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高中课程标准实验教科书必修《数学5》(苏教版)教学问答


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5 运 用 技 术 , 出 思 想  突

中学 数学 月刊 

20 年 第 7 07 期 

应 注意创设 学生 熟悉 的 、 新颖 的问题情境 , 引 

在本 章教 学 中, 注重 信 息技

术 与 有 关  应

导学 生 自觉运 用 现代 化 技术 手 段 , 通过 自主  探究 与合作 交流 , 领会一 些统 计 的基 本方法 .   更 为 重要 的是要 通 过 我们 教 师 的努 力 , 统  让 计 思 想 在学 生 的心 中 自然 地 流 淌 , 以真 正 提  高学生 的统计 素养 .  
参 考 文 献 

内容 的有机 整 合 , 励 学生 使 用计 算 器 和计  鼓 算 机 等 现代 技术 手 段来 探 索 和解 决 问题 . 例 

如 , 助计 算 器 、 借 计算 机 处理 统 计数 据 , 行  进
模 拟 活 动. 条 件 的学生 还 可 以运 用 一些 常  有

见 的统计 软 件解 决 实 际问题 . 息技 术 的运  信 用 , 学生 从烦 琐 复 杂 的技 巧性 运算 中解 脱  把

出来 , 为学生 借助 信息技术 去探 索数学 规律 ,  
从事 一些 富有探索 性 和创造性 的数学 活动 提 

[ ] 单 垮 主 编 . 通 高 中课 程 标 准 实 验 教 科 书数 学  1 普 ( 修 2 )M] 南 京 . 苏教 育 出版 社 . 选 —3 [ . 江   [ ] 数 学 课 程 标 准 研 制 组 . 通 高 中 《 学 课 程 标  2  普 数 准 ( 验 ) 解 读 [ ] 南 京 : 苏教 育 出版 社 , 实 》 M . 江  
2 4  00 .

供 时 问和 空 问. 同时信 息技 术 的恰 当应 用 有 
助 于拓 展学 生 的数 学 思维 , 化学 生 对 统计  深
思想 的理解 与 领悟 , 有 助于 丰 富学 生 的学  也 习方式 , 激发 学生学 习数学 的积极 性.   总之 , 统 计案 例” 在“ 一章 的教学 中 , 我们 

[ ] Da i S Mo r. 计 学 的 世 界 [ ] 北 京 : 3 i d . oe 统 v  M . 中 
信 出版 社 ,0 3 2 0.  

高中课程标 准实验教 科 书必修《 数学 5  》
( 苏教 版) 学 问答  教
陈 光 立  ( 苏省 南 京 外 国语 学 校 江 2 00 ) 1 0 8 

问  如何 引导学 生探索 正弦定 理 和余 弦 
定 理?  

方 法. 章在 得到正 弦定理 的猜 想后 , 出了  本 提

关 于 正 弦定理 证 明的 四条 途径 , 在 引 导学  意 生 尝 试 探 究 , 历 证 明 的 过程 , 悟 数 形 结  经 领 合、 分类 讨 论 、 转化 化 归等 数 学 思想 , 有利 于 
发展 学生 的思维 能力. 教学 中 , 拟结 合学 生具 

答  以 往 的解 三 角形 内容 , 比较 关 注 三 

角 形边 角 关 系 的恒等 变换 , 往 把侧 重 点 放  往 在 运 算 上. 普通 高 中数 学课 程 标 准 ( 《 实验 )  》 ( 以下简称 《 标准 》 将解 三角形作 为几 何度量  ) 问题来 处理 , 出几 何 的作 用 , 学生理 解数  突 为 学 中的量化思 想 、 一步学 习数学 奠定 基础 . 进  
解三角形 处理 的是 三角形 中长度 、 角度 、 面积  的度 量 问题 , 长度 、 面积 是理 解 积 分 的基 础 ,   角度 是 刻 画 方 向 的 , 度 、 向是 向 量 的 特  长 方 征 , 了长 度 、 向 , 有 方 向量 工具 自然 就有 了用 

体情 况点拨 启发 , 灵活 安排.   关 于 向量 方 法探 索 正 弦定 理 的 教 学 , 可  从 三 角 形 中最 基 本 的 向量 关 系式 B — B e   +A  入 手 , 出“ 提 如何将 这个 向量 关 系式转  化 为 数量 关 系 式 ”的 问题 让 学 生 讨 论. 生  学 容 易 由“ 数量 积 是 实施 向量 等 式 向数 量 等式  转 化 的有 力 工具 ”想 到用 “ 乘 ”的方 法 , 点 至  于“ 点乘 ” 哪个 向量 , 以充分 让学 生尝 试 探  可 究 . 如 , 等式 两边 同时 “ 例 在 点乘 ”  , 得 a B 可   — CO  OSB+ bo  这就 是射影 定理 ( 习题  cs C, 见 1 2 7 )若 等式 两边 同时平 方 , .第 题 ; 即两边各  自“ 自 己点 乘 ” 与 ,可 得 a 。一 b 。+ c 。一 

武之地 . 这一角 度看 , 三角形 的 内容为 学  从 解
生运用 向量 工具解 决三角 形 的度 量 问题 留有 

余 地 , 而对 运 用 向量 解决 几 何度 量 问题 奠  进
定 了基 础.  

