:BD∥平面 PEC; (2)若 G 为 BC 上的动点,求证:AE⊥PG.

证明 (1)连接 AC 交 BD 于点 O,取 PC 的中点 F,连接 OF,EF, 1 ∵EB∥PA,且 EB=2PA, 1 又 OF∥PA,且 OF=2PA, ∴EB∥OF,且 EB=OF, ∴四边形 EBOF 为平行四边形, ∴EF∥BD. 又∵EF?平面 PEC,BD?平面 PEC,∴BD∥平面 PEC.

EB BA 1 (2)连接 BP,∵AB= PA = , 2 ∠EBA=∠BAP=90° , ∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA, ∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90° , ∴PB⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,PA?平面 APEB, ∴平面 ABCD⊥平面 APEB, ∵BC⊥AB,平面 ABCD∩平面 APEB=AB, ∴BC⊥平面 APEB,∴BC⊥AE,∴AE⊥平面 PBC, ∵G 为 BC 上的动点,∴PG?平面 PBC,∴AE⊥PG. 考点二:面面平行与垂直 【例 2】如图所示,已知在三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点,且△PMB 为正三角形. (1)求证:DM∥平面 APC; (2)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D-BCM 的体积.

[审题导引] (1)只要证明 MD∥ 即可,根据三角形中位线定理可证; AP (2)证明 AP⊥ BC; (3)根据锥体体积公式进行计算. [规范解答] (1)证明 由已知,得 MD 是△ABP 的中位线,所以 MD∥ AP. 又 MD?平面 APC,AP?平面 APC,故 MD∥ 平面 APC. (2)证明 因为△PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点, 所以 MD⊥PB.所以 AP⊥PB. 又 AP⊥PC,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC.

因为 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC. 又 BC⊥ AC,AC∩AP=A, 所以 BC⊥ 平面 APC. 因为 BC?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. (3)由题意,可知 MD⊥平面 PBC, 所以 MD 是三棱锥 D-BCM 的一条高, 1 1 所以 VM-DBC=3×S△BCD×MD=3×2 21×5 3=10 7. 【规律总结】 面面平行与垂直的证明技巧 在立体几何的平行关系问题中, “中点”是经常使用的一个特殊点,无论是试题本身的已知条 件,还是在具体的解题中,通过找“中点” ,连“中点” ,即可出现平行线,而线线平行是平 行关系的根本.在垂直关系的证明中,线线垂直是问题的核心,可以根据已知的平面图形通 过计算的方式证明线线垂直,也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直,其中要特别重视两 个平面垂直的性质定理,这个定理已知的是两个平面垂直,结论是线面垂直. 【变式训练】 2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60° ,E、F 分 别是 AP、AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD.

证明 (1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD. 又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD, 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)如图,连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° , 所以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BF?平面 ABCD, 所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

考点三:平面图形的折叠问题 【例 3】(2012·南京模拟)在△ABC 中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D 为线段 BC 的 中点, F 为线段 AC 的三等分点(如图 1). E、 将△ABD 沿着 AD 折起到△AB′D 的位置, 连接 B′C(如 图 2).

图1 图2 (1)若平面 AB′D⊥ 平面 ADC,求三棱锥 B′-ADC 的体积; (2)记线段 B′C 的中点为 H,平面 B′ED 与平面 HFD 的交线为 l,求证 HF∥ l; (3)求证:AD⊥ B′E. [审题导引] (1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得 B′到平面 ADC 的距离, 可利 用线面垂直求得; (2)线面平行?线线平行; (3)线面垂直?线线垂直. [规范解答] (1)在直角△ABC 中,D 为 BC 的中点, 所以 AD=BD=CD. 又∠ B=60° ,所以△ABD 是等边三角形. 取 AD 中点 O,连接 B′O,所以 B′O⊥ AD. 因为平面 AB′D⊥ 平面 ADC, 平面 AB′D∩平面 ADC=AD, B′O?平面 AB′D, 所以 B′O⊥ 平面 ADC. 在△ABC 中,∠BAC=90° , ∠B=60° ,AB=1, D 为 BC 的中点, 3 所以 AC= 3,B′O= 2 . 1 1 3 所以 S△ADC=2×2×1× 3= 4 .

1 1 所以三棱锥 B′-ADC 的体积为 V=3×S△ADC×B′O=8.

