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江苏省淮安市涟水一中2015-2016学年高一上学期10月月考试数学题


涟水一中 2015-2016 学年度第一学期 10 月份模块检测

高一数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡 ... 相应位置上 . ..... 1.若用列举法表示集合 A ? {x | x ? 5, x ? N *},则集合 A ? 2.下列各式中,正确的序号是 ①0={0}; ②0∈{0

}; ②④⑤ ③{1}∈{1,2,3}; ⑤{a,b} ? {a,b}.
{1,2,3,4}

④{1,2} ? {1,2,3};

3.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {1,3,5} , B ? {3, 4,5} , 则集合 CU ( A ? B) ?
{2}

4.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?2 ? x ? 3} , B ? {x | x ? ?1} , 那么集合 A ? B = 5.下列函数中 (1) y ?
2

. {x | ?2 ? x ? ?1} 或 [?2,?1) (2)
3

与函数 y ? x 是同一个函数 (3) y ? x 2 (4) y ? x3 ;
x2 . x

? x? ; (2) y ?

6.函数 f ( x) ? x ? 1 ?

1 的定义域为 x?2

{x | x ? 1}
15 16

?1 ? x 2, x ? 1, 1 ? ] 的值为 7.设函数 f ( x) ? ? 2 则 f[ f (2) ? ? x ? x ? 2,x ? 1,

? x 2 ? 1 ( x ? 0) 8.若函数 y ? ? ,则使得函数值为 10 的 x 的集合为 ? ? 2 x ( x ? 0)
9.已知 f ( x) ? x 3 ? x ? a 是奇函数,则实数 a =____________0 10.函数函数 y ?| x ? 2 | 的单调增区间是 11.如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC, 其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4), 则 f [ f (0)] ? _________2
[2,??)

{?3}

12.下列两个对应中是集合 A 到集合 B 的映射的有 (2)设 A ? {0,1,2} , B ? {?1,0,1,2} ,对应法则 f : x ? y ? 2 x ? 1

(1) (3)

(1)设 A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 f : x ? 2x ? 1 ; (3)设 A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x 除以 2 所得的余数; (4) A ? B ? R ,对应法则 f : x ? y ? ? x 13.已知奇函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数,且 f (a ? 1) ? f (2a) ? 0 , 则 a 的取值范围是
a?? 1 3

?(a ? 3) x ? 5, x ? 1 ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? 2a 是(-∞,+∞)上的单调减函数, ,x ?1 ? ?x
那么实数 a 的取值范围是 (0,2]

二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内 作答, 解答时应 ........ 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (1)设 A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},已知 A∩B={9}, 求 a 的值,并求出 A∪B. (2)已知集合 A ? ?x | ?3 ? x ? 5?, B ? ?x | m ? 2 ? x ? m ? 1?, 满足 B ? A, 求实数 m 的取值范围. 解 (1)∵A∩B={9},∴9∈A, 所以 a2=9 或 2a-1=9,解得 a=± 3 或 a=5. 当 a=3 时,A={9,5,-4},B={-2,-2,9}, B 中元素违背了互异性,舍去. 当 a=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},A∩B={9}满足题意, 故 A∪B={-7,-4,-8,4,9}. 当 a=5 时,A={25,9,-4},B={0,-4,9},此时 A∩B={-4,9}, 与 A∩B={9}矛盾,故舍去. 综上所述,a=-3,A∪B={-7,-4,-8,4,9}.
(2)由题意知 B ? ? ,要满足 B ? A, 必须 ?

?? 3 ? m ? 2 ,即 ? 1 ? m ? 4 ?m ? 1 ? 5

16. 已知函数 f ( x) ?

x ?1 ,x∈[3,5]. x?2

(1) 判断函数 f ( x) 的单调性,并证明; (2) 求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 解:(1) 任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2. f(x1)-f(x2)=

x1 -1 x 2 -1 3(x1 -x 2 ) = , x1 ? 2 x 2 ? 2 (x1 ? 2)(x 2 ? 2)

因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0. 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[3,5]上为增函数.

