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河北省石家庄二中2015-2016学年高二上学期9月月考数学试卷 Word版含解析


2015-2016 学年河北省石家庄二中高二(上)9 月月考数学试卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知椭圆 A.2 B.3 + =1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) ,则 m=( C.4 D.9 ) )

2.已知 a,b∈R,下列命题正确的是( A.若 a>b,则|a|>|b| B.若 a>b,则

C

.若|a|>b,则 a2>b2 D.若 a>|b|,则 a2>b2

3.设 F1,F2 是双曲线 F2 的距离等于( A.0 B.17 ) C.



=1 的焦点,P 是双曲线上一点.若 P 到 F1 的距离为 9,则 P 到

D.2

4.2x2﹣5x﹣3<0 的一个必要不充分条件是( A.﹣ <x<3 B.﹣ <x<0 C.﹣3<x<

) D.﹣1<x<6

5.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.命题“?x≥0,x2+x﹣1<0”的否定是“?x<0,x2+x﹣1<0” C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 6.已知命题 p:“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”,命题 q: “a ”的充要条件为“lna>lnb”,则下列复合命题中假命题是( )

A.p∨q B.p∧q C. (¬p)∨¬q D.p∧(¬q)

7.已知 a>b>0,椭圆 C1 方程为 率之积为 A. ,则 C2 的渐近线方程为( C.x±

=1,双曲线 C2 的方程为 )

=1,C1 与 C2 离心

x±y=0 B.x±2y=0

y=0 D.2x±y=0

8.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ ABM 为等腰三角形,顶角为 120°, ) 则 E 的离心率为( A. B.2 C. D.

9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 的最小值为( A. B.6 ) C.8

+

=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任一点,则

?

D.12

10.已知点 P 为椭圆

+

=1 上一点,点 F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,点 I 为△ PF1F2 )

的内心,若△ PIF1 和△ PIF2 的面积和为 1,则△ IF1F2 的面积为( A. B. C.1 D.2

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11.若命题“?x∈R,有 x2﹣mx﹣m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围是__________. 12.已知点 A(﹣1.0) ,B(1,0) ,若圆 (x﹣2)2+y2=r2 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 实数 r 的取值范围为__________.

13.过原点的直线 l 与双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左右两支分别相交于 A,B 两 =0.则双曲线 C 的方程

点,F(﹣ ,0)是双曲线 C 的左焦点,若|FA|+|FB|=4, =__________.

14.已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1,F2.P 是椭圆上一点,△ PF1F2

是以 PF1 为底边的等腰三角形,若 0°<∠PF1F2<60°则该椭圆的离心率的取值范围是 __________.

三、解答题(每题 15 分,共 30 分) 15.已知方程 + =1.

(1)当实数 m 取何值时,此方程分别表示圆、椭圆、双曲线?

(2)若命题 q:实数 m 满足方程

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 p:实数 m

满足 m2﹣7am+12a2<0(a<0) ,且非 q 是非 p 的充分不必要条件,求 a 的取值范围.

16.如图,F1,F2 分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆 C 上的点到 F1

点距离的最大值为 5,离心率为 ,A,B 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直 线 BF2 平行.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 =2 ,求直线 AF1 的方程;

(Ⅲ)设 AF2 与 BF1 的交点为 P,求证:|PF1|+|PF2|是定值.

2015-2016 学年河北省石家庄二中高二(上)9 月月考数学 试卷
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.已知椭圆 A.2 B.3 + =1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) ,则 m=( C.4 D.9 )

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆 m. 【解答】解:∵椭圆 ∴25﹣m2=16, ∵m>0, ∴m=3, 故选:B. 【点评】本题考查椭圆的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 2.已知 a,b∈R,下列命题正确的是( A.若 a>b,则|a|>|b| B.若 a>b,则 C.若|a|>b,则 a2>b2 D.若 a>|b|,则 a2>b2 【考点】四种命题. 【专题】不等式. 【分析】对于错误的情况,只需举出反例,而对于 C,D 需应用同向正的不等式两边平方后不 等号方向不变这一结论. 【解答】解:A.错误,比如 3>﹣4,便得不到|3|>|﹣4|; B.错误,比如 3>﹣4,便得不到 ; ) + =1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) , + =1(m>0 )的左焦点为 F1(﹣4,0) ,可得 25﹣m2=16,即可求出

C.错误,比如|3|>﹣4,得不到 32>(﹣4)2; D.正确,a>|b|,则 a>0,根据不等式的性质即可得到 a2>b2. 故选 D. 【点评】考查若 a>b,对 a,b 求绝对值或求倒数其不等号方向不能确定,而只有对于同向正 的或非负的不等式两边同时平方后不等号方向不变.