基 于 上述认 识 , 科 书在 安 排 正 弦定 理  教

和余 弦定 理 的公式 推 导 时 , 用 到 了 向量 的  都

2co  这就 是余 弦 定理 ; bc sA, 如果要 想 得 到两 

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20 0 7年第 7 期 

中学数 学月 刊 

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条 边 与 它们 所对 角 之 间的关 系 , 要 让第 三  就

型 , 等 差数 列 、 比数 列 与一 次 函数 、 数  将 等 指 函 数 联 系起 来 , 助 于提 升学 生对 函数 思 想  有 的理解 水平. 教学 中, 学生 在具体 的问题 情  让 境 中, 发现数 列 的等差关 系或 等 比关系 , 既突  出 了问题 意识 , 也有 助 于对数 学本 质 的认 识.  
本 章在 引入数 列 的概念之 后 , 排 了“ 安 根 

条边“ 消失 ” 那 就 只 能在 向量关 系式 的两 边  ,
同时“ 乘 ” B 垂直 的 向量A , 点 与   于是 可 以 

得 到蔚 ?  

+ 

?  

一 0 进而再 分 类讨  ,

论 推得 正弦定 理. 样 , 向量方法证 明正弦  这 用 定 理 的“ 瓶颈 ”就不难解 决 了.   问  怎样 处理 已知两 边及其 中一边 的对  角 解三 角形 的问题 ?  

据 数 列 的通项 公 式 写 出它 的前 5项 , 作 出 并   它 的 图象 ” “ 出数 列 的一个 通项 公 式 , 和 写 使  它 的前 4项分 别 是 …… ” 类 例 题 , 是 要  两 就 学 生领悟 数列 中“ a” “ 项   与 项数 ” 之间对 应 



利用 正弦定 理可 以解 决两类 解斜 三 

角 形 的问题 : 1 已知两 角和任 一边 , () 求其 他 
两 边 和一 角 ;( )已知 两 边 与其 中一边 的对  2 角, 求另一 边 的对角 ( 从而 进一 步求 出其他 的 
边 和角 ) .  

关 系的 函数思 想 , 助它 与 图象 的联 系 , 借 理解 
数列 的通项 公 式 a 一 /( )就是 关 于 自变 量    ’  

的函数 解 析 式. 等差 数 列 和 等 比数 列 中  在 也 分别 安 排 了相应 的例题 和 思考 , 出等 差  指 数 列 的通 项公 式是 关 于  的一 次式 , 比数  等 列 的通 项 公 式是 一 个 常数 与 指数 式 的乘 积 ,   并 画出 了相 应 的 图象. 这样 , 函数 的观 点 、 从  
模 型 的观 点 、 连续 与 离散 之 间关 系 的角 度来 

由 于 z ∈ ( , ) ,i z一  ( < m <  O7 时 s   c n 0

1 有 两解 , ) 以及三 角形 中“ 大边 对 大角 ”的关  系 , 以第 二类 问题会 出现 无解 、 所 一解 或两解  的情 况. 学 中 , 教 可让 学生从 “ 已知 a b A, ,, 画  三 角形 ”人 手 , 过 画 图 的过 程 来 寻找 n b  通 ,,

bi  三 者 的大 小与所 画 出三角 形 的个 数 之  s A n 间 的关系 , 再结合 课本 的例 题讲解 , 学生感  让 悟 分类 讨论 的必要 性 和方 法 , 学会 严 谨规  并 范 的表述 . 教学 中要避 免抽 象 的讨 论 , 不要  更 将所 谓 的“ 律”让学 生 死背 套用 . 规 教科 书要  求 运用 正 弦定 理 、 弦定 理等 知识 和方 法解  余
决 一些 与测 量 和 几何 计 算 有关 的实 际 问题 ,  

认识 数列 , 出 了数列 的本 质. 突   问  为什 么教科 书不 提等差 中项 和等 比 
中项 的概念 ?  



