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222.3指、对数函数与反函数


新课引入

设a>0,且a≠1为常数, = s 若以 a≠1为常数, 为常数 a . 为自变量可得指数函数y 若以s t为自变量可得指数函数y=ax,若以s 为自变量可得对数函数y 为自变量可得对数函数y=logax. 这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释? 解释?
t
在我们前面的课程中曾提到反函数的概念, 在我们前面的课程中

曾提到反函数的概念,让我们 在今天的内容里继续探究。 在今天的内容里继续探究。

前课复习 1。函数的概念(近代定义): 。函数的概念(近代定义):
如果A、 都是非空的数集 那么A到 的映射 都是非空的数集, 如果 、B都是非空的数集,那么 到B的映射 f : A → B 就叫做A到 的函数 的函数, 就叫做 到B的函数,记作 其中 y=f(x) ( )

x ∈ A, y ∈ B
C?B

,原象的集合A叫做函数 (x)的定义 域, 原象的集合 叫做函数y=f( ) 叫做函数 )叫做函数y=f(x)的值域。 叫做函数 ( )的值域。

象的集合C( 象的集合 (

2、设 f : A → B 、 是集合A到集合 的映射, 到集合B的映射 是集合 到集合 的映射,如果在 这个映射下,对于集合A中的不同元素 在集合B中有 中的不同元素, 这个映射下,对于集合 中的不同元素,在集合 中有 的象,而且B中每一个元素都有原象 中每一个元素都有原象, 不 同 的象,而且 中每一个元素都有原象,那么这个映 射叫做A到 上的一一映射 上的一一映射。 射叫做 到B上的一一映射。

完成下列填空:
R 值域是 R 。 的定义域是______,值域是 值域是_______。如果由 (1)函数 )函数y=2x的定义域是 的定义域是 1 y 这样对于y在 上任一个值 y=2x解出 解出x=_______, 这样对于 在R上任一个值,通过式子 解出 上任一个值, 2 1 上有________的值和它对应 的值和它对应, 的函数。 在 上有 是 y 的函数 x = y,x在R上有唯一确定 的值和它对应,故x是____的函数。 2 原函数: y=2x 原函数 1 2 : x R 2 4 : y R

1 新函数: 新函数: x = y 2
2 4 : y R 除以2 除以 1 2 : x R

乘以2 乘以

这个新函数的自变量是______,对应的函数值是_______。 ,对应的函数值是 x 这个新函数的自变量是 y 。

的值和它对应, 的函数。 的值和它对应,故x是____的函数。 是 y 的函数 原函数: 原函数: 表达式: 表达式:

的定义域是________,值域是________。 y = x + 1 的定义域是 [-1,+∞) ,值域是 [0,+∞) 。 y ?1 则对于 解出x=_________,则对于 在 [0,+∞)上 则对于y在 , ∞ 上 如果由 y = x + 1 解出 y ?1 的任一个值,通过式子x=_________,x在[-1,+∞)上有 唯一确定 上有__________ 的任一个值,通过式子 在 ∞ 上有 (2)函数 )
2
2

新函数: 新函数:

y = x +1
[0,+∞) ∞

x = y ?1
2

定义域: ∞ 定义域: [-1,+∞) 值域: 值域:

[0,+∞) ∞ [-1,+∞) ∞

1 y (y∈R) 在(1)中,我们称新函数 x = 中 ∈ 2 反函数. 为原函数y=2x(x∈R) 的 反函数 为原函数 ∈
同样,在(2)中,也把新函数 x 同样, 中 ) = y ? 1 (y≥0)
2

反函数. 称为原函数 y = x +1 (x≥-1) 的反函数

反函数的概念
我们根据这个函 函数 y = f (x ) ( x ∈ A )中,设它的值域为 C 。我们根据这个函

….. 中的任何一个值, 于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x = ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一 …………………………………. 的值和它对应,那么, 是自变量, 的值和它对应,那么, x = ? ( y ) 就表示 y 是自变量, x 是自变量 …………………………………. y 的函数。这样的函数 x = ? ( y ) ( y ∈ C )叫做函数 y = f (x) 的函数。 ……
( x ∈ A ) 记作 ,记作 ,

的关系, 表示出, 如果对 数中的 x , y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x = ? ( y ) 。如果对

x = f ( y) 对换x,y 改写成 y=f-1(x) 对换 按照习惯, 按照习惯,

?1

如:
1 函数f(x)=2x(x∈R)的反函数是 f (x) = x(x∈R). 的反函数是_______________ 函数 ∈ 的反函数是 2
? 1

函数 f ( x) = x + 1 ( x ≥ ?1) 的反函数是 f-1(x)=x2-1 (x≥0)