3.设 F1,F2 是双曲线 F2 的距离等于( A.0 B.17 ) C.



=1 的焦点,P 是双曲线上一点.若 P 到 F1 的距离为 9,则 P 到

D.2

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a=12,已知|PF1|=9,进而可求|PF2|. 【解答】解:∵双曲线 ﹣ =1 得:a=4,

由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||=2a=8,|PF1|=9, ∴|PF2|=1(不合,舍去)或|PF2|=17, 故|PF2|=17. 故选:B. 【点评】本题主要考查了双曲线的性质,运用双曲线的定义||PF1|﹣|PF2||=2a,是解题的关键, 属基础题. 4.2x2﹣5x﹣3<0 的一个必要不充分条件是( A.﹣ <x<3 B.﹣ <x<0 C.﹣3<x< ) D.﹣1<x<6

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法. 【专题】计算题. 【分析】通过解二次不等式求出 2x2﹣5x﹣3<0 的充要条件, 通过对四个选项的范围与充要条 2 件的范围间的包含关系的判断,得到 2x ﹣5x﹣3<0 的一个必要不充分条件. 【解答】解:2x2﹣5x﹣3<0 的充要条件为 对于 A 是 2x2﹣5x﹣3<0 的充要条件 对于 B,是 2x2﹣5x﹣3<0 的充分不必要条件 对于 C,2x2﹣5x﹣3<0 的不充分不必要条件 对于 D,是 2x2﹣5x﹣3<0 的一个必要不充分条件 故选 D 【点评】解决一个命题是另一个命题的什么条件,应该先化简各个命题,再进行判断,判断 时常有的方法有:定义法、集合法. 5.下列说法正确的是( ) 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x2=1,则 x≠1” B.命题“?x≥0,x2+x﹣1<0”的否定是“?x<0,x2+x﹣1<0” C.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 D.“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 【考点】四种命题. 【专题】综合题;简易逻辑. 【分析】A,写出该命题的否命题,判断 A 错误;

B,写出该命题的否定,判断 B 错误; C,由命题与它的逆否命题真假性相同,判断出 C 是否正确; D,判断充分性与必要性是否成立即可. 【解答】解:对于 A,命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠0,则 x≠0”,∴A 错误; 对于 B,命题“?x≥0,x2+x﹣1<0”的否定是“?x<0,x2+x﹣1≥0”,∴B 错误; 对于 C,命题“若 x=y,则 sinx=siny”是真命题, 它的逆否命题也是真命题,∴C 正确; 对于 D,x=﹣1 时,x2﹣5x﹣6=0,充分性成立, x2﹣5x﹣6=0 时,x=﹣1 或 x=6,必要性不成立, ∴是充分不必要条件,D 错误. 故选:C. 【点评】本题通过命题真假的判断,考查了四种命题之间的关系,也考查了充分与必要条件 的判断问题,是综合性题目. 6.已知命题 p:“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”,命题 q: “a ”的充要条件为“lna>lnb”,则下列复合命题中假命题是( )

A.p∨q B.p∧q C. (¬p)∨¬q D.p∧(¬q) 【考点】四种命题. 【专题】简易逻辑. 【分析】 先判断命题 p、 命题 q 的真假性, 再根据复合命题的真假性对四个选项进行判断即可. 【解答】解:对于命题 p,中括号内【“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2 ﹣3x+2≠0”】整个是 p 命题,而不是单看引号内的命题,p 为真; 对于命题 q,当 a=1、b=0 时,a ,但 lna>lnb 不成立,

q 是假命题,∴¬q 是真命题; ∴p∧q 是假命题,p∨q、 (¬p)∨(¬q)和 p∧(¬q)是真命题. 故选:B. 【点评】本题考查了四种命题的应用问题,也考查了复合命题真假的判断问题,是基础题目.