针 对 以往数 学教 学 中的“ 双基 异化 ”  

倾 向 , 标 准 》要 求 在数 列 的教 学 中 , 保 证  《 应 基本 技能 的训练 , 引导 学生 通过 必要 的练 习 ,   掌 握 数 列 中各 量之 间 的基 本关 系 , 训 练要  但 控制 难度 和复 杂程 度. 这体 现 了《 准 》 内  标 在 容处 理上 的一个 原则 : 删减烦 琐 的计算 、 人为  技巧 化 的难 题 和 过分 强 调 细枝 末 节 的 内容.  

而 不必 在恒 等 变 形上 进 行 过于 烦 琐 的训 练 .   因 此, 在教 学 中应 为学 生 体验 数学 解 决 问题  中 的作 用 , 受数 学 与 日常生 活及 其 他 学科  感 的联 系 , 展数学 应用 意识 , 发 提高 实践 能力创  造 条 件. 例如 设 计一 些 开放 性 、 究性 题 材 , 探  
让 学生 自行 探 索解 决 , 由学 生 自己寻 找应  或

因 此 , 列 教 学 中要 改变传 统 的在纸 上演 化  数
题 型 , 样 翻新地 搞 偏题 、 题 的做 法 , 花 怪 注重  应用 , 注学 生对 数列 的本质 的 理解 , 关 以及运  用 数列 模型解 决 实际 问题 的能力.   基 于上述 认识 和数 学教 学应“ 强调本 质 ,  

用性 、 究性 问题 ( 研 包括 实地 测量 等) 并 建立  ,
斜三 角形模 型加 以解决 .  

问  怎样突 出数列 与 函数 的内在联 系 ?   答  《 准 》把数 列 视 为 反 映 自然 规 律  标 的 基本 数学 模 型 , 要求 在 教学 中通 过 日常生  活 中 的实例 , 了解 数列 的概念 和几 种 表 示方  法, 特别指 出要体 现数 列是 一种 特殊 函数 , 通  过列表、 图象 、 通项 公式 表 示数 列 , 数 列 融  把
于 函数之 中.  

注意 适 度形 式 化 ”的理 念 , 以教 科 书 不 提  所
等 差 中项 和等 比中项 的概 念 , 只是 在 习题 中   作 了介 绍. 实际上 , 相对 于数 列 的通项公 式和  前  项 和公 式 而言 , 等差 中项 和 等 比 中项 并 
不 是数 列 知识链 上 的重 要 一环 , 学生 只 要 了  

解 就可 以 了, 没必 要 刻意 强调 两个 数 的等差  中项 ( 比中项 )的概念 及相 关训 练 . 科 书  等 教 在 “. . 2 2 2等差 数列 的通 项公 式 ”中 , 排 了 安  

数 列 为 学 生 提供 了 离 散 函 数 的数 学 模 

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中学数学 月 刊 

20 年 第 7 07 期 

4个例题 ( 2~ 例 5 从 不 同侧 面揭 示等差  例 )
数 列 的本 质 属性 . 特别 是 例 5说 明 : {  是  “a )
,, .

材 , 过分析 其 中的基本 数量 关系 ( 通 特别是 不  等 关 系 ) 建 立不 等 式模 型 , 深对 用 不等 式  , 加 刻 画现 实世 界 中不 等关 系 的认 识. 于简 单  关 的 线 性 规划 问题 的教 学 , 从实 际情 境 中抽  应 象 出二 元一 次不 等式 组模 型 , 而不是 像 以往  那 样 从 纯数 学 的角度 提 出 问题 , 要强 调 不 等  式 组 的几 何 意义 , 学 生能 用平 面 区域 表示  使 二 元 一次 不等 式 组 , 而 进 一步 体会 到数 形  从



,  ,

等差数 列 ㈢口  一 

厶 

—  

(  ≥ 2 ” 它反  ).

映 了等 差数列 中每 一项与 它前后 两项 的密切 
关 系. 就是 说 , 也 等差 数 列 中从第 二 项起 ( 有 

穷数列 的最后 一项 除外 ) 每一项都 是它 前后  ,
两 项 的“ 差 中项 ” 在 本 模 块 第 3章 “ 等  等 . 不 式 ”中 , 还将 出现 两个 正 数 的 “ 术平 均 数 ” 算   和“ 几何 平 均 数 ”的概念 , 然 , 们 与 等 差  显 它
中项 、 比中项 的概念 是一样 的. 等  

结 合 的思想 的实质 及其 重 要性 . 由于 一般 的 
最 优 整数 解 的问题 比较 复 杂 , 在教 学 中不 作 
要求 .  