4 2 (2) 由(1)知 f(x)max=f(5)= ,f(x)min=f(3)= . 7 5
17.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 2 (1)求 f ( x) 在区间[0,3]上的最大值和最小值; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? m x在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围.

解 (1)∵ f ( x) ? ? x 2 ? 2x ? 2 ? ?( x ? 1) 2 ? 3 , x∈[0,3],对称轴 x ? 1 ,开口向下, ∴f(x)的最大值是 f(1)=3,又 f(0)=2,f(3)= ? 1 , 所以 f(x)在区间[0,3]上的最大值是 3,最小值是 ? 1 . (2)∵ g ( x) ? f ( x) ? mx ? ? x 2 ? (2 ? m) x ? 2 ,函数对称轴是 x ? 又 g ( x) ? f ( x) ? m x在[2,4]上是单调函数 ∴x ?
2?m 2?m ≤2 或 x ? ≥4,即 m ? ?2 或 m ? ?6 . 2 2 2?m ,开口向下, 2

故 m 的取值范围是 m ? ?2 或 m ? ?6 .

18.已知定义域为 R 的奇 函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 3 . (1)当 x ? 0 时,求函数 f ( x) 的解 析式; (2)求函数 f ( x)在R上的 解析式; (3)解方程 f ( x) ? 2 x .

解: (1)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , 所以 f (? x) ? (? x)2 ? 3 ? x2 ? 3,

? f ( x)是奇函数? f (? x) ? ? f ( x) ?? f ( x) ? x 2 ? 3? f ( x) ? ? x 2 ? 3( x ? 0);

………… 5 分

(2)因为函数 f ( x) 是定义域为 R 的奇 函数,所以 f (0) ? 0 ,
? x 2 ? 3, x ? 0, ? 则 f ( x) ? ?0, x ? 0, ………10 分 ?3 ? x 2 , x ? 0. ?

(3) 当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? 2 x 即 2 x ? 0 ,解之得 x ? 0 ; 当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? 2 x 即 x2 ? 3 ? 2 x ,解之得 x ? 3 ( x ? ?1舍去 ); 当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? 2 x 即 3 ? x2 ? 2 x ,解之得 x ? ?3 ( x ? 1舍去 ). 综上所述,方程 f ( x) ? 2 x 的解为 x ? 0 ,或 x ? 3 ,或 x ? ?3 . ………16 分

19.设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 | x | ?3 ,( x ? [?4,4] ). (1) 求证: f ( x) 是偶函数; (2) 画出函数 f ( x) 的图象,并指出函数 f ( x) 的单调区间,并说明在各个单调区间上
f ( x) 是单调递增还是单调递减;

(3) 求函数 f ( x) 的值域.

解: (1) 因为 x ? [?4,4] ,所以f(x)的定义域关于原点对称. 对定义域内的每一个x,都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数. (2) 当0≤x≤4时,f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4; 当-4≤x<0时,f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 函数f(x)的图象如图所示. 由图知函数f(x)的单调区间为 [-4,-1),[-1,0),[0,1),[1,4]. f(x)在区间[-4,-1)和[0,1)上单调递减, 在[-1,0)和[1,4]上单调递增. (3) 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-4的最小值为-4,最大值为f(4)=5;

当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-4的最小值为-4,最大值为f(-4)=5. 故函数f(x)的值域为[-4,5].

20. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,
已知总收益满足函数:

1 2 ? ?400 x ? x , 0 ? x ? 400 R( x) ? ? (其中 x 是仪器的月产量) . 2 ? ?80000, x ? 400
(1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元? ( 总收益= 总成本+利 润) 1 ? ?-2x2+300x-20 000,0≤x≤400, 解: (1)f(x)=? ? ?60 000-100x,x>400. 1 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300)2+25 000. 2 ∴当 x=300 时,有最大值为 25 000; 当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数, f(x)<60 000-100× 400=20 000<25 000. ∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000, 即每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元.


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