(2)证明 因为 H 为 B′C 的中点,F 为 CE 的中点, 所以 HF∥ B′E. 又 HF?平面 B′ED,B′E?平面 B′ED, 所以 HF∥ 平面 B′ED. 因为 HF?平面 HFD,平面 B′ED∩平面 HFD=l, 所以 HF∥ l. (3)证明 由(1)知,B′O⊥AD. 3 1 因为 AE= 3 ,AO=2,∠DAC=30° , 3 所以 EO= AE2+AO2-2AE· AOcos 30° 6 . = 所以 AO2+EO2=AE2.所以 AD⊥EO. 又 B′O?平面 B′EO,EO?平面 B′EO,B′O∩EO=O, 所以 AD⊥平面 B′EO. 又 B′E?平面 B′EO,所以 AD⊥B′E. 【规律总结】 解决翻折问题的注意事项 (1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变,抓住翻折前 后不变的量,充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口. (2)把平面图形翻折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转化到我们熟悉 的几何体中去解决. 【变式训练】 3.如图 1,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,E、F 分别为 AD 和 BC 上的点,且 EF∥AB, AD=2AE=2AB=4FC=4.将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的形状, AD=AE. 使

(1)求证:BC∥平面 DAE; (2)求四棱锥 D-AEFB 的体积. 解析 (1)证明 ∵BF∥ AE,CF∥ DE,BF∩CF=F, AE∩DE=E, ∴平面 CBF∥ 平面 DAE. 又 BC?平面 CBF,∴ BC∥ 平面 DAE. (2)取 AE 的中点 H,连接 DH. ∵EF⊥DE,EF⊥EA,∴EF⊥平面 DAE. 又 DH?平面 DAE,∴EF⊥DH. ∵AE=DE=AD=2,∴DH⊥AE,DH= 3. ∴DH⊥平面 AEFB. 1 4 3 则四棱锥 D-AEFB 的体积 V=3× 3×2×2= 3 . 名师押题高考 【押题 1】已知直线 a、b 与平面 α、β,且 b⊥α,则下列命题中正确的是 ①若 a∥α,则 a⊥b;②若 a⊥b,则 a∥α; ③若 b∥β,则 α⊥β;④若 α⊥β,则 b∥β. A.① ③ B.② ④ C.① ④ D.② ③ 解析 命题①,若 a∥ α,过直线 a 作一平面 γ,使得 α∩γ=c,则由线面平行的性质定理可得 a∥ c,又因为 b⊥ α,c?α,所以 b⊥ c,故有 a⊥ b,所以该命题为真;命题② ,若 a⊥ b,b⊥ α, 则直线 α 与平面 α 的位置关系有两种:a?α或 a∥ α,故该命题为假;

命题③, b∥ 则过直线 b 作一平面δ, 若 β, 使得δ∩β=d, 则由线面平行的性质定理可得 b∥ d, 又 b⊥α,所以 d⊥α,因为 d?β,所以由面面垂直的判定定理可得 α⊥ β,故该命题为真; 命题④ 若 α⊥ b⊥ 则直线 b 与平面 β 的位置关系有两种: β或 b∥ 故该命题为假. , β, α, b? β, 综 上,① 为真命题,故选 A. ③ 答案 A [押题依据] 线面的平行与垂直,是立体几何的主体内容,在高考试题中通常会有一道解答 题和一道选择题或填空题,主要考查线面位置关系的判定与性质,一般难度不大. π 【押题 2】如图,在三棱锥 A-BOC 中,AO⊥平面 COB,∠OAB=∠OAC=6,AB=AC=2, BC= 2,D、E 分别为 AB、OB 的中点. (1)求证:CO⊥平面 AOB. (2)在线段 CB 上是否存在一点 F, 使得平面 DEF∥平面 AOC?若存在, 试确定 F 的位置; 若不存在,请说明理由.

解析 (1)证明

因为 AO⊥平面 COB,所以 AO⊥CO,AO⊥BO,

即△AOC 与△AOB 为直角三角形. π 又因为∠OAB=∠OAC=6,AB=AC=2, 所以 OB=OC=1. 由 OB2+OC2=1+1=2=BC2, 可知△BOC 为直角三角形. 所以 CO⊥BO,又因为 AO∩BO=O, 所以 CO⊥平面 AOB. (2)在线段 CB 上存在一点 F,使得平面 DEF∥ 平面 AOC, 此时 F 为线段 CB 的中点. 如图,连接 DF,EF,因为 D、E 分别为 AB、OB 的中点,所以 DE∥ OA. 又 DE?平面 AOC,所以 DE∥ 平面 AOC. 因为 E、F 分别为 OB、BC 的中点,所以 EF∥ OC. 又 EF?平面 AOC,所以 EF∥ 平面 AOC, 又 EF∩DE=E,EF?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以平面 DEF∥ 平面 AOC.

[押题依据] 线面的平行与垂直是立体几何的必考内容,通常要考一个解答题,本题不仅突 出考查了线面的平行与垂直,而且以立体几何为背景.考查了探索性问题,题目新颖灵活、 重点突出、难度适中,故押此题.


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