反函数与原函数的关系: 反函数与原函数的关系:
原函数
表达式: 表达式 定义域: 定义域 值域: 值域: y=f(x) A C

反函数
y=f –1(x) C A

例1.求下列函数的反函数: 求下列函数的反函数: 求下列函数的反函数
(1)y = 3x ? 1(x ∈ R);(2)y = x3 + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且 ≠ 1) x x ?1

y +1 解:(1)由 y=3x-1 ,解得 x = 由 y=3x3 的值域是R, 而函数 y = 3x ? 1( x ∈ R) 的值域是 , 所以, 所以,函数 y = 3x ? 1( x ∈ R) 的反函数是

x +1 y= 3

( x ∈ R)

求下列函数的反函数: 例1.求下列函数的反函数: 求下列函数的反函数
(1)y = 3x ? 1(x ∈ R);(2)y = x + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且, ≠ 1) 且 x ?1 y = x 3 + 1 ,解得 x = 3 y ? 1 解: (2)由
3

而函数 y = x 3 + 1( x ∈ R ) 的值域是 R, , 所以, 所以,函数 数是
y = x + 1( x ∈ R ) 的反函
3

y = x ?1
3

( x ∈ R)

求下列函数的反函数: 例1.求下列函数的反函数: 求下列函数的反函数
(1)y = 3x ? 1(x ∈ R);(2)y = x + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且, ≠ 1) 且 x ?1
3

解:(3)由 y = x + 1 ,解得 :(3)由

x = ( y ? 1)

2

而函数 y = x + 1( x ≥ 0) 的值域是

{ y y ≥ 1}

所以, 所以,函数 y = x + 1( x ≥ 0) 的反函 数是

y = ( x ? 1) 2 ( x ≥ 1)

例1.求下列函数的反函数: 求下列函数的反函数: 求下列函数的反函数 (1)y = 3x ? 1(x ∈ R);(2)y = x3 + 1(x ∈ R); 2x + 3 (3)y = x + 1(x ≥ 0);(4)y = (x ∈ R,且, ≠ 1) 且 x ?1 2x + 3 ,解得 x = y + 3 (4)由 解:(4)由 y = (4) x ?1 y?2 2x + 3 而函数 y = 的值域是 { y ∈ R y ≠ 2} x ?1 2x + 3 所以, 所以,函数 y = ( x ∈ R, 且 x ≠ 1) x ?1 x+3 的反函数是 y = ( x ∈ R , 且 x ≠ 2) x?2

求反函数的步骤: 求反函数的步骤:

y = f ( x) → x = f ( y ) → y = f ( x)
(1)反解 反解: 反解 看作是x的方程 把y=f(x)看作是 的方程,解出 看作是 的方程,解出x=f –1(y); (2)互换: 互换: 互换 互换得y=f –1(x),并注明其定义域 将x,y互换得 互换得 并注明其定义域 (即原函数的值域 )。 。 注:必须由原函数的值域来确定反函数的定义域

?1

?1

例2.求函数 y = 1 ? 1 ? x 2 (?1 ≤ x < 0) 的反函数 求函数

例3. (1)求函数 求函数y=x2-1 (x≤0)的反函数; 的反函数; 求函数 的反函数 (2)求函数 求函数y=x2-2x-1 (x≤1)的反函数 的反函数. 求函数 的反函数

是否任何一个函数都有反函数? 是否任何一个函数都有反函数?
∞ 的定义域是_____,值域是_________。 (3)函数 )函数y=x2的定义域是 R ,值域是 [0,+∞) 。如果由 y=x2解出 解出x=_________,对于 在[0,+∞)上任一个值,通过式子 对于y在 上任一个值, ∞ 上任一个值 ± y 对于

x = ± y,

x在R上有 两个 在 上有 上有_____值和它对应,故x____y的函数。 值和它对应, 不是 的函数 的函数。 值和它对应

这表明函数y=x2没有反函数! 没有反函数! 这表明函数

并非所有的函数都有反函数! 并非所有的函数都有反函数!

课堂小结

1.反函数的概念及记号;y=f(x)的反函数记 反函数的概念及记号; 反函数的概念及记号 的反函数记 y=f –1(x) 为 2.求反函数的步骤: 求反函数的步骤: 求反函数的步骤 (1)反解 把y=f(x)看作是 的方程,解出 反解:把 看作是x的方程 反解 看作是 的方程, x=f –1(y); (2)互换:将x,y互换得 互换: 互换得y=f –1(x),并注明其 互换 互换得 并注明其 定义域( 定义域(即原函数的值域 )。 。

3.若y=f(x)的反函数是 若 的反函数是y=f –1(x),则函数 则函数y=f –1(x) 的反函数是 则函数 的反函数就是y=f(x),它们是互为反函数。 的反函数就是 ,它们是互为反函数。 4.并非所有的函数都有反函数 如填空 。 并非所有的函数都有反函数[如填空 并非所有的函数都有反函数 如填空(3)]。 5.反函数原函数的关系: 反函数原函数的关系: 反函数原函数的关系


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