7.已知 a>b>0,椭圆 C1 方程为 率之积为 A. ,则 C2 的渐近线方程为( C.x±

=1,双曲线 C2 的方程为 )

=1,C1 与 C2 离心

x±y=0 B.x±2y=0

y=0 D.2x±y=0

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式,可得 a,b 的方程,再由双曲线的渐近线方程,即 可得到结论. 【解答】解:圆 C1 方程为 =1 的离心率为 e1= ,

双曲线 C2 的方程为

=1 的离心率为 e2=



由题意可得 可得 a2=2b2,即为 a=

? b,

=



即有双曲线的渐近线方程为 y=± x, y=0, 则为 x 故选 C. 【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,主要考查离心率和渐近线方程的求法,考查 运算能力,属于易错题. 8.已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ ABM 为等腰三角形,顶角为 120°, ) 则 E 的离心率为( A. B.2 C. D. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设 M 在双曲线 ﹣ =1 的左支上,由题意可得 M 的坐标为(﹣2a, a) ,代入

双曲线方程可得 a=b,再由离心率公式即可得到所求值. 【解答】解:设 M 在双曲线 ﹣ =1 的左支上,

且 MA=AB=2a,∠MAB=120°, 则 M 的坐标为(﹣2a, a) , 代入双曲线方程可得, ﹣ 可得 a=b, c= 即有 e= = = . a, =1,

故选:D. 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,运用任意角的三 角函数的定义求得 M 的坐标是解题的关键.

9.若点 O 和点 F 分别为椭圆 的最小值为( A. B.6 ) C.8

+

=1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任一点,则

?

D.12

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;向量与圆锥曲线. 【分析】可设 P(x,p) ,可求得 与 程即可求得其答案. 【解答】解:∵点 P 为椭圆 +

的坐标,利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方

=1 上的任意一点,设 P(x,y) (﹣3≤x≤3,﹣2

≤y≤2

) ,

依题意得左焦点 F(﹣1,0) , ∴ =(x,y) , =(x+1,y) , 2 ∴ ? =x(x+1)+y , =x2+x+ = (x+ )2+ ∵﹣3≤x≤3, ∴ ≤x+ ≤ , , , ≤12, ,



∴ ≤(x+ )2≤ ∴ ≤ (x+ )2≤ ∴6≤ (x+ )2+

即 6≤ ? ≤12. 故选:B. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化思想与解决 问题的能力,属于中档题.

10.已知点 P 为椭圆

+

=1 上一点,点 F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,点 I 为△ PF1F2 )

的内心,若△ PIF1 和△ PIF2 的面积和为 1,则△ IF1F2 的面积为( A. B. C.1 D.2

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】设|PF1|=m,|PF2|=n,内切圆的半径长为 r,则 S1= mr,S2= nr,S3= ?2cr,求得椭 圆的 a,b,c,由题可得 r= = ,即可得到所求面积.

【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n,内切圆的半径长为 r, 设△ PIF1 和△ PIF2 及△ IF1F2 的面积分别为 S1,S2,S3, 则 S1= mr,S2= nr,S3= ?2cr, 椭圆 + =1 的 a=2,b= ,c= =1,