值得 指 出 的是 , 等差 数 列 和等 比数列  在 的教 学 中 , 不要刻 意追求 解题技 巧 , 不要补 充  所谓 的“ 性质 ” 学生 死记 硬套 . 引导 学 生  让 应 从 定义 出发 , 自主探 究 通项公 式 和前 n项 和  公 式 , 历从特 殊 到一般 、 具体 到抽 象的类  经 从 比和 归纳 过程 , 注合 情 推理 , 略“ 序 相  关 领 倒 加”和“ 错位 相 减 ”方 法 的魅 力 , 悟化 “ ” 感 多  
为“ ”的转 化思 想. 少  

问  教 学 中如何渗 透数 学文化 ?   答 数 是 人类 文 化 的重要 组 成 部分 . 数  学 文化 具有 十分 丰 富 的内涵 , 表 现为 在数  它 学 的起 源 、 展 、 善和应 用 的过程 中体现 出  发 完
的 对 于 人类发 展 具有 重 大影 响 的方 面. 通过 

在 高 中阶段数 学 文化 的学 习, 生将 初步 了  学 解 数 学 科 学 与 人 类 社 会 发 展 之 间 的相 互 作  用, 体会 数 学 的科 学 价值 、 用 价值 、 应 人文 价  值 , 阔视野 , 开 寻求 数学 进 步 的历 史轨 迹 , 激  发 对 于数 学创 新原 动力 的认识 , 会数 学 的  领 美 学价 值 , 而提 高 自身 的文化 素 养 和创 新  从 意识 . 根据 《 准 》中“ 标 渗透 数 学文 化 , 体现人  文 精 神 ”的要 求 , 科 书 通 过 “ 接 ” “ 教 链 、 阅  读”“ 究”“ 、探 、 问题 与建 模 ”等 栏 目, 以及 章  首语 、 头 图、 章 探究 习题 等形 式体 现 和展 示数  学 文 化. 秦九 韶 的三斜 求 积” “ 波那 契  如“ 、斐 数 列” “ 鹉 螺壳 花 纹 ” “ 花 曲 线” “ 育  、鹦 、雪 、教 储 蓄 的受 益 与 比较 ” “ 性 规划 问题 的数 学  、线

问 不等式 教学 中如何 培养学 生 的数 学   
建模 能力 ?  



以往 的 不等 式 内容 , 比较关 注 不 等 

式 的解 法. 标 准 》 调不 等式 是刻 画 现实 世  《 强
界 中事 物在 量上 的区别 的一 种工 具 , 描述  是

刻 画优化 问题 的一种 数学 模 型 , 而不 是从 数 

学 到数学 的纯理论 探 讨. 新课 程淡 化 了 解不 
等 式 的技 巧性 要求 , 出 了不 等式 的实 际背  突 景及其应 用. 如 , 例 线性 规划 问题不 再安 排在  解 析 几何 中作为 直线 方程 的应 用来 处 理 , 而  是 作 为不 等式 的应 用来 处理 , 出了不 等 式  突 的 几 何意 义及 在解 决优 化 问题 中 的作 用 , 为  学 生理 解 不等式 的本质 , 会优 化思 想 奠定  体 了基 础. 与传 统教材 比较 , 本章一 开始增 加 了  节 “ 等关 系 ” 教科 书 提供 了丰富 的 实 际  不 .


模 型 ” 等 等. 学 中 , 结 合 相 关 的教 学 内 , 教 应  
容, 引导学 生在学 习数学 知识 的 同时 , 赏析 数  学家 的故事 以及数 学发展 过程 中的趣 闻轶事 

和史料 , 接受数 学 文化 的熏 陶, 成 良好 的数  形
学情 感体 验 , 面提 高数学 素养. 全  
参 考 文 献 

背 景 , 学 生感受 在 现实 世界 中存 在 着大 量  让

的不 等关 系 , 了解 不等 式 ( )的实 际 背 景. 组  
通 过对 实际背 景 ( 现实 原 型)的分 析 、 概括 与  抽 象, 建立 数学 模 型 , 意在 突 出把学 生 “ 经历  从实 际情 境 中抽象 出不 等式模 型 的过 程 ” 放  在 首 位 , 养 学生 的数 学建 模 能力 . 培 教学 中,   还 可 以让 学生 根据 自己 的生活 经验 , 熟 悉  从 的例 子 出发 , 掘 、 现富 有 时 代 气 息 的 素  挖 发

E l 中华 人 民 共 和 国 教育 部 . 通 高 中数 学 课 程 标  l  普 准 ( 验 )S . 京 : 民教 育 出 版 社 ,0 3 实 []北 人 20.   [ ] 数 学 课 程 标 准 研 制 组 . 通 高 中 《 学 课 程 标  2 普 数 准 ( 验)解读 [ . 京 : 苏教育 出版社 , 实 》 M] 南 江  
2 4. 00  


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