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北师大版高中数学(必修5)3.3《基本不等式》word教案



基本不等式 (1)教学目标 (a)知识与技能:理解两个实数 的平方和不小于它们之积的 2 倍的不等式的证明;理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数的证明以及它的几何解释 (b)过程与方法 : 本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。 要善于引导学生从数和形两方 面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的 理解,并为以后实际问题的研究奠定基础。基本不等式的证明要注重严密性,老师要帮助学 生分析每一步的理论依据,培养学生良好的数学品质 (c)情感与价值:培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生 数形结合的想象 (2)教学重点、难点 教学重点:基本不等式的证明和几何解释 教学难点:理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 (3)学法与教学用具 先让学生观察常见的图形, 通过面积的直观比较抽象出基本不等式。 从生活中实际问题还原 出数学本质,可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间,让他 们自主探究,通过类比 得到答案 投影仪(多媒体教室) (4)教学设想 1、设置情境 (投影出图 3.4-1)同学们,这是北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,大家想一想,你 能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? 提问 1:我们把“风车”造型抽象成图 3.4-2.在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设 直角三角形的长为 x、y,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢? 生答: x ?y 2 2 , x ?y 2 2 提问 2:那 4 个直角三角形的面积和呢? 生答:2xy 提问 3:好,根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等 式, x ?y 2 2 2 ? 2xy。什么时候这两部分面积相等呢? 生答:当直角三角形变成等腰直角三角形,即 x=y 时,正方形 EFGH 变成一个点,这时有 x ?y 2 =2xy 2、新课讲授 (1)一般地,对于任意实数 x、y,我们有 x ?y 2 2 ? 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号成立。 提问 4:你能给出它的证明吗? (学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: 所以 21 世纪教育网 x ?y 2 2 - 2 xy = ( x ? y) 2 2 2 , 当x ? y时 2 ( x ? y) 2 >0 ,当 x=y 时,等号成立。 x ?y 即 ? 2 xy x ?y 2 2 ? xy ,当且仅当 x=y 时,等号成立。 (2) 设 x= a ,y= b ,则由这个不等式可以得出下列结论: 如果 a,b 都是非负数,那么 a?b ? ab ,当且仅当 a=b 时,等号成立。 2 我们称上述不等式为基本不等式, 其中 a?b 称为 a,b 的算术平均数, ab 为 a,b 的几何平均数。因此,基本不等式 2 又被称为均值不等式。 (3) 基本不等式的一种几何解释。 如图 1 所示,AB 是圆 O 的直径,AC=a, CB=b,过点 C 作 CD ? AB 交圆 O 上半圆于 D, 连接 AD,BD,由射影定理可知: D CD= ab ,而 OD= 因为 OD ? CD 所以 a?b , 2 a?b ? ab 2 21 世纪教育网 A 当且仅当 C 于 O 重合,即 a=b 时,等号成立。 (4) 应用 例 1 设 a,b 均为正数,证明不等式 ab ? O C B 2 1 1


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