由椭圆定义可得 m+n=2a=4, 由△ PIF1 和△ PIF2 的面积和为 1, 即有 S1+S2=1,即 r= = ,

即有 S3= ?2cr=cr=r= . 故选 B. 【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查椭圆的定义的运用,考查运算能力, 属于中档题. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 11.若命题“?x∈R,有 x2﹣mx﹣m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围是(﹣4,0) . 【考点】特称命题. 【专题】简易逻辑. 【分析】写出该命题的否定命题,根据否定命题求出 m 的取值范围即可. 【解答】解:命题“?x∈R,有 x2﹣mx﹣m≤0”是假命题, 它的否定命题是“?x∈R,有 x2﹣mx﹣m>0”,是真命题, 即 m2+4m<0; 解得﹣4<m<0, ∴m 的取值范围是(﹣4,0) . 故答案为: (﹣4,0) . 【点评】本题考查了特称命题与全称命题之间的关系,解题时应注意特称命题的否定是全称 命题,全称命题的否定是特称命题,是基础题. 12.已知点 A(﹣1.0) ,B(1,0) ,若圆 (x﹣2)2+y2=r2 上存在点 P,使得∠APB=90°,则 实数 r 的取值范围为(1,3) . 【考点】点与圆的位置关系. 【专题】方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】由题意可得两圆相交,而以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,圆心距为 2,由两圆 相交的性质可得|r﹣1|<2<|r+1|,由此求得 r 的范围. 2 2 2 +y =r 【解答】 解: 根据直径对的圆周角为 90°, 结合题意可得以 AB 为直径的圆和圆 (x﹣2) 有交点, 检验两圆相切时不满足条件,故两圆相交.

而以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,圆心距为 2, 故|r﹣1|<2<|r+1|,求得 1<r<3, 故答案为: (1,3) . 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,两圆相交的性质,体现了转化的数学思想,属 于基础题.

13.过原点的直线 l 与双曲线 C: 点,F(﹣ =



=1(a>0,b>0)的左右两支分别相交于 A,B 两 =0.则双曲线 C 的方程

,0)是双曲线 C 的左焦点,若|FA|+|FB|=4, .

【考点】双曲线的标准方程;双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设|FB|=x,则|FA|=4﹣x,利用勾股定理,建立方程,求出|FB|=2+ 可得 a,b,即可得出结论. 【解答】解:设|FB|=x,则|FA|=4﹣x, ∵过原点的直线 l 与双曲线 C: ﹣

,|FA|=2﹣



=1(a>0,b>0)的左右两支分别相交于 A,B 两点,

F(﹣ ,0)是双曲线 C 的左焦点, ∴|AB|=2 , =0, ∵ 2 ∴x +(4﹣x)2=12, ∴x2﹣4x+2=0, ∴x=2± , ∴|FB|=2+ ,|FA|=2﹣ , ∴2a=|FB|﹣|FA|=2 , ∴a= , ∴b=1, ∴双曲线 C 的方程为 故答案为: . .

【点评】本题考查双曲线方程与性质,考查学生的计算能力,确定几何量是关键.

14.已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1,F2.P 是椭圆上一点,△ PF1F2

是以 PF1 为底边的等腰三角形, 若 0°<∠PF1F2<60°则该椭圆的离心率的取值范围是 ( , ) . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;压轴题.

【分析】由题意可得 PF2=F1F2=2c,再由椭圆的定义可得 PF1 =2a﹣2c.设∠PF2F1 =θ,则 <θ<π,故﹣1<cosθ< ,再由 cosθ= ,求得 e 的范围.

【解答】解:由题意可得 PF2=F1F2=2c,再由椭圆的定义可得 PF1 =2a﹣PF2=2a﹣2c. 设∠PF2F1 =θ,则 <θ<π,∴﹣1<cosθ< . e> . , 由﹣1<cosθ 可得 3e2+2e﹣1>0,

△ PF1F2 中, 由余弦定理可得 由 cosθ<

cosθ=

可得 2ac<a2,e= < .综上, <e< ,

故答案为 ( , ) .

【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程,以及简单性质的应用,得到 cosθ=



且﹣1<cosθ< ,是解题的关键.

三、解答题(每题 15 分,共 30 分) 15.已知方程 + =1.

(1)当实数 m 取何值时,此方程分别表示圆、椭圆、双曲线? (2)若命题 q:实数 m 满足方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 p:实数 m

满足 m2﹣7am+12a2<0(a<0) ,且非 q 是非 p 的充分不必要条件,求 a 的取值范围. 【考点】圆锥曲线的共同特征;充分条件;必要条件. 【专题】综合题;转化思想;转化法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)方程表示圆时:分母相等且为正;表示椭圆时:分母为正且不等;表示双曲线 时:分母异号 (2)方程表示焦点在 y 轴上的椭圆时:在表示椭圆的基础上还要 2﹣m>m﹣1,“非 q 是非 p 的充分不必要条件”转化为“p 是 q 的充分不必要条件” 【解答】解: (1)因为方程表示圆时,m﹣1=2﹣m>0,即 圆. ,所以当 时,此方程表示

因为方程表示椭圆时,



,所以当

时,此方程表示椭圆. 因为方程表示双曲线时, (m﹣1) (2﹣m)<0,即 m<1 或 m>2,所以当 m<1 或 m>2 时, 此方程表示双曲线. (2)由 (a>0) ,则 3a<m<4a,即命题 p:3a<m<4a



2﹣m>m﹣1>0, 表示焦点在 y 轴上的椭圆可得: 即

, 所以命题 q:

由非 q 为非 p 的充分不必要条件,则 p 是 q 的充分不必要条件,从而有: 即 【点评】 (1)本小题主要考查圆锥曲线的共同特征,圆、椭圆、双曲线的方程特征是解题的 关键,属于基础题 (2)本小题考查了两点:第一点考查焦点在 y 轴上的椭圆的方程特征,第二点考查充要条件 的简单应用.本题的关键是利用转化思想,将“非 q 是非 p 的充分不必要条件”转化为“p 是 q 的充分不必要条件”,也属于基础题.

16.如图,F1,F2 分别为椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,椭圆 C 上的点到 F1

点距离的最大值为 5,离心率为 ,A,B 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直 线 BF2 平行.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 =2 ,求直线 AF1 的方程;

(Ⅲ)设 AF2 与 BF1 的交点为 P,求证:|PF1|+|PF2|是定值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】 (Ⅰ)由题意知

,解可得 a、c 的值,从而可得 b2 的值,带入椭圆的标准方程

可得答案; (Ⅱ)根据题意,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,延长 AB,与 x 轴交与点 M,分析可得 M(6, 0) , 进而设 AB 的直线方程为 x+my﹣6=0, 联立 y2﹣60my+135=0, 可得 (9+5m2)

由韦达定理,得

,又由

=2

,分析可得 y1=2y2,联立两个式子解可

得 m 的值,

,从而可得直线 AF1 的斜率,代入可得直线 AF1 的方程,

(Ⅲ)根据题意,由

,可得(9+5n2)y2﹣20ny﹣25=0,解可得 y1 的值,进而可

得|AF1|与|BF2|的值,进一步可以用 n 来表示|AF1|+|BF2|以及|AF1||BF2|,而|PF1|+|PF2|=6﹣ ,代入即可得到证明.

【解答】解: (Ⅰ)由题意知 从而 b2=a2﹣c2=5; 所以椭圆 C 的方程为 + =1.

,得 a=3,c=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:F1(﹣2,0) ,F2(2,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 延长 AB, 与 x 轴交与点 M, 由 =2 , 可得 BF2 为△ AF1M 的中位线, 所以|MF2|=|F1F2|,

得 M(6,0) , 设 AB 的直线方程为 x+my﹣6=0, (显然 m>0)

联立

,消去 x,整理可得(9+5m2)y2﹣60my+135=0,由韦达定理,得

,①

又由

=2

,得(﹣2﹣x1,﹣y1)=2(2﹣x2,﹣y2) ,所以 y1=2y2,②

联立①②解可得 m=



,从而 x1=6﹣my1=﹣ ,于是 AF1 的斜率 K1=



直线 AF1 的方程为 y= (Ⅲ)根据题意,由

(x+2) , ,可得(9+5n2)y2﹣20ny﹣25=0,

则 y1=

,y2=

, (舍去)

所以|AF1|=

×|0﹣y1|=



同理|BF2|=

×|0﹣y2|=



|AF1|+|BF2|=



|AF1||BF2|=



因此|PF1|+|PF2|=6﹣

=6﹣

=



故|PF1|+|PF2|是定值. 【点评】本题考查椭圆与直线的综合运用,一般计算量较大,注意结合椭圆的基本性质,寻 找解题的突破